Знакоопределенность и теорема Финслера Текст научной статьи по специальности «Математика»

иркутский государственный университет путей сообщения

уже существующие комплексы системами 2. экспертной поддержки для решения рассмотренного класса задач оптимального управления, что существенно повышает эффектив- 3. ность работы пользователей, не имеющих достаточной квалификации в рассматриваемой проблемной области. Еще одним преимуществом предложенного подхода является воз- 4. можность независимой модернизации управляющей и исполнительной компонент комплекса.

Работа частично поддержана грантами 5. РФФИ 06-07-89215, 07-07-00265, 08-07-00172 и РГНФ 07-02-12112.

6.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Федоренко, Р.П. Приближенное решение 7. задач оптимального управления.- М.: Наука, 1978.- 488 с.

Евтушенко, Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации.- М.: Наука, 1982.- 432 с. Тятюшкин, А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем.- Новосибирск: Наука, 1992.- 193 с.

Горнов, А.Ю., Диваков, А.О. Программный комплекс OPTCON для решения задач оптимального управления. Руководство пользователя.- Иркутск, 1990.- 36 с. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью.- М: Наука, 1985.

Холодниок, М., Клич, А., Кубичек, М., Марек, М. Методы анализа нелинейных динамических моделей.- М.:Мир, 1991.- 368 с. Частиков, А.П., Гаврилова, Т.А., Белов, Д.Л. Разработка экспертных систем. Среда CLIPS. BHV.-СПб, 2003.- 608 с.

Новиков M.A.

УДК 531.36

ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТЬ И ТЕОРЕМА ФИНСЛЕРА

Введение.

Необходимость применения форм выше второго порядка возникает в теории устойчивости движения [1] при использовании второго метода Ляпунова, и в качественной теории дифференциальных уравнений [2]. По вопросу о знакоопределенности форм V(х) выше квадратичных имеется ряд публикаций, например [3-8]. Обратим внимание на следующие работы: предложенный в [4] подход доставляет только достаточные условия знакоопределенности однородных и неоднородных форм любого числа переменных, исследования в [3, 8] проведены прямым анализом корней уравнения V(z,l) для формы четвертого порядка двух переменных V(х 1, х2 ), при этом они дают необходимые и достаточные условия знакоопределенности. Очевидны трудности, препятствующие их распространению на большее число переменных. Применение Ган-келевых форм [5-7] позволяет получать необходимые и достаточные условия знакоопределенности форм двух переменных, и легко допускает повышение порядка форм. В его осно-

ве лежит теорема Якоби [9], опирающаяся на теорему Штурма [10, 11] определения числа вещественных корней уравнения V(z,l) = 0 на заданном отрезке (-да, + да). Указанные методы получения необходимых и достаточных условий знакоопределенности однородных форм не допускают прямого распространения на формы большего числа переменных.

В связи с этим в статье изложен новый подход к вопросу о знакоопределенности однородных форм четвертого порядка двух переменных

Ф(х, у) = х4 + рх2у2 + цху3 + гу4, (1)

где х, у е N ; р, д, г — вещественные (г > 0). § 1. Редукция формы четвертого порядка к квадратичной форме.

Метод исследования знакоопределенности (1) состоит в сведении к квадратичным формам [9]. Для формы (1) составим степенную замену переменных:

= х= ^ = у2. П.1)

п 0 0 ^

Л, = 0 р д/ 2 ,Л2 =

V0 д/ 2 г ;

д/ 2 г

( 0 0 -1"

, Л3 = 0 2 0

0 0,

При подстановке (1.1) форма (1) может иметь два вида представления квадратичными формами:

1) Ф1 (г) = г1 + азг г2 + агг22 + аг2г3 + а0г32;

2) Ф 2 (г) = г2 + аз21 г2 + а221 г3 + аг2г3 + а0г32. При этом имеет место зависимость в виде квадратичной формы:

Ф3 (г) = 2г22 -2г1 г3 = 0. (1.2)

Соответствующие матрицы квадратичных форм будут такими: ' 1 0

0 Р р2 д/2

При первом или втором соответствии мономов областью определения квадратичных форм Ф1 (г), Ф 2 (г), Ф 3 (г) можно выбрать множество: I О: г1, г3 > 0; г2 £ Я }. Следовательно, получаемые по критерию Сильвестра условия знакоопределенности формы Ф1 (г) в г £ Я3,

будут так же необходимыми и достаточными условиями знакоопределенности Ф1 (г) в области г £ О. Формы Ф { (г) связаны соотношением: Ф1 (г)=Ф2(г) + Ф3(г)/ = Ф2(г). Поэтому

достаточно провести анализ только формы

Ф1 ( г ).

