О сохранении неустойчивости механических систем при эволюции диссипативных сил Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2011. Т. 4, № 3. С. 3-19

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 531.36

О сохранении неустойчивости механических систем при эволюции диссипативных сил

А. Ю. Александров, А. В. Платонов

Санкт-Петербургский государственный университет

А. А. Косов

Институт динамики систем и теории управления СО РАН

Аннотация. Исследуются описываемые дифференциальными уравнениями Лагранжа второго рода механические системы с нестационарной эволюцией диссипативных сил, приводящей к их доминированию или исчезновению. Доказаны теоремы о неустойчивости равновесия по линейному приближению в условиях неприменимости известных для нестационарных линеаризаций классических критериев. Рассмотрены случаи существенно нелинейных диссипативных сил, определяемых однородной функцией Рэлея или зависящих от координат, для которых также получены условия неустойчивости положения равновесия.

Ключевые слова: механические системы, диссипативные силы, устойчивость, функции Ляпунова, нестационарный параметр.

Рассмотрим механическую систему, в которой среди действующих сил присутствуют диссипативные силы и которая имеет неустойчивое положение равновесия. Предположим, что с течением времени диссипативные силы могут эволюционировать, что выражается в появлении при векторе этих сил скалярного множителя h(t) > 0, заданного при всех t > 0 и сохраняющего диссипативную структуру данных сил. Когда можно быть уверенным в том, что неустойчивость механической системы сохранится, несмотря на эволюцию диссипативных сил?

Проблемы устойчивости механических систем при нестационарных законах сопротивления рассматривались многими авторами (см., например, [2-4, 8, 14, 17-19] и цитированную там литературу). Основная цель данной статьи состоит в том, чтобы для двух наиболее радикальных (приводящих к доминированию или исчезновению) типов эволюции

Введение

диссипативных сил указать классы систем, для которых неустойчивость положения равновесия будет сохраняться.

1. Постановка задачи

Рассмотрим голономную механическую систему с не зависящими от времени связями, имеющую n степеней свободы. Векторы обобщенных координат и скоростей обозначим соответственно через q и q . Кинетическая энергия такой системы представляется квадратичной формой T = T(q,q) = 1/2 qтA(q)q с симметрической положительно определенной

матрицей A(q). Будем считать, что матрица A(q) задана и непрерывно

дифференцируема при ||q|| < q, где q = const > О, || ■ У — евклидова норма вектора. Уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют вид [ll]

d dT dT . .

dtdq — dq = Q(t'q'q)■ (Ll)

Через Q(T,n), где т > О, n > О, будем обозначать область ії(т,п) = {(t,q,q) : t > т, ||q|| < n, ||qH < n}. Предположим, что обобщенные силы Q(t, q, q) определены в области П(О, q), непрерывны по всем аргументам, непрерывно дифференцируемы по компонентам векторов q, q и удовлетворяют условию Q(t, О, О) = О. Таким образом, система (l.l) имеет положение равновесия q = q = О.

Пусть при всех q є Rn и всех q є Rn таких, что

кинетической энергии выполняются оценки

kiNqN2 < T(q,q) <

dT

dq

<

dT

<

< Q, для

(l.2)

Здесь к\, &2, кз, к^ — некоторые положительные постоянные.

Согласно теореме о каноническом разложении силовых полей [6] вектор обобщенных сил Q = Q(t, д, д) представим в виде суммы

Я = Q(p)(t, д) + Q(n)(t, д) + Q(d)(t, д, д) + Q(я)(t, д) + Q(v)(t, д, д) (1.3)

линейных потенциальных сил Q(p')(t,д) = —С(1)д, Ст(^ = С(^, линейных неконсервативных позиционных сил Q(n')(t,д) = —Р(^д, Рт(^ =

—Р(Ь), всех присутствующих в системе (как линейных, так и нелинейных) диссипативных сил Q(^d)(t,д,д) = —Е(Ь)д — /(Ь,д,д), Вт(^ = B(t), линейных гироскопических сил Q(я)(t,д) = —С(^)д, Ст(^ = —G(t), и, вообще говоря, нелинейных сил Q(v')(t, д, д), не являющихся диссипативными, которые будем называть возмущениями. Отметим, что возмущения Q(v')(t, д, д) могут, в частности, включать и ускоряющие силы, если таковые присутствуют в системе. Пусть матрица С(Ь) непрерывно дифференцируема, а матрицы В^), С^) и Р(^ непрерывны при t > 0.

2

2

Через Лтіп(-) и Лтах(-) будем обозначать соответственно наименьшее и наибольшее собственные числа симметрических матриц. Для произвольной зависящей от времени матрицы М(і) положим

fimin(M (t)) = inf У Amin (MT (t)M (t)),

fimax(M(t)) = SUpJAmax (MT(t)M(t)). t>f

Введем обозначения

bmin = inf Amin (B(t)) 7 bmax = SUp Amax (B(t)) 7 c* = ^max(C(t))7 t>f t>f

Cf = <fLn(C (t)), Cl = fimax(C (t)), g = fimax(G(t)), p = fimax(P (t)).

