Экстремальные проблемы звездных функций порядка в пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Extreme problems starlike functions of order a — b in the space C2

Sultygov M.

Экстремальные проблемы звездных функций порядка a — b в пространстве C2

Султыгов М. Д.

Султыгов Магомет Джабраилович /SultygovMagomet - кандидат физико-математических наук, профессор,

кафедра математики, Ингушский государственный университет, г. Магас

Аннотация: рассматриваются вопросы геометрической теории функций многих комплексных переменных в классе звездных функций порядка а — Ъ. Сформулирован критерий принадлежности голоморфной функции к изучаемому классу. Указаны двусторонние оценки функционалов и построены экстремальные функции, которые данные неравенства превращают в точные равенства на некоторых подмножествах. Устанавливаются точные оценки сумм, содержащих коэффициенты Тейлора в изучаемом классе голоморфных функций в области D ^ С2, и выделены специальные классы областей D £ (Т), для которых можно эффективно вычислить dk k2(f,D) ■

Abstract: deals with questions of geometric function theory of several complex variables in the class star functions of order a - b. We formulate the criterion of holomorphic functions belonging to the studied class. Specified two-sided estimates of the functionals and built extreme functions that these inequalities turn into an exact equality in some subsets. Are accurate estimates of the amounts that contains the Taylor coefficients in the studied class of holomorphic functions in a domain D ^ С2, and special classes D£ (Т), which can efficiently compute dkikk2 (f , D) ■

Ключевые слова: оператор дифференцирования и интегрирования, гиперконус, бицилиндр, логарифмически выпуклые полные двоякокруговые области Рейнхарта, двусторонние оценки функционалов, специальные подмножества, экстремальные функции, эффективность коэффициентов Тейлора.

Keywords: the operator of differentiation and integration, hyperconus, bicylinder, logarithmically convex complete docucrease region Reinhart, two-sided estimates of functionals of a special subset of extreme functions, efficiency coefficients of the Taylor.

Обозначим через M—,~j~) , а + Ъ > 1 ,Ъ<а<Ъ + 1 класс голоморфных функций, представимых рядом f(z) = 1 ^| _iakzk и удовлетворяющих условию

31J( z)

■ — a

< b

/(2)

Здесь [к = Лп-1 [Лп-2 .. -[Лп-к[[]]. . .] - суперпозиция операторов [1,с.10]: Лу[[(г)]=у[(.я) +

^^ л(°1-,т = г, япр%п-! т = Лп-1 т, л® т = л0 [л0.. . [л0щ .. . ], л от = (л0 т)1

Л 0 действует I раз

и значение функции V = V (т, Ь) выражается в виде определителя матрицы размерности 2 п х 2п . Обратным к оператору Лу [т (г ) ] является оператор

1

Л~1[(г) = I £У-1[(£г1,...,£гп)й£.

о

Теорема 1. [2, с. 20]. Функция / (г)^Ми (^—тогда и только тогда, когда / (г1,г2) =

ехР/о^ШЙ^'Т,гдес = Ь2-(а-1)2иЛ(21,22)е5г)(0) [З.с.10] МКг^ <1 вО.

Отсюда сразу следует, что данный класс функций является звездным порядка а — Ь и тогда класс функций переобозначим в удобном виде Мв —= М в(а — Ь).

В пространстве двух комплексных переменных вводятся следующие области: гиперконус ^ = { (г1,г2)ЕС2-.\г1 |+| Я2\ <1},

бицилиндр ,

К1„ =|ге Р-.^Ы)* + (а2\г2\)° < 1,аъа2 > 0,0 < а < ф

логарифмически выпуклая ограниченная полная двоякокруговая область

Д,

а также множества:

Ш {(г^) е Сг\\г^ + \г2\" < 1 ;р = —,т,п,ц £ м]

где

= (!) {а.! | г! | =а2| г2 | }пК1ГТ (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

и величины:

( ( I 21 I ,1 22 | ) = { (а! | г! | )£ + ( а2 | 22 | )*} " (7)

Ук (| 21 | , | 22 | ) = тах, е ^^ ) {^,^1} , где к = 1,2 , 3 ; (8)

а ( к) определена: в (4) - (6).

Теорема 2. Для функций / ( г^ г2 ) е Мс ( а — Ь) в Ог = г О , 0 < г < 1 справедливы оценки:

1 - (1 - а)г\Т=г /1 - (1 + а)г\Т=г -^-) < |/(г)| < I-;-) ,аФ 1

ехр(—Ьг)< |/(г) <ехрЬг, а = 1 Ь-(Ь2-а2+ а)г ЛЛг) Ь - (1 - а)г ~ /(г) Теорема 3. Если функция, /(г1,г2 ) е Мкг ( а — Ь) то в Л2,ст справедливы оценки:

Ь + (Ь2 — а2 + а)г Ы- (1 - а)г

ехр(-Ьсо(|г1|,|г2|)) < |/(г)| < ехр ЬсоС^х!, |г2|), а=1 а-а-аЖ^!,^!)^

а 1

(9)

1/(2)1 =

Я1Д2)

Ь

(10)

<

/(2)

1-(1 + аМ|г1|,|г2|)\1-°

Ь )

( ^Ь + (Ь2 — а2 + а)а>(|г1|, |г2|) : Ь + (1 — а)а»(|г1|, |г2|) Ъ — {Ъ2 — а2 + а)а»(|г1|, |г2|)

(И)

Ь-а-аМЫ^!)

В случае области Л2, 1 оценки (9) и (10) точные. Они достигаются двупараметрическим семейством функций

(ехр(а1г1е1а1 + а2г2еШ2) , а = 1

(1 - а)(а1г1ега1 + а2г2е1а^)

Ь ' '

где а 1 и а 2- любые вещественные числа. В случае области Л2, 0 < <г < 1 оценки (9) и (10) также точные на множестве (2) и достигаются они функциями

(Iехр2гт~1(а1г1е1а1 + а2г2е1а2) , а = 1

(1 - а)2гг~1(а1г1е^ + а2г2е1аА

1+-----—-,а * 1.

Ъ

Теорема 4. Если функция / (г1,г2) е М^ (а — Ь) , то в ^ справедливы оценки (9) - (11), в

(17 I 17 П

— = — } П д и

достигаются функциями

(p3(z1,z2) =

exp-

bfzj^e1"1 z2e

Д1

+ ■

Ry

1 +

1 — a (zxe

2b

Ri

■ +

z2e R,

,a = 1

,a Ф 1.

В приложениях геометрической теории функций многих комплексных переменных необходимы оценки сумм [4, с.21]:

А к , (О )=5ирЕк21=о|ак1-к2,к2|2|г1|2(к-к2)|г2|2к^

— sup ¿(с =о afc1-fc2 (C2Z11 "2

для всех (z1; z2 ) е D,содержащих коэффициента: Тейлора и точные оценки самих коэффициентов ак k2(/,D ) функций из рассматриваемых классов. Теорема 5. Для функций / ( z1,z2 ) = 1 + £ ^ | _а kz к £М0(а — Ь)

при | к | ей + справедливы оценки функционалов:

кг

Akl(f:D) = sup £ K_fc2fJ2 IzJ2^"^) |z2|2^ < L2fci

fc-i fen fen I

7 1 2Z,2'

Bki(f-.D)=sup

кг

Zkx /С2 I ✓ J

акг-к2к2г1 z2 I s Lkx

где

Lki =Lki(D) =

kl

¿гт

7 = 1

с + 0' - l)(a - 1)

b

,fei <P-1,

И

it

с + g - l)(a - 1) b

,k1>p-l,

а + Ь >1,Ь < а < Ь + 1,а + Ь < р,р е г,с = Ь2 - (а - I)2. Теорема 6. Функция / (г1,г2) принадлежит классу функций Мс( а —Ь ) , если ее коэффициенты допускают оценку

1 |fc| гГтП

с + 0'-1)(а-1)

Ь

Ifel <P-1,

yfeKp-l)!^!!

с + а - 1)(а - 1) Ь '

Ifel >р-1.

Эти коэффициента: оцениваются через характеристики областей

с1к1,к2(Г,0) = 5ир{|г1М22|Ч(г1,г2) е О <= С2} Для конкретного вида области О важно уметь вычислить сйк к2(/,О ) . С целью получения эффективных оценок коэффициентов Тейлора возникает вопрос о выделении специальных классов областей О, для которых можно эффективно вычислить сйк к2(/,О ) . Пусть О1 -та область О, граница которой дважды непрерывно дифференцируема и аналитически выпукла извне. Как доказал А.А.Темляков [5], границу этой области можно представить в следующем параметрическом виде: | V/ | = Г (т),|г |=г2(т), 0<т < 1, где г (0) = 0, г ( 1) <<», г (т) > 0, (0 < т < 1) и

г2(т)=й 2ехр [ —/0Т:|—(т) | , г2( 1) = 0. Такое параметрическое представление области О1 позволяет эффективно вычислить

Теорема 7. Для функций / ( г1,г2 ) еМ ¡,2 ( а —Ь ) имеем эффективные оценки коэффициентов Тейлора вида:

тгк 1

rtp с+0'-1)(а-1)

,\к\ >р-1.

Теорема 8. Для функций / ( z1,z2) е MKi(4,B)

K^c/^i) l<

e+(;-l)(g-l) ifri < 1

|fe|ifci-i

Up-i)!^"1^

+0.-1)(a_1)jfc|>p_L

Теорема 9. В области Dp , ч эффективные коэффициенты Тейлора принимают вид:

к1д+к2р

(.к1Ч+к2р) РЧ ,-jlfel c+lj-l)(a-l) ...

ftT fcjii^i g > |/C| s P - i,

|fc|(fcl4)P(fc2p)4

k±q+k2p

\akl,k2(f-DPM)

<

(fcl4+fc2P) pq

V|fc|(p-l)!(fcl4)P(fc2p)4 Литература

1. Баврин И. И. Операторный метод в комплексном анализе. М., 1976. 200 с.

2. Султыгов М. Д. Интегральные представления некоторых классов голоморфных функций в пространстве многих комплексных переменных // Известия ЧПГИ. № 2 (10), 2015 г. Серия 1. С.19-23.

3. Баврин И. И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы. М., 1976. С. 99.

4. Султыгов М. Д. Аналоги гипотезы Бибербаха в С2 областях Брд Е (Т) // Проблемы современной науки и образования № 1 (43), 2016. С. 20-22.

5. Темляков А. А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных // Доклады академии наук СССР, 1958. Т. 120. № 5.

Statistical analysis of stable and long-lived isotopes using deuteron cluster

Isayev R.

Статистический анализ стабильных и долгоживущих изотопов с использованием дейтронного кластера Исаев Р. Ш.

Исаев Рафаэль Шахбаз оглу /Isayev Rafael — бакалавр, кафедра общей и неорганической химии, химический факультет, Бакинский государственный университет, г. Баку, Азербайджанская Республика

Abstract: this research represents the statistical analysis of stable and long-lived isotopes of chemical elements where the atomic nucleus appears as a model of the deuteron clusters and a definite numbers of neutrons, binding these clusters in a unified structure. This clustering shows a certain periodicity in the structure of atomic nuclei and provides a possible physical explanation of radioactivity. Based on this periodicity, it is possible to show a stability island for super-heavy elements.

Аннотация: данное исследование выступает как статистический анализ стабильных и долгоживущих изотопов химических элементов, в которых атомное ядро выступает как модель из дейтронных кластеров и определенного количества нейтронов, связывающих эти кластеры в единую структуру. Такая кластеризация показывает определенную периодичность в строении атомных ядер и дает возможное физическое объяснение радиоактивности. На основе этой периодичности возможно показать остров стабильности для сверхтяжелых элементов.

Keywords: periodicity, hydrogen model, deuteron cluster, neutron.

Ключевые слова: периодичность, водородная модель, дейтронный кластер, нейтрон.

DOI: 10.20861/2304-2338-2016-52-002

1. Introduction

This study serves as a statistical analysis of stable and long-lived isotopes in which the nucleus is represented as a system of deuterium nuclei and a certain number of neutrons that bind deuterons into a single structure. In this case we call such system a conditional Hydrogen model of atomic nucleus. The specialty of this model is that the hydrogen is considered as a primary matter and atoms of other elements are formed from it by nucleosynthesis. In the Hydrogen model the atomic mass of hydrogen was taken as 2 which corresponds