Таким образом, доказано Утверждение 1. Задаче о знакоопределенности однородной формы (1) можно однозначно сопоставить задачу об условной знакоопределенности квадратичной формы Ф1 (г) при условии обращения в нуль другой квадратичной формы Ф 3 ( г) = 0.

Непосредственно из теоремы Финслера [12] следует, что для положительной определенности квадратичной формы Ф1 (г) при условии Ф 3 (г)= 0 необходимо и достаточно при некотором вещественном значении X положительной определенности связки форм: К( г,Х) = Ф1( г)-ХФ 3( г) = г 2 + +2 Xг1 г 3 +(р-2 X)г 2 + дг 2 г 3 + гг.

Ф(х, у) эквивалентна задаче о положительной определенности связки квадратичных форм К(г, X).

В соответствии с теоремой Финслера [12] проведем исследование знакоопределенности связки форм (1.3), для этого выпишем главные миноры параметрической матрицы В(Х): J1 =1, J2 (X) = р - 2Х, J3 (X) = 2Х3 - рХ2 - 2гХ + рг - д%.

Используя критерий Сильвестра [9], задачу о положительной определенности связки квадратичных форм (1.3) можно сформулировать следующим образом: существуют ли вещественные значения параметра X, при которых совместна система неравенств:

J2 0, J3 0. (1.4)

Принимая во внимание условия знакопос-тоянства и знакопеременности связки форм (1.3), использование критерия Сильвестра можно детализировать:

1. если Ф(х, у)>>0, то существует об-

ласть В0 =1 X: X< Р/2 ^ вещественных значении

(1.3)

параметра X, где всюду J2 (X)> 0 и, кроме того, существует область Б00 с Б0 (000 ф 0), в которой J 3 (X)> 0;

2. если Ф(х, у) знакопостоянна, то существует область В1 = X< Р/2 в которой J3(X)< 0, и существует область Б10 с Б1

(Ю10 ф 0), в которой J3 (X) = 0;

3. если Ф(х, у) знакопеременна, то в области В1 всюду выполняется J 2 (X)> 0, J3 (X)< 0, а в области Ю2 = J3 ^)>0 | всюду

J2 ^)< 0.

При доказательстве и попытке сделать теорему Финслера конструктивной П.А. Кузьмин [12] указал ряд свойств корней характеристического уравнения связки

К (иД) = V (и )^У2 (и):

д2 К (иД)

f (X) = ёй

ди. ди

= 0 (/, } = 1,2.....л). (1.5)

Следовательно, форме Ф(х, у) сопоставляется однопараметрическое семейство квадратичных форм (1.3) с матрицей

(1 0 X '

0 (р - д/2 ^ д/2 г у

Таким образом, доказано следующее.

Утверждение 1'. Задача о положительной определенности квадратичной формы

Б^) = Л1 ^Л 3 =

В случае знакоопределенных связок квадратичных форм такими свойствами являются:

а) вещественность всех корней X уравнения (1.5);

б) одновременная приводимость линейным неособым конгруэнтным преобразованием к диагональным матриц квадратичных форм V (и) и У2 (и);

в) корни уравнения (1.5) "разделены". "Разделенность корней" означает следующее:

иркутский государственный университет путей сообщения

1. При необходимости изменяя нумерацию, формы V1 (и) и V2 (и) линейным неособым конгруэнтным преобразованием u=7и приводятся к

— к п

(">»2,

]=к + 1 п

v (»)=!» 2 -i

]=1 ¡=к+1

2. Для всех (г =1,2,..., к, ] = к +1,..., п)

3) если р/2<Х 1 или 12 = 0, 13 = 0, то К(z, X)

— знакопеременна. Установим свойства корней уравнения (1.6), участвующие в анализе знакоопределенности связки форм (1.3).

