CC BY
11
2007144586/11 ; заяв. 04.12.2007 ; опубл. 10.05.2009, Бюл. № 13. 4 с.
2. Шестерня для торцевой зубчатой передачи с внутренним зацеплением : пат. 77374 Рос. Федерация. № 2008115572/22; заявл. 21.04.2008; опубл. 20.10.2008, Бюл. № 29. 3 с.
3. Торцевая передача с внешним зацеплением зубчатых колес: пат. 96201 Рос. Федерация. № 2009149300/22; заявл. 29.12.09; опубл. 20.07.10, Бюл. 20. 4 с.
4. Тупицын А. А., Ревенский А. А. Альтернативный вид зубчатого зацепления: свойства и характеристики // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 4(28). С. 84-91.
5. Ревенский А. А. Возможность использования торцевого зубчатого зацепления в передачах различной компоновки // Системы. Методы. Технологии. 2012. № 1(13). С. 176-178.
6. Ревенский А. А., Гозбенко В. Е. Моделирование торцевой зубчатой передачи // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 3(31). С. 119-123
7. Вульфсон И. И., Ерихов М. Л., Коловский М. З. Механика машин : учеб. пособие для втузов / под ред. Г.А.Смирнова. М. : Высшая школа, 1996. 511 с.
8. Ревенский А. А., Гозбенко В. Е. Геометрия торцевой зубчатой передачи // Транспорт -2012 : тр. Всерос. науч.-практ. конф. Ч. 2. Ростов : Изд-во РГУПС, 2012. С. 23-25.
УДК: 531.36 Новиков Михаил Алексеевич,
к. ф.-м. н., с. н. с., учреждение Российской академии наук Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952) 45-30-96, e-mail:nma@icc.ru
О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОЙ ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
M.A. Novickov
ON NECESSARY STABILITY CONDITIONS FOR ONE GYROSCOPIC SYSTEM
Аннотация. В статье получены необходимые условия устойчивости тривиального решения одной линейной гироскопической системы трех степеней свободы. Они состоят из четырех строгих алгебраических неравенств, три из них выражают положительность коэффициентов характеристического уравнения, являющегося кубическим уравнением, относительно квадратов собственных значений матрицы правой части системы линейных дифференциальных уравнений. Четвертое неравенство выступает требованием вещественности корней последнего кубического уравнения. Рассмотрена возможность распространения данного подхода к системам больших размерностей.
Ключевые слова: гироскопическая система, простой корень, характеристическое уравнение, необходимое условие устойчивости.
Abstract. The paper discusses necessary stability conditions for the trivial solution of one linear gyroscopic 3 degrees of freedom system obtained by the author. These conditions include four strong algebraic inequalities, three of which manifest positiveness of coefficients in the characteristic equation, which is a cubic equation, with respect to the squares of eigenvalues of the matrix of the right-hand sides in the sys-
tem of linear differential equations. The fourth inequality represents the requirement of the real character of the roots for the latter cubic equation. The possibility of this approach extension to large dimensional systems is considered.
Keywords: gyroscopic system, simple root, characteristic equation, necessary stability condition.
Введение
Обзор ряда задач, описываемых гироскопическими системами, содержится в статье [1]. Наиболее востребованы гироскопические силы в задачах устойчивости механических, регулируемых и управляемых систем. В качественных исследованиях гироскопических систем особое место уделено теореме Тэта-Томсона-Четаева [2, 3] о «гироскопической стабилизации», согласно которой нулевое решение линейной механической системы, имеющей четную степень неустойчивости при только потенциальных силах, может оказаться устойчивым при добавлении гироскопических сил. Влияние гироскопических сил на устойчивость линейных систем полностью изучено в [2] для механических систем двух степеней свободы. Для большего числа степеней свободы в настоящее время не имеется существенных алгоритмов ис-
следования гироскопических систем.
В предложенной статье проведено исследование устойчивости одной гироскопической системы трех степеней свободы, составлены необходимые условия устойчивости.
