CC BY
31
2007 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. Сер. 10. _ВыпЛ
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 531.36
А. Ю. Александров, О. А. Бузлукова, А. А. Косое О СОХРАНЕНИИ УСТОЙЧИВОСТИ
ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ЭВОЛЮЦИИ ДИССИПАТИВНЫХ СИЛ
1. Введение. Рассмотрим механическую систему, в которой среди действующих сил присутствуют диссипативные силы, имеющую асимптотически устойчивое положение равновесия. Предположим, что с течением времени диссипативные силы могут эволюционировать, что выражается в появлении у вектора этих сил скалярного множителя h(t) 5s 0, заданного при всех t ^ 0 и сохраняющего диссипативную структуру данных сил. Когда можно быть уверенным в том, что свойство асимптотической устойчивости положения равновесия механической системы сохранится, несмотря на эволюцию диссипативных сил?
Проблеме изучения диссипативных эффектов при нестационарных законах трения посвящено большое количество работ (см., например, [1-5]). Если относительно множителя h(t) Ji 0 не делать никаких дополнительных предположений, то трудно ожидать получения конструктивного ответа на поставленный выше вопрос. Известно [6, с. 41], что сохранение асимптотической устойчивости не гарантируется даже для простейшей линейной системы с одной степенью свободы
q + h(t)q + q = 0. (1)
Поэтому, следуя [5], целесообразно прежде всего выделить характерные типы возможной эволюции диссипативных сил.
Будем рассматривать следующие типы эволюций, в определенном смысле соответствующие, но в то же время отличающиеся математическим описанием от введенных в [5]:
а) неограниченно растущие со временем диссипативные силы, описываемые классом функций Н1 = {h(t) : h(t) —> +оо при t —> +00};
б) ограниченные колебания диссипативных сил, не приводящие к их исчезновению, описываемые классом функций Н2 = {h(t) : 0 < hmm ^ h(t) ^ hmах < +00}, где hm\n,hm&yi - некоторые постоянные;
в) ограниченные колебания диссипативных сил, которые не приводят к их полному исчезновению, но могут вызывать исчезновение этих сил в определенные моменты времени (или даже на целых интервалах), описываемые классом функций Яз = {h(t) : 0 ^ h(t) ^ hmax < +00, liminfi^+oo h(t) = 0, Нтзир^+00 h(t) > 0};
г) исчезающие со временем диссипативные силы, описываемые классом функций #4 = {h(t) : h(t) 0 при t -> +00}.
© А. Ю. Александров, О. А. Бузлукова, А. А. Косов, 2007
Цель данной статьи состоит в том, чтобы для каждого типа эволюции диссипатив-ных сил указать соответствующие классы механических систем, для которых свойство асимптотической устойчивости положения равновесия будет сохраняться. В качестве основного метода исследования применяется метод функций Ляпунова.
2. Линейные диссипативные силы с неограниченно растущим параметром. Пусть уравнения возмущенного движения механической системы представлены в виде
q + (h{t)B + G(t))q + (C(t) + P(t))q = Q(t, q, q). (2)
Здесь q и q - n-мерные векторы обобщенных координат и скоростей. Постоянная матрица В и непрерывно дифференцируемая при t ^ 0 матрица С(£), характеризующие соответственно диссипативные и потенциальные силы, симметричны, положительно определены и удовлетворяют условиям
о < Ьтin = Amin(B) ^ Amax(-B) = bmaxi
(3)
cmin = inf Ami„(C(i)) >0, c* = sup Amax(C(i)) < +oo, <20 t^o
Cmax = sup Amax(C(i)) < +00. (4)
i^O
Непрерывные и ограниченные при t ^ 0 кососимметричные матрицы G(t) и P(t) гироскопических и неконсервативных позиционных сил удовлетворяют условиям
д — sup \ Атах (■GT(t)G(t)) < +оо, р = sup J\m,x(PT(t)P(t)) < +оо. (5) о v t^o v
Ведущий нестационарный параметр - скалярная неотрицательная и непрерывно дифференцируемая при t Js 0 функция h(t) характеризует нарастание с течением времени диссипативных сил. Будем считать, что для него справедливы предельные соотноше-
h{t) —» +оо при t -> +оо, (6)
h(t) ->• 0 при t +оо. (7)
Непрерывная в области
0, |М|<ч, ||<?|| < Я (8)
вектор-функция Q(t, q, q) описывает действие нелинейных сил и удовлетворяет оценке
\\Q(.t,q,q)\\ ^ M(||g|| + ||д||)
1+а
где Г],а,М - положительные постоянные; || ■ || - евклидова норма вектора. Таким образом, рассматриваемая система имеет положение равновесия q = q = 0.