§ 2. Свойства корней характеристического уравнения.

Исследование корней уравнения (1.6) опирается на теорему Виета [9-11], согласно которой:

выполняется

х(+) < Х(-)

при отрицательно опре-

деленной связке (1.3), либо Х(+) >Х( ^ при положительно определенной связке форм (1.3). Характеристическое уравнение (1.5) имеет выражение / 3 которое можно привести к виду: /(Х)= 8Х3 -4рХ2 -8гХ + 4рг -д2 = 0. (1.6)

Исходя только из первого свойства составим некоторые важные результаты.

Теорема 1. Для знакоопределенности связки форм (1.3) необходимо и достаточно, чтобы наименьший из вещественных корней уравнения (1.6) был не кратным и принимал значения, меньшие чем р/2.

Доказательство. Необходимость.

Пусть связка форм знакоопределена. Первое свойство П.А. Кузьмина сразу требует существования трех действительных корней уравнения (1.6), расположенных в порядке возрастания: X1 <Х 2 <Х 3. Искомые решения X, удовлетворяющие 12 (Х) > 0, могут находиться только в интервале 12 =(Х 1; Х 2 ). Условие существования интервала 12 выражается неравенством Х1 <Х 2. Таким образом, теорема доказана. Отсюда следует.

Замечание 1. Если наименьший действительный корень Х1 > р/2, то связка форм (1.3) знакопеременна.

При наименьшем кратном корне уравнения (1.6) справедлива.

Теорема 2. Для того, чтобы связка форм (1.3) была знакопостоянной, необходимо и достаточно, чтобы наименьший из вещественных корней уравнения (1.6) был кратным и не превосходил значения р/2.

В терминах корней характеристического уравнения сразу можно сделать определенные выводы для связки форм (1.3):

1) если ^^ 6 [Х2, Х3 ], Х1 <Х2, то К(z, Х)>> 0;

2) если р/ 6 [Х Х 3 ], Х1 =Х 2, то К(z, Х)>0;

X, + Хо = Р ,

1 2 3 2

Х1Х 2 +Х1Х 3 +Х 2Х 3 = - Г,

1 2 1

Х,Х2Х3 = — д -—рг.

1 2 3 8 2

(2.1)

Для дальнейшего анализа введем вспомогательные функции корней:

7 =(Х 1 +Х2 )(Х 1 +Х3)(Х2 +Х3), =(Х 1 +Х 2 )(Х 1 +Х 3 ), ^2 =(^1 +Х2 ) (Х2 +Х 3 ), Я3 =(Х 1 +Х 3 ) (Х 2 +Х 3 ), Я = + Я2 + *3, Р = Я1Я2 Я3. Будем полагать г > 0. Утверждение 2. Функция 7 не может быть положительной на корнях уравнения (1.6) и обращается в нуль только при д = 0.

Доказательство. С помощью двух первых равенств (2.1) в выражении 7 исключим переменные Х 2, Х 3:

7 = |

=(Х2 -г)12-Х11=—(х2 -рХ2 -гХ 1 + 2рг).

На корнях уравнения (1.6) тогда получится 7 = - д /8, что и доказывает утверждение.

Справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Вещественные корни уравнения (1.6) при г > 0 не могут принимать значения одного знака.

Утверждение 3. Функция Р всегда неотрицательна на корнях уравнения (1.6) и обращается в нуль только при д = 0.

Доказательство. Легко проверить Р=(Х 1+Х 2)2 (X1+Х 3)2 (X1+Х 3)2 = 7 =д 44 Отсюда следует функция Р >0 и обращается в нуль в случае при д = 0. Раскрывая выражение Я и применяя второе уравнение (2.1), легко показать Я =Х2 +Х22 +Х23 -3г. После подстановки

32 1X2 =(Х 1 +Х2 +Х3) -2£ХгX]

г =1 г <]

получится Я = рг/А - г. Представим с учетом формул Виета (2.1):

Я1 =Х2 +Х1 (X 2 +Х 3 )+Х 2 X 3 = Х2 - г, аналогично Я2 = Х22 - г, Я3 = Х23 - г.