Линейную компоненту диссипативных сил — B(t)q будем считать обладающей полной диссипацией и ограниченной, так что

bmin > 07 bmax < +ТО. (1.4)

Для нелинейных диссипативных и возмущающих сил в области Q(0, д) будем считать выполненными оценки

—qTf (t,q,q) < 0, ||/(t,q,q)\\< diNqNl+ei, (1.5)

||Q(u)(t,q,q)|| < d2 (|qNl+e2 + ||q||) . (1.6)

Здесь di, 6,2, fii и ^2 — некоторые положительные числа.

Предположим теперь, что диссипативные силы эволюционируют, т.е. в представлении (1.3) вместо слагаемого Q(d')(t,q,q) следует рассматривать h(t)Q(d')(t,q,q). Тогда уравнения (1.1) принимают вид

d dT dT

МЩ — dq = Q(p)(t'q)+ Q("4t,q) + h(t)Q(d)(t,q,q) +

+ Q(g^(t, q) + Q(u)(t,q,q).

Здесь и всюду далее функция h(t) считается заданной при t > 0, непрерывно дифференцируемой и положительной. Наиболее радикальной эволюция диссипативных сил будет в двух случаях, когда для h(t) выполнено условие

h(t) ^ +^> при t ^ +то, (1.8)

либо условие

h(t) ^ 0 при t ^ +го. (1.9)

Основная задача настоящей статьи — получить условия на скорость изменения параметра эволюции h(t) и составляющие разложения (1.3)

вектора обобщенных сил, выполнение которых обеспечит неустойчивость положения равновесия д = д = 0 системы (1.7).

Необходимо отметить, что вектор обобщенных сил Q(t,д,д), являющихся аналитическими функциями обобщенных координат и скоростей, всегда может быть представлен в виде разложения (1.3) [6]. Однако при этом возможны и такие случаи (при нелинейных законах сопротивления), когда матрица В(Ь) = 0, поэтому первое неравенство в (1.4) не выполняется. Кроме того, в разложении (1.3) могут отсутствовать линейные позиционные силы, т.е. Q(p\t,q) = 0, Q(n')(t,q) = 0. Поэтому представляет интерес получение условий неустойчивости положения равновесия при эволюции диссипативных сил и в таких случаях, когда в представлении (1.3) разложения позиционных и/или диссипативных сил в ряды по степеням обобщенных координат и скоростей начинаются с существенно нелинейных членов. Основным методом исследования является метод функций Ляпунова, поскольку ввиду существенной нелинейности системы применение других методов затруднительно.

2. Линейные диссипативные силы с нестационарным

параметром

В этом разделе сначала будем рассматривать случай, когда в системе (1.7) параметр эволюции h(t) удовлетворяет условию (1.8). Предположим, что неконсервативные позиционные силы являются малыми, так что уравнения движения принимают вид d dT дТ

dm — oq = - C (t)+eP m q — m( B(t)q+f (t'q'q^) — (2.1)

— G(t)q + Q(v\t, q, q), где e > 0 — малый параметр.

Теорема 1. Если выполнены условия (1.4), p < +го, g < +го, cf > 0, cl < +го, c* < +го, квадратичная форма qTC(t)q неположительна, квадратичная форма qTC (t)q при всяком t > 0 может принимать отрицательные значения, а для параметра эволюции h(t) справедливы соотношения (1.8) и

Гdt

If h(t)=+(X, (2.2)

\h(t)\ < Mlh2(t) при t > 0, Mi = const > 0, (2.3)

то положение равновесия q = q = 0 системы (2.1) неустойчиво при любых удовлетворяющих неравенству (1.6) возмущающих силах Q(v)(t,q,q) и любом значении е, для которого выполнена оценка

\е\ <___________4cfbmin__________________________. (2.4)

4ClbminP + (Mlk3cl + clb max + p)2'

Доказательство. Рассмотрим в качестве функции Ляпунова

1 — дТ

V (t,q,q) = —Т (q,q) — ^ qT C (t)q— щ qT C (t) -щ. (2.5)

Здесь — — положительное число, которое выберем позже.