1. Об устойчивости системы Рассматривается гироскопическая система
Х1 = Р\ Х2 + С1 Х1 , Х2 Рг Х1 + р2 Х3 + С2 Х2 ,
(1.1)
Х^ Р2 Х2 с^ Х^ ,
где с, с2, С - коэффициенты матрицы потенциальной функции; р, р2 - коэффициенты матрицы гироскопических сил. Всюду значения С, с2, с3, Р1, Р2 полагаются вещественными и отличными от нуля. Выражения матриц кинетической энергии, гироскопических сил и потенциальной функции будут следующими:
Г 0 Р1 0 1 Г с с1 0 01
Л = Е3; В = - Р1 0 Р2 ; с = 0 с2 0
, 0 - Р2 0 > ,0 0 с3,
От уравнений (1.1) можно перейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Это можно достичь, например, обозначением Х- (7 = 1,2,3) новыми переменными, и тогда матрица правой части системы ОДУ будет такой:
В =
Г О Е31
С в
Характеристическое уравнение /(К) = ёе1 (В-ХЕ6) = ёе1 (ЛК2 -ВК-С) = 0
ходимых условий устойчивости. В дальнейшем будут исследоваться гироскопические системы, неустойчивые без учета гироскопических сил и с четной степенью неустойчивости. Устойчивость гироскопических систем (1.1) будет рассматриваться как задача параметрического анализа для выбора коэффициентов матрицы В с целью обеспечения устойчивости нулевого решения. При этом значения р , р2 (так как их больше одного) можно дополнительно выбирать из каких-либо условий, например минимизации их по норме или ограничения корней уравнения (1.3).
Как известно [2-6], для устойчивости нулевого решения системы (1.1) необходимо, чтобы все корни уравнения (1.2) были чисто мнимыми. Соответственно, корни уравнения (1.3) должны быть вещественными, к тому же отрицательными. Частично вопрос об отрицательности всех вещественных корней уравнения (1.3) можно решить теоремой Рауса - Гурвица [2, 7, 8], где требуется отрицательность вещественных частей всех корней этого уравнения. Для этого должны быть выполнены условия [2, 7, 8]:
Я2 > 0; det
Я,
1 1
Я Я
V о 1 1 (
det
Я,
Я
V1 о
= Я1Я2- Яо >0;
1 1
Я1
>о.
Отсюда получаем
я2 > 0; Яо > 0;
я >^°>о. Я2
принимает здесь вид
/(К) = (К2 -сДК2 -С2)(Х2 -С3) +
+ х2 [р2(к2 - с) + р2(к2 - с )] = о. (1.2)
При обозначении К2 = последнее уравнение запишется как кубическое:
/ (К) = /1 (К2) =
= /1 (к) = - С1 - С2)(^- С3) + ^ [Р12 - С3 ) + + Р22(^-С1)] = ^ + Я2^2 + Я^ + Яо =0, (13) где Я2 = Р2 + Р2 - (с1 + с2 + с3); я1 = с1с2 + с1с3 + +с2с3 - с1 р2 - с3р^; я0 = -с 1с2с3. Отсюда, в частности, следует, что кроме Я все коэффициенты уравнения (1.3) являются выражениями от параметров матрицы гироскопических сил.
Для решения вопроса устойчивости нулевого решения системы (1.1) будем исходить из необ-
Сформулированные выше условия являются только достаточными для устойчивости, так как сюда относятся как вещественные, так и комплексные решения уравнения / (р.) = 0 . Поэтому еще необходимо потребовать вещественность всех корней уравнения (1.3). Пусть корнями уравнения (1.3) являются вещественные значения ^ < < ^з <0 . Составим уравнение производной от функции (1.3) /' = ф(^) = 3(0,2 + 2я2^ + Я =0 . Дискриминант квадратного уравнения
Я - 3Я1) =
= [-(^ + + )]2 - 3(^1^2 + ^^ + ) = _ 2 4-2 _|-2
представляет квадратичную относительно вещественных значений ^, , форму, которая, как легко видеть, положительно определена. Сле-
довательно, корни р4 = (—42 —V4\ ~ 34х )/3
и р5 = (—4 2 + д/42 — )/3 уравнения
ф(р) = 0 будут вещественными. Из графика кубической параболы / (р) следует, что / (р4) соответствует локальному максимуму / (р), а / (р5 ) - локальному минимуму. Для алгебраического уравнения корни производной функции /(р) (т. е. ф(р) = 0) перемежают корни уравнения / (р) = 0 . Следовательно, можно составить упорядоченную последовательность значений рх <р4 <р2 <р5 <р3 <0.