г =1

Следовательно, вспомогательные функции корней Р-Т2, Т--1 а2, Я -1 р2 - г явля-

8 4

ются выражениями коэффициентов исходной формы (1), и не зависят от корней уравнения (1.6). Решение вопроса о знакоопределенности опирается на следующую лемму.

Лемма 2. Для положительной определенности связки (1.3) при а Ф 0 необходимо, чтобы хотя бы одно из вещественных значений Я1, Я2, Я3 было отрицательным.

§ 3. Условия знакоопределенности.

Задача о знакоопределенности связки форм в терминах корней характеристического уравнения решается теоремой 1. Полагая выполненными 3 свойства П.А. Кузьмина [12] для знакоопределенных связок форм, получим здесь необходимые и достаточные условия положительной определенности связки форм (1.3). Всюду далее будем требовать вещественность корней уравнения (1.6), что выражается [9-11] неположительностью дискриминанта кубического уравнения. Последнее приводит к неравенству: 0(р,а,г)= г(р2 - 4г)2 + а2^9рг -4р3 27а4 >о. (3.1)

Предположим далее выполненным свойство П.А. Кузьмина [12] об одновременном приведении к диагональным матриц Л1 и Л3. Для этого [9] составим матрицу диагонализи-рующего неособого преобразования:

где 5, =1 2Х , +

(

Т =

-X je, -qex

-X 2 e 2 -qe2

-x 3e3

-qe 3

2( p - 2X1) 2( p - 2X 2) 2( p - 2X 3 )

где е1, е2, е3 — вещественные величины, отличные от нуля, которые можно выбирать и, при необходимости, нормировать; X1, X 2, X3 — вещественные различные между собой собственные значения матрицы в(х)-(л -ХЛ3) (кратные собственные значения будут рассмотрены отдельно). Пусть в результате приведения к диагональным получены матрицы:

fX 151 0 0 \

А1 = T' А1Т = 0 Х 2 5 2 0

V 0 0 Х 35 3 у

ff 51 0 0 >

А 3 = Т' А 3Т = 0 52 0 ,

10 0 5 3

e2. Упорядочим кор-

(2 (p - 2 x,) 2)

ни:X1 <X2 <X3 и нормируемet так, что| 5, | =1. В результате диагональные элементы матрицы Аз приведутся к 5, = ф(х%(Х, )Г гДе

ф(Х, ) =16X3 -16pX2 + 4p2X, + q2.

Линейное преобразование инвариантно сохраняет знак определителя матриц, поэтому полагаем:

J =515 2 5 3 =-1< 0. _ (3.2)

Для знакопеременной матрицы А3 тогда

возможны следующие комбинации значений 5,: 1) 51 =-1,5 2 =5 3 = + 1; 2)51 =5 2 =+1,5 3 =-1, 3) 51 =53= + 1, 52 =-1.

Для каждой комбинации значений 5, выполняется свойство, согласно которому выражения ф(Х,) удовлетворяют соотношению: p(X 1 )p(X 2 )p(X 3 ) = -1. Этому соответствует результант двух полиномов [10] f(X) = 0 и Ф(Х) = 0:

Res( f ,p) = -213 q2 Q( p,q, г ).

Исходя из соотношения J < 0, получим Res( f ,p)< 0.

В случае невырожденного результанта при Q(p,q, г)> 0, g Ф 0 согласно критерия Кузьмина [12] о "разделенности собственных значений" X(+) (относящихся к 5, > 0)иХ(Т) (относящихся к 5 j < 0) для знакоопределенных связок форм K(z,a) = z'(А1 -аА3)z необходимо выполнение одного из условий:

1. mini.{1,2,3}(x(+) )>maxм1,2,3}(х(:)) (при K( х,а)>> 0);

2 maxte{i,2,3}(x(+))>min^{1,2,3}(х(;})

(при K(х,а)< 0.