Если система (2) автономна и в ней отсутствуют неконсервативные позиционные силы (P{t) = 0), то на основании классической третьей теоремы Томсона-Тэта-Четаева [7] положение равновесия q = q = 0 будет асимптотически устойчиво. Если неконсервативные позиционные силы присутствуют в системе, матрица потенциальных сил постоянна (C(t) = const) и ведущий параметр также является постоянным h(t) = h = const, то можно указать для него такую оценку снизу h ^ ho > 0, при выполнении которой положение равновесия (/ = <? = О системы (2) будет экспоненциально устойчивым вне зависимости от конкретного вида нелинейных сил [8].
Покажем, что и для переменного ведущего параметра имеет место асимптотическая устойчивость положения равновесия. Однако в данном случае уже нельзя гарантировать экспоненциальный характер притяжения.
Теорема 1. При выполнении условий (3)-(7) положение равновесия q = q = О системы (2) асимптотически устойчиво вне зависимости от вида нелинейных сил Q{t,q,q).
Доказательство. Рассмотрим в качестве функции Ляпунова следующую квадратичную форму:
V(t, q, q) = qT(h(t)B + 7C(t))q + 2qT q + 7qTq.
Здесь 7 > 0 - параметр, значение которого можно выбирать. Производная функции V(t,q,q) в силу линейной части системы (2) (при Q{t,q,q) = 0) имеет вид
V = -W{t, q, q) = —q1 (2 C(t) - 7 C{t) - h{t)B^q-2qT(G(t)-jP(t))q-qT(2yh(t)B-2E)q.
Из условий теоремы следует, что при £ ^ 0, q £ En, q € Еп справедливы оценки
V(t, q, q) > (h(t)bmin + 7c,ni„)||?(|2 - 2|M|||9|| + 7У I2, (9)
V(t,q,q) ^ (Mi)bmax+7Cmax)|k||2 + 2|M|||9||+7ll9l|2, (M)
W(t,q,q) > (2cmin - 7c* - |/t(i)|6max)lkl|2 - 2(0 + TP)IMIIl9ll + (ЬНфтт - 2)\\q\\2. (11)
Пусть 0 < 7 < 2cmi„/c*. Используя условия (3)-(7) и оценки (9)- (11), нетрудно показать, что числа i) > 0 и L > 0 можно выбрать так, чтобы функция V(t,q,q) и ее производная в силу полной системы (2) в области £ ^ L, ||</|| < fj, ||r/|| < fj удовлетворяли неравенствам
ai(h(t)\\q\\2 + ||g||2) < V(t,q,q) a2(h(t)\\qf + ||<7||2),
|2 , J,/iMUI|2\
^|(а)<-аз(||д||2 + Л(01М12),
где 01,02,03 - положительные постоянные. При этом будем считать, что Л(£) ^ 1 при £ ^ Ь. Тогда в указанной области справедливы соотношения
-оз(|]«!1г + ВДИ2) = -Щ<М')1М12 + ь2«)1М112) «
Значит, если ¿о ^ В, а величины ||(/о|| и ||</о|| достаточно малы, то У(£, </(£), г/(£)) ^ У(£0,<?о,9о)ехр (-"' ^ '''
а2 Л0 КТ)
для всех £ ^ £о- Здесь q(t) - решение системы (2) с начальными данными q(to) = qo, </(£о) = до- Кроме того, из условий (6) и (7) следует, что /;,(/,) = о(£) при £ —> +оо, а тогда ]'{о 1 /Ъ,{т)<1т —> +оо при £ —> +сю. Это доказывает асимптотическую устойчивость положения равновесия.
