CC BY
10
УДК: 531.36
Новиков Михаил Алексеевич,
д. ф.-м. н., с. н. с., Институт динамики систем и теории управления СО РАН,
тел. (3952) 45-30-96, e-mail: [email protected]
О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
M.A. Novickov
ON SUFFICIENT STABILITY CONDITIONS FOR ONE LINEAR GYROSCOPIC SYSTEM
Аннотация. В статье проведено сравнение разных способов получения достаточных условий устойчивости линейных автономных гироскопических систем. В некоторых способах достаточные условия устойчивости стационарных решений можно получить из второго метода Ляпунова. Рассмотрен новый способ, основанный на использовании одного из необходимых условий устойчивости. Приведены сравнительные оценки для разных способов на примере конкретной линейной автономной гироскопической системы трех степеней свободы.
Ключевые слова: гироскопическая система, характеристическое уравнение, необходимое условие устойчивости, достаточное условие устойчивости.
Abstract. Comparison of different techniques of obtaining sufficient conditions of stability for linear autonomous gyroscopic systems is conducted. Some techniques allow to obtain sufficient stability conditions of steady motions on the basis of Lyapunov's second method. A new technique based on one of the necessary stability conditions application is considered. The comparative estimates of these techniques are considered via the example of definite linear autonomous gyroscopic system having three degrees of freedom.
Keywords: gyroscopic system, characteristic equation, necessary stability conditions, sufficient stability conditions.
Введение
Наиболее распространенным спо-собом исследования устойчивости стационарных решений механических систем является второй метод Ляпунова [1]. Его основу составляют знакоопределенные функции Ляпунова [1-7]. В случае автономных механических систем, когда потенциальная энергия в положении покоя имеет минимум и другие силы в описании системы не участвуют, функцией Ляпунова может быть интеграл полной энергии.
В автономных консервативных системах [8-10] переход к описанию в канонических (гамильтоновых) переменных иногда получает знакоопределенный гамильтониан. Это же относится и к линейным автономным гироскопическим системам, описываемым функцией Лагранжа:
L (q, q )=-2(q Aq + q Bq + q C q), (1)
где A - матрица кинетической энергии (A = A); B - матрица гироскопических сил (B = - B); C - матрица потенциальной функции (C = C) .
Часто построение функций Ляпунова производится методом знакоопределенных связок Четаева [2] из нескольких первых интегралов уравнений движения. Для линейных автономных консервативных систем нахождение дополнительных первых интегралов обсуждается в статьях [11-14].
Кроме вышеуказанных достаточных условий устойчивости автономных систем имеются необходимые условия, получаемые из характеристического уравнения системы
f (Л) = det (A Л2 - B Л- C) = 0 . Основным требованием для выполнения необходимых условий устойчивости таких систем является отсутствие положительных вещественных частей всех корней уравнения f (Л) = 0 . Для консервативных систем, в том числе и гироскопических, как известно [2, 9, 10], устойчивость стационарных решений может быть только при существовании всех чисто мнимых корней характеристического уравнения.
Обычно при анализе систем удобнее применять простые достаточные конструктивные условия устойчивости, которые могут оказаться в практических исследованиях довольно эффектив-ными. Их можно формировать разными способами:
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
1) из интеграла полной энергии или гамильтониана в описании системы гамильтоно-вым формализмом;
2) из выражения неполной связки первых интегралов системы;
3) из анализа свойств корней характеристического уравнения.
В настоящей статье на примере гироскопической системы трех степеней свободы предложено получение некоторых из перечисленных достаточных условий устойчивости, их анализ, сравнение между собой и с необходимыми условиями.
1. О достаточных условиях устойчивости, выводимых из интеграла полной энергии
Проводится исследование устойчивости линейной автономной гироскопической системы трех степеней свободы [15]:
Р1 Х-1 ,
Х2 = - Р1 ±1 + Р2 Х3 + С2 Х2 , (1.1)
Х3 Р2 XX2 I С3 ^±3 ,
где с1, с2, с3 - коэффициенты матрицы потенциальной функции; р1, р2 - коэффициенты матрицы гироскопических сил. Всюду значения с1, с2, с3, р1, р2 полагаются вещественными и отличными от нуля. Соответствующие матрицы кинетической энергии, гироскопических сил и потенциальной функции будут следующими:
( 0 р1 0 ^ (с1 0 0)
Q(Чo,ql,Я2) = 42 £ - 4 <?13 - 4 Ч0 +
(1.4)
A = Е3; B =
C =
0 с2
0
ч 0 0 с3 ,
- р1 0 р2 .0 - р 2 0 Необходимые условия устойчивости нулевого решения этой системы составлены в [15]. Они задаются чисто мнимыми корнями характеристического уравнения
f (1) = det (А12 - BЛ- C) = = 1 + д2 1 + д1 1 + 40 = 0,
(1.2)
где 42 = р2 + р2 - ^2; 41= Sl - (с1 р2 + с3р2);
40 с1с2с3 ; = с1с2 + с1с3 + с2с3 ; <5" 2 = с1 + с2 + с3
При обозначении 1 = / последнее условие выразится вещественными отрицательными решениями кубического уравнения
У1 (/) = /3 + 42 /2 + 41 / + 40 = 0. (1.3) Для этого необходимо [15], чтобы вещественные значения 42,41,40 были положительными. Кроме того, требуется вещественность и отрицательность всех корней уравнения /1 (/) = 0, которые выражаются неравенством
+18 40 41 42 - 27 40 > 0.
