Гипотеза Бибербаха для подклассов 𝜷 −спиралеобразных функций порядка 𝜶 Текст научной статьи по специальности «Математика»

«щ^шздим-^оигм&ь^щжшшш / PHYSICS AMD MATHEMATICS_6_5_

УДК 517.55

Султыгов Магомет Джабраилович

профессор кафедры математического анализа, кандидат физико-математических наук, Ингушский государственный университет, г. Магас

ГИПОТЕЗА БИБЕРБАХА ДЛЯ ПОДКЛАССОВ 0 -СПИРАЛЕОБРАЗНЫХ ФУНКЦИЙ

ПОРЯДКА а

Sultygov M. G.

Professor of the Department of mathematical analysis, Candidate of physical and mathematical Sciences, Ingush state University, Magas

THE BIEBERBACH CONJECTURE FOR SUBCLASSES OF 0 -SPIRAL FUNCTIONS ORDER a

Аннотация.

В статье предпринимается попытка устранить пробел в свете решения гипотезы Бибербаха в многомерном случае в подклассе класса р - спиралеобразных функций порядка а и в р —выпуклых функциях порядка а. Сформулированы достаточные условия принадлежности и доказаны критерии принадлежности голоморфных функций к подклассам MD (а) и NSD ( р,а) класса р - спиралеобразных функций порядка а и ND(a) р —выпуклых функциях порядка а.

Abstract. The article attempts to eliminate the gap in the light of the solution of the Bieberbach conjecture in the multidimensional case in the subclass of the class of p - spiral functions of order a and in p —convex functions of order a. Sufficient conditions of membership are formulated and criteria of belonging of holomorphic functions to subclasses MD (a) and NSD ( p, a) of class p - spiral functions of order a and MD (a) p —convex functions of order a are proved.

Ключевые слова. Полные ограниченные кратнокруговые области, выпуклые функции, спиралеобразные функции, оператор дифференцирования, коэффициенты Тейлора.

Key word. Full limited multiples of the circular area, convex functions, spiral functions, differential operator, the coefficients of the Taylor.

Введение.

Нами ранее в [1] были доказаны критерии принадлежности голоморфных функций к подклассам MD(a),NSD(р,а) и MD(a) класса р - спиралеобразных функций порядка а. Здесь же сформулированы достаточные условия принадлежности голоморфных функций к некоторой части изучаемых классов. В данной статье предпринимается попытка устранить данный пробел в свете решения гипотезы Бибербаха в многомерном случае.

В 1916 году Л. Бибербахом [2] была высказана знаменитая гипотеза: что lcnl < 2,п = 2,3,... имеет место для всех регулярных и однолистных в единичном круге Izl < 1 функций f(z) = z + Y,n=2 спгП.

Гипотеза привлекала внимание многих математиков, и при попытке доказать ее были развиты многие методы геометрической теории функций комплексного переменного [3], однако доказательство гипотезы было получено лишь в 1985 году французским математиком Л. де Бранжем [4].

Целью статьи является по радиусам параметризации границ областей Рейнхарта построить эффективные достаточные условия подклассов класса р - спиралеобразных функций порядка а (0 < а < 1) в виде многомерного аналога гипотезы Бибербаха для областей Рейнхарта. При этом рассматриваются функции, голоморфные в полных ограниченных кратно круговых областях D с Сп или в их подобластях Dr = rD, где D —замыкание области D и г Е (0,1). где |fc| = k1 + k2.

Основные результаты.

Теорема 1. [1] Для функций f(z1, z2) = 1 + Yn k2=i ak1,k2zi1 z2k2 Е MD(a) при 0 < a < 1 имеют место оценки коэффициентов Тейлора:

I ( mi 1 — U — 2а1_ Г а, 0 < а < 0,5 , m

\aki,k2(f,0)\ < 2dki,k2(D)Yn^i=1[llkl — «|j = {1 —«,0,5<«< 1. (1)

Теорема 2. Для функций f(z1,z2) = 1+ Il'k1:k2=i ak1,k2z'i1 z2k2 Е NSD(p,a) при ^ и 0 < a <

k

2=1aki,k2r

cosp имеют место оценки коэффициентов Тейлора:

. . 1-\1-2ае-1р\

1ак1,к2(г'0)1 - (2)

Теорема 3. Для функций [(г1,г2) = 1 + Т,к1к2:1ак1,к221122к2 Е Мс(а) при 0 < а < 1 имеют место оценки коэффициентов Тейлора:

66_PHYSICS AMD MATHEMATICS / <<ШУк©ЗДУМ-ШУГМА1>>#3(Ш7)),2<Ж

ffr,^^ 1-|1-2a| _f a,0<a —0,5,

afc1,fc2C/,^)| - ^^Щ^ЦШЦ - «|} - {1- «,0,5 — a < 1. (3)

В оценках коэффициентов Тейлора входит величина

dfcl,fc2(D) — sup(|z1|m|z2|") для всех (z1,z2) е D с С2. Для конкретного вида области D важно уметь вычислить dfc fc (D). C целью получения эффективных оценок коэффициентов Тейлора возникает вопрос о выделении специальных классов областей D, для которых можно эффективно вычислить d^ ^ (D). Пусть D-^та область D, граница которой дважды непрерывно дифференцируема и аналитически выпукла извне. Как доказал А.А.Темляков [8], границу этой области можно представить в следующем параметрическом виде:^| — 7i(t), |z| — г2(т), 0<т — 1, где 71(0) — 0, 71(1) <да, г1(т) > 0, (0 < т — 1) и г2(т) — Д2ехр [- /J^dZnriCr)], г2(1) — 0. Такое параметрическое представление области D1 позволяет эффективно вычислить dfc ^ (D1). Действительно, в этом случае, как легко установить, при + l2 > 0

^2^1) — ^ (щ)^2 (щ) ,считая 00 — 1.