Отдельно проведен анализ условий знакоопределенности связки форм (1.3) при условии J 3 (Х)> 0 и разных видов решений уравнения: ф(ц)=16ц3 -16p^2 + 4p2q2 = 0. (3.3)

В соответствии с общей теорией [9-11] уравнение (3.3) допускает одно или три вещественных решения, и в любом случае анализ как невырожденного, так и вырожденного результанта Res(f,p) при q = 0, Q(p,q,г)>0 сводится к условию:

p > -2 Vr. (3.4)

При этом матрицы А1, А3 приводятся к диагональным:

иркутский государственный университет путей сообщения

— 7 1 1 71 —

а 3 = 7 '1 а 3 71 =

^г 0 0

Г-1 0 0

0 0 1 0

0 0

4Т 0 0 1

где р — 7.5-4а; д — -(6а + Ь); г — 2а. Привлекая теорему 4, составим условия положительной определенности V:

Для значений Х(1+) — р/2; Х(2+) — л/г; Х(3) —-4Т

согласование свойства П.А. Кузьмина [12] "разделенности корней" характеристического уравнения для знакоопределенных связок форм будет выполнено при шт[р2;л/г]>-л/г,

что сводится к (3.4)

Вырождение результанта при 0(р,д,г) — 0 прежде всего соответствует кратным корням характеристического уравнения (1.6). Условие "разделенности корней" при этом получает

(Ь + 6а)2 < ^72ра -р3 +^(р2 + 24а) )

Выражая а —158 - р4, искомая область значений параметра Ь определяется интервалом: , ч 45 3р >/б!(р)

у 1( р) —'-Т + 2 < Ь <

< -

45 3р >/б!(р)

42

= ¥ 2 (р) ,

знакоопределенные Ф( X, у ) —(х+4~гу)

формы

вида

>> 0.

Практическое использование условий знакоопределенности форм (1) выражает

Теорема 4. Необходимыми и достаточными условиями положительной определенности (1) является система неравенств: 1. р >-2^

о 2 8 2 3 2

2. д < — рг - рг-—р +—

(р2 +12г)3

3 27 27

§ 4. Пример

В качестве примера рассмотрим уравнения движения:

хс 1 .х 1 7.5 XX 1 2 2 ,

^ Xе 2 — 4 .Х^ -X 2 6 -X1 -X 2 2 .X 2

(4.1)

Ставится задача определения вторым методом Ляпунова наибольшей области значений параметра Ь, чтобы тривиальное решение (4.1) было асимптотически устойчиво. При этом нужно оценить: насколько близки к границе устойчивости найденные значения параметра Ь. С этой целью составим квадратичную функцию Ляпунова:

V — -1 (X 2 21

где параметр а > 0 будем подбирать для нахождения наибольшей области параметрической задачи. Производная V в силу дифференциальных уравнений движения (4.1) примет вид:

V — х14 + pх12 X 2 + дх 1X 2 + 2ах 4,

22 ' +ах.,

)

(4.2)

где Ь(р)—^135р-18р2 - р2 + Др2 -6р + 45) .

Областью определения для функции у 1 (р) является интервал (-да; 7.5). Исследование монотонности у 1 (р) показало, что в рассматриваемой области не существует наименьших значений, при этом наибольшее значение у 1 (р) — 0 достигается на границе области при р — 7.5. Чтобы получить наибольшую область значений исследуемого параметра Ь в области р 6 (-да; 7.5) прежде всего необходимо

значение верхней границы интервала изменения параметра в данной задаче, что определяется максимумом функции у 2 (р). Для нахождения экстремумов у 2 (р) последовательными преобразованиями сведем иррациональное уравнение у' 2 (р) — 0 к рациональному шестой степени:

ф( р ) —( р + 5)2 ( р - 3)2 (136р2 +102р - 6309) — 0.

Проведенные преобразования и корни получены с применением системы аналитических преобразований на ПЭВМ. Решениями последнего уравнения являются: р1 —-71963144541146865; р 2 —-5; р 3 — 3; р4 — 6.4463144541146865.