При любом фиксированном y > 0 и достаточно большом т > 0 в силу условий теоремы и (1.2) функция (2.5) будет удовлетворять в области &(т, д) оценке

V(t,q,q) < al (j|q||2 + ||q||2) , al = const > 0. (2.6)

Вычисляя производную функции (2.5) в силу системы (2.1), получаем с учетом (1.4)-(1.6) и (2.3)

ОЛ7П

V(t, q, q) = hqT(Bq + f) + eqTPq — qTQ(u) — - qTC— —

h dq

—2 qT Cq—h qT c(dT — +/)—Gq—(c+eP )q+—

—qT (lC—h C) w> h (a|q|2—2Ь||<г| |q|+C||<,||2)= hW

Здесь коэффициенты квадратичной формы W(|q|, ||q||) двух аргументов задаются формулами

a = h2bmin — d2h — -clk3 — c = — (cq — ap\e\ — Cld2||q||e2) ,

2b = (p\e\ + -Clk3Ml + -Clbmax) h + hd2Іq|f2 +

+ -c* кз + h-Cldl ||q||ei + -Clg + —c^.

Положим — = \e\. Тогда при выполнении условия (2.4) при достаточно большом т > 0 и достаточно малом ц > 0 из обобщенного критерия Сильвестра следует, что в области £}(т,ц) будет иметь место неравенство W(||q||, ||q||) > a2 (|q||2 + ||q||2), где a2 — положительное число. Поэтому с учетом (2.6) в этой области справедлива оценка

V (t' q'q) > rn (|q|2+|q|2) > olioV (t'q'q) (27)

Предположим, что положение равновесия q = q = 0 системы (2.1) устойчиво. Тогда при достаточно малых значениях |qf |, ||qf | движение q(t), q(t) с начальными условиями tf > т, q(tf) = qf, q(tf) = qf будет при всех t > tf оставаться в области &(т, ц). Выберем начальные данные так, чтобы выполнялось неравенство V (tf, qf, qf) > 0, что всегда можно

сделать в соответствии с условиями теоремы. Тогда вдоль движения будет справедливо вытекающее из (2.7) соотношение

а2 [ь 6з \

^ при £ ^ +го,

что противоречит неравенству (2.6). Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. □

Замечание 1. В случае постоянной матрицы потенциальных сил (C(t) = C = const) все требования теоремы 1 к ней сводятся к невырожденности (det C = 0) и наличию хотя бы одного отрицательного собственного числа. Таким образом, теорема 1 соответствует классическим условиям неустойчивости изолированного равновесия потенциальной системы, устанавливаемым по квадратичным членам разложения потенциальной энергии [12, 16].

Замечание 2. Для функции

h(t) = (t + 1)а (2.8)

все накладываемые на нее условия теоремы 1 будут выполнены при

0 < а < 1, причем коэффициент Ml можно считать сколь угодно малым положительным числом. Поэтому в данном случае ограничение (2.4) на величину параметра е можно ослабить, положив в нем Ml нулем.

Пример 1. Из теоремы 1 следует, что положение равновесия q = q = 0 системы с одной степенью свободы

q + (t + 1)q — q = Q(v')(t, q, q) (2.9)

неустойчиво при любых удовлетворяющих условию (1.6) возмущаю-

щих силах Q(u)(t,q,q). Отметим, что (2.9) можно рассматривать как уравнение возмущенного движения маятника по отношению к верхнему положению равновесия в случае растущего с линейной скоростью коэффициента трения. Линеаризованное уравнение x + (t + 1)x — x = 0 имеет общее решение

x(t) = ll(t + 1) — l2 (( + 1) J exp (~s2/2^ ds + exp (~(t + 1)2/2^j ,

где ll и I2 — произвольные постоянные. Характеристические показатели всех нетривиальных решений линеаризованного уравнения равны нулю, поэтому известные для нестационарных линеаризаций теоремы о неустойчивости по линейному приближению [16, 10] неприменимы к системе (2.9).

Перейдем теперь к рассмотрению случая исчезающих в соответствии с (1.9) диссипативных сил в системе (1.7). При этом будем предполагать, что в уравнениях линейного приближения нестационарность связана только с параметром Ь(Ь). Тогда уравнения (1.7) можно записать в виде

Ад + (М + Н(г)Б + О)д + (С + Р )д = 5 (г, д, д). (2.10)

Здесь А, М, Б, С — постоянные симметрические матрицы соответственно инерционных характеристик, ускоряющих, диссипативных и потенциальных сил, причем А = А(д)\ _0 — положительно определенная, а М и Б — матрицы знакопостоянных (либо знакоопределенных) соответственно отрицательной и положительной квадратичных форм;

О и Р — кососимметрические матрицы гироскопических и циркулярных сил; <5(Ь, д, д) — нелинейные силы, удовлетворяющие в области 0(0, п) оценке <5(г,д,д) < (з (||д|| + ||д||)1+вз, (з > 0, вз > 0.