Система (1.1) имеет интеграл полной энергии [12, 13]
Н = 2( х' Е х - х' Сх). (1.5)
Последнее выражение может представлять положительно определенную квадратичную форму только при потенциальной функции, имеющей максимум в начале координат. Будем рассматривать здесь системы, неустойчивые при только потенциальных силах и для которых по теореме Тэта - Томсона - Четаева [2] возможна гироскопическая устойчивость. Как установлено
[15], это выполнится для системы (1.1) при одном отрицательном и двух положительных значениях диагональных элементов матрицы потенциальной функции, приведенной к диагональному виду. Из выражения интеграла полной энергии Н следует его независимость от гироскопических сил. Кроме теоремы Лагранжа [2, 9, 10] об устойчивости стационарного решения, на котором потенциальная энергия имеет минимум, в настоящее время в открытой печати имеется только одна теорема
[16], когда потенциальная энергия не достигает минимума.
В статье [16, с. 742] сформулирована теорема, призванная получить условия устойчивости нулевого решения линейной гироскопической системы п -го порядка. Согласно формулировке для устойчивости нулевого решения, в обозначениях настоящей статьи для системы должны выполняться два требования:
1°. Квадратичная форма «измененной потенциальной энергии» Ж1 (х), построенной на матрице Ы1 = (-С - В2/4), должна быть положительно определенной.
2°. Квадратичная форма
Ж2(х) = ЖДх) -р2т х (х2 + х22 +... + х2)/4, построенная на матрице
N2=(-С - В2/4 -01/4 Е), должна быть отрица-тельно определенной, где
вт -
наибольшее
из
значений
11 в1 |,| 7 в2 I, .,17 вк I (к ^ п/2), таких что (1 в- корень уравнения р(в) = det (В -вЕ) = 0,
] е {1,2,.,к}, (7 = 4-1)).
Вначале изучим некоторые свойства,
выводимые из приведенной теоремы.
Собственными значениями матрицы В являются
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
N =
Г р2/4 - с, 0
- Р,Р2 /4
0
(Р12 + Р22)/4 - с2
0
- Р,Р2 /4 0
Р22/4 - Сз
(
N 2 =
- Р22/4 - С, 0
- Р, Р 2 / 4 0 - Р,2/4 - Сз
0 - Р, Р2/4
- с2 0
(р,2 - 4с,)(Р 22 - 4Сз) - Р,2 Р2 > 0 .
(,.6)
А = - ^Р:2 + Р22 ; Л = 0; Аз = ^Р:2 + Р2, откуда следует в = р,2 + р^ . Матрицы исследуемых квадратичных форм будут такими:
Обозначим через G2 множество значений коэффициентов матриц гироскопических сил и потенциальной функции, при которых квадратичная форма Ж, (х) положительно определена
а, : Р,2 - 4с, > 0; Р22 - 4сз > 0; р,2 + Р22 - 4с2 > 0;
ства выполняются тождественно. Условия (,.7) составляют область 02:
р22> -4с,; р,2>-4С3; —Р— + (,.7')П
-4с3 -4с,
ервые два неравенства (,.7') определяют вещественную плоскость Ор,р2 без двух полос. Первая из полос задана множеством точек:
р, е [ - 2у]- с3; + 2у1 - с3 ]; р2 е (-да; + да), вторая -р, е (-да;+да); Р2 е [ - 2^/-с,; + 2y¡-с2 ]. Третье неравенство 0-7 ) представляет собой
внутреннюю часть эллипса с полуосью
(^ТС)
Очевидные соотношения в первых трех неравенствах при с^ <0( ] е{,,2,3}) можно исключить из рассмотрения. Точно также пусть 02 обозначает множество значений коэффициентов матриц гироскопических сил и потенциальной функции, при которых квадратичная форма Ж2 (х) отрицательно определена
в2 : Р2 + 4с, > 0; р,2 + 4сз >0; с2 > 0; (,7)
(р2 + 4с,)(Р!2 + 4сз) -Р,2 Р22>0. Выписанные условия О, и 02 рассматриваются в совокупности и образуют область
О0 = О, ° О2 .
Из условия (,.7), в частности, следует, что гироскопическая устойчивость возможна только для систем с значениями с2 > 0 . Следовательно, при с2 < 0 этим способом не охватывается классический случай устойчивости Лагранжа [9, ,0], когда потенциальная энергия на стационарном решении достигает минимума, т. е. существует полный интеграл энергии (,.5) при с, < 0; с2 < 0; сз < 0 . По теореме [,6] получается, что случай с2 < 0 не решает вопроса устойчивости как четной, так и нечетной степеней неустойчивости.
Пусть, как и требуется условиями (,.7), выполняется с2 > 0 . Рассмотрим далее два случая, когда с, сз > 0 :
с, <0; с3 <0. 2. с, >0; с3 >0.
В первом случае условия (,.6) получают область О, : р2 + р^ - 4с2 > 0, а остальные неравен-
по оси Ор, и полуосью (2^- с,) по оси Ор2.
Так как ука-занный эллипс полностью вложен в выделенную общую часть полос, то не существует вещественных точек, определяющих множество (,.7'). Следовательно, получается О2 = 0, т. е. не существует области отрицательной определенности квадратичной формы Ж2 (х). Окончательно О0 = 0 , и поэтому теорема [,6] не приводит к устойчивости нулевого решения (,Л). Как установлено в [,5], при исследовании необходимых условий устойчивости этот случай соответствует неустойчивости тривиального решения системы (,Л).