Все решения уравнения (1.3) будут вещественными, если локальный максимум окажется выше оси абсцисс, а локальный минимум - ниже этой оси, т. е. необходимо выполнение
/х(р 4)>0, /1(р 5)<0. (1.4)
Проведенные вычисления дают /х (р4 ) = (Щ + и2 )/27, /х (р5 ) = (Щ — и2 У21 , где щ = 2ч3 — 944 + 27д0; щ = 2-^4 — 3^)3 .
Легко проверить, что для выполнения неравенств (1.4) необходимо и достаточно единственного условия щ > щ , т. е.
2^4 — 3Чх)3 >2 ч2 — 94х Ч2 + 2740 . (1.5) Разделив последнее неравенство на два и извлекая кубический корень, получаем условие вещественности всех корней уравнения (1.3):
л/ч2 — 34х Ч2 — 92 4х Ч2 + 272 Ч0 . Следовательно, система неравенств Ч2>0; Чх>0; 40>0;
9
27
42 — 34х Чг —-4х Ч2 + — Ч0 (1.6)
выражает необходимые и достаточные условия устойчивости тривиального решения системы (1.1).
Условие вещественности корней уравнения (1.3) в аналитической форме без радикалов можно получить возведением неравенства (1.5) во вторую степень. Тогда получится неравенство
2 2 3 3 2
б = 41 42 — 441 — 4 40 42 +18 40 41 42 — 27 40 >0. (1.5')
Следовательно, система неравенств 42 >0; 4х >0; 40 >0; б>0 (1.6')
также выражает необходимые и достаточные условия устойчивости нулевого решения системы (1.1).
В случае нестрогого неравенства (1.5) экстремум (максимум или минимум) / (р) достигается на одном из корней уравнения (1.3), что соответствует кратному решению уравнения
шшт
/ (р) = 0. Отметим, что неравенство (1.5') можно получить из условия отрицательности дискриминанта кубического уравнения (1.3) [8, 9].
Рассмотрим дальше вопрос о знаках величин С, с2, с3. Одно из необходимых условий устойчивости 4 >0 содержит все значения сх, С, С отрицательные, или одно отрицательное и остальные положительные. Для гироскопической устойчивости будем считать только одно из значений сх, С, С отрицательным, иначе при всех отрицательных с^ (_/ = х,2,3) система (1.1)
устойчива и без гироскопических сил (при только потенциальных).
Из уравнения (1.3) легко показать:
/х(Сх) = Сх Рх2 (Сх — С3); /х(С3) = С3 р2 (С3 — Сх) . Отсюда следует N = /х(сх) /х(с3) = —СхС3 рх2 р2 х
х (с — с )2 . При одинаковых знаках С и С , что может быть только при их положительных величинах, будет N <0, и значения / (с ) и / (с3) получаются разных знаков. По теореме Больцано - Коши [10] тогда непрерывная функция / (р) должна иметь хотя бы один вещественный корень при значении аргумента, расположенном между С и с , который также будет положительным. Тем самым сразу исключается возможность получения всех отрицательных решений рх, р2, р3 . В этом случае нулевое решение системы (1.1) будет неустойчивым независимо от величины сх и других корней р (_/ еДД^}). Следовательно, доказана
Теорема 1. Для устойчивости тривиального решения неустойчивой при только потенциальных силах гироскопической системы (1.1) необходимо, чтобы значения сх и с3 были разных знаков.
Как установлено в [1], разделение системы (1.1) на две независимые подсистемы возможно при с = с . Согласно теореме 1 , в этом случае нулевое решение неустойчиво. Следовательно, декомпозиция системы (1.1) возможна только для систем с неустойчивым тривиальным решением.
Условимся считать с < 0 < с . При четной степени неустойчивости (т. е. 4 < 0 ) и разных знаках с и с необходимо получается всегда с > 0 , при этом может допускаться с = с . Ввиду с2 >0, с >0 и /(+то) отрица-
тельные решения уравнения (1.3) могут быть только при /х(с2) > 0, /х(с3) > 0 . Значение /х(сх) не имеет ограничений на знак, но при
мыми,
т. е. К2, <0(7 е{1,2,...,6},
величины
с2, с3 положительными для осуществления гироскопической устойчивости и отличными от нуля. Следовательно, р К . ^ 0, и кроме того, при положительных значениях с^ (к е {1,2,3}) величина
(ск-К2 )>0.
Элементарные делители обычно находятся [2, 7] К -матрицей. Непростые элементарные делители кратного корня К = К0 легко устанавливаются в случае, если дефект матрицы М0 (К ) = (В -К Е) меньше кратности корня уравнения (1.2). Упомянутые элементарные преобразования можно свести к умножению М0 (К0 ) слева и справа на неособые матрицы:
Г Е 01 Г Е 01
Тг =
- В Е
Т = 1 2
К Е Е
В результате перемножения получается
Г о Е1
Т Т2 Мо (Ко) Т2 =
М (К ) о
1 4 о у
Г(с1 -Ко) - (Р1К0)
М1 (К о) =
Л
( р1К 0)
о
(с2 -К20) - (Р2К0)
(Р2К0) (с3 -К0)
'2'ъ0/ *Л3 'ъ0/ у
Из построения матрицы М0 (К0) видно,
с <0, с3 >0 получается
/1(с1) = -сДс, - с1) Р12>0.
Тогда допустимыми значениями для величины с могут быть с > или ^ < с < . Кроме того, из условия / (с ) > 0 следует
Р2 (с2 - с1) > Р12 (с, - с2) . (1.7)
В случае полной матрицы гироскопических сил (когда дополнительно присутствуют отличные от нуля слагаемые (Х Х ) и (Х Х ) ), в частности при с < 0 < с2 < с, условие (1.7) получается точно таким же из требования /(с2)>0, и при этом, как следствие, выполняется
/1(с1)>0, /1(с3)>0.
2. О кратных корнях характеристического уравнения
Проведем анализ условия Q = 0, когда имеются кратные корни уравнения (1.3) [8, 9, 11]. Это вызвано тем, что в случае кратных простых корней (при выполнении всех остальных условий (1.6)) нулевое решение системы (1.1) устойчиво [2-6], а для непростых корней - решение неустойчиво. Полагаем корни уравнения (1.2) чисто мни-
что ее дефект в точности равен дефекту матрицы третьего порядка М1 (К0 ) .
Как ранее отмечалось, гироскопическая устойчивость системы (1.1) возможна при с <0; с2 > 0; с > 0.
Блок М1 (К0) элементарными преобразованиями можно привести к матрице
(
т.
Р1Ко(с3 -К2о)
(с2 -К2о)(с3 -К20) + Р22К20
о
0
1
( Р2 К 0)
(с3 -К20)
где
т =■
с1 -К0 + Р22 К20 (с3 -К20)
которая
[(с2 -К2)(с3 - К2) + р2 К2]: на решениях уравнения (1.3) обращается в нуль. Так как последние две строки преобразованной вырожденной матрицы образуют отличный от нуля минор второго порядка, то ранг М (К ) равен двум, что соответствует равному единице дефекту. При существовании трехкратного корня уравнения (1.3) дефект матрицы (К0) тоже равен единице. Следовательно, дефект матрицы М0 (К0 ) равен единице, а кратность корня К0 уравнения (1.2) не ниже двух.
Таким образом, кратные корни уравнения (1.2) являются непростыми, и поэтому нулевое решение неустойчиво. Следовательно, обращение в нуль выражения Q приводит к неустойчивости гироскопической системы. Поэтому равенство Q = 0 не включается в необходимые условия устойчивости.
По предположению Яо ^ 0, так как
с ^ 0 (7 = 1, 2, 3) . Но при даже теоретическом допущении одного из значений с = 0 (например, с1 = 0, с2 > 0, с3 > 0) один из корней уравнения (1.3) будет равным нулю. В уравнении (1.2) ему соответствует двукратный корень К0 =0. Проводя аналогичные выкладки, получаем равный единице дефект матрицы М0 (К0 ) = В . Отсюда
следует, что кратный корень
К = 0 является непростым. Точно также двукратный нулевой корень уравнения (1.3) приводит к четырехкратному нулевому корню уравнения (1.2), а дефект матрицы В в этом случае равен двум.
Следовательно, любые кратные решения уравнения (1.2) гироскопической системы (1.1) соответствуют непростым корням характеристи-
1
ческого уравнения (1.2) и потому приводят к неустойчивости нулевого решения (1.1).
Дальше исследуем возможность ослабления неравенств 4. > 0 (у = 0, х 2). Из теоремы
Гурвица [2, 3, 7] следует, что при смене знака хотя бы одного из первых трех неравенств (1.6) нулевое решение системы (1.1) будет неустойчиво ввиду существования хотя бы одного из корней уравнения (1.3) с положительной вещественной частью. Поэтому можно рассматривать только обращение в нуль первых трех неравенств (1.6). Как выше отмечено, 4 = 0 не включается в область устойчивости гироскопической системы (1.1).
При обращении в нуль коэффициента 42
неравенство (1.5') принимает вид 4 43 + 27 4^ < 0, которое для 4 > 0 выполняется только при 4 <0. По теореме Гурвица [2, 3, 7] в таком случае нулевое решение является неустойчивым. Следовательно, для устойчивости нулевого решения (1.1) не допускается 4 =0 .
Точно также не допускается 4 = 0 , так как тогда неравенство (1.5') сводится к требованию 4 4 + 27 < 0. При значении 4 >0 решением последнего неравенства может быть только 4 <0, что по теореме Гурвица [2, 3, 7] также приводит к неустойчивости нулевого решения системы (1.1).
Одновременное обращение в нуль 4 , 4
приводит к неравенству 27 < 0, что не может выполняться при вещественных 4 , 4 , 4 .
Таким образом, система четырех неравенств (1.6) или (1.6'), доставляющая необходимые и одновременно достаточные условия устойчивости нулевого решения системы (1.1), не допускает ослабления строгих неравенств.
3. Обсуждение условий устойчивости
При полной матрице гироскопических сил (когда дополнительно присутствуют слагаемые (х ) и (х^)) заключение о положительности 4- (у = 0Д,...,п — х) получается таким же. Это
следует из теоремы [11], согласно которой при всех неотрицательных коэффициентах алгебраического уравнения не существует вещественных положительных решений уравнения (1.3). При этом в выражениях 4. (у =х,2,...,п — х) участвуют три параметра р , р , р , и одно из значений с , с , с (не обязательно с ) полагается отрицательным.
Рассмотрим возможность распространения изложенного способа анализа устойчивости нуле-
шшт
вого решения (1.1) на линейные гироскопические системы больших размерностей. По исходным матрицам А = , Б, С всегда можно составить характеристическое уравнение /(А,) = 0, которое при симметричной матрице С и кососимметрич-ной Б будет иметь корни разных знаков. В этом можно легко убедиться, составляя выражение /(—А) и используя свойство, что равны определители транспонированной и исходной матриц. Отсюда следует, что в выражении /(А) должны участвовать только четные степени А . Для гироскопической системы п степеней свободы характеристическое уравнение запишется:
/ (А) = А2
Как
+
4(п—х) легко
А2(п—х) +... + 4 А2 + 40 =0.
видеть, коэффициенты
являются зависи-
4у (У = х ,2,., п — х), кроме мыми от параметров матрицы Б .
Поэтому для устойчивости нулевого решения гироскопической системы необходимо и достаточно, чтобы все решения уравнения /(А) = 0 были чисто мнимыми [2]. Обозначением р = А2 характеристическое уравнение можно привести к алгебраическому уравнению п -й степени:
/х(р) = рП + 4(п—х) р(П—х) + . + 4хр + 4с =0.(3.1)
Устойчивость нулевого решения системы (1.1) можно выразить и в терминах корней уравнения (3.1), которое сводится к требованию существования только вещественных корней уравнения / (р) = 0 , притом только отрицательных. Для отсутствия вещественных положительных решений уравнения (3.1) можно воспользоваться известной теоремой [11], согласно которой все коэффициенты уравнения / (р) = 0 должны быть положительными. Следовательно, часть необходимых условий устойчивости можно записать как 4п—х > 0,4п—2 > 0,4х > 0, 40>0 . Так как последний коэффициент 4 не зависит от параметров гироскопических сил, то его положительное значение соответствует четной степени неустойчивости [2]. При п >4 условие
вещественности решений уравнения / (р) = 0 нельзя выразить ни дискриминантом уравнения (3.1), ни условием перемежения с корнями уравнения /х (р) = / (р)/^р = 0 . Единственным способом решения этой задачи может быть применение теоремы Штурма [7, 11] в области изменения аргумента р е (—да;0) или ее возможных аналогов, в частности теоремы Якоби [7, 12]. Так,
в исследуемой задаче ряд Штурма получается следующим:
V о = ./1(Д)= Д3 + ^ 2 д2 + ^д+ sо; ^ = /[ (д)/3 = д 2 + 2^ д/3 + ^ /3;
V2 = Д + s2 - 9s0 )/[2(s22 - )];
V 3
_ 3 ^2 s¡ - 4s0s3 - 4s3 + - 27s02]
[4^2 - 3s1)2] Если применить теорему Штурма, требование вещественности трех различных корней уравнения (1.3) приводит к у3 >0 и сводится в точности к условию Q >0 . Здесь исключаются равные нулю коэффициенты при старших степенях полиномов у2, что имеет место при кратных корнях уравнения / (д) = 0 .
Следовательно, при исследовании в общем виде необходимых условий устойчивости гироскопических систем п степеней свободы требование вещественности всех корней характеристического уравнения / (д) = 0 выражается одним неравенством ^^ ^ >0 (где - последний
полином нулевой степени ряда Штурма [7]). При этом исключаются кратные корни уравнения / (д) = 0 и, по-видимому, не допускаются нули коэффициентов Я] (7 = 0,1,., п -1) этого уравнения [7]. Тогда в общем случае гироскопических систем п степеней свободы необходимые условия устойчивости задаются (п +1) неравенствами: п неравенствами вида Я > 0 (] = 0,1,., п -1) и одним неравенством
Q(У ) >0. Так как
>0
выражает четную сте-
нуля элементов матрицы Ь]к = -Ь]) и равно значению
ч п2 -п _ N (п) =-= С,
В (при учете
2
где Си - число сочетаний (комбинаторное число [8]). Поэтому ввиду избытка параметров матрицы В над числом необходимых условий устойчивости можно дополнительно накладывать условия:
пень неустойчивости гироскопической системы и не зависит от коэффициентов матрицы гироскопических сил, количество неравенств (т. е.
Яп-1 > 0, Яп-2 > 0,., Я1 > 0, ^ ) >0) для определения значений параметров в точности равно числу степеней свободы исследуемой системы. Количество параметров гироскопической системы определяется максимальным числом отличных от
ограниченности элементов матрицы гироскопических сил, минимизации их по норме или требования по другим критериям. Заключение
Как показали проведенные в статье выкладки, не для всякой линейной гироскопической системы можно достичь устойчивости нулевого решения. При неполной матрице гироскопических сил иногда, даже при любых гироскопических силах, в принципе нельзя добиться устойчивости, что подтверждает теорема 1. На примере линейной гироскопической системы трех степеней свободы доказана возможность гироскопической устойчивости при наличии даже неполной матрицы гироскопических сил. По-видимому, это же свойство может существовать и для систем большей размерности.
Получены необходимые и достаточные условия устойчивости тривиального решения гироскопической системы трех степеней свободы. Они состоят из четырех строгих неравенств вида (1.6) или (1.6'). В трех условиях из них участвуют коэффициенты матрицы гироскопических сил, а последнее, зависящее лишь от коэффициентов матрицы потенциальной функции, подтверждает четную степень неустойчивости.
Установлено, что необходимые и достаточные условия гироскопических систем большей размерности можно установить только с применением теоремы Штурма о числе вещественных решений алгебраического уравнения в заданном интервале или его аналогов.
Для гироскопических систем, как и для большинства механических систем, установлено свойство, что в случае кратных корней характеристического уравнения нулевое решение неустойчиво.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Новиков М. А. О декомпозиции одной гироскопической системы // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 2. С. 60-64.
2. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М. : Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.
3. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М. : Наука, 1971. 312 с.
4. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М. : Наука, 1966. 530 с.
5. Каменков Г. В. Устойчивость движения, колебания, аэродинамика. Т. 1. М. : Наука, 1971. 255 с.
6. Каменков Г. В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. Т. 2. М. : Наука, 1972. 213 с.
7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Наука, 1967. 576 с.
иркутским государственный университет путей сообщения
8. Корн Г. К., Корн Т. К. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. : Наука, 1973. 831 с.
9. Ван дер Варден. Алгебра. М. : Наука, 1979. 623 с.
10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М. ; СПб.: Физматлит, 2001. 679 с.
11. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2. М. : ГИФМЛ, 1960. 620 с.
12. Крейн М. Г., Неймарк М. А. Метод симметрических и эрмитовых форм в теории отделения корней алгебраических уравнений. Харьков : ГТТИ, 1936. 39 с.
УДК 699.841 Щербин Сергей Анатольевич,
к. т. н., доцент, декан факультета технической кибернетики, Ангарская государственная техническая академия, e-mail: sshherbin@mail.ru
Чигринская Лариса Сергеевна, старший преподаватель кафедры промышленного и гражданского строительства, Ангарская государственная техническая академия, e-mail: ChS81@mail.ru
МОДЕЛИРОВАНИЕ УСИЛЕНИЯ НАДКОЛОННОГО СТЫКА
БЕЗРИГЕЛЬНОГО КАРКАСА
S.A. Shcherbin, L.S. Chygrynskaya
BEAMLESS FRAMEWORKS ABOVE COLUMN JOINT STRENGTHENING MODELING
Аннотация. В статье рассмотрены различные варианты усиления надколонного стыка безбалочного перекрытия. Выполнено моделирование усиленных стыков в среде SCAD, проведен анализ и сравнение данных численного расчета с целью выбора наиболее рационального варианта усиления.
Ключевые слова: моделирование, усиление, надколонный стык; безригельный каркас, безбалочное перекрытие.
Abstract. Various options of strengthening above-column the joint of beamless flat slabs are considered. Analysis and comparison of the numerical calculation data in the SCAD program are executed.
Keywords: modeling in SCAD, strengthening, beamless flat slab, stress and deformation distribution.
За первое десятилетие XXI века в России претерпели существенное изменение многие нормы и правила в области строительства.
В результате большое количество как эксплуатируемых, так и недостроенных зданий, запроектированных по прежним нормам, не удовлетворяют современным требованиям.
Сложившаяся ситуация требует оценки несущей способности и пригодности к нормальной эксплуатации конструкций существующих зданий, а также поиска новых вариантов усиления применяющихся в строительстве конструктивных си-
стем (КС).
В России широкое распространение получили системы с безригельным каркасом, характеризующиеся быстротой возведения, архитектурной выразительностью и свободной внутренней планировкой помещений с одновременным обеспечением прочности, надежности и устойчивости здания [1].
По проблемам использования КС с безри-гельным каркасом в строительной практике имеется большое количество научных публикаций, однако очень ограниченна информация об экспериментальных исследованиях работы таких систем под нагрузкой, отсутствуют четкие рекомендации по обеспечению пространственной жесткости здания [2, 3]. Кроме того, известным КС присущи значительные недостатки - сложная технология и, соответственно, трудоемкость выполнения стыков между плитами и надколонного стыка, что зачастую приводит к уменьшению надежности системы.
Поэтому актуальным представляется экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния безбалочного перекрытия с целью поиска эффективных вариантов повышения надежности и сейсмостойкости зданий.
В результате натурных испытаний конструктивной ячейки безбалочного перекрытия, встроенной в систему каркаса КУБ-1, было выявлено неравномерное распределение прогибов