Наряду с нелинейной системой (2.10) будем рассматривать систему линейного приближения

Ад + (М + Н(г)Б + О)д + (С + Р)д = 0. (2.11)

С учетом (1.9) из (2.11) получается предельная линейная система с постоянными коэффициентами

Ах + (М + О)х + (С + Р)х = 0. (2.12)

С помощью невырожденной линейной замены х = Ьу систему (2.12) можно представить в эквивалентном, в плане устойчивости, виде

у + [ы + (° у + (Со + р) у = 0 (2ЛЗ)

где матрица Со = ЬтСЬ — диагональная, М = ЬтМЬ — симметрическая, а О = ЬтОЬ и Р = ЬтРЬ — кососимметрические.

Теорема 2. Если для параметра Н(г) выполнено соотношение (1.9) и характеристическое уравнение системы (2.12) (или (2.13), что эквивалентно) имеет корни с положительной вещественной частью, то положение равновесия д = д = 0 системы (2.10) неустойчиво.

Доказательство. В соответствии с теоремой Перрона [13, с. 351, теорема 4] характеристические показатели линейной системы с переменными коэффициентами (2.11) совпадают с вещественными частями корней характеристического уравнения предельной системы (2.12) (или (2.13)). Поэтому сумма характеристических показателей 5 равна следу —БрМ матрицы системы (2.13), записанной как система уравнений первого порядка.

Из (1.9) следует, что Нш

/ Ь(т) (т = 0 при всех г0 > 0.

■По

г^+сх. г — го и г0

Положим Б = ЬтБЬ. В соответствии с неравенством Ляпунова

1 г* г __ __

5 > Нш -------- Бр —М — Н(т)В — О (т = —БрМ = Б,

*^+х г — £о ,п0 ^ -I

т.е. неравенство Ляпунова обращается в равенство, что означает правильность системы (2.11). Теперь утверждение доказываемой теоремы вытекает из теоремы Четаева о неустойчивости по правильному линейному приближению [16, §70]. □

Перечислим ряд условий, гарантирующих наличие корней с положительной вещественной частью у характеристического уравнения (2.13) и, тем самым, неустойчивость равновесия системы (2.10).

Если М = 0, т.е. если ускоряющие силы присутствуют в системе

(2.10), а диссипативные исчезают в соответствии с (1.9), то равновесие неустойчиво независимо от гироскопических, потенциальных и циркулярных сил. Поэтому далее считаем М = 0.

Если ёе^С + Р) < 0, то равновесие неустойчиво независимо от выбора матрицы О гироскопических сил [15].

П

Если матрицы О и Р в (2.13) таковы, что Е д^р^ = 0, то равно-

г,3=1

весие неустойчиво независимо от выбора матрицы Со потенциальных сил [7]. Система (2.13) вообще может быть устойчива только в случае М = 0 и обращении в нуль всех коэффициентов при нечетных степенях в характеристическом уравнении [7]. Такое обнуление обеспечивается, если помимо М обнуляется еще и одна из матриц О и Р.

Если М = 0 и О = 0, а БрСо < 0, то равновесие неустойчиво независимо от выбора матрицы циркулярных сил Р [9].

Если же М = 0, Р = 0 и ёе^С + Р) = det С > 0, то за счет выбора матрицы О возможна гироскопическая стабилизация [16]. Однако, если скорость исчезновения диссипативных сил в соответствии с (1.9) удовлетворяет некоторым условиям (см. ниже теорему 5), то и в этом случае положение равновесия будет неустойчиво.

Пример 2. Рассмотрим систему типа (2.10) с двумя степенями свободы (п = 2), в которой присутствуют гироскопические и циркулярные силы, т.е. матрицы О и Р ненулевые. Тогда равновесие неустойчиво независимо от потенциальных сил.

Пример 3. Рассмотрим систему типа (2.10) с тремя степенями свободы (п = 3) и без ускоряющих сил, для которой уравнения (2.13)

приведены к виду

/ 0 —д1 —д2\ ( С1 —р1 —Р2 \

у+ I д1 0 —дз I у + I Р1 С2 —Рз I у = 0. (2.14)

д2 дз 0 р2 рз Сз

Будем рассматривать трехмерные векторы р = со1 (р1,р2,р3), д =

со1 (д1,д2,д3) и диагональную матрицу С = diag (с3, с2, с1). Пусть в (2.14)

матрицы Р и Со (т.е. вектор р и матрица С) зафиксированы и при этом векторы р и Ср неколлинеарны. Тогда равновесие будет неустойчиво при любом выборе матрицы гироскопических сил, за исключением того случая, когда вектор д является коллинеарным векторному произведению р х Ср, т.е. матрица гироскопических сил, при которой возможна устойчивость, определяется фактически единственным образом (с точностью до скалярного множителя).

Примеры 2 и 3 показывают, что при исчезновении диссипативных сил с любой скоростью в соотношении (1.9) и одновременном присутствии гироскопических и циркулярных сил в системе, неустойчивость равновесия является типичным динамическим свойством.