Так же при с, >0; с3 >0 область О, определяется системой неравенств
Р,2 >4с,; Р22>4сз; р,2 + р^^;
2 „2
+
4с, 4с3
(,.6')
и
а область О2 задает всю вещественную плоскость. Здесь первые два неравенства (,.6') определяют плоскость ОР, Р2 без двух полос:
р, е [-2^+]; Р2е (-да; + да)
р, е (-да;+да); р2 е [ - 2^7; + 2^/с7 ]. Четвертое неравенство (,.6') представляет внутреннюю часть эллипса с полуосью ф^^) по оси Ор, и полуосью (2^/сЗ) по оси Ор2. Даже не учитывая третье неравенство (,.6') (считая его не ограничивающим область допустимых значений), область О, получается не имеющей вещественных точек. Отсюда следует О0 = 0 , и теорема [,6] также не приводит к устойчивости нулевого решения (,Л).
Заключение о неустойчивости нулевого решения (,Л) для с, > 0, с3 > 0 и для произволь-
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
(1.8)
ных значений с2 получено в [15] при исследовании необходимых условий устойчивости. Там же установлена неустойчивость при с2 <0, с1с3 <0 ввиду нечетной степени неустойчивости.
Таким образом, объектом исследования теоремы [16] являются гироскопические системы, относящиеся к четной степени неустойчивости:
1. с1 <0; с2 >0; с3 >0.
2. с1 >0; с2 > 0; с3 < 0. Заметим, что второй случай сводится здесь к первому заменой переменных: у1 = х3;
у2 = х2; у3 = х1, фактически приводя к исследованию единственного варианта устойчивости для неустойчивой системы при одних только потенциальных силах с четной степенью неустойчивости. Поэтому четность степени неустойчивости при анализе с помощью теоремы, аналогичной [16], как это проводилось в статье [17], можно не проверять: ненулевая область G0 в условиях теоремы [16, с. 742] не может существовать при нечетной степени неустойчивости.
Окончательно можно отметить следующие свойства теоремы [16]:
1) если линейная гироскопическая система (1.1) неустойчива при только потенциальных силах и при любых значениях матрицы гироскопических сил, то 00 = 0 ;
2) если линейная гироскопическая система (1.1) устойчива даже при только потенциальных силах, то С0 = 0 ;
3) выполнение обоих требований теоремы [16] выделяет для анализа только системы, для которых G0 ^ 0 в одном из возможных случаев (1.8) с четной степенью неустойчивости.
Но выполнение условий теоремы [16, с. 742] не всегда обеспечивает устойчивость нулевого решения системы (1.1) даже в одном из случаев (1.8). Такое утверждение единственным способом устанавливается из необходимых условий устойчивости [15]. Это видно для простого (совсем не исключительного) набора значений, например с1 = -0.5; с2=3, с3=4. Проверка свойств знакоопределенности Ж1(х) и Ж2(х) будет проводиться на соответствующих матрицах: (0,5 + р12 /4 0 -р1 р2 /4^
N1 =
0
(р2 + р22)/4 - 3
0
- А р2/4
( 0,5 - р2 /4 0
- Л р2/4
N2 =
0 0
-3 0
р22/4-4
- Л Р2 / 4 ^ 0
-4-р2 /4
Область G1 здесь определяется неравенствами
р22 > 16; р2 + р22 > 12;
( р2 V р2 ^
2
0,5
Л
4
- 4
2 2 р р2
16
>0.
Анализ составленной системы неравенств приводит к множеству р2 >8 р12 +16 . Для отрицательной определенности Ж2(х) необходимо:
(
р\ - 2 >0;
0,5-
р2
2Л
- р1- - 4
2 2 р р2
16
>0.
что выражается неравенством р^ > р12/8 + 2.
В совокупности обе системы задаются одним неравенством:
р22>8 р2 +16. В последнем неравенстве при параметрическом анализе величину | р1 | можно выбирать произвольной, в частности близкой к наименьшему значению. Пусть р1 = 1, тогда неравенство р2 > 24 по теореме [16] должно удовлетворять устойчивым нулевым решениям системы (1.1). Используя систему аналитических вычислений, например «МаШешайса», прямые вычисления характеристического уравнения (1.2) при р2 = 5 дают корни }/4 = ±0,244616 ± 7 0,71279; 15/6 = ±1 4,31318 . Приближенные вычисления здесь не могут существенно исказить существование отличной от нуля вещественной части решений характеристического уравнения. К тому же этого можно добиться повышением точности вычислений или проверкой знака дискриминанта кубического уравнения. Во всяком случае, подобная ситуация характерна при дискретном изменении параметра р2 (с шагом 0,1) до значения р2 = 8,2, где корнями уравнения (1.2) являются: }/4 = ±0,033684 ± 1 0,558738; 15/6 = ±1 7,81779 . Уже при р2=8.3 получаются чисто мнимые решения }/2 = ± 1 0,544237; }/4 = ± 1 0,568077; 15/6 = ±1 7,92282, соответствующие устойчивости нулевого решения (1.1). При значениях р2>8,3 все корни уравнения (1.2) тоже оказываются чисто мнимыми.