Исследование найденных решений и их окрестностей устанавливает:

• точка р1 соответствует локальному минимуму у 2 ( р1) — -19.002958165645257;

• точка р2 соответствует локальному минимуму Ь( р), равному Ь( р 2) — 0;

• точка р3 соответствует локальному максимуму Ь( р), равному Ь( р 3)— 12л/3;

• точка р4 соответствует локальному

у2(р4) — 2127958165645255. Так как у1 (р) не позволяет сразу найти нижнюю границу интервала Ь, то вычислим наибольшую длину интервала изменения па-

9

раметра, равную 2л/б Lmay9. Другой характеристикой нижней границы может быть область допустимых значений (ОДЗ) функции у 2 (р), чтобы нижняя грань интервала b не превосходила наименьшего значения у 2 (р), включаемого в ОДЗ. Так как допустимы обе введенные величины, то для получения наибольшей области значений параметра b выбирается меньшее из них. Введем в рассмотрение две величины: b1 = у 2 ( р4)- 2л/6 Lmay93 и b2 = у 2 ( р1 ), характеризующие нижнюю границу области параметра b обоих подходов. Проведенные вычисления дают следующие значения: b1 =-91857503333395056; b2 =-19.002958165645257.

Выбирая меньшее из них получим нижней границей значение b2. Окончательно, в данной задаче область значений параметра b, при которых система уравнений (4.1) асимптотически устойчива, определяется интервалом: (-19.002958165645257; 2127958165645255).

Конечно, использование функции Ляпунова выше четвертого порядка может давать и более точную оценку границ интервала. Но это приводит к трудности параметрического анализа, к тому же метод полиномиальных функций Ляпунова может не получить точную границу исследуемого параметра [6, 7].

Для исследования нелинейных систем двух переменных получил развитие способ Каменкова, опирающийся на теоремы Г.В. Каменкова [13-15] об асимптотической устойчивости и неустойчивости. Он хорошо применяется для получения границ устойчивости. Далее проведем оценку параметра b с помощью теоремы Каменкова [13-15] о неустойчивости. С этой целью для системы: x 1 = X1 (x); x2 = X2 (x) составим вспомогательные функции F( x )= x 1X2 - x 2 X1 и R( x)= x 1X1 + x 2 X2. При обозначении t = ^ они сводятся к: F (x (t)) = 10t3 +12t2 +11t - 2b;

R(x(t)) = -2t4 -7 t2 + 2(b + 6)t -4.

Согласно теореме Каменкова о неустой-чивости[14] (стр.80), [15] (стр. 104), если на каком-либо вещественном решении F(x), кроме тривиального x 1 = x2 = 0, выполнится R(x)> 0, то тривиальное решение x 1 = x2 = 0неустойчи-во. Поэтому необходимо определить границу области параметра b, где R(x) = 0 при F(x) = 0. Для этого составим результант полиномов F ( x ) и R( x ), равный: Res (F, R)= 128( 4b2 + 48b + 145)(16b2 + 270b -647),

который в области устойчивости должен быть отрицательным. Вещественными решениями уравнения Res ( F, R) = 0 являются только два:

. -135-4Wi7

bu =-

ь 21 =

16

-135 + 41л/17 16

= -19.002958165645254;

=2127958165645253.

Таким образом, по теореме Каменкова [13-15] в области b е (-да; Ь11 ) u(Ь21; + да) система (4.1) неустойчива, ав области(b11; b21)поте-ореме Каменкова об асимптотической устойчивости [14] (стр. 83) — система (4.1) асимптотически устойчива.

Следует отметить очень редкий случай: с точностью 10 15 совпадают границы области устойчивости, получаемые двумя разными способами: теоремой Ляпунова [1, 13] обасим-птотической устойчивости с квадратичной функцией Ляпунова, и теоремой Каменкова о неустойчивости [13-15].

Как видно из проведенных расчетов, в данной параметрической задаче оказались равными нижняя и верхняя границы области значений параметра, вычисляемые как теоремой Ляпунова об асимптотической устойчивости, так и теоремами Каменкова. Учитывая то обстоятельство, что подход Каменкова для двух нулевых корней двух переменных дает необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости, заключаем о полном решении данной задачи.