3. Нелинейные диссипативные силы с нестационарным

параметром

Рассмотрим теперь случай, когда в уравнениях (1.7) диссипативные силы существенно нелинейны (Б(г) = 0). Кроме того, будем предполагать, что в разложении (1.3) отсутствуют линейные неконсервативные силы (Р(г) = 0) и могут отсутствовать линейные потенциальные силы (для матрицы С (г) может иметь место тождество С (г) = 0).

Пусть уравнения представлены в виде

( дТ дТ дЯ дП . .

— ад - —к()— - -щ- (3Л)

Здесь функция Рэлея Я(д) непрерывно дифференцируема при всех д € К”, положительно определена и является однородной порядка V + 1,

V > 1; О(г,д,д) — непрерывная и ограниченная в области 0(0, д) кососимметричная матрица; потенциальная энергия П(д) — дважды непрерывно дифференцируемая при д € Кп однородная функция порядка ц, + 1, ц, > 1; нестационарный параметр Н(Ь) — положительная и непрерывно дифференцируемая при г > 0 функция. Таким образом, рассматриваемая система находится под действием потенциальных, гироскопических и эволюционирующих со временем существенно нелинейных диссипативных сил. При выполнении указанных условий положение д = д = 0 является положением равновесия для (3.1).

Будем считать, что функция n(q) не имеет минимума в точке q = 0 и dn(q)/dq = 0 при q = 0, т.е. у системы (3.1) нет положений равновесия, за исключением q = q = 0. Известно [14], что если h(t) = const > 0, то положение равновесия q = q = 0 неустойчиво. Определим условия неустойчивости для переменного параметра h(t). При этом рассмотрим два наиболее радикальных типа эволюции диссипативных сил, приводящих к их доминированию или исчезновению.

Исследуем сначала случай неограниченно растущего параметра.

Теорема 3. Если для параметра эволюции h(t) справедливо предельное соотношение (1.8), и существует число а > 1/v, для которого выполнены следующие условия:

Гdt

7^ = +~, (3.2)

Jo h° (t) ’ v 7

* 1 _l_ 1 + ^

\h(t)\ < Kh + v+1 (t) при t > 0, K = const > 0, (3.3)

то положение равновесия q = q = 0 системы (3.1) неустойчиво.

Доказательство. Функцию Ляпунова строим в виде

Y n (дП \ в дТ

v(t.q.ql = n(ql + Тш + ^ g(д-, (34)

где y > 0, в > 1, причем в — рациональное число с нечетными числителем и знаменателем. Дифференцируя (3.4) в силу системы (3.1), с учетом (3.3) получаем, что в области Q(0, g) справедлива оценка

V(t,q,q) < -01 (^||<гГ("+1) + /!(()||<г|Г+1) +

+(МЩкГIig|v + (1 + Khi+ (t)) Uf ||q| + ||q|^e-1|q|

где a1 > 0, a2 > 0.

Пусть в = v. Тогда положительные числа Y,n,T,a3,a4 можно выбрать так, чтобы в области Q(t, п) имели место неравенства

\V(t,q,q)| < аз (|q|f+1 + ||q||2) , (3.5)

V(t, q,q) < -+1) + ^ft1) . (3.6)

Предположим, что положение равновесия q = q = 0 устойчиво. Зададим to > т и найдем точку q0 такую, что n(qo) < 0 и решение q(t)

системы (3.1) с начальными данными q(to) = qo, q(to) = 0 при всех

t > t0 удовлетворяет условиям IIq(t)II < п, ||q(t)| < п

Рассмотрим функцию V(t) = V(t, q(t), q(t)). Функция V(t) монотонно убывает и ограничена на промежутке [to, +то), причем V(to) < 0. Учитывая неравенство (3.5), получаем, что IIq(t)II + ||q(t)| > go при t > to, где go — положительная постоянная. А тогда из оценки (3.6) и условия (3.2) следует, что V(t) ^ —то при t ^ +то. Приходим к противоречию, которое и доказывает теорему. □

Далее наряду с системой (3.1) рассмотрим возмущенную систему d дТ дТ dR . дП ,v). . .

тщ — д, = —т— a(t,q’q>q — -щ+Q (t,q,q>. (37)

Здесь вектор-функция Q(u) (t, q, q) задана и непрерывна в области Q(0, g) и удовлетворяет неравенству ||Q(u)(t, q, q)|| < e||q||5+d||q||£, где e, d,8,£ — положительные постоянные. Таким образом, система (3.7) также имеет положение равновесия q = q = 0. Определим условия, при выполнении которых неустойчивость этого положения равновесия сохраняется и для возмущенной системы.

Теорема 4. Если параметр h(t) удовлетворяет условиям (1.8) и

Г+х dt . .

L ¥Щ = ()

\h(t)\ < Kh1+v(t) при t > 0, K = const > 0, (3.9)

то при 8 > уv, £ > v и достаточно малых значениях e положение равновесия q = q = 0 системы (3.7) неустойчиво.