Замечание 1. В условии (7) вместо нулевого предельного значения может фигурировать достаточно малое положительное число, т. е. допускается возможность роста ведущего параметра и с малой линейной скоростью. При более высокой скорости роста ведущего параметра /г(£) = ()(1а) при £ —> +оо, а > 1, ввиду эффекта передемпфирования, асимптотическая устойчивость может не иметь места [5]. В этом смысле достаточные условия асимптотической устойчивости (6), (7) близки к необходимым.
Пример 1. Рассмотрим скалярное уравнение (1), в котором
1 1
h{t) = 2Vt-fl + ——- +
2t + 2 2уД + 1
В данном случае выполнены все условия теоремы 1. Поэтому положение равновесия q = q = 0 асимптотически устойчиво. В то же время рассматриваемое уравнение имеет семейство решений q(t.) — сехр(—y/t + 1), где с - произвольная постоянная. Следовательно, устойчивость не является экспоненциальной ни по координатам, ни но скорос-
Замечание 2. Приведенный пример показывает, что в условиях теоремы экспоненциальная устойчивость, вообще говоря, не гарантирована даже при отсутствии гироскопических и неконсервативных позиционных сил в системе, хотя вывод об асимптотической устойчивости справедлив независимо от вида нелинейных сил.
Рассмотрим в качестве «базовой» для системы (2) линейную автономную механическую систему
q + (B + G)q + Cq = 0 (12)
с симметричными положительно определенными матрицами В и С. Тогда на основании третьей теоремы Томсона- Тэта-Четаева [7] положение равновесия q = q = О системы (12) асимптотически устойчиво при любой кососимметричной матрице G. Доказанная выше теорема 1 показывает, что в случае появления при диссипативных силах растущего в соответствии с (6), (7) множителя h(t) свойство асимптотической устойчивости положения равновесия сохраняется, причем при очень широких вариациях сил иной структуры: матрица потенциальных сил С может гладким образом меняться, оставаясь положительно определенной и ограниченной; элементы матрицы гироскопических сил G могут быть произвольными непрерывными и ограниченными функциями времени; допускается присоединение к системе неконсервативных позиционных сил с непрерывной и ограниченной матрицей P(t), а также нелинейных сил произвольной структуры.
Таким образом, возрастание со временем диссипативных сил с «подлинейной» скоростью (6), (7) является мощным стабилизирующим фактором.
3. Нелинейные диссипативные силы с неограниченно растущим параметром. Пусть теперь движение механической системы описывается уравнениями
q + h{t)^+G(t,q,q)q+^=0. (13)
Здесь по-прежнему q и q - n-мерные векторы обобщенных координат и скоростей. Будем считать, что F(q) - непрерывно дифференцируемая при всех q £ Е" положительно определенная однородная порядка v+1 функция, и > 1; G(t, q, q) - непрерывная и ограниченная в области (8) кососимметричная матрица; потенциальная энергия П(<?) непрерывно дифференцируема при q € Е", положительно определена и является однородной
функцией порядка /л + 1, ц ^ 1; h(t) - неотрицательная и непрерывно дифференцируемая при t ^ 0 функция, для которой справедливо предельное соотношение (6). Таким образом, рассматриваемая система находится под действием потенциальных, гироскопических и нелинейных диссипативных сил с неограниченно растущим параметром.
Система (13) имеет положение равновесия q = q = 0. Из результатов, полученных в [1], следует, что если h(t) = const > 0, то это положение равновесия асимптотически устойчиво. Заметим, что в указанной работе для доказательства асимптотической устойчивости использовалась функция Ляпунова со знакопостоянной производной в силу рассматриваемых уравнений. В [9] для системы (13) с постоянным ведущим параметром был предложен способ построения функции Ляпунова, имеющей знакооп-ределенную производную. Он представляет собой дальнейшее развитие подхода, основанного на выборе функции Ляпунова в виде «полная энергия плюс малое перекрестное слагаемое», успешно применявшегося для решения различных задач устойчивости и управления [10-13].