Следовательно, получаемые вторым методом Ляпунова условия асимптотической устойчивости системы (4.1) находятся на границе устойчивости. Кроме того, в рассматриваемой задаче эти условия решаются знакооп-ределенными функциями Ляпунова не выше четвертого порядка.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Ляпунов, А.М. Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений. Т. 2. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. - 263 с.

2. Немыцкий, В.В., Степанов, В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. -М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 420 с.

3. Садовский, А.П. О проблеме центра и фокуса. - М.: ДУ, 1968. - Т. 4. - № 5. -С. 943-945.

4. Аминов, А.Б., Сиразетдинов, Т.К. Условия знакоопределенности четных форм и

иркутский государственный университет путей сообщения

устойчивости в целом нелинейных однородных систем. - М.: ПММ, 1984. - Т. 48, вып. 3. - С. 339-347.

5. Чернятин, В.А. О знакоопределенности произвольных форм четного порядка. — Минск: ДАН БССР, 1966. - Т. 10, № 11, С. 821-823.

6. Утешев, А.Ю. Использование однородных форм в качестве функций Ляпунова. - Л.: ЛГУ, ВИНИТИ, № 2942-В87, серия: математика, механика, астрономия, 1987. - 13 с.

7. Утешев, А.Ю., Шуляк, С.Г. Критерий асимптотической устойчивости системы двух дифференциальных уравнений с однородными правыми частями. - Минск: Наука и техника, ДУ, 1987. - № 6, С. 1009-1014.

8. Иртегов, В.Д., Новиков, М.А. Знакоопределенность форм четвертого порядка от двух переменных //В кн. Метод Ляпунова и его приложения. - Новосибирск: Наука, 1984. - С. 87-93

9. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 576 с.

10. Ван дер Варден. Современная алгебра. -М. - Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1937. - Т. 2, 210 с.

11. Березин, И.С., Жидков, Н.П. Методы вычислений. - М.: ГИФМЛ, 1960. - Т. 2. -620 с.

12. Кузьмин, П.А. Малые колебания и устойчивость движения. - М.: Наука, 1973. -206 с.

13. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966. - 530 с.

14. Каменков, Г.В. Устойчивость движения, колебания, аэродинамика. - М.: Наука, 1971. - Т. 1. - 255 с.

15. Каменков, Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. - М.: Наука, 1972. -Т. 2. - 213 с.

Орлова Т.Т.

УДК 519.82

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ОРГАНИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВА

Научная организация труда связана с задачами оптимального использования ресурсов на большом предприятии. Здесь под термином «ресурсы» понимаются персонал, оборудование, материалы и т.п. Управление производственной системой состоит в разработке процедур анализа, планирования, координации, составления календарных графиков, а также ресурсного обеспечения этой системы. Чтобы добиться эффективной работы производственной системы, необходим анализ соответствующих данных, позволяющий определить, какие ресурсы нужны, и как их использовать наилучшим образом. Эта область деятельности включает управление запасами, затратами, производством и качеством, нормирование труда. Нормирование труда имеет целью определить оптимальное время выполнения конкретной задачи.

Информациональные способы развития (по Кастельсу) подразумевают технологические схемы, через которые труд воздействует на материал, чтобы создать продукт,

необходимый для расширенного воспроизводства. Способы развития определяются производственными функциями (отношением между трудом и материалом как функции использования средств производства путем применения энергии и знаний и характеризуется техническими отношениями в производстве).

Экономико-математическая модель рассматривается как математическая конструкция, отражающая объект моделирования и предназначенная для получения новой о нем информации. Многомерные линейные оптимизационные модели - одно из эффективных средств исследования производственных и социально-экономических процессов.

К ним относится задача о назначении. Задача о назначениях - частный случай транспортной задачи со специфичными ограничениями и значениями переменных [1]. Можно привести много случаев, когда реальная, возникающая на практике, ситуация приводит к решению задачи о назначениях. Так задача о назначениях имеет место при назначении лю-