CC BY
11
Аналоги гипотезы Бибербаха в С2 областях Dр,q G ( Г)
Султыгов М. Д.
Султыгов Магомет Джабраилович /Sultygov Magomet Gabrilovich - кандидат физико-математических наук,
профессор,
кафедра математики,
Ингушский государственный университет, г. Магас
Аннотация: приводятся оценки коэффициентов Тейлора в некоторых областях Рейнхарта, которые совпадают с классом выпуклых ограниченных полных двоякокруговых областей с центром в начале координат, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы. Показаны аналоги проблемы Бибербаха для звездных функций порядка а и типа ф и в классе спиралеобразных функций в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области Dp q G (Т).
Abstract: the estimates of the coefficients of Taylor in some areas of Reinhart, which coincides with the class of convex bounded complete dojocho areas with center at the origin whose boundaries, are twice continuously differentiable. Shows the analogues of the problems of Bieberbach for the star functions of order a and type f in the class of helical functions in specific logarithmically convex complete bounded region dojocho Dp , q G (Т).
Ключевые слова: логарифмически выпуклые области, радиусы параметризации, точные оценки сумм, непрерывно дифференцируемые и аналитически выпуклы извне, коэффициенты Тейлора, аналог гипотезы Бибербаха.
Keywords: logarithmically convex region, the radii parameterization, an accurate assessment of the amounts, continuously differentiable and convex externally analytically, the coefficients of the Taylor, the analogue of Bieberbach.
Из множества логарифмически выпуклых полных областей Рейнхардта выделим класс Т, который совпадает с классом выпуклых ограниченных полных двоякокруговых областей с центром в начале координат, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы [1; с. 6].
По критерию принадлежности к классу Т ограниченной области D (D е (Т)) [там же; с. 6] существует единственная система положительных вещественных непрерывных функций у = гг(т*), i = 1 ,. . .п; т* G Д * , таких, что
D = y{zeC" : |Zj| < у(т *),i = 1,.. .,n} =
Т*6Д*
= in tnx *gД *{z G cn:уп= < 1 }
где Д*= {т* = (Ti,..., тп_i) : 0 < Ti < 1,0 < т2 < 1 - Ti ,..., 0 < тп_i < 1 - - Ti - ,..., - тп_2 }, тп= 1 -
T±~ > ■■■ > ~Tn_1-
Функции у(т *) называются радиусом параметризации области D.
B [2; с. 71] показано, что если D G (Т) и
D = {z G Сп : |zj < <jp(|zi|,..., |Zn_ il),0 < |Zj| < R < с», i = 1 ,..,,n},
rn=<p(ri,. . . ,гп _ J G C2(D ), то по радиусам параметризации у,.. .,гп функция р (у,... ,гп _ ^_) определяется решением системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка
дpQj,...,r„_ i )
1 ду
т,- = ■
уп r
^ i=ir i
д p(ri,.. .,rra_ i)
ду
-P(ri,.. .,Гп_ i)
Радиусы параметризации r,..., гп_ i области D е (Т) удовлетворяют соотношениям:
1 дгп п-1 V Ti дг1 ■ „ дгп т, гп .
гп дтi / д ,7 = 1 ,. ■ Z—1 т „п о Vi i=i 71 1 ] :.,П — 1 Я 1 74 4|: и м .,п
п о г2 т Г1
В частности, при п = 2 , отсюда получаем равенство — = ---L,
где т G ( 0 , 1 ),ri( 0 ) = 0 , ri( 1 ) < со ,У(т) > 0 ,r2( 1 ) = 0 впервые введено в [3; с. 977] при описании областей класса (T).
Исследования в статье будут производиться в [4; с. 170] в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области
Dp,q = {(z1,z2) E C2: \zi\' + \z2\q < 1 ;p = ^,m,n,q E v}.
Отметим, что Dp , q E (T) тогда и только тогда, когда p > 1 .
В приложениях геометрической теории функций многих комплексных переменных необходимы точные оценки сумм [5; с. 29]:
<Akl(D) = sup |zi\2 (fcl_fc2)\z2\2Ч
®fc j_(D) = sup |£ k l=oak^k2,k2zikl-k2Z2k2|,
для в c ex (z1,z2 ) e D c C2 , содержащих коэффициенты Тейлора и точные оценки самих коэффициентов akl,k2 (f :D ) функций из рассматриваемых классов. Эти коэффициенты оцениваются через характеристики
<4 l:k 2(f : D ) = s up {\zi\k 1 \ z2 \k 2,(zi,z2 ) eD c C2 }.