Определим условия, при выполнении которых асимптотическая устойчивость сохраняется и для переменного ведущего параметра, принадлежащего классу Н\. При этом, не умаляя общности, будем считать, что h(t) > 0 для всех t £ [0, +оо). Теорема 2. Пусть фг^кция h(t) обладает следующими свойствами:
а) |/i(f)| ^ Kh1+77+ï (t) при t ^ 0, где К - положительная постоянная-,
б) fg l//i(r)dr —> +оо при t. —> +оо.
Тогда положение равновесия q = q = 0 системы (13) асимптотически устойчиво. Доказательство. Функцию Ляпунова выбираем в виде
V(t, q, q) = П(д) + \qTq + (14)
Здесь 7 > 0, ß ^ 1. Дифференцируя ее в силу рассматриваемых уравнений, получаем V|(13)= -(" + mt)F(q) -
7 п и/з-1 тпи -N- iMÜii ii/3-i t-, 7 ■тд (IMI^g) ■ -щll# q G(t,q,q)q-m\\qr Я Я + щЯ -щ-
Следовательно, в области (8) справедливы оценки
aidkir1 + NI2) - щМ0М\ ^ V(t,q,q) ^ о2(||9|Г+1 + ||д||2) + щМ%\1
+(iirtir + (щ + Щ ) ИЛ + щ1ММ1411'),
ГДе 01,02,^3,04 > 0.
Пусть ß = ци. Тогда положительные числа 7,r?, L и Ь можно выбрать так, чтобы при t ^ L, ||g|| < ff, ||g|| < fj имели место неравенства
уОЫГ1 + llgll2) ^ V{t,q,q) < 2o2(||g|r+1 + ||g||2), (15)
Таким образом, если £о ^ Ь, а величины ||(/о|| и ||4о|| достаточно малы, то
( я-к
^ <7о) + <7о,9о) [ у^т) ' (16)
V М +1 Jto '1(т>)
для всех I ^ ¿о. Здесь, как и при доказательстве теоремы 1, через обозначено решение рассматриваемой системы с начальными данными <?(£о) = 9о, <?(^о) — <?о-
Используя свойства функции /¿(¿), нетрудно показать, что из выполнения соотношений (15), (1С) следует асимптотическая устойчивость положения равновесия. Далее наряду с системой (13) рассмотрим возмущенную систему
ОР ' дП
9 + Н^-дТ + <?(*, г/, д)д + = Ч, <?)• (17)
Здесь вектор-функция (¿(1, д, д) определена и непрерывна в области (8) и удовлетворяет неравенству
где М, а - положительные постоянные. Таким образом, система (17) также имеет положение равновесия д = д — 0. Определим условия, при выполнении которых возмущения не нарушают его асимптотическую устойчивость.
Снова выбирая функцию Ляпунова в виде (14) и дифференцируя ее в силу возмущенных уравнений, получаем, что справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть функция /¡.(£) обладает свойствами а) и б), указанными в теореме 1. Если а ^ и, то положение равновесия д = д = 0 системы (17) асимптотически устойчиво.
Предположим теперь, что нестационарный ведущий параметр в уравнениях (13) имеет вид
Л(*) = (* + 1)а, (18)
где а > 0. Функция (18) удовлетворяет условиям теоремы 2 тогда и только тогда, когда
а < 1. (19)
Неравенство (19) представляет собой ограничение, при выполнении которого можно гарантировать, что в исследуемой системе не наступает передемпфирование. Ранее [3, 5] оно было получено в качестве достаточного условия асимптотической устойчивости положений равновесия некоторых классов линейных систем, причем для уравнения (1) это неравенство является не только достаточным, но и необходимым условием асимптотической устойчивости.