Доказательство. Снова рассмотрим функцию Ляпунова (3.4). Для ее производной в силу возмущенной системы (3.7) в области Q(0, g) справедлива оценка

V(t,q,q) < —a1 (^||q|f(e+1) + ЛИИ^Г1) +

+ a2 (|qN + Hqf") (е|9|а + d|q|^ +

+(-WlkifII,Iv + (1 + Khi(t)) ц,Г|q| + lkir-1Ilqli

Здесь a1, a2, аз — положительные постоянные. В данном случае учет возмущений в системе (3.7) приводит к тому, что у нас не остается произвола в выборе параметра а. Его значение должно определяться по формуле а = 1/v. Дальнейшее доказательство с учетом (3.8) и (3.9) проводится аналогично доказательству теоремы 3. □

Определим теперь условия неустойчивости положения равновесия системы (3.1) с исчезающими со временем диссипативными силами.

Теорема 5. Если для параметра эволюции Н(і) справедливо предельное соотношение (1.9), и существует число а > 1, для которого выполнены следующие условия:

то положение равновесия д = д = 0 системы (3.1) неустойчиво. Используя функцию Ляпунова

где ^ > 0, в > 1, причем в — рациональное с нечетными числителем и знаменателем, доказательство настоящей теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 3.

Замечание 3. Теорема 5 справедлива и при V = 1 (для линейных диссипативных сил).

Замечание 4. Пусть параметр Ь,{Ъ) определяется по формуле (2.8), где а < 0. Тогда условия (3.10) и (3.11) будут выполнены при а > -1.

4. Нелинейные диссипативные силы, зависящие от обобщенных координат

В теории механизмов и машин встречаются дифференциальные уравнения механических систем с диссипативными силами позиционно-вязкого трения, зависящие не только от обобщенных скоростей (линейным образом), но и от обобщенных координат [5]. Поэтому рассмотрим теперь тот случай, когда уравнения (1.7) имеют вид

(3.10)

♦ і і 1 — с

\Н(і)\ < КН ^+1 (і) при і > 0, К = еоші > 0, (3.11)

П / ОТТ \

V(і, д, д) = П(д) + Т(д, д) + 1ЬГ(і) -)

в от

оді,

дТ _ дТ йі дд дд

(4.1)

Здесь матрица гироскопических сил С(Ь, д, д) и потенциальная энергия П(д) обладают свойствами, указанными в разделе 3. Будем считать, что компоненты вектора Р (д) являются непрерывно дифференцируемыми

при q £ Rn однородными функциями порядка v + 1, v > 0. Кроме того, предположим, что всех q,q £ Rn справедлива оценка

д F

qTdqq > cNqNvllqll2,

где c — положительная постоянная. Введем обозначение ( = max{v; 2}.

Система (4.1) имеет положение равновесия q = q = 0. В случае, когда h(t) = const > 0, это положение равновесия неустойчиво [14]. Исследуем условия неустойчивости при переменном параметре h(t), неограниченно возрастающем, либо стремящимся к нулю с ростом времени.

Рассмотрим сначала случай эволюции диссипативных сил, приводящей к их доминированию.

Теорема 6. Если для параметра h(t) справедливо соотношение (1.8), и существует число а > 1, для которого выполнены условия (3.2) и

• i I 1 + ^

\h(t)\ < Kh + z (t) при t > 0, K = const > 0, (4.2)

то положение равновесия q = q = 0 системы (4.1) неустойчиво. Доказательство. Построим функцию Ляпунова для (4.1) в виде

V(t,q,q) = n(q)+T(q,q) - l|q|ls-'qTq+^ t (g)' ^, (4-3)

где Yi > 0, y2 > 0, в > 1, к > у, причем величина к/у является рациональным числом с нечетными числителем и знаменателем.

В области Q(0, g) справедливы оценки

2л , Yi М0 , 72^3

\У(t,q,q)\< al(Bq«"+1 + ||-||2) + Ц-ВВ-В3 +

h°(t)'"""‘" h”(t

V(t,q,q) < h^(-02(72|ЫГ+" + 7il|q||S+1 + hi+”(t)||qf Il4l^ + +аз( Yih ^ +72 h^ (t)||<,ril<ill + 7ilkr+1ll4lls-1+7illq|lll4lls+

+7ih(t)||q|r+1||q||,e + 72|ЫГ-1||<г||2 + У2Щ)ЫГ+-||<г|| + 72||<гГ Ml)),

где ai, 02, аз — некоторые положительные постоянные.

Используя доказанную в работе [1] лемму 1.2, получаем, что если к > у + v, в > 1 + max{v; 2(к — 1)/(к + у — v)}, то положительные числа Yi, Y2, П, r и 04 можно выбрать так, чтобы в области Q(r,n) имели место неравенства

/ л a4 (||q||K+M + ||q||e+1

\V(t,q,q)\ < 2al (||qF+1 + ||q||2) , У(t,q,q) <----------

ha (t)

Дальнейшее доказательство аналогично доказательству теоремы 3. □

Замечание 5. Если нестационарный параметр имеет вид (2.8), где а > 0, то условия (3.2) и (4.2) будут выполнены при а < 1.

Наряду с системой (4.1) рассмотрим теперь возмущенную систему

d дТ дТ , , .OF . дП ,v). .

dt-щ — W = —h(t)°qq—G(t'q,q)q—-Щ+Q (t,qq)- (4-4)

Здесь вектор-функция Q(u) (t, q, q) задана и непрерывна в области Q(0, g) и удовлетворяет неравенству ||Q(u)(t,q,q)l < e||q||5 + d|q|^||q||, где e, d,

5, £ — положительные постоянные. Таким образом, система (4.4) также имеет положение равновесия q = q = 0.

Теорема 7. Пусть параметр h(t) удовлетворяет условиям (1.8), (2.2) • 1+2

и \h(t)\ < Kh z (t) при t > 0, K = const > 0. Тогда при 5 > у + v, £ > v и достаточно малых значениях e положение равновесия q = q = 0 системы (4.4) неустойчиво.

Доказательство теоремы 7 проводится аналогично доказательству теоремы 6. При этом в функции (4.3) следует положить а = 1. Перейдем теперь к случаю исчезающих диссипативных сил.

Теорема 8. Если для параметра эволюции h(t) справедливо предельное соотношение (1.9), и существует число а > 1, для которого вы-

• i I 1 — с

полнены условия (3.10) и \h(t)\ < Kh + z (t) при t > 0, K = const > 0, то положение равновесия q = q = 0 системы (4.1) неустойчиво.

С использованием функции Ляпунова

~ /дП\t дТ

i=i

V(t,q,q) =n(q)+ T(q,q) — 7ihCT(t)||q||e lqTq + Y2ha(t) t * 0°^,

где 71 > 0, 72 > 0, в > 1, к > у, причем к/у — рациональное число с нечетными числителем и знаменателем, доказательство настоящей теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 6.

5. Условия неустойчивости для систем с отрицательно определенным потенциалом

Предположим теперь, что уравнения (1.7) представимы в виде И дТ дТ дП

ЛШ, - Щ = ''тт (*’ 4'4) - Щ + N 4' 4) + 4' 4) (5-1)

Здесь векторы Q(d)(t,д,д), N(1,4,4), Q(v)(t,д,д) соответственно диссипативных, неконсервативных и возмущающих сил непрерывны в области 0(0,^); потенциальная энергия П(д) — непрерывно дифференцируемая при д е Мга однородная функция порядка у + 1, у > 1; нестационарный параметр Н(Ь) — положительная и непрерывная при t > 0 функция. Пусть в области П(0,£>) справедливы оценки ||Q(d)(t, д, д)|| <

С1 (||д||Л1|д|| + 1|д|Г), Ю{'и)(ь, д, 4)11 < С2 (НдН* + ||д||?), где С1, С2, V, л, 5,

£ — положительные постоянные. Таким образом, система (5.1) имеет положение равновесия д = д = 0.

Теорема 9. Если параметр Н(Ь) удовлетворяет условию (1.9), а функция П(д) отрицательно определена, то при выполнении неравенств

л > ^ " > УГТ *>>’" (>УГ1 (5'2)

положение равновесия д = д = 0 системы (5.1) неустойчиво.

дТ

Доказательство. Функцию Ляпунова строим в виде V(д,4) = дТ-^т.

Дифференцируя ее в силу системы (5.1), получаем, что в области 0(0,^) справедлива оценка

V(ь, д, т) > 2к1||д||'2 + «1||дГ+1-

-“2|д|(|д|2 + М1* + ||д|5 + Н(Ь) (||т||л||т|| + ||д|

где а1 > 0, а2 > 0.

Если выполнены неравенства (5.2), то при достаточно больших Ь и достаточно малых значениях ||д|| и ||д|| имеем

V(Ь,д,д) > к1 |д|2 + а.цдц^1.

Следовательно [13], положение равновесия д = д = 0 системы (5.1) неустойчиво. □

Замечание 6. По сравнению с теоремами 5 и 8, в теореме 9 накладываются более жесткие условия на потенциал (предполагается его отрицательная определенность), но при этом не требуется дополнительных условий на скорость стремления к нулю нестационарного параметра. Кроме того, неустойчивость положения равновесия имеет место при произвольных неконсервативных силах.

Список литературы

1. Александров А. Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем / А. Ю. Александров. - СПб. : Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004.

2. Александров А. Ю. Об устойчивости положений равновесия нелинейных неавтономных механических систем / А. Ю. Александров // Прикл. математика и механика. - 2007. - Т. 71, № 3. - С. 361-376.