Поэтому для конкретных областей D необходимо уметь вычислить < ki, k2(f :D ). Для тех областей D , границы которых дважды непрерывно дифференцируемы и аналитически выпуклы извне, а также для бикруга, величины ( ) вычисляются эффективно. Вычисление величин ( ) входящих в
оценки коэффициентов Тейлора представляют определенные трудности, которые удается преодолеть для областей De (T). Отметим, что для области D класса (T)
<k *(f-W Ч) Ч(Ч '•
,\Щ 2 \\fc\y
считая 0 0 = 1 [6; с. 42]. Для области Dpq E (T) радиусы параметризации ^(т) и г2(т) имеют вид [4, 167; 7; с. 10]:
k iq -V\ г(т) = (-^-V
r2(T) = fc
а <k k (f : DP q) = (———) p (—
K1’K2 PAJ yk-^q+k-^pj Vq
k2p
q + k2pj )“
где .
1_ц+к2р;
В качестве первого примера приведем аналог гипотезы Бибербаха [8; 9] для звездных функций порядка а и типа двух комплексных переменных в области .
Пусть f(zi,z2) =^1=0(Zk 1=0 ak ^k2,k 2zxk 1- k2z2k2) E MD(a,/?) [10; с. 9]. Тогда в области
Dp q ко эфф и ци енты |aki,k2(f,Dp q)| будут иметь вид: при ( )
| ( )|
П-=- 4(2/? - 1 )■ + (1 - а)2/?}
i/fi.( fei q )P ( fc2 P ) \ \' (fc, q + p) (/c1q + /c7p)
4P
\ \
Uqq + /qp
1м+:
7 = 1
К q + fc2pJ
ПГЧ {(2 /? - 1 )■ + (1 - a)2/?}
а при ( )
M« + « 'ЬЧЫЧ^ | ( )|
,k > M + 1;
/qq + /qpy V/q<? + /qp
2/?(i-a)
\k\' I
fc-ig
q
IP 1
12 ,\fc\ >1 .
Vk^q+kip/ \kiq+k.2pJ
Для второго примера построения аналога гипотезы Бибербаха выберем р-листные А - спиралеобразные функции порядка а. В области Dp , q аналог гипотезы Бибербаха будем иметь вид [11; с. 18]:
~ ^ со $Я+7‘|(Г
k iq ) ( k 2 ' ) П 1 0 7 + i .
"•1 ^2 .
L ^ п л1 ^ (kiq+k i р^\ p (k iq + ki'^ q rr\k\-i |2 (i-a)e ,dp , q)| - ( kiq ) Ok^) n7=o ;
k2p
Результаты работы новые и в таком формате публикуются впервые.
Литература
1. Темляков А. А. Интегральные представления // Ученые записки МОПИ им. Н. К. Крупской. - 1960. - вып. 6. Матанализ. - Т. 96. - С. 3-14.
2. Ионин Л. Д. Круговые и кратнокруговые выпуклые полные ограниченные области в С", n > 2 и соответствующие им нормы // Мат анализ и теория функций. - М. - 1980. - С. 69-73.
3. Темляков А. А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных // Доклады АН СССР. - Т. 120. - № 5. - 1958. - С. 976-979.
4. Султыгов М. Д.Коэффициенты Тейлора для некоторых классов голоморфных функций многих комплексных переменных. // Сб. научных трудов ИнгГУ. - Магас. - 2008. - № 6. - C. 165-173.
5. Султыгов М. Д. Эффективность коэффициентов Тейлора в некоторых областях Рейнхарта // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук № 9 (80). - 2015. - С. 28-31.
6. Баврин И. И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы. - М. - 1976. - 99 с.
7. Султыгов М. ^Коэффициенты Тейлора для некоторых классов голоморфных функций многих комплексных переменных. // Научный вестник Ингушского государственного университета. - Магас. -2007. - № 1-2. - C. 5-11.
8. Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildug des Einheitskreises vermitteln // S.- B. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-math. Kl. - 1916. - pp. 940-955.
9. De Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture. Acta Math. - № 154-1985. pp. 137-152.
10. Султыгов М. Д. Звездные функции порядка а и типа р многих комплексных переменных // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук № 8 (79). - 2015. - С. 8-11.
11. Султыгов М. Д. О коэффициентах Тейлора для спиралеобразных функций многих комплексных переменных // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук № 6 (77). - 2015. - С. 17-20.