Заметим так же, что если область Д - бицилиндр (|гх| <Д1, |г2| < Д2} , то очевидно, что dfc1,/c2(/: ^.яг) = Я11 • . Итак, в случае тех областей Д, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы и аналитически выпуклы извне, а также в случае бицилиндра оценки коэффициентов Тейлора являются эффективными.

Теорема 1.1. [1] Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для функций /(гх, г2) = 1 + Е™122=1 а21,222112212 6 я (а) в бицилиндре имеет эффективные оценки коэффициентов Тейлора вида:

| (г „2 Л| < 1-|1-2а| Г а,0<а —0,5,

|а11,12(/: ий1'й2)1 - 2^ • Д222 •Е£|=1(||к| - а|}' {1 - а,0,5 — а < 1. Теорема 1.2. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для функций /(г1,г2) 6 в гиперконусе Л'1 = {(г1,22) 6 С2: |г1| + |г2| < 1},

где граница области представима в параметрическом виде: 5^1 = {(21,22)6С2:|21| = т, |г2| = 1-т,0—т —1},

л _(клк1 (клк2

эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид:

I , (1 |1 2а|) • |к||к| [ а,0<а<0,5,

|ак1'к2(/:К1)| < 2к^ • к^ • ^|=1(||к| - а|}' {1 - «,0,5 - а < 1.

В качестве следующего примера приведем аналог гипотезы Бибербаха в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области

Dp,4 Ш {(Z1,Z2) 6 С2: |zjp + IZ2I« < 1;р — m,™,",? 6

Отметим, что ч 6 (Г) тогда и только тогда, когда р > 1. В области ч 6 (Г) радиусы параметризации т^т) и г2(т) имеют вид

' гЛт) =_^_,гЛт) = (1-Т)^ ,

т<7 + (1 - т)р т<7 + (1 - т)р

fcl fc2 dfc fc, (/: Dp „) — (-^M P f-i2^) *, где 00 — 1,

Теорема 1.3. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для функций /(г1, г2) 6 (а) в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области ч эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид:

к!Ч+к2Р

I ^ „ м - (1 - |1 - 2«!) • (М + к2Р) ^ Г а, 0 < а — 0,5 , |ак1,к2(/: "1)| ^ ц к* ; 11-а,0,5 — а<1.

2(М)р -(к2р)ч • ЕЦк|=1(||к| - а|} Теорема 2.1. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для функций /( 1, 2) = 1 +

^=1 Як ь^г^2 6 М5„2 (а) в бицилиндре д при |у5| < — и 0 < а < соя^ имеет эффектив-

1, 2 12 12 2

ные оценки коэффициентов Тейлора вида:

К^/: У^1 ^к1 рк2 -!-"-

• ^2 • 2Цк|=1|к|(|к| + ||к| - 2ае-'^|} Теорема 2.2. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для функций /(г1, г2) 6 М^Д^, а) в гиперконусе = {(г1,г2) 6 С2: |г1| + |г2| < 1}, где граница области представима в параметрическом виде: 5^1 = {(21,22)6С2:|21| =т,|г2| = 1-т,0— т — 1},

<<ШЦШМУМ-ШУГМА1>#Щ27)),2©1]9 / PHYSICS AND MATHEMATICS 67

ki л. „

)

эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид:

. . (l-h-2ae-ißl)^\k\W

lakl,k2(f:K1)l^ki \ 1 1)11

Теорема 2.3. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для функций f(z1, z2) £ NSDp ( £>,а) в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области Dpq эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид:

к±д+к2р

^ (1-ll-2ae-ie\)-(kiq + k2p) чу

1акък2(1'-ир,ч )\ < ]£ к2 .

(kiq)P •(к2р)ч •Y^=ilkl{lkl + llkl-2ae-iP\}

Теорема 3.1. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для функций f(z1,z2) = 1 + k2=iak1,k2zi1z2k2 £ R (а) в бицилиндре Ul±Ji2 при 0 < а < 1 имеет эффективные оценки коэффициентов Тейлора вида:

I (f 1,2 ^_1 - 11-2а1_ ( а,0<а<0,5,

lakl,k2(J-U«1,R2)l < • Y^lklUlkl - а\}' {1 -а,0,5-а< 1.

Теорема 3.2. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для функций

i, z 2J £ Nifl(a) в гиперконусе Ki эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид: | , (1-l1-2al)^kllkl ( а,0<а-0,5,

\акък2У1 ■ K)\ < kiki • kk22^k=iW{!W - al}' Ц -а,0,5-а< 1.

Теорема 3.3. Многомерный аналог гипотезы Бибербаха для функций f(zi,z2) £ NDpq(a) в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области Dp q эффективные оценки коэффициентов Тейлора имеют вид:

ki4+k2P

(1 - 11 - 2al) ■ (kiq + к2р) «Р ( а,0<а<0,5

laki,k2(J ■ up,q)1 < к± п , ' Ь -а,0,5 < а < 1.

Г-г \ „ Г t N _ ITIÎIITI 11 4 '' -

-\k\ = l\

(kig)p •(k2v)4 •Tl<rk\=i\k\[l\k\-a\}

Литература.

1.Сулгыгов М.Д. О некоторых критериях и достаточных условиях для подклассов спиралеобразных функций// Colloquium-journal. №7 (18) (2018), часть.4. Poland. http://www.coUoquium-journal.org/ru/ Warszawa.- С.37-41.

2. Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildug des

Einheitskreises vermitteln // S. - B. Preuss. Akad. Wiss., З.Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного.-Москва. -Наука.- 1966. — 630 с.

4. De Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture // Acta Math. -№154. -1985. - Pp. 137-152.