О преобразовании П. А. Кузьмина в динамике твердого тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 531.36 Новиков Михаил Алексеевич,

к. ф.-м. н., с. н. с., учреждение Российской Академии наук Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952) 45-30-96, e-mail: [email protected]

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ П.А. КУЗЬМИНА В ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

M.A. Novikov

ON THE P.A. KUZMIN TRANSFORMATION IN THE DYNAMICS OF A RIGID BODY

Аннотация. Рассматривается применение преобразований П.А. Кузьмина в задачах динамики твёрдого тела. В задаче Бруна при анализе знакоопределенности пучка двух квадратичных форм получены достаточные условия устойчивости перманентного вращения. Установлено их совпадение с необходимыми. Показано аналогичное применение преобразований Кузьмина к случаю Лагранжа.

Ключевые слова: связка квадратичных форм, знакоопределенность, знакопеременность, знакопостоянство.

Abstract: The paper considers an application of the P.A. Kuzmin transformations in the dynamics of a rigid body. In the Brun problem the sufficient conditions of the stability of the permanent rotation have been obtained as the conditions of signdefiniteness of the bundle of two quadratic forms. It was shown that these conditions coincide with the necessary conditions. It was also shown that such transformations can be used in the Lagrange case.

Keywords: the pencil of quadratic forms, sign-definiteness, sign-variability, sign-constancy.

Введение

Исследование устойчивости движения механических систем вторым методом Ляпунова опирается на знакоопределенные функции Ляпунова и их производные [1, 2, 3, 4, 5, 6]. Простейшим способом построения функций Ляпунова может быть связка интегралов возмущенного движения [2, 3, 4]. Для твердого тела с неподвижной точкой [7, 8, 9, 10, 11] известны три случая существования общих первых интегралов: Эйлера, Лагранжа, Ковалевской. В каждом случае имеются четыре первых интеграла движения, что достаточно для интегрирования [7, 8, 9, 10, 11]. Стационарные движения находятся из экстремума связки первых интегралов [12].

В [6] П.А. Кузьмин предложил исследовать устойчивость стационарных движений по следующей схеме:

1. Составить интегралы уравнений возмущенного движения.

2. Из интеграла Пуассона выразить одну переменную через две другие в виде ряда.

3. Исключить выраженную переменную из остальных трех интегралов возмущенного движения.

4. С помощью одного из последних выражений уничтожить линейные слагаемые в последних двух выражениях.

При таком преобразовании в последних двух выражениях (уже не «интегралов» ввиду подстановки ряда) начальными разложениями являются квадратичные формы в общем случае от пяти переменных.

Преобразование Кузьмина задачу исследования устойчивости стационарного движения сводит к проверке знакоопределенности связки двух форм. Исследование знакоопределенности связки форм начинается с проверки знакоопределенности квадратичных форм. Существует дополнительная возможность знакоопределенности полной связки при знакопостоянной квадратичной части [3], где знакоопределенность решается членами выше второго порядка.

1. Основные утверждения

В [13] проведено исследование знакоопределенности пучка двух квадратичных форм. Приведем необходимые теоремы, нужные для дальнейшего анализа.

Теорема 1 (Финслера). Для того, чтобы из заданных вещественных квадратичных форм Ух х = х'Ах и У2 х = х'Вх можно было составить знакоопределенную связку У2 х -и \\ х , необходимо и достаточно, чтобы форма У2 х была знакоопределенной на множестве Ух х = 0.

Теорема 2. Необходимые и достаточные условия диагонализации двух вещественных симметрических матриц являются необходимыми условиями знакоопределенности построенной на этих матрицах связки квадратичных форм.

Теорема 3 (П.А. Кузьмина о знакоопределенности связки двух квадратичных форм). Для знакоопределенности связки квадратичных форм К а, у двух вещественных знакопеременных

квадратичных диагональных форм у' А у и у' В у достаточно выполнения одного из условий:

V Атт > ^тах (длЯ К 0>У » () ПРи СООтввт-ствующем Л~т < а < Л*гп);

2) Атах (для к «() при соответ-

ствующем Л^ <а<Лтт.