Аналогичная ситуация имеет место при р1 = 2 . Для положительной определенности формы Ж1(х) формируется область, ограниченная
неравенством р^ > 48 . Ближайшее целое р2 = 7 удовлетворяет полученному условию, но при этих значениях матрицы гироскопических сил корнями характеристического уравнения (1.2) будут
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
4/2 = ±7 6,7922; Л3/6 = ± 0,298158 ± 7 0,52128 . Такие же смешанные корни будут и для значений параметра р2 включительно до р2 =11, где 4/2 = ±7 10,8651; Я3/6 = ± 0,024306 ± 7 0,474188 . Только при р2 = 11,1 решениями уравнения (1.2) являются чисто мнимые корни 4/2 = ± 7 0,447101; 43/4 = ± 7 0,499584; 45/6 = ± 7 10,9663. Легко проверить, что в обоих случаях построения знакоопределенных квадратичных форм Жг (х) выполняются неравенства д0>0, с >0, с2 >0, но при этом нарушается выполнение неравенства (1.4).
Следовательно, при выполнении сформулированных в [16] требований, не всегда выполняются даже необходимые условия устойчивости. Отсюда следует, что требований 1°, 2° упомянутой теоремы [16, с. 742] явно недостаточно для выполнения достаточных условий устойчивости.
Таким образом, теорема [16, с. 742] устанавливает устойчивость нулевого решения для неустойчивой системы, выявленной из необходимых условий устойчивости при некоторых значениях параметров р1, р2. Кроме того, упомянутая теорема не может установить устойчивость явно устойчивого решения гироскопической системы (1.1). Препятствием к этому является второе требование теоремы [16, с. 742].
Так как доказательства теоремы [16, с. 742] не приведено, то не очевидно ее существование. Кроме систем с двумя степенями свободы эта теорема не получает подтверждения. Статья [17] основана на этой теореме и поэтому к ней относятся те же замечания.
2. Получение достаточных условий устойчивости из неполной связки интегралов
Изучим теперь функцию Гамильтона при переходе к каноническим переменным [9, 10],
полагая обобщенный импульс р = . Исключая
дс/
из выражения Н = С р - С) многомерную переменную С, запишем функцию Гамильтона
H = 1
2
p p + p B q - q
( B 2^ с + B-
V 4 У
q
(2.1)
можно объединить с слагаемыми р , сворачивая выражение гамильтониана в полный квадрат:
H =
1
p'-2q B) (p+1 Bqq cq
Выражение последнего гамильтониана ввиду зна-копеременности q' С q, очевидно, является знакопеременной квадратичной формой. Следовательно, теорема [16, с. 742] без дополнительных гироскопических первых интегралов не согласовывается с вторым методом Ляпунова.
Из выражения гамильтониана (2.1) в общем случае видно, что положительной определенности «измененной потенциальной энергии» с нециклическими переменными, когда B Ф 0, недостаточно для устойчивости нулевого решения гироскопической системы.
Исследуем дальше возможность построения функции Ляпунова, построенной из связки интеграла энергии и одного гироскопического первого интеграла [12, 13]
V1 = (q' B' + q' С) (B q + С q) - q' С q = const. Связка из двух интегралов использует приведенную в [18, с. 386] теорему, согласно которой достаточным условием устойчивости нулевого решения (1.1) является положительная определенность квадратичной формы W3 (x), построенной
на матрице N3 = (-2С - B2 - 2 k+ E), где k+ -наибольшее по модулю собственное значение матрицы С . Конечно, при определенных значениях матрицы потенциальной функции согласно этой теореме могут быть выполнены условия устойчивости. Рассмотрим вопрос устойчивости при заданных значениях c1 = -0,5; c2 =3; c3 =4, где значение k+ = 4, и составим матрицу квадратичной формы W3 (x):
N3 =
' p2 - 7
pi p2
0
(p2 + p 2) -14 0
- p1 p 2 0
(p2 -16)
Конечно, отрицательная определенность квадратичной формы с (С + В2/4) с должна быть необходимым условием для устойчивости нулевого решения (1.1), но смешанные слагаемые (р В с) могут приводить к знакопеременности Н . Их
Условия положительной определенности соответствующей квадратичной формы х М3 х запишутся как
р2 > 7; р22 > 16; 16 р2 + 7 р22 <112. Последнее неравенство представляет внутреннюю часть эллипса с центром в начале координат, построенного на координатных осях р1 и р2
с полуосями: и 4. Первые два неравенства
0
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
в совокупности составляют всю плоскость без точек двух полос:
Л е [ - л/7; + л/7 ]; р2 е (-да; + да) и р1 е (-да;+да); р2 е [ - 4; + 4 ]. Легко видеть, что выражаемый последним неравенством эллипс полностью вложен в прямоугольник, полученный в пересечении обозначенных полос. Поэтому условия положительной определенности Ж3(х) приводят к противоречию, т. е. квадратичная форма Ж3 (х) не может быть положительно определенной ни при каких вещественных значениях р1, р2 .
Следовательно, известный только один дополнительный первый гироскопический интеграл вместе с интегралом энергии не всегда в общем случае получает достаточные условия устойчивости.
Конечно, при других исходных значениях матрицы С в задаче гироскопической устойчивости достаточные условия устойчивости (1.1) могут существовать. Устойчивость для некоторых значений матрицы С может быть при положительной определенности квадратичной формы, построенной на матрице (-С - В2/4), но это может наблюдаться только в частных случаях, никак не распространяясь на системы в общем случае.