3. Александров А. Ю. Об асимптотической устойчивости положений равновесия механических систем с нестационарным ведущим параметром / А. Ю. Александров, А. А. Косов // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2008. -№ 3. - C. 8-22.

4. Андреев А. С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы / А. С. Андреев // Прикл. математика и механика,. - 1984. - Т. 48, № 2. - C. 225-232.

5. Вульфсон И. И. Учет нелинейных диссипативных сил при ограниченной исходной информации / И. И. Вульфсон // Теория механизмов и машин. - 2003. -№ 1. - С. 70-77.

6. Зубов В. И. Каноническая структура векторного силового поля / В. И. Зубов // Проблемы механики твердого деформируемого тела. - Л.: Судостроение, 1970. - С. 167-170.

7. Карапетян А. В. Об устойчивости неконсервативных систем / А. В. Карапетян // Вестн. МГУ. Сер. Математика и механика. - 1975. - № 4. -С. 109-113.

8. Косов А. А. Об экспоненциальной устойчивости и стабилизации неавтономных механических систем с неконсервативными силами / А. А. Косов // Прикл. математика и механика. - 2007. - Т. 71, № 3. - С. 411-426.

9. Лахаданов В. М. О влиянии структуры сил на устойчивость движения /

B. М. Лахаданов // ПММ. - 1974. - Т. 38, № 2. - С. 246-253.

10. Леонов Г. А. Проблема обоснования первого приближения в теории устойчивости движения / Г. А. Леонов // Успехи механики. - 2003. - Т. 2, № 3. -

C. 3-35.

11. Лурье А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье. - М. : Физматгиз, 1961.

12. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. -М. ; Л. : ОНТИ, 1935.

13. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. - М. : Наука, 1966. - 525 с.

14. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем / В. М. Матросов. - М. : Физматлит, 2001. - 384 с.

15. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д. Р. Меркин. -М. : Наука, 1987.

16. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике / Н. Г. Четаев. - М. : Изд-во АН СССР, 1962. - 535 с.

17. Хатвани Л. О действии демпфирования на свойства устойчивости равновесий неавтономных систем / Л. Хатвани // Прикл. математика и механика. - 2001. -Т. 65, № 4. - C. 725-732.

18. Hatvani L. A necessary and sufficient condition for the asymptotic stability of the damped oscillator / L. Hatvani, T. Krisztin, V. Totik // J. Different. Equat. -1995. - Vol. 119, N 1. - P. 209-223.

19. Sun J. A less conservative stability test for second-order linear time-varying vector differential equations / J. Sun, O. G. Wang, Q. C. Zhong // Intern. J. of Control. -2007. - Vol. 80, N 4. - P. 523-526.

A. Yu. Aleksandrov, A. A. Kosov, A. V. Platonov

On the preservation of instability of mechanical systems under the evolution of dissipative forces

Abstract. The mechanical systems described by the Lagrange differential equations of the second kind with nonstationary evolution of dissipative forces are studied. It is assumed that the evolution results in domination, or disappearing of dissipative forces. In the case of nonapplicability of known for nonstationary linearizations classical criteria, the theorems on the instability by the linear approximation of the equilibrium position are proved. The systems with essentially nonlinear dissipative forces are investigated. It is assumed that dissipative forces are determined by the homogeneous Rayleigh function, or depend on generalized coordinates. For such systems, the conditions of instability of the equilibrium position are also obtained.

Keywords: mechanical systems, dissipative forces, stability, Lyapunov functions, nonstationary parameter.

Александров Александр Юрьевич, доктор физико-математических наук; Санкт-Петербургский государственный университет; 198504, г. Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 35; тел.: (812) 428 45 08 ([email protected]).

Косов Александр Аркадьевич, кандидат физико-математических наук; Учреждение Российской академии наук Институт динамики систем и теории управления СО РАН; 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134; тел.: (3952) 42 71 00 ([email protected]).

Платонов Алексей Викторович, кандидат физико-математических наук; Санкт-Петербургский государственный университет; 198504, г. Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 35; тел.: (812) 428 45 08 ([email protected]).

Aleksandrov Alexander Yurjevich, Professor; St. Petersburg State University; 35, Universitetskii pr., Petrodvorets, St. Petersburg, 198504; Phone: (812) 428 45 08 ([email protected]).

Kosov Alexander Arkadyevich, Leading researcher; Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences (IDSTU SB RAS); Post Box 292, 134, Lermontov str., Irkutsk, 664033, Russia; Phone: (3952) 42 71 00 ([email protected]).

Platonov Alexey Victorovich, Associate professor; St. Petersburg State University; 35, Universitetskii pr., Petrodvorets, St. Petersburg, 198504; Phone: (812) 428 45 08 ([email protected]).