Замечание 1. При знакоопреде ленной форме Уг у связка квадратичных форм К а, у знакоопределена в двух случаях выбора значений

Коротко изложим схему исследования знакоопределенности неоднородных функций

^ т + ^ Х\ ■> Х2 ■> ■ •' ■> Хп+1

->п+1

Ь>М\

и=£

= 5,1** / = 1,2,...,/

*Р = Л

привести к несократимой д/г , и тогда имеет место [17, 18].

Теорема 4. Если:

1° а) д- 2а +1 (а - целое) или б) д - 2а и

М; Ь; I - знакопеременная форма при е Я, то Ж х - знакопере-

г р

(1.1)

хеГ', п,1,т> 1, здесь Ж2т х1,х2,...,хп »О по своим переменным и является формой низшего порядка 2т , Ж* х -полином выше 2т порядка. Вещественные решения Ж х = 0 в окрестности начала координат

можно искать в виде параметрических ветвей [14, 15, 16]

(1.2)

Pj-0> \Р\ = Р1+Р2+--- + Р1> где д. = -1 при xn+j <0 и с)', = +1 в остальных

случаях. Целочисленные М и Ь подбираются в процессе построения [15, 16] ветвей решений Ж х = 0 и могут уточняться. При подстановке (1.2) в (1.1) получается ряд

Ж х г =ЖХ I =А<2 ЬКр);М;Цг +... , где многоточием обозначены члены выше Q порядка, а AQ (р); М; Ь; I - форма наименьшего порядка Q по параметру t. Дробь М можно

^ Ъ,Р

вещественных Ъ менна;

2° д = 2а и Ад Ъ \M\L\t »0 при вещественных Ъ бй, то Ж х » 0;

г р ' '

3° д = 2а и Ад >0 при веще-

ственных Ъ е Я, то Ж х может быть знако-

1 р '

определенной или знакопеременной, что определяется членами выше Q порядка.

В конкретных вычислительных задачах при выборе начальных значений часто полезна [18].

Теорема 5. При анализе знакоопределенности (1.1) для т = \ в разложении (1.2) сразу можно полагать М = 1, 3- = 1.

2. Необходимые условия устойчивости

в задаче Бруна

Рассматривается движение тяжелого твердого тела с неравными моментами инерции в центральном поле сил ньтонового тяготения в тиссе-рановском разложении. Движение описывается уравнениями Эйлера - Пуассона [6, 19]:

Ар= В-С дг - ¡и у2уъ , ^ = гу2 - qyъ,

< Вс[= С - А гр - /и уъуг , у2 = Р7ъ ~ ГУ\ > (2-1) Сг - А-В рц-ц уху2 , 73 = ад - ру2.

Используются следующие обозначения: А, В , С - главные моменты инерции твердого тела, притом А< В <С , 7, . у2 , у3 - переменные Пуассона, /и - некоторая постоянная. Известно [2], что стационарными движениями системы (2.1) являются перманентные вращения вокруг координатных осей. В центральном поле сил проведено исследование устойчивости каждого перманентного вращения [6]:

- вращение вокруг наибольшей оси всегда устойчиво,

- вращение вокруг средней оси всегда неустойчиво,

- вращение вокруг наименьшей оси может быть устойчиво при определенных ограничениях на угловую скорость, что является следствием теоремы Тэта - Томсона о гироскопической стабилизации [4].

х

иркутским государственный университет путей сообщения

Рассмотрим перманентное вращение вокруг вертикальной наименьшей оси:

Используя основные свойства моментов инерции для твердого тела (исключая плоский

p = q = y1 = y2=0; r = co = const; уъ = 1. (2.2) диск, пластину): А + В>С, А+С>В, В + С> А.

можно установить J A C — B

В статье [17] исследована устойчивость предельного случая с2а2=му.4 С-В + yj.В С-А J ■

Так же, как и в [6], в [17] один из первых интегралов предполагался равным нулю.

Условия устойчивости возмущенного движения (2.2) получим из характеристического уравнения линеаризованной части дифференциальных уравнений возмущенного движения: X Л - det

-Л со В-С /А 0 0 -ц В-С /А 0

о) С-А /В -Л 0 -// С-А /В 0 0

0 -10-Я а 0

1 0 0 -а -А 0 0 0 0 0 0 0

Вычисления дают

Jb C-A < C .

о.

f, Я =- АВЛ4 +Л2[а2 2ЛВ + C2 — АС +

1 AB L

(2.3)

+ м А2 +В2 -АС-ВС ] +

2

+ С-А С-В со' - ¡и = 0.

Необходимые условия устойчивости консервативной системы, описываемые характеристическим уравнением 64Л.4 +Ь2Х1 +Ь0 = 0 при Ь4 >0, выражаются системой неравенств:

Действительно, возводя их в квадрат, получим: С2 - С (А + В) + 2 А В > 2 у/А В (С - А) (С - В) . Возводя еще раз в квадрат, получим:

С2 А + В- С 2 >0.

Выражение Ь2 = со2 2АВ + С2-АС-ВС +

+/л А2 + В2 - АС - ВС принимает положительные значения при

(0- С А + В - А2 + В2

->-= }}!-, •

р. С-А С-В +АВ

Проведем сравнение величин щ , т2, щ :

т, - пи =

->0.

<0.

2у] AB С-А С-В у] С-А С-В -y/ÄB с2[ С-А С-В +АВ] т2 - тг =

2 J AB С-А С-В yj С-А С-В +

C2[ C-A C-B +AB~\

Отсюда

следует

упорядоченность:

\D2=b2 -4 b4 Ь0 > 0, [б2>0.

Первое условие выражает вещественность значений Л2, второе - гарантирует отрицательность решений Л2.

т2 < т < т . Окончательно, необходимые условия устойчивости (2.2) задачи Бруна выражаются

неравенством: С2аг>/и^А С-В С-А .

3. Достаточные условия устойчивости в задаче Бруна

Проведем исследование устойчивости движения (2.2), основываясь на преобразовании Кузь-

Дискриминант биквадратного уравнения мина и теоремах первого параграфа, не обращая

(2.3) равен

D2 = А + В-С 2[cv +

+ 2 агц 2АВ-АС -ВС + /г В-А' .

Требование неотрицательности 02 приводит к необходимости

= С2со4+2 со2/л 2АВ-АС-ВС +

+ /л2 В-А 2 >0. Решением последнего является:

1)^> М

JA с-В + JB с-А

с

2)о<^1<

у]а С-В -yjB С-А

С

один из первых интегралов в нуль.

Для системы (2.1) известны четыре первых интеграла [6, 7, 8, 9, 10, 11]:

V0 =Ap2+Bq2+ Cr2+ ¡л Ay2 + В у; + С у: = const, Fj = Арух + Bqyn + Сгуъ = const, V2=A2p2+B2q2+C2r2-ju BCy2+CAy;+ABy: =const,

уъ=п+п+гъ=\.

Введем отклонения от стационарного решения (2.2):

Xj = р, Хт = q, хъ=г - со, х4 = уj ,

*5 = У2 , Х6 = Уз -1. Полагаем всюду не допустимым одновременное обращение в нуль двух отклонений (иначе решение будет невозмущенное), тогда, в частно-

2

2

2

сти,

X,

выполняется:

х4 + х52 > 0;

x24+X¡>0;

■ х6 > О . Уравнения возмущенного движения

имеют первые интегралы:

V0 = Axf + Вх2 + Cxi + № + Вх5

Cxi

+2 Ссох6 + 2/лСхъ = const,

V¡ ~ Ах¡x4 + Вх2х5 + Сх3х6 + сх3 + Ссох = const, V2=A2x?+B2x¡+C2x¡-¿u BCx¡ + CAx¡ + ABx¡ + +2C2cox3 -2fiABx6 = const,

Л,3 J-LUA^

V4=x2 + x2 + Xg + 2x6 = 0.

Соответственно форм будут такими:

матрицы квадратичных

А 0 0 Асо 0

0 В 0 0 -Вт

0 0 С 0 0

-Аса 0 0 \Ссо2-ц С-А ] 0

0 -Вт 0 0 Г Ссо2-/и С-В

А2 0 0 -АСсо 0

0 в2 0 0 -ВСсо

0 0 с2 0 0

АСсо 0 0 \сгсог-¡j. В С-А ] 0

0 -ВСсо 0 0 ГC2co2-juA С-В

При малых значениях к = х^ + х2 можно выразить x6 в виде ряда

х6=-1 + 1 -к = -\2к-Ж2-Шк3 -....

Дальше проведем преобразование Кузьмина, в результате которого получится:

Fx х =V0- 2a>Vl = Ах2 + Вх2 + Сх2 - 2 АсоXjX4 --2Bct)x2x5+jU Ax\ + Bx25 + Cxj --2 Ccox3x6 +2C ¡и- со2 x6= const, F2 x =V2-2CcoVl=A2x2 + B2x22 + C2x13-2ACcoxlx4--2BCco x2x5 -/л BCx4 + CA x2 + ABxI --2 ju AB + C2 со2 x6 - 2 C2cox3x6 = const.

Выделяя в функциях Fx и Fx квадратичные слагаемые, получим:

Fu х = Ах2 - 2Acoxlx4 + Вх2 - 2Всох2х5 + Сх2 +

+[Со)2-¡л С-А ]х2+[с®2-// С-В ]х2, F22 х = А2х1 - 2АСсох1х4 + В2х1 - 2ВСсо х2х5 + +С2х23+\с2со2-/лВ С-А ]х2 + + [cV-/z А С-В ] х2

Из матриц A и B составим характеристическое уравнение

f Л =á&\ В.-Л A, = ABC С-Л и-со2 )Л2 + , ч 11 и j ^ ^

+ [сю2-fi А + В ^Л+АВ/л =0.

Согласно теореме 2 для знакоопределенности связки форм х' В1-аА1 х необходима вещественность корней уравнения (3.1). В частности при со2 > /л корни уравнения (3.1) всегда действительны. При значениях со2 < /и вещественные корни уравнения (3.1) возможны только при неотрицательном дискриминанте Д квадратного уравнения, равном

D0 = ^Ссо2 - ц А + В^-4АВ/л ц-со2 =

= С2соА + 2co2ju 2АВ-АС-ВС + ju2 B-A2=Dl.

Дальше рассматриваются только значения в области

Dl >0

С2со2> ц

JA С-В + ,JB С-А

соответ-

ствующие необходимым. Корни уравнения (3.1) запишем:

Лу — Л^ —

ju А + В -Cm1-JDl

Л3 - Л4 -

Л5= С.

2 ¡л-а) А + В - Ссо2 + 2 ju-со2

Легко видеть, что кратные корни являются простыми. Установление соответствия корней по

группам А + и А выполнится после приведения матриц A и B к диагональным. Для матриц A и B линейное неособое вещественное конгруэнтное преобразование x,x2,Х3,x4,x5 ' = T y,y2,y3,y4,y5 ' осуществляется в частности (ввиду кратности корней) матрицей

(

о) С-/i,

о о

А-Л[

о

о

со С -0 0

В — /^2

со С-Я3 0 0

А-Л3 0

о

со С-Л4 0 0

В-Лл

0

1 о о

В результате получим:

2

иркутским государственный университет путей сообщения

/ 81 0 0 0 0

0 82 0 0 0

0 0 8з 0 0

0 0 0 84 0

[о 0 0 0 с

[М 0 0 0

0 8-Л 0 0

О g3A3 О О

о о ё4Я4 о

0

0

0 с2

где

81

82

8з

84

С-А */Д А-д/Д

2 ¡л-от

(С-В)Д(К2- -Д).

2 - со2)

С-А Д V ^Д

2 ¡л-со2

С-В Д К2- -Д

2 ¡и-0У

тШШ

Для анализа предоставляются три возможности: 1) ¡л < со2; 2) /л > со2; 3) ¡л = со2.

Рассмотрим вначале первую возможность

при ¡л<со2. В этом случае: < уД; Я2 < уД;

81 >0; 82 >0; 8з >0; 84 >0 . Таким образом, корни уравнения (3.1) относятся к одной группе

. Я2. Я-,. Л4. е А и расположены в следующем порядке: 0<Я5<Л3=Л4<Я1=Я2. По замечанию 1, связка квадратичных форм у' В2 - а А2 у отрицательно определена при значениях сг > \ (здесь у'А2у » 0).

Рассмотрим другую возможность при ¡л > со2, которая имеет место при

у!А С-В + ^В С-А

С

М

Яг = со2 2А-С + р В-А ;

Л2 = со2 2В-С -¡л В-А . При этом легко установить:

88з = С~А ААс°2 ¡и-®2 ;

8284 = С-В ВхВсо2 /л-со2 .

Очевидно, при ¡л < со2 будет выполнено: >0; 8284 >0, соответственно, при

/л> со2 будет выполнено: 818? < 8284 <"• В любом случае, не зависимо от соотношений /л и

со2 имеет место: ^>0, Я2 > 0 . Действительно, при ¡л<со2 имеем

Ях>/л 2А-С +/л В-С =ц А + В-С >0 (что следует из свойств моментов инерции твердого тела), а при ¡л> а2 получается Я^> со2 2А-С + +со2 В-С =со2 А+В-С >0. Аналогично выполняется Щ >0 .

Чтобы определить знаки выражений 8 и 8 , сравним значения Щ и ^Д". Вычисления показывают Я2 - Д = 4 А С-А со2 /л-со2 .

В этом случае: Щ > уД; Л2 > уД; 8 >0;

82 > 0 ; 8з<0; 84 < 0 .

Корни уравнения (3.1) упорядочены: Л5<Л1 = Л2<Л3=Л4,и распределены по группам:

Я1,Л2,Л5еА + ; Л3,Л4еЛ~ .

Здесь выполняется < Атт. Следова-

тельно, корни «разделены», и, по теореме 3, связка квадратичных форм у' В2-оА2 у отрицательно

определена при значениях а е Я,: /Ц .

Рассмотрим последнюю возможность при /л = со2, когда уравнение (3.1) имеет всего три вещественных корня и матрица А допускает вырождение ранга, равного трем. Матрицы А и В в

этом случае имеют вид:

Аз =

А1 0 0

-АС со 0

А 0

0 В

0 0

-Асо 0

0 -Всо

0 0

С2

0 -Асо2 0 0 С о О Асо2 0 0 -АСсо 0 о

О со- С-+АВ-ВС

-ВС со 0

-Вог 0 0 Всо2

о

-ВСсо

о о

со2 С2+АВ-АС

Из матриц А и В составим характеристическое уравнение

2

2

2

В

о

( со 0 со А-С 0

0 со 0 со В-

0 0 0 0

1 0 А 0

1 0 В

В результате получим:

А, — Т.А-Т,

о о о о

О О Асо2 А + В-С

В, - Т1В,Т,

о о о о

(А-С)со2 (А + В-С)

О

(В - С)со (А + В-С)

О

о

о о о

Всо2 А + В-С О

СЛ О

о о

с

о

А Всо (А + В-С)

О

о

о

о

АВ2со2 (А + В-С) О

-со

-о/ С-В А + В-С

/Л = Ле1 В3 - Л А3 =АВСсо4 С-А ■ С-В •

• С-Л [ А + В-С Л-АВ]2 =0.

Все корни здесь действительны: Л3=Л4 = АВА + В-С; Я5=С .

Легко видеть, что кратные корни являются простыми. Для этих матриц линейное неособое вещественное конгруэнтное преобразование х1,х2,х3,х4,х5 =Т3 у1,у2,у3,у4,у5 осуществляется, в частности, матрицей

о"

0

1 о о

4А с~в +4

В С-А

С 2<®2//г<1. Поэто-

му связку квадратичных форм можно составить только при а = Л0 > 0. Легко проверить, что <т> С, где связка квадратичных форм может быть только знакопостоянна. Связка матриц квадратичных форм составляется в данном случае из А2 и £2 и будет такой

В2 - стА1 :

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V

0 0 0 0 С С-а

Составим связку неоднородных форм р0 <г,У У У =

= С С-а

2 2 у5 - 20)у5г + со г

-Со /и-со1 к2А + къ% + 5кА6<\ + ...

где г = —

\

к к к 5 к

— + — н---1--+.

2 8 16 128

По теореме 5 параметризация будет следующей:

М = 1;Х = 2; / = 1,2,3,4; у5=а)г =

= со

2 2 2 А - Лд ^ +(3 + В-Л0

1] -Г ,3 -Г и ,2 Т ,4 Т . .

После подстановки параметризации в выражение /',, и, у получим

,1:2; г =

Расположение корней по группам следующее: Я3,\,Я5еА + . Здесь выполняется С < Л3 — Л4. Ввиду отрицательных выражений

-2 С-А А + В-С и

А ь1 р

С 2 2

—а и-со со 4

[А-А,

1 2 2 А -л 2 2

к = хл = А-Л0 у1 + у3 +

достаточно связку квад-

ратичных форм у' В4 -а А 4 у потребовать отрицательно определенной. При положительных диагональных элементах матрицы А4 этого можно достичь при а > Л3.

Рассмотрим предельный случай

со2С2 = /и Г^А С-В + ^В С-А Т .

В этом случае существует четырехкратный корень:

Л1-Л2-Л3-Л4 = ¡и А + В - Ссо2 2 /и-со2 =Л0.

Этот кратный корень относится к разным группам корней как предельный для

= А-Ъ

1 1 /2 + /4 > 0 ;

+ В-.

Но учитывая

2 2 х4 + х5

2

+ В-Ло у2+у4 + В-,

выражение /',, ст.у всюду отрицательно. По второму пункту теоремы 4, форма /*,", ст.у отрицательно определена. По теореме Ляпунова об устойчивости [1, 2, 3, 4, 5, 6] перманентное вращение (2.2) в этом предельном случае устойчиво. Таким образом, теорема доказана.

Теорема 6. Достаточные условия устойчивости перманентных вращений твердого тела вокруг наименьшей главной оси инерции в задаче Бруна совпадают с необходимыми:

С2 со2 > ц [у] А (С-В) + у1В(С-АУ]2 .

2

2

2

о

о

о

о

о

2

о

о

2

иркутским государственный университет путей сообщения

В работе [6] в соответствии с теоремой 1 рассматривалось условие х'Вх »0 на равной нулю квадратичной форме х'Ах = 0. В статье [19] изучались аналогичные условия х' А + к В х » 0, что равносильно х' В — а А х » 0 . Для этого требовалось существование вещественных корней уравнения (3.1), из которого, в частности, следовало

со

>

JA С-В +y]B С-А

Условие у' В2 - <7А2 у » 0 при со2 > ¡и . Но на участке

выполняется

у]а С-В +у]в С-А

< -

со

Л о -

(А 0 0 А 0 0

Ао =

о о Í0 о

о о

А 0 0 А

0

0 A

0

- О;,

о ^ 0 0

-z,

о у 0 ^

A

0

-О;

о у

Характеристическое уравнение для матриц B10 здесь будет таким:

fl0 Я =det В10-ЯА10 ~ det

-АЛ А

А

г0Я-Сг0

xdet

-АЯ А

А

г0Я-Сг0

= ц/ Я ' = 0.

Дискриминант квадратного уравнения

ц/ /1 = г0Л2 - Сг0г0Л + А = О

2

равен /X = Сг0 " - 4Агп. Вещественные корни могут быть только при И3 > 0 :

Я1 -Л2-

2 z,.

Л3-Л4-

Сг. + Д

2z,,

связка квадратичных форм К <т,у <sc 0, что также достаточно для устойчивости.

4. Волчок Лагранжа

Другой пример представляет волчок Лагранжа [2, 6, 12]. Устойчивость перманентного вращения подробно изучена [2, 20, 21, 22]. Четыре первых интеграла уравнений движения запишутся в виде:

А р2 + q2 + 2z0y3 = const, А рух + qy2 + Cryз = const,

r = r() = const,

где z0 - вещественная.

Стационарным движением рассматривается перманентное вращение:

p = q = 0; r=r0=co; у1=у2=0; у3 = 1. (4.1)

Повторяя преобразование Кузьмина для волчка Лагранжа, получим матрицы квадратичных форм [6]:

0

Составим матрицу линейного конгруэнтного преобразования

1 0 1 0] 0 10 1

Я, 0 Лз 0

0 Я, 0 Яз

т -

4

Тогда получим:

А5 - Т4А10Т4 -

В5 = Т4В\йТ4 =

§5 ООО

о g6 о о

о о g7 о

.0 о 0

Ом, о о о ^

о 8бл о о

0 0 g7Я о

0 0 о 8йя

где

g5= Яб= Д Cro~ Д / 2zo ;

gT= gs=- Д Cro+ Д / 2zo •

Для применения теоремы Ляпунова об устойчивости [1-6] по теореме 2 исключается D3 < 0 . Требование D > 0 приводит к условию

Маиевского [1-6]: C2r02>4Az0. Здесь корни при

D3> 0 распределены: Я1=ЛеЛ + ; Л3=Л4еА~ . Так как выполняется < Я|Т1||1, то, по теореме 3, связка квадратичных форм К а,у »0 при ere Л3 .

Предельное значение C2r2 = 4Az0 подробно исследовано в [22]. Приведем здесь дальнейшие выкладки для иллюстрации знакоопределенности неоднородных форм.

2

2

0

к

Сго к2г0

САгп

У =■

2гп

Уг

2го

Сгп

■Уз

у2-

2го

Сгп

'У А

ных: 2-

Здесь достаточно провести замену перемен-\=У1-2*о/ Сго Уз', гг=Уг~2ч1 Сго У4 г3 - у3; г4-у4, и привлечь к анализу члены высших порядков разложения:

САг0 2 2 2гп

2 л -г2 +

А, а,, Ъ,\ 1; 2; г =-

2г„

Для значений ^ + 12 > 0 отсюда следует

Т г » 0 . По теореме Ляпунова об устойчивости

[1, 2, 3, 4, 5, 6] можно заключить об устойчивости перманентного вращения (4.1) в случае

С\2=4А20.

Следовательно, условие Маиевского [12, 6] допускает обращение в равенство, что установлено в [22].

Заключение

Как в случае волчка Лагранжа [6] в центральном поле сил стабилизация вокруг наименьшей главной оси обеспечивается ограничением угловой скорости со2 >4^4г0/С2 , так и в задаче Бруна имеет место устойчивость при

С2 со2 > ц

у¡А С-В С-А

Как в задаче Бруна, так и в случае волчка Лагранжа область знакоопределенности связки двух квадратичных форм определяется интервалом I = Л1;Л3 ширины 2, где D - дискриминант квадратного относительно Л характеристического уравнения, построенного на двух матрицах. В случае /) — О границы отрезка / стяги-

Четырехкратный вещественный корень Л = Сг0! 2г0 уравнения у/ Л = 0 приводит к знакопостоянной связке квадратичных форм

( ~ л2"

1 2 2 3 ^ 2 2 4

16 3 4 128 3 4

Если по теореме 5 величины М = 1,

81-82-\, параметрическая подстановка будет:

2 2 23 — ? — ? ^1 ~^2 ~аз ^2 ~' * *'

2:2=Ь^ +Ь2Ц2+Ь3г1 + .... Ее подстановка в выражение Ж г =-ф г получает форму низшего четвертого порядка Ж г г :

САгп

ваются в одну точку, где также перманентное движение устойчиво.

Для волчка Лагранжа, как и в задаче Бруна, характерно знакопостоянство связки квадратичных форм К а, у в ситуации, когда два двукратных вещественных корня сходятся к одному непростому четырехкратному. Граница знакоопределенности пучка форм непосредственно примыкает к области комплексных корней: нарушение кратности корней, с одной стороны, приводит к знакоопределенности связки форм (строгое неравенство Маиевского или Белецкого), с другой - к знакопеременности связки форм при комплексных корнях характеристического уравнения.

Из статьи можно сделать выводы:

1. Преобразование Кузьмина с последующим анализом приводит к тому же заключению об устойчивости, что и предположение обращения в равенство одного из первых интегралов движения.

2. Достаточные условия устойчивости перманентного вращения совпадают с необходимыми.

По-видимому, первый вывод имеет место для большинства уравнений движения твердого тела.

Часто совпадение необходимых и достаточных условий выполняется с точностью до границы, в данном случае - полное.

Такой подход пригоден для гироскопических систем.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ляпунов А. М. Собрание сочинений : в 6 т. Т. 2. : Общая задача об устойчивости движения. М.-Л. : Изд-во АН СССР, 1956. С. 7-263.

2. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М. : Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.

3. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М. : Наука, 1966. 530 с.

4. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М. : Наука, 1971. 312 с.

5. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

6. Кузьмин П. А. Малые колебания и устойчивость движения. М. : Наука, 1973. 206 с.

7. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1. М. : ГИФМЛ, 1960. 515 с.

8. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 2. М. : ГИФМЛ, 1960. 487 с.

9. Парс Л. А. Аналитическая динамика. М. : Наука, 1971. 635 с.

10. Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика. Ижевск : Издательский дом «Удмурдский университет», 1999. 584 с.

14

2 12

3-2

2

2 2 + а,?,

Г1

2 12

3"2

2

иркутским государственный университет путей сообщения

11. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения твердого тела около неподвижной точки. М. : Гостехиздат, 1953. 287 с. 18.

12. Иртегов В. Д. Инвариантные многообразия стационарных движений и их устойчивость. Новосибирск : Наука, 1985. 141 с.

13. Новиков М. А. О связи диагонализации и зна- 19. коопределенности пучка двух квадратичных форм // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 3 (27). С. 233241 20.

14. Walker R. J. Algebraic Curves. Princeton, New Jersey : Univ. Press, 1950.

15. Уокер Р. Алгебраические кривые. М. : Изд-во 21. иностр. лит., 1952. 236 с.

16. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М. : 22. Наука, 1979. 255 с.

17. Новиков М. А. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела вокруг неподвижной

точки в задаче Бруна // ПММ. 1994. Т. 58. вып. 5. С. 261-265

Новиков М. А. О знакоопределенности аналитических функций // В кн. Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Новосибирск : Наука, 1988. С. 256-261 Белецкий В. В. Некоторые вопросы движения твердого тела в ньютоновом поле сил // Прикладная математика и механика. 1957. Т. 21. вып. 6. С. 749-758. Румянцев В. В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела // ПММ. 1956. Т. 20. С. 51-66.

Румянцев В. В. К устойчивости перманентных вращений твердого тела около неподвижной точки // ПММ. 1957. Т. 21. С. 339-345. Румянцев В. В. Сравнение трех методов построения функций Ляпунова // ПММ. 1995. Т. 59. С. 916-921.

УДК 519.216.1 Кедрин Виктор Сергеевич,

к. т. н., доцент кафедры информационных технологий ИГУ (филиала в г. Братске),

тел. (3953)44-89-93, e-mail: [email protected] Максимов Николай Николаевич, инженер радиолокации, радионавигации и связи Братского центра организации воздушного движения - филиала аэронавигации Восточной Сибири,

тел. (3953)44-89-93, e-mail: [email protected]

КЛАССИФИКАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПОВЕДЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ПРИ АНАЛИЗЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОСТОЯНИЙ РЕАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

V.S. Kedrin, N.N. Maksimov

CLASSIFICATION OF UNSTEADY BEHAVIOR OF PROCESSES IN THE ANALYSIS AND FORECASTING OF REAL DYNAMIC SYSTEMS

Аннотация. Предложена классификация нестационарного поведения реальных динамических систем. Выполнено рассмотрение классификации нестационарного поведения на примере простейшей реальной энергетической системы. Произведено сравнение методов сингулярного разложения с методами спектрального анализа применительно к задачам анализа и прогнозирования. Определены преимущества аппарата сингулярного разложения для анализа и прогнозирования нестационарной динамики.

Ключевые слова: нестационарная система, нестационарное поведение, несингулярная система, несингулярный процесс, постоянное нестационарное поведение, периодическое неста-

ционарное поведение, структурное нестационарное поведение, сингулярное разложение.

Abstract. The classification of non-stationary behavior of real dynamic systems is proposed. Review of the classification of time-dependent behavior in the simplest example of a real power system is completed. A comparison of methods of singular value decomposition with the methods of spectral analysis applied to problems of analysis and forecasting is made. The benefits of the singular value decomposition apparatus for analyzing and predicting the transient dynamics are identified.

Keywords: time-dependent system, transient behavior, non-singular system, a non-singular process, continuous time-dependent behavior, periodic