Покажем, что для нелинейной системы, используя конкретный вид ведущего параметра, можно найти более точную оценку границы множества значений а, при которых возникает эффект передемпфирования.
Теорема 4. Если функция /¡,(<) определяется; по формуле (18), а величина а удовлетворяет условиям
0 < а < у при ц > и, (20)
О < а ^ ^V Р при 1 < At ^ и, (21)
/' - 1
а > 0 при /х = 1, (22)
то положение равновесия q = q = 0 системы (13) асимптотически устойчиво. Доказательство. Функцию Ляпунова выбираем в виде
V(t,q,q) = П(с/) + + + ХПЫГ1«/7?,
где 7 > 0, 0 ^ 1. Для данной функции и ее производной в силу рассматриваемых уравнений в области (8) справедливы оценки
МЫГ1 + 11<Г) - 7(t + ХЛЫШаИ «S V{t,q,q) ^ «2(|M|" + 1 + \\q\\2) + l{t + 1)Q||?||^||<?||,
+ i)a ЬЫ\0+11 + \\q\\v+1) + + a4l(t +1)° (iklMMI2 + {t + I)alkfll9ir + Ikflk/ID-
Здесь Oi,ct2,аз,a,4 - положительные постоянные. Пусть 0 > //.г/,
а(0 + ц-и-1) (23)
Используя подход, предложенный в [14], нетрудно показать, что числа j,f),L,A > О можно выбрать так, чтобы для любого решения q(t) системы (13), начальные данные которого удовлетворяют условиям
t0^L, ||g(i„)|| < rjto^, \\q(t0)\\<f]tQi^i^1, при всех t ¿о имели место неравенства
||9(f)|| < АГ&, ШН < АГ1"^".
Следовательно, рассматриваемое положение равновесия является асимптотически устойчивым.
Для завершения доказательства теоремы остается подобрать вспомогательный параметр 0 так, чтобы ограничение (23) задавало наибольшую область допустимых значений величины а. В результате приходим к условиям (20)-(22).
Замечание 3. Таким образом, для нелинейных диссипативных сил асимптотическая устойчивость положения равновесия может иметь место и при а > 1. По сравнению с линейным случаем граница, начиная с которой наступает передемпфирование, отодвигается. При этом следует отметить, что если fi = 1, то на показатель степени а никаких дополнительных условий не накладывается.
Замечание 4. Неравенства (20)-(22) представляют собой достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия q = q = 0 системы (13) и в случае, когда функция h(t) имеет вид h(t) - (t + 1)Q + h{t), где h(t) = o((t + 1)Q) при t —» +CXD.
4. Ограниченные колебания диссипативных сил, не приводящие к их исчезновению. Пусть движения нестационарной механической системы, находящейся
под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил, описываются уравнениями
<I дТ дТ сШ , . . ..
^-щ ~ -щ = —щ - £(¿,9,9)9 + Л(4)0(«,д,9). (24)
Здесь кинетическая энергия Т является квадратичной формой обобщенных скоростей (Т = дтА(д)д/2) с симметричной, положительно определенной и непрерывно дифференцируемой при ||д|| < ?? (г/ > 0) матрицей А(д). Потенциальная энергия считается непрерывно дифференцируемой при ||д|| < т] функцией, представимой в виде ряда
П(д) = £ П<*>(д), 2,
к~т
где n'fc)(<7) - однородная функция порядка к, допускающего возможность почленного дифференцирования по обобщенным координатам. Непрерывная и ограниченная в области (8) кососимметричная матрица G(t,q,q) характеризует гироскопические силы. Вектор-функция Q(t,q,q) описывает действие диссипативных сил. Она непрерывна и ограничена в области (8) и удовлетворяет условию gTQ(£,g,g) —w(||g||), где w(s) непрерывна при s £ [0,77), w(0) = 0, uj(s) > 0 при s > 0. Скалярная неотрицательная и непрерывная при t ^ 0 функция h{t) описывает эволюцию диссипативных сил. Будем считать, что h(t) £ Я2. Снова получаем, что сделанные предположения обеспечивают существование у рассматриваемой системы положения равновесия <7 = 9 = 0. Из результатов, установленных в [1], вытекает следующее утверждение.