3. Получение достаточных условий устойчивости из оценки необходимых
Как ранее упоминалось, оба свойства теоремы [16, с. 742] должны использоваться совместно для исключе-ния нечетной степени неустойчивости. Но при этом второе требование упомянутой теоремы исключает потенциально устойчивые системы (при с1 <0, с2 <0, с3 < 0). Его можно заменить одним из условий четной степени неустойчивости: 40 > 0 . Как показано в первом параграфе, тогда случай потенциально устойчивых систем будет включен в рассмотрение, и при этом будет исключен случай неустойчивых систем (даже с помощью любых гироскопических сил), когда с1 > 0, с2 < 0, с3 > 0 . Но приведенный в первом параграфе пример с конкретными значениями матрицы потенциальной функции показывает, что положительной определенности Ж1( х) в общем случае недостаточно для устойчивости нулевого решения (1.1). И не существует какой-то другой квадратичной формы, подлежащей анализу знакоопределенности. Этот недостаток можно исправить, потребовав положительной определенности квадратичной формы
Ж0(х, г) = х' М 0 (г) х, х е Я , г >4
М 0(г ) = -
( В 2 > С + ^ г
\ /
зависящей от вещественного положительного параметра г . Конечно, введение величины г , значительно большей четырех, может получить достаточные условия устойчивости нулевого решения (1.1). Квадратичная форма Ж0(х,г) не является первым интегралом, и производная от нее, вычисленная в силу дифференциальных уравнений (1.1), не знакоопределена. Поэтому она не может быть функцией Ляпунова и не имеет прямого отношения к устойчивости тривиального решения (1.1). Хотя в некоторых случаях, когда значение с1 достаточно далеко удалено от нуля, а значения с2 и с3 близко расположены к нулю (например, с1 = -10; с2 = с3 = 1), для устойчивости нулевого решения (1.1), как показывают расчеты, достаточно положительной определенности даже Ж0( х,1). Из демонстрационного примера, приведенного в первом параграфе, явно видно, что при заданном р1 , повышая значение | р2 | и величину г (превосходящее число 4), условие положительной определенности Ж0(х,г) может оказаться достаточным при любых вещественных с1, с2, с3 для устойчивости нулевого решения линейной гироскопической системы. Так, в рассмотренном в §1 примере при с1 = - 0,5; с2 = 3; с3 =4 для р1 =1, р2 « 8,3 получается г > 15,2 (а для р1 =2, р2 «11,1, соответственно, г > 22,81).
Поэтому полагаем в общем случае г >4, 40 >0 и попытаемся определить (в зависимости от параметров р1, р2) наименьшее значение г , доставляющее устойчивость нулевого решения (1.1), не привлекая при этом к анализу корни характеристического уравнения (1.2). В дальнейшем для определенности
считаем
с <0; с2 > 0;
с3 >0 [15].
Из положительной определенности Ж0 (х, г) следует выполнение системы неравенств
р12 > гс1; р 2 > гс3; р1 + р22 > гс2; с1 р2 + с3 Р2 < гс1 с3 .
(3.1)
Сложив первые три неравенства (3.1) (из которых первое ввиду отрицательности с1 очевидное)
и разделив полученную сумму на число два, получим
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
р12 + р2 >"2 (с1 + с2 + С3).
При допустимых здесь значениях г >4 сразу можно заключить, что р22 + р2 > с2 + с2 + с3, а это приводит к с2 > 0. Вводя положительную величину Я = (р12 + р2 )/с2 , получим, сравнивая с третьим неравенством (3.1): Я > г >4. Представим выражение с2 = Я с2 - (с2 + с2 + с3) = (Я -1) с2 -- с1 - с3, и тогда, как ранее установлено, при С2 > 0 выполняется
С2 >•
с1 + с3 Я -1
(3.2)
Выражение с1 = с2 (с1 + с3) + с1с3 - с1 р^ - с3 р22 с использованием четвертого неравенства (3.1) приводится к виду с1 > с2 (с1 + с3) - (г -1) с1с3. Подставляя сюда неравенство (3.2), получим
С1
>
(с1 + с3)2 (Я -1)
- (г -1) с с3 .
Так как каждое слагаемое в последнем выражении представляет положительные величины при г >4; Я > 4 , то заключаем с1 > 0 .
Следовательно, выполняются первые три необходимых условия устойчивости: С0 > 0 (по предположению для четной степени неустойчивости); С1 > 0; С2 > 0 .
Отметим, что для установления С1 >0; с2 >0 достаточно требования г > 2 .
