CC BY
7
хк =100.(хк -Xj/Xj. к = 2; 3; 4. (7)
X %
80 60 40 20 0
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 t/.мм
Рис. 3. Влияние плотности на увеличение абсциссы осаждения частиц. Обозначения, как на рис. 2
Таким образом, при расчетах толщины слоя и площади, занимаемой на дне частицами техногенного происхождения после дноуглубительных работ в реке, необходимо учитывать их меньшую плотность.
Литература
1. Клеванный К. А., Смирнова Е. В., Шавыкин А. А. и др. Распространение взвеси и ее воздействие на биоту при дноуглублении в Кольском заливе (Баренцево море) // Защита окружающей среды в нефтегазовом комплексе, 2013. № 3. С. 18-24.
2. Волынов М. А. Развитие методов гидравлических расчетов речных потоков и элементов руслового процесса: дисс. ... д-ра техн. наук: 05.23.16 - Гидравлика и инженерная гидрология; ФГБНУ «ВНИИГиМ им. А. Н. Костикова». М., 2015. 308 с.
3. Великанов Н. Л., Наумов В. А., Великанова М. Н. Расчет распространения загрязнения в реке Товарная // Вода: химия и экология, 2011. № 8. С. 89-94.
4. Наумов В. А. Зависимость силы гидродинамического сопротивления твердых частиц от показателя их несферичности. [Электронный ресурс]: Вестник науки и образования Северо-Запада России: электронный журнал, 2015. Т. 1, № 1. С. 95-104. Режим доступа: http://vestnik-nauki.ru/wp-content/uploads/2015/10/2015-№1 -Наумов^.
О функции Базилевича нескольких комплексных переменных
Султыгов М. Д.
СултыговМагомет Джабраилович/SultygovMagomet ОаЬгайотск. - кандидат физико-математических наук,
профессор, кафедра математики, Ингушский государственный университет, г. Магас
Аннотация: целью настоящей статьи является распространение на случай нескольких комплексных переменных классов функций Базилевича одного комплексного переменного. Для многомерного случая небольшой набор аналогов функций Базилевича, но ранее в работах автора получены некоторые частные случаи. Доказательства теорем строятся на основе дифференциального уравнения Левнера-Куфарева нескольких комплексных переменных.
Ключевые слова: цепь подчинения, оператор дифференцирования и интегрирования, спиралеобразные функции.
Рассмотрим функции, голоморфные в полных ограниченных кратнокруговых областях ОсС" или в их подобластях Ог = гО (О — замыкание области О), где г Е (0,1).
Для доказательства теорем распространения на случай нескольких комплексных переменных классов функций Базилевича одного переменного полезным оказывается обобщение на случай нескольких комплексных переменных дифференциального уравнения Левнера-Куфарева [1].
д/ , , д/
= г/1(г,£)-Ч0 < £ < <х>,г е Е, дЬ дг
где Е — единичный круг и понятия цепей подчинения Х. Поммеренке [2].
Мы будем говорить, что функция / ( г) = / (г^ г2,. . ., гп) подчинена функции д(г) = д(г^ г2 ,. . ., гп) и обозначаем в дальнейшем как / ( г) -< д ( г) , если / (О г) <= д ( О г) для всех г е ( 0 , 1 ) .
Пусть / ( г, £) -однопараметрическое семейство функций таких, что /£(г) = / ( г, £) еЯ ( О ) ,/ ( 0, £) = е£, £ > 0 . Назовем {/ ( г, £) } цепью подчинения, если / (г, ^ ) -< / ( г, £2 ) при 0 < £1 < £2 < да.
1. Уравнение Левнера-Куфарева. Покажем здесь, как некоторое дифференциальное уравнение порождает цепь подчинения голоморфных функций {/ (г, £) }. При этом нам необходим дифференциальный оператор Лг [/ ( г) ] = у/ (г)+£ 1 гу [3]. Обратным к оператору Лг [/ ( г ) ]
является оператор
Имеет место следующая
Теорема 1. Пусть / ( г, £)=е£+£|к | _ 1а кг к — голоморфная в области О функция при любом фиксированном £. Здесь | к| = X 1 к;, к! = П"= 1 к ! Тогда {/ (г, £) } образует цепь подчинения, если
1°. / (г, £) как функция от £ абсолютно непрерывна, локально равномерно по г е О (в поликруговой норме).