Теорема 5. Если функции Щ9) и J2kLm положительно определены, то
положение равновесия 9 = 9 = 0 системы (24) асимптотически устойчиво.
В частности, пусть гироскопические, диссипативные и потенциальные силы содержат линейные компоненты, причем после разрешения относительно ускорений изучаемые уравнения можно представить в виде
9 + (h(t)B(t) + G(t))q + Cq = R(t, 9,9), (25)
где B(t) и С - симметричные матрицы, G(t) - кососимметричная,
||i?(i,9,9)IK^(||9|| + ||9||)1+CT, а,М > 0. (26)
Отметим, что (25) отличаются от уравнений (2) тем, что в них отсутствуют неконсервативные позиционные силы, поскольку нелинейные силы R(t,q,q) «происходят» от гироскопических, диссипативных и потенциальных и потому не являются силами произвольной структуры.
Предположим, что
Ьтах = sup Amax(J5(i)) < +ОО, bmm = inf Лmin{B(t)) > 0, (27)
i^O
Cmin — Amm (C) > 0. (28)
Если справедливы соотношения (27) и (28), то на основании теоремы 5 получаем, что положение равновесия q = q =. 0 является асимптотически устойчивым. Однако при этом трудно указать количественные оценки скорости приближения возмущенных движений к равновесию и предельной величины малых неконсервативных позиционных сил, присоединение которых не нарушает асимптотической устойчивости.
Снова применяя конструкцию функции Ляпунова типа «полная энергия плюс малое перекрестное слагаемое», покажем, что асимптотическая устойчивость положения равновесия сохраняется и при наличии достаточно малых неконсервативных позиционных сил, причем она имеет экспоненциальный характер.
Рассмотрим систему
q + (h(t)B(t) + G(t))q + (С + eP{t))q = R(t, q, q), (29)
в которой B(t) и С - симметричные матрицы диссипативных и потенциальных сил, B(t) - непрерывная при Q 0, а С - постоянная, G(t) и P(t) - кососимметричные, непрерывные и ограниченные при t ^ 0 матрицы гироскопических и неконсервативных позиционных сил, неотрицательная и непрерывная при t ^ 0 функция h(t) принадлежит классу Н-2, непрерывная в области (8) вектор-функция R(t,,q,q) удовлетворяет условию (26) и характеризует действие нелинейных сил произвольной структуры, е -малый параметр.
Введем обозначения
с,пах = Amax(C), hmin = inf h(t), Лтах = sup h(t),
t>0
g = sup J\m*AGT(t)G(t)), p = sup J\max(PT(t)P(t)).
i^O " 0
Теорема 6. Если справедливы соотношения (27) и (28), то при всех значениях е, удовлетворяющих неравенству
I | _ J \/Cmin 8/lniin^minCmin 1 /огл
И < e0 _ mm j _, - ^^ - ^ + p)3 ) , (30)
положение равновесия q — q = 0 системы (29) экспоненциально устойчиво вне ,зависимости от вида нелинейных сил R(t,q,q).
Доказательство. Следуя [10-13], выберем в качестве функции Ляпунова квадратичную форму
V(q, q) = qTCq + qTq + 4lqTq.
Здесь 7 - положительный параметр.
Производная функции V(q, q) в силу линейной части системы (29) (при R(t, q, q) = 0) может быть представлена в виде
V = -W(t, q, q) = -47qTCq - 2qT{21(h{t)B(t) + G(t)) - eP{t))q - 2qT(h(t)B(t) - 2-yE)q.
Получаем, что при i ^ 0, ? £ E", g E E" имеют место оценки
V{q,q) ^ cmin||g||2 - 47||g||||g[| + ||g||2,
V(q,q) ^cmax||# + 47|M|||g|| + ||?||2,
W(t,q,q) Z 47Cmm|k||2 - 2{21hm&xbm^ + 2lg + ep)\\q\\\\q\\ + 2(/imin6min - 2T)||g||2.