Теперь задача сводится к определению наименьших значений величины г , при которых будут отрицательные вещественные решения уравнения (1.3). Конечно, здесь участвуют два параметра р1, р2 , что затрудняет исследования. Искомое значение г будем определять из необходимого условия Q(q0, С1, С2) > 0 , представленного неравенством (1.4). Тогда все необходимые условия устойчивости нулевого решения
(1.1) будут выполнены. Записывая с2 = р12 + р2 -- £2, с1 = £2 - (с1 р2 + с3 р12) и предполагая зависимость Q(q0, с1, с2) от параметров р1,р2, раскроем искомое выражение в таком виде: Ql(Pl,р2) = (ср22 + с3р2)2 (р2 + р2)2 + 4(ср22 +
+ с3р!у - 2£2 (ср2 + с3р!г (рг + р2) -
- 2£г (с,р22 + с3р2) (р2 + р22)2 + 4 с,с2с3 (р2 +
+ р22)3 + (£22 -12 £])(сгр22 + с3р2)2 +
+ 2 (2 £,£2 + 9 с^) (с,р22 + с3р2) (р2 + р2) + + (£2 -12 с^ £2) (р2 + р2)2 + (12 £2 --18 с2с2с3 £2 - 2 £2 £2) (с2р2 + с3р22) + (12 с2с2с3 £2 --18 с,с2с3 £ - 2 £2 £2) (р2 + р22) + £2 £22 -- 4 £23 - 4 с2с2с3 £2 + 18 с2с2с3 £2 - 27 (с2с2с3)2 . Так как параметры р1 , р2 участвуют только в четных степенях, то для упрощения введем обозначения
2 р12
р2 = и, ^г = X,
р22
(3.3)
где положительные X полагаются параметром, а положительные и - переменной величиной. В разложении по степеням и требуемое выражение Q1(р2, р2) перепишется следующим образом:
Q2(u) = (c1 + с3 X)2 (X + 1)2 и4 + [4 (с, + с3 X)3 -- 2 £2 (с, + с3 X)2 (X +1) - 2 £2 (с, + с3 X) (X +1)2 + + 4 с2с2с3 (X +1)3] и3 + [(£2 -12 £2 ) (с, + с3 X)2 + + 2(2 £2£2 + 9 с2с2с3)(с2 + с3 X) (X +1) + + (£22 -12 с2с2с3 £2) (X +1)2] и2 + 2 [(6 £22 - £2 £22 -- 9 с^ £2) (с, + с3 X) + (6 с^ £2 - £2 £2 -- 9 с2с2с3 £2) (X +1)] и + £22 £22 - 4 £23 -
- 4 с2с2с3 £2 + 18 с2с2с3 £2 - 27 (с2с2с3)2 . Рассматривая последнее как уравнение Q2 (и) = 0 относительно и , найдем верхнюю границу решений. Искомая оценка опирается на известный результат из методов вычислений.
Теорема 1 [19, с. 81]. Все положительные корни алгебраического уравнения
<Р(У) = а0 У" + а1 У"-1 + ••• + ап-1 У + ап =0,
а0 >0
(3.5)
с вещественными коэффициентами меньше значе-
ния
(
а
--+ 1), где а - наибольшее по абсо-
а
лютной величине значение из отрицательных коэффициентов уравнения (3.5), т - индекс первого отрицательного элемента в ряду чисел
al, a2, • • •, ап •
Пусть в полиноме (3.5) будет а0 = 1. Если а > - ат, то оценка границы наибольшего корня может оказаться довольно высокой (например, для уравнения у2 - 4 у - 21 = 0 при т = 1, а = 21 границей наибольшего корня будет число, равное
т
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
a,.
b(M-m) =
а
M ■
Из последнего равенства находится
Ъ = (М-т) .
а,
M
а
m
В новых переменных уравнение (3.5) перепишется как
п п . _ ип-1 п-1 . . _ 1п-т п-т
р(y(z)) = b"z" + a1 b"-1 zn-1 + ... + am b"
z
+.
+ aM b"-M) z("-M) + ... + a,
"-j
b z + an = 0 .
В последнем выражении коэффициенты при слагаемых с отрицательными коэффициентами равны между собой: ат Ъ("-т) = аМ Ъ
Применяя теорему 1 с значением а = | ат | Ъ получим верхнюю границу корня г :
г ( " - M )
("-m)
m
^0
(-am ) b
("-m)
b"
+1 = — л/ b V
- am +1
Пересчет верхней границы для переменной у = Ъг приводит к значению
Уо=bzo=tf-am+( m -
a
M
a„
Таким образом, справедлива
Теорема 2. Все положительные корни алгебраического уравнения (3.5) при а0 = 1 и при отрицательных коэффициентах ат, аМ (ат > аМ) меньше значения
\1/(M-m)
22 , а значение наибольшего положительного корня равно 7). Верхнюю границу можно понизить, применяя ту же теорему 1. Пусть кроме ат имеется еще один отрицательный коэффициент аМ , так что М > т, ат > аМ . Выполним замену
переменных:
у = Ъ г (Ъ > 0), где вещественное Ъ удовлетворяет уравнению
max [(at.am) j ].
Например, для уравнения
y3 - 8 y2 - 59 y - 78 = 0
(3.6)
по критерию (3.6) из значений (59/8) и л/78/8 выбирается индекс у0 = 2, для которого вычисляется у0 =8 + 59/8 = 15,375 . Как легко видеть, эта оценка верхней границы положительного корня, равного 13 , точнее числа 79 , получаемого по теореме 1.
Очевидно, вычисляемое значение у0 тем ближе к наибольшему положительному корню уравнения (3.5), чем большей величиной является
| ат | .
Применим теперь последнюю теорему к задаче гироскопической устойчивости системы (1.1). Оценка корней, как показывают численные эксперименты, получается точнее после приведения уравнения Q2(u ) = 0 к безразмерным коэффициентам. Это можно достичь, в частности, введением замены переменных:
V = u
(t + 1) (c1 + c3 t)
(3.7)
В результате подстановки (3.7) в выражение (3.4) и деления последнего на (с1с2с3)2 получится приведенное уравнение с коэффициентом 1 при старшей степени:
р(^) = v4 + Ъ1 V3 + Ъ2 V2 + Ъ3 V + Ъ4 = 0 . (3.8) Очевидно Ъ4 > 0 ввиду вещественности всех корней уравнения (1.3) при р1 = р2 = 0 . Так как t >0, то t +1 > 1, и для параметра а = (с1 + с3 t+1) допустимыми значениями будут а е [с1 ;0]. Расписывая коэффициент
у0=(-ат Г + (аМ /ат) Так, применение к ранее приведенному примеру у2 - 4у - 21 = 0 по теореме 2 получает у0 = 4 + (21 /4) = 9,25, что точнее приближено к большему положительному корню, равному 7, чем получаемое по теореме 1 число 21 + 1 = 22 .
В случае большего числа слагаемых в (3.5) с отрицательными коэффициентами ак < 0, так
что к0 = т; к1 > к0, к2 > к1,..., кь > кй-1, для оценки верхней границы корней уравнения (3.5) выбирается коэффициент с индексом у0, определяемый из условия
b2 =
(t + 1)
С С 2 С3 (^1
+ c3 t)
[(S22 - 12 S1) a2 +
+ 2 (2 S1 S2 + 9 х1 с2 с3) а + - 12 с1 с2 с3 S2)], при условиях (3.1) получается (во всяком случае при t ^ + 0), что Ъ2 > 0 . Точно так же можно показать, что
Ъ1 = 2Л/(7+1)ч^с17с;7) х
(2 а3 - а2 - ^ а + 2) < 0, Ъ3=2у/^ + 1)с1 с2 с3 (с1 + с3 t)3 х [(6 -
2 9 с1 с2 с3 Я2) а + (6 с1 с2 с3
- Я2 - 9 с1 с2 с3 51)]<0.
c1 c2 c3
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
Сравнением заключается, что | Ь31 > | Ь2 |. Следовательно, в принятых обозначениях верхней границей корней уравнения (3.8) по теореме 2 будем полагать
^0= - Ь + -3.
(3.9)
° + 1) (с, + с3 X)
Параметр р2 должен при этом принимать значения, большие р20, где согласно (3.3)
р20=л/Й 0. (3.11)
Теперь определим искомое значение г0, которое связано с переменной и третьим и четвертым неравенствами (3.1):
(X +1) и0
_ (с2 + с3 X) и0
Неравенства (3.1) будут выполнены, если в
качестве г0 будет выбрано меньшее из значений
г01 , г02 , т. е.
г0=шт[г01, г02]. (3.12)
Для значений и > и0 при этом должны выполняться неравенства
г0 < г <
(X +1) и
г0 < г <
(с2 + с3 X) и
Сравним далее оценки, получаемые из достаточных условий устойчивости, с результами необходимых условий. Пусть так же с2 = - 0,5; с2 =3; с3 = 4, и рассмотрим значения р2, р2, при которых нулевое решение системы (1.1) устойчиво.
Полагая р2 =1, р2 =8,3, при
X, = 1/ (8,3)2 « 0,0145 определим границу достаточных условий р20 и г0 для положительной определенности Ж0 (х, г). Уравнение (3.8) здесь принимает вид
V4 - 27,538 V3 +183,53 V2 - 345 V + 6,8902 = 0. Применяя теорему 2, по формуле (3.9) вычислим
V,, =27,538-
354
31,1213.
Все положительные решения уравнения ^ (V) = 0 должны принимать значения, меньшие v0. Но значения V > v0 , в частности, будут заведомо выполнять неравенство Q2(u(v)) > 0 . Их и будем полагать для достаточности решения условий устойчивости. Проведем пересчет верхней границы корней
с с с (3.10)
127,538
Величина и0 по формуле (3.10) получается численно равной и0 «113,848 . По формуле (3.11) вычислим р20 «10,6699 . Сравнивая полученное с р2 =8,3 (получаемым из необходимого условия), видим, что относительная погрешность величины р2 составляет здесь
2М699-М . 0,222114.
1 10,6699
Далее вычислим г01 = 38,5001; г02 = 25,1567 , откуда полагаем г0 = 25,1567 . Следовательно, для г > г0 при значении X = X, = 0,0145 нулевое решение системы (1.1) устойчиво. Вычислим относительную погрешность величины г (приведенной в начале этого параграфа):
4 = 25Д56? -^ . 0,3957872.
1г 25,1567
Пусть теперь р2 =2, р2 =11,1, тогда для X2=1/(11,1)2 »0,033057 уравнение (3.8) имеет вид
V4 -38,0092 V3 + 230,548 V2 - 383,864 V + 6,8902 = 0. Применяя теорему 2, получим и0 «163,677 . Отсюда следует р20 « 12,7936 , и относительная погрешность величины р2 составляет 52«0,140197. Аналогично вычисляются г01 =56,3626; г02 = 30,0976, что приводит к значению г0 = г02 = 30,0976 . Относительная погрешность величины г здесь оказывается равной 42г « 0,2421322.
Таким образом, при г > г0 из условия положительной определенности квадратичной формы Ж0( х, г) следует устойчивость нулевого решения (1.1). Конечно, при повышении значения | р1 | будут соответственно увеличиваться величины | р2 | и г, но при этом их относительные погрешности уменьшаются.
Окончательный результат с учетом допущений на параметры гироскопической системы можно записать в виде теоремы.
Теорема 3. Для устойчивости нулевого решения линейной автономной гироскопической системы достаточно выполнения следующих условий:
г01 =
с
с1 с3
2
с
с1 с3
2
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
1°) квадратичная форма Ж0 (х, г), построенная на матрице М0(г), должна быть положительно определенной при значениях г > г0, где величина г0 находится по формуле (3.12);
2° ) 40 = - с1с2с3 >0 /
3°) с2 >0.
Процесс определения величины г0 можно алгоритмизировать, не проводя сравнение вычисленных значений г01 и г02. В результате получим критерий:
1) при с2 > с3 -1 с3/с1 (с2 - с1) производится выбор г0 = г01.
2) при с2 < с3 -1 с3/с1 (с2 - с1) производится выбор г0 = г02 .
В частности, при с2 < с3 (когда с1 < 0; с2 > 0, с3 > 0) независимо от значения t можно полагать (как в ранее рассмотренном примере) г0 = г02 .
При полной матрице гироскопических сил, где участвует еще параметр р3, исследование можно осуществлять тем же способом. Дополнительно возникает параметрическая величина р^/р^. При этом составление уравнения (3.8) и анализ его корней в зависимости от двух параметров (р12/р^) и (р^/р^) могут оказаться проще, чем проверка положительной определенности квадратичной формы Ж0(х,г) для всех отличных от нуля элементов матрицы М0 (г) . Следует отметить, что выражение Q(q0,41,42) не следует прямо из матрицы М0 (г).
Теорема 3 может применяться и к гироскопическим системам большей размерности. Величина г при этом существенно зависит от коэффициентов матрицы потенциальной функции. Определяющим уравнением для оценки решений (каким является Q(q0,41,42) = 0 для системы трех степеней свободы) будет выступать одно из необходимых условий устойчивости, обеспечивающее вещественность всех корней уравнения /1 (ц) = 0 . Такое уравнение всегда можно составить из ряда Штурма [19].
Заключение
Проведен сравнительный анализ способов получения достаточных условий устойчивости
гироскопических систем на примере системы третьего порядка и неполной матрицы гироскопических сил. Показана в общем случае для консервативных систем несостоятельность одного известного подхода, основанного на анализе знакоопределенности «измененной потенциальной энергии» при нециклических переменных.
Другие известные способы получения достаточных условий устойчивости [18] очень восприимчивы к значениям коэффициентов матрицы потенциальной функции. Показано, что при неполной связке первых интегралов в качестве функции Ляпунова достаточные условия устойчивости, получаемые из знакоопределенности квадратичной формы, не всегда могут получить определенный результат.
Предложен новый подход к составлению достаточных условий устойчивости, основанный на оценке корней уравнения, составленного из одного необходимого условия устойчивости гироскопической системы. Проведенные вычисления показали, что погрешность значений параметра р2 , при котором достигается устойчивость,
отличается от значения того же параметра, получаемого из необходимого условия устойчивости, не более чем на 25 %. Как показывают демонстрацион-ные примеры, в частности, при увеличении величины р1 относительная
погрешность значений параметра
уменьшается. При этом уменьшается и относительная погрешность величины г0 . Сравнение проводится с необходимыми условиями устойчивости.
Хотя положительная определенность квадратичной формы Ж0 (х, г) при г >4 не имеет прямого отношения ко второму методу Ляпунова, она позволяет проводить оценку наименьшего значения величины г0 , при которой нулевое решение системы (1.1) устойчиво. Как установлено, при вычисленных значениях г > г0 > 4 выполнятся все необходимые условия устойчивости линейных гироскопических систем. Хотя при вычислении достаточного условия предложенным способом привлекается составление уравнения (3.8), проводимые расчеты могут оказаться менее объемными по сравнению с анализом необходимых условий. Это может существенно упростить анализ гироскопических систем большей размер-
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
ности применением последнего составленного
способа достаточных условий устойчивости.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Т. 2. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 7-263.
2. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М. : Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.
3. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М. : Наука, 1967. 472 с.
4. Каменков Г. В. Устойчивость движения, колебания, аэродинамика. Т. 1. М. : Наука, 1971. 255 с.
5. Каменков Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. Т. 2. М. : Наука, 1972. 213 с.
6. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М. : Наука, 1966. 530 с.
7. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М. : Наука, 1971. 312 с.
8. Парс Л. А. Аналитическая динамика. М. : Наука, 1971. 635 с.
9. Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика. Ижевск : ИД Удмурд. ун-т, 1999. 584 с.
10.Ланцош К. Вариационные принципы механики. М. : Мир, 1996. 408 с.
11.Кузьмин П. А. Квадратичные интегралы
линейных механических систем // ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 3. С. 575-577.
12.Лахаданов И.М. О стабилизации потенциальных систем // ПММ. 1975. Т. 39. Вып. 1. С. 53-58.
13.Лахаданов И.М. О квадратичных интегралах линейных автономных систем // ПММ. 1978. Т. 42, Вып. 3. С. 555-557.
14.Бурлакова Л.А., Иртегов В.Д. Теорема Рауса-Ляпунова в системах с линейными интегралами // Прямой метод в теории устойчивости и его приложения. Новосибирск : Наука, 1981. С. 151-165.
15. Новиков М. А. О необходимых условиях устойчивости одной гироскопической системы // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 3. С. 80-86.
16.Козлов В.В. Гироскопическая стабилизация и параметрический резонанс // ПММ. 2001. Т. 65, Вып. 5. С. 739-745.
17.Сальникова Т.В. Об устойчивости линейных потенциальных гироскопических систем // ПММ. 2006. Т. 70, Вып. 1. С. 35-39.
18.Булатович Р.М. Об устойчивости линейных потенциальных гироскопических систем в случаях, когда потенциальная энергия имеет максимум // ПММ. 1997. Т. 61, Вып. 3. С. 385389.
19.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. М. : ГИФМЛ, 1960. 620 с.