2°. Существует семейство измеримых по £ функций к( г, £) е <2 с[4,с.10] для любых £, таких, что для почти всех
Щ/ (г,£) = к(г,£)Л 1 [/ (г, £)] (1)
Доказательство. Рассмотрим фиксированную точку г 0 еОГо.Пусть ре(г0, 1 ) .Тогда в силу
полноты области О, точка е О , если | ^ | <1, ^ е С Рассмотрим функцию F£) = ^ , £_) как
функцию от ^ и £. В силу предположений теоремы, F ( ^, £) голоморфна по ^, измерима и абсолютно непрерывна по £, локально равномерно по Кроме того, существует семейство функций Я £) =
к , , удовлетворяющих условиям й е Я ( ^, £) > 0 , Я ( 0 , £) = 1 , таких, что для почти всех £ > 0 что справедливо в силу (1) и того факта, что Л1 [/ (^г, £) ] = Щ [£/(^г, £) ] .
Таким образом, все требования теоремы Х. Поммеренке [2] выполнены, и мы можем утверждать, что образует цепь подчинения, то есть для любых имеет место
. Полагая , переходя к пределу при и пользуясь полнотой области , приходим к
утверждению теоремы.
Как известно, / (г) е Я (О <= Сп) называется функцией класса <Зг)[4,с.10], если в О <= Сп имеет разложение / (г) = 1 +Х ^| _ 1акгк и F (гк) = гк / ( (1гк,. . .,гк,. . .,(пгк) , как функция переменного гк,
однолистна в сечении области О с комплексной прямой Рг[к ]=| гк = —:(т е С\{ 0 },т= 1 , . . ,,к —
при функция однолистна в сечении
Ьт = Б Г\ {гт = 0 :т= 1,...,к-1,к + 1,...,п}.
При помощи теоремы 1 нетрудно доказывается критерий принадлежности решений уравнения (1) к классу <Зг)[4].Это достаточное условие является обобщением результата Х. Поммеренке (см. [5]).
Теорема 2. Пусть / ( г, £) е Я (О ) , непрерывно дифференцируемая по £, 0 < £ < сю,/ ( 0 , £) = е£, и удовлетворяет уравнению (1).Если
/(г,£) = а0(£)/0(г) + 0(1),/0(0) = 1, где 1 1 т£ - „а 0 ( £) = да, 0 ( 1 ) -конечная величина при фиксированном ге О и £ —■ да,/0 ( г) — непостоянная голоморфная функция в О , то, как функции / (г, £) , так и / (г, 0 ) , /0 ( г) принадлежат классу .
Доказательство теоремы заключается в сведении ее к случаю функции одного комплексного переменного и проверке выполнения всех условий соответствующей одномерной теореме Х. Поммеренке.
2. Функции Базилевича.
Голоморфную функцию / (г) е (О <= Сп) , удовлетворяющую условию
я й е^г>0 (2)
где | Я | < - будем называть Я - спиралеобразной функцией относительно нуля и обозначим класс таких функций через Этот класс является распространением на случай нескольких
переменных функций Л. Шпачека [6] и он показал, что функции этого класса однолистны. В 1967 г.
Р. Либера [7] расширил это определение на X - спиралеобразные функции порядка у, 0 < у < 1 , одного комплексного переменного. Критерий принадлежности голоморфных функций нескольких переменных / ( z) к X - спиралеобразным функциям порядка у, 0 < у < 1 , который мы обозначим через S ( 1 , X, у) , будет являться условие
_ eaJi1f(z) .
Rе-тт12 > ус оsX. (3)
/ (z) ' ( )
Как нетрудно заметить при X = у = 0 мы получаем класс звездных функций Мс [4,с. 11].
Нами ранее был исследован [8-10] многомерный аналог класса голоморфных функций SD ( 1 ,X, у, <г) Патила Д.А.[11], у е Z+, | X | < тг/2 , 0< <г < 1 , который при <г = 1 совпадает с классом функций, удовлетворяющих условию (3), то есть SD( 1Д,у,сс) =SD( 1Д,у) вместо MSD( 1,X,у,(т) = MSD( 1Д,у) .
Теорема 3 [12]. Функция / (z) голоморфная в области D пространства С 2 будет принадлежать
классу тогда и только тогда, когда имеет место равенство
euK1/(z) [1 + (2у - l)h(z)]cosÄ
—7Г\— =-л , иг л-+ lslnÄ
f(z) l + h(z)
для некоторой голоморфной в функции и для всех точек .
В работе автора [13] получены достаточные условия для класса р — листных X - спиралеобразных функций порядка у SD(p Д,у, <г) в виде эффективных оценок коэффициентов Тейлора по аналогии работ [14;15].
Функциями Базилевича нескольких комплексных переменных мы назовем функции с разложением
,голоморфные в и удовлетворяющие условию
еи/ ( z) ^/(z) R е , ч л.-» > 0, (4)
0 , где функция
( 1 ,arg tg^,0 ) . Класс таких функций обозначим
В (а + i/J, 0, X) .
Теорема 4. Функция / (z) £ В ( а + i/J,0,X) тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде
1
, ч \(а + iß) г_л ^la+i/S
/(Z) = ' (5)
где д ( z) £ SD ( 1 , arg tg ^, о) , hф £ CD.
Доказательство. Пусть / (z) £ В ( а + i/J, 0, X) , то есть удовлетворяет условию (4).Тогда
/ (z) a+" !/ (z) = е" 1Я h (z) g (z) a+"\ то есть степень у функции g (z) должна быть а + i/J — 1,
где .
Замечая, что легко получить
(a + ißmzr^OlJiz) = Jla+ißf(zr+lß,
Ка+1рГ{гу+1Р = (а + 1/3)е~аКг)д(гГ+1Р (6) Применяя теперь обратный оператор к обеим частям равенства (5), приходим к (4). Достаточность легко показывается, если провести рассуждения в обратном порядке. Имеет место следующее утверждение о включении классов. Теорема 5. В( а + (/? ,0д) <= <2С. Доказательство. Построим цепь подчинения
1
ГШ) = [£
где к (г) е Сс,£[ (г) е 5С ^ 1,агд и покажем, что она порождается уравнением (1) с
некоторой функцией к ( г, £) . Тогда из теоремы 2 сразу вытекает принадлежность функции / (г, 0) классу <2 Очевидно, что
(а + ¿^>/(2, £)«+£/?-! А = д(г)а+1<1,
а
Но
Са + ¿/?)/(г)а+^-1Зг1/(гД) = +(« + (/?-
тогда
(а + iJS)/(z)a+^-13Z1/(z,t) = t ■ z,t)a+lP + ■ Ol(~+1^h(z)g(z)a+il1 + Ha + ip-l) [t • д(гГ+113 + Х(а-+%Кг)д(гГ+1р] =
= (a + ifi) • t • gizY+^-^giz) + Кг)д(г)а+1Р.
Таким образом,
¿/(z,t) 1
/(Z'0 = KJiz, t) = h(z) + t(a + ip) ^gz) £ Cd'
так как h(z) E CD,t > 0 и g (z) E 50 ( 1 , arg tfi^.O )
Результаты работы новые и в таком формате представлены впервые.
Литература
1. Базилевич И. Е. Обобщение одной интегральной формулы для подкласса однолистных функций // Математический сборник, 1964. T. 64/103. C. 628-630.
2. Pommerenke Ch. Uber die Subordination analytischer Functionen // I. Reine und angew. Math., 1965, 218, pp. 159-173.
3. Темляков А. А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных //Доклады академии наук СССР, 1958. Т. 120. № 5. С. 976-979.
4. Баврин И. И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы для этих классов функций. М.: Изд-во. МОПИ. Москва, 1976. 99 с.
5. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // Успехи математических наук, 1975. Т. 30. № 4. С. 3-60.
6. SpacekL. Pricpevek k teorii funci prostysh: Casopis pro pest. Mat. a fys., 1932. 62, p. 12-19.
7. Libera R. J. Univalent a-spiral functions: Canada J. Math. vol. 19, 1967, pp. 449-456.
8. Султыгов М. Д. Функции Базилевича многих комплексных переменных. // III МНПК «Современные тенденции в фундаментальных и прикладных исследованиях». 30.06. 2015. Рязань. С. 9-10.
9. Султыгов М. Д. About Bazilevich functions of several complex variables. // «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» Тезисы докладов XII МНК. ВНЦ РАН РФ, ЮМИ, СОГУ имени К. Л. Хетагурова, ЮФУ, 2016. C. 106-107
10. Султыгов М. Д. Классы спиралеобразных функций двух комплексных переменных. // Сб. научных трудов ИнгГУ. Магас, 2002. № 1. С. 486-501.
11. Patil D. A. On coefficient bounds of p-valent X- spiral functions of order« : // Indian J. pure appl., Math. Vol. 10. № 7, 1979, pp. 842-853.
12. Michiwaki Y. Note on Some coefficients in a starlike functions two complex variables: // Res.Rep.Nagaoka Tech.Coll. 1. № 2, 1963. pp. 151-153.
13. Султыгов М. Д. Об эффективности оценок коэффициентов Тейлора для классов звездно-выпуклых и звездно-спиралеобразных функций в пространстве С2 // Известия Чеченского государственного педагогического института. № 2 (10), 2015. С.15-18.
14. Султыгов М. Д. Аналоги гипотезы Бибербаха в С2 областях E (Г) // Проблемы современной науки и образования. № 1 (43), 2016. С. 20-22.
15. Султыгов М. Д. Экстремальные вопросы звездных функций порядка a — b в пространстве С 2 // Проблемы современной науки и образования. № 10 (52), 2016. С. 7-10.
