CC BY
6УДК 517.55
Султыгов Магомет Джабраилович
профессор кафедры математического анализа, кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВО «Ингушский государственный университет», г. Магас
ИЗОМОРФИЗМ ПОДКЛАССОВ ЗВЕЗДНЫХ И ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ СЛОЖНОГО
ПОРЯДКА
Sultygov M. G.
Professor of the Department of mathematical analysis, Candidate of physical and mathematical Sciences, Ingush state University, Magas
ISOMORPHISM OF SUBCLASSES OF STAR AND CONVEX FUNCTIONS OF COMPLEX ORDER
Аннотация.
В статье приведены некоторые примеры новых подклассов звездных и выпуклых функций сложного порядка и приведены условия принадлежности функций к этим классам.
Abstract.
Some examples of new subclasses of stellar and convex functions of complex order are given in the article and the conditions of membership offunctions to these classes are given.
Ключевые слова. Звездные и выпуклые функции, однолистные функции, полные ограниченные крат-нокруговые области, порядок, оператор, подчинение.
Key word. Starlike and convex functions, univalentfunction, full limited multiples of the circular area, order, operator, subordination.
Две системы называются изоморфными (находящимися в отношении изоморфизма), если между их элементами, а также функциями (операциями), свойствами и отношениями, осмысленными для этих систем, существует или может быть установлено взаимно-однозначное соответствие. В этом случае каждая из систем называется изоморфным образом другой. Отношение гомоморфизма является более общим и более слабым. Поэтому всякий изоморфизм есть гомоморфизм, но не наоборот. В этом случае однозначное соответствие между элементами систем выполняется только в одном направлении. Каждому элементу первой системы соответствует единственный элемент второй системы, но не наоборот: элементу второй системы может соответствовать более одного элемента первой системы. В этом случае первая система называется гомоморфным прообразом для второй, а вторая — гомоморфным образом первой.
1.Введение.
В статье мы рассматриваем некоторые подклассы звездных и выпуклых функций сложного порядка, дающие необходимые и достаточные условия принадлежности функций к этим классам. При этом рассматриваются функции, голоморфные в полных ограниченных кратно круговых областях D с Сп или в их подобластях Dr = rD, где D —замыкание области D и г Е (0,1).
Определение 1. Назовем f(z) е H(D с Сп) голоморфной функцией класса QD [1,10], если в D с Сп имеет разложение
f(z) = 1 + Z^=1akzk (1)
и F(zk) = zkf(v1zk, ...,zk, ...,vnzk), как функция переменного zk, однолистна в сечении области D c комплексной прямой
Pv[k]=\zk =—:vmE С\{0},m = 1.....k — 1,k + 1,.n};
V. Vm J
при vm = 0 функция F(zk) = zkf(0,... ,zk,... ,0) однолистна в сечении
Лт = D П {zm = 0:m = 1, ...,k — 1,k + 1,...,n}.
Пусть функция f(z) = f(z1, ...,zn) Е H(D с Cn),f(z) = f(z1, ...,zn) Е H(D с Cn),az =
(az1, ...,azn),a Е С1 голоморфна в области D и имеет разложения f(z) = 1 + Yl'\k\=1akzk, где k = (k1,..., kn) е ^"-мультииндекс,
zk = W=1Zikl, \k\ ^^Ukf
Здесь Ly[f(z)] = Yf(z) + Til}=1 Zj , L1L1f(z) = ¿(2)/(г)[2,с.10]. Обратным к нему является оператор L-1f(z) = J^£y-1f(ez)d£.
Для упрощения записи все рассуждения ниже проводятся для случая двух комплексных переменных, однако полученные результаты легко переносятся на случай многих комплексных переменных.
Определим некоторые подклассы класса QD в следующем виде.
«щ^шздим-^оигм&ь^щжшшш / PHYSICS AMD MATHEMATICS_6_
Определение 2. [1,c. 12]. Для того чтобы голоморфная в области D функция f(z1, z2), f(0,0) = 1 принадлежала классу MD, необходимо и достаточно, чтобы
Определение 2. [1,с.15]. Для того чтобы голоморфная в области D функция f(z1, z2), f(0,0) = 1 принадлежала классу ND, необходимо и достаточно, чтобы
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть f(z, t) = et + akzk -голоморфная в области D функция при любом фиксированном t. Здесь = Yii=1 kt, к! = ПЧ=1 ki\ Тогда [f(z, t)} образует цепь подчинения, если
1°. f(z, t) как функция от t абсолютно непрерывна, локально равномерно по z Е D (в поликруговой норме).
2°. Существует семейство измеримых по t функций h(z,t) Е QD [2,с.10] для любых t, таких, что для почти всех t
yJ(z,t) = h(z,t)Li[f(z,t)] (4)
Доказательство. Рассмотрим фиксированную точку z0 Е Dro. Пусть р Е (г0,1).Тогда в силу полноты
fz° flz0 \
области D, точка — Е D, если 1^1 < 1,% Е С1. Рассмотрим функцию F(£, t) = t) как функцию от
( и t. В силу предположений теоремы, F(%, t) голоморфна по %,измерима и абсолютно непрерывна по t, локально равномерно по Кроме того, существует семейство функций Н(%, t) = h t), удовлетворяющих условиям Re Н(%, t) > 0,Н(0, t) = 1, таких, что для почти всех t > 0
д д
что справедливо в силу (8) и того факта, что L1[f(^z, t)] = [%f(%z, t)].
Таким образом, все требования теоремы Х. Поммеренке [3] выполнены, и мы можем утверждать, что {F(z,t)} образует цепь подчинения, то есть для любых 0 < t1 < t2 < <х имеет место F(z,t1) < F(z,t2). Полагая % = р, переходя к пределу при р ^ г0 и пользуясь полнотой области Dr, приходим к утверждению теоремы.
Определение 3. Мы будем говорить, что функция f(z1,z2) подчинена функции g(z1,z2), и записывать в дальнейшем, как f(z1,z2) < д(г1,г2),если f(Dr) с g(Dr) для всех г Е (0,1).
Определим некоторый подкласс класса QD в следующем виде.
Замечание. Автором ранее исследован в [5,6] класс функций вида
LJ(Z1,Z2) 1+AQ(z1,Z2) , ff1 <=л±пп) Л ,®(z1,z2) Е SD(0), — 1 < В < А < 1. f(z1,z2) 1+BQ(Z1,Z2)
Мои результаты.
По аналогии, как и в одномерном случае [7] введем и изучим новый класс Мв(ф), который состоит из функций класса MD, для которых
LJ(Z1,Z2) ^ , ( л -Ж1ъГ<ф(21,22).
Определение 4. Пусть Ъ Ф 0 комплексное число. Тогда класс голоморфных функций Мв(Ь,ф), состоит из всех аналитических функций f(z1, z2) Е QD удовлетворяющих условию
1fLJ(Z1,Z2)
1 -;--1 ) < 0(ZuZ7
l) < ф(г1,г2).
Ь\ [(г1,г2)
Класс голоморфных функций №в(Ь,ф), состоит из всех аналитических функций [(г1,г2) Е QD удовлетворяющих условию
Кроме того, мы обозначим Мп (А, В, Ь, ф) и (А, В, Ь) через Мп (Ь, ф) и (Ь, ф), соответственно, где , 1+А0(г1,г2) , Ф(21,22) = л±пп( \,в(*1.Ъ) Е Бв(0),-1 <В<А<1. 1 + Вв(г1,г2)
Классы Мв (А, В,Ь,ф) и, следовательно, классы Мв (Ъ, ф), специализируются на несколько известных классов однолистных функций для подходящих вариантов А,В,Ъ.
Класс Мп (А, В, 1, ф) обозначим через Мп (А, В, ф). Перечислим некоторые из этих классов:
I. Ма(1,-1,1, ф) — класс звездных функций Мс[1];
II. Мв (1, —1, Ъ, ф) — класс звездных функций сложного порядка;
III. Мп (1, —1,1 — р, ф), 0 < р < 1 — класс звездных функций порядка @ [8];
—1, e lXcosX, ф), \X\ < — — класс А-спиралеобразных функций, изученных в [9-12]; —1, (1 — Р)е acosX, ф), 0 < р < 1,\Х\ - класс X — спирале-образных функций порядка Р, изученных в [13];
Пусть теперь Т(Ь) обозначает 1 +
1 (L1f(z1,z2) \
-1--1). Тогда мы имеем ряд подклассов звездных и вы-
Ь \ f(z±,Z2) )
пуклых сложного порядка:
У1.Мо(1,0,Ь,ф) — класс, определяемый условием 1Т(Ь) — 1| < 1;
VII.Мо(р,0,Ь,ф) — класс,определяемый условием lT(b) — 11 < р,0 < р < 1;
VIII. MD (р, —р, Ь, ф) — класс, определяемый условием
Т(Ь) — 1
1Х.Мв{1,(—1+^),Ь,ф) —
Т(Ь) + 1
<р,0<р <1;
класс, определяемый условием 1Т(Ь)-М1 <М;
X. Мв (1 — 2р,-1, Ь, ф) — класс, определяемый условием ReT(b) > р, для 0 < р < 1;
Литература.
1.Баврин И.И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы. - М. -1976. -99 с.
2.Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. -1991. -200 с.
3. Pommerenke Ch. Uber die Subordination analytischer Functionen // I.Reine und angew. Math., 1965, 218, Pp. 159-173.
4.Темляков А.А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных //Доклады АН СССР-1958.-Т-120- №5. С.976-979.
5.Султыгов М.Д. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для обобщенно звездных функций в пространстве Сп, п> 2 // Владикавказский математический журнал.-2017.-Т. 19, выпуск 1. Стр. 67-71.
6.Султыгов М.Д. О точных оценках в классе обобщенно-звездных функций многих комплексных переменных // World Science: Problems and innovations. http://naukaip.ru, 2018. МК-311.- Стр. 29 -32.
7. Ma, W. and Minda, D. A Unified treatment of some special classes of univalent functions, in: Proceedings of the Conference on Complex Analysis, Z. Li, F. Ren, L. Yang, and S. Zhang (Eds.), Int. Press, Pp.157-169, 1994.
8. Баврина К.П. Обобщение звездно однолистных функций порядка а на случай двух комплексных переменных // МОПИ им. Н.К.Крупской -1972.
Выпуск 15. №2. С.165-176.
9.Султыгов М.Д. Класс спиралеобразных функций SD (1, X, а, а) многих комплексных переменных // Colloquium-journal. №1 (12) ч. 1, 2018. Poland. http://www.colloquium-journal.org/ru/. Pp. 49—52.
10. Султыгов М.Д. О некоторых подклассах X - спиралеобразных и X - Робертсон функций сложного порядка // XIV МНПК «European Research". http://naukaip.ru, 2018. МК-280. Pp.20—22.
11. Султыгов М.Д. Некоторые результаты по подклассам Яновского
X - спиралеобразных функций сложного порядка // Colloquium-journal. №2 (13) ч. 1, 2018. Poland. http://www.colloquium-journal.org/ru/. Pp. 49 — 54.
12. Султыгов М.Д., Кодзоева Ф.Д., Албогачи-ева М.М. О X - спиралеобразных функциях Яновского // Colloquium-journal. №12 (23) (2018), ч.1. Poland. http://www.colloquium-journal.org/ru/. Pp. 52 — 56.
13. Султыгов М.Д. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для класса X - спиралеобразных функций порядка а // Фундаментальные и прикладные научные исследования. МК-267. http://naukaip.ru, 2018. Стр. 36—38.