С помощью критерия Сильвестра находим условия положительной определенности квадратичных форм V(q,q) и W(t,q,q):
Cmin ~~ 47 > 0, 87Cmin(^min^min ~ 2^) — {2^fhmiixbmax + 275 + ер)2 > 0. (31)
Пусть для параметра е справедлива оценка (30), причем е ф 0. Тогда в качестве значения 7, удовлетворяющего неравенствам (31), можно выбрать 7 = |е|. А в случае, когда е = 0, полагаем
Применяя теорему Н. Н. Красовского [15], получаем, что положение равновесия q = q = 0 системы (29) является экспоненциально устойчивым независимо от вида нелинейных сил.
5. Ограниченные колебания диссипативных сил, которые могут приводить к их исчезновению в определенные моменты времени. Снова рассмотрим уравнения (24), описывающие движения нестационарной механической системы, находящейся под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил. Пусть скалярные функции T(q,q) и П(д), вектор-функция Q(t,q,q) и матрица G(t,q,q) обладают свойствами, указанными в п. 4. В данном случае будем считать, что ведущий параметр Ji{t) является непрерывной и неотрицательной при t ^ 0 функцией, принадлежащей объединению классов Н-2 и Н3. Кроме того, предположим, что рассматриваемые уравнения удовлетворяют условиям Артштейна [16, 17], обеспечивающим существование предельных систем. Заметим, что эти условия выполняются для весьма широкого класса неавтономных уравнений, используемых в механике [2].
Из результатов, полученных в [2], вытекает следующее утверждение.
Теорема 7. Если функции П(д) и (<l) положительно определены, то
положение равновесия q = q = 0 системы (24) асимптотически устойчиво при всех эволюциях диссипативных сил h(t) £ Н2 U Д3.
Замечание 5. Несмотря на то, что теоремы 5 и 7 относятся к одному объекту - системе (24) и формулируются аналогичным образом, это существенно различные утверждения, доказываемые на основе разных подходов для несовпадающих, хотя и сильно перекрывающихся, классов правых частей, а также для разнотипных эволюции h(t). Общая особенность этих теорем заключается в том, что в случае, когда условия на потенциальные и диссипативные силы удовлетворяются уже линейным приближением, они не позволяют указать оценку величины неконсервативных позиционных сил, не нарушающих устойчивость, что позволяет теорема 6.
6. Исчезающие со временем диссипативные силы. Определим теперь условия сохранения асимптотической устойчивости положения равновесия для случая, когда нестационарный ведущий параметр принадлежит классу .
Предположим, что в системе (13) функции F(q), П(д) и матрица G(t,q,q) обладают свойствами, указанными в п. 3, a h{t) является неотрицательной и непрерывно дифференцируемой при t ^ 0 функцией, для которой справедливо предельное соотношение h(t) -> 0 при t +00.
Теорема 8. Пусть выполнены следующие условия:
а) \h(t)\ iC Kh(t) при t ^ 0, где К - положительная постоянная;
б) Jq h(r)dr +00 при t —> -Ьоо.
Тогда положение равновесия q = q = 0 системы (13) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Функцию Ляпунова выбираем в виде
0 < 7 < min
2 4cmin + (/¿max^max + 9?
}
V(t, q, q) = П(д) + -qTq + h(t)\\q\f-1qTq,
1
Для данной функции и ее производной в силу рассматриваемых уравнений в области (8) справедливы оценки
ai(IMI"+1 + NI2) - Л(*)1М1"||д|| < V{t,q,q) ^ а2(||g||"+1 + ||g||2) + h(t)\\q\f\\q\\,
V'|(13)^ -a3h(t) {\\q\\0+ti + ||<zir+1) + a4[h(t)\\qf-l\\qf + (h(t) + \h(t)\) |ЫП|9||),
где ai,a2,a3,a4 > 0.
Пусть /3 > ¡-W. Тогда положительные числа f¡ и b можно выбрать так, чтобы при 4 ^ Oj IMI < rh IMI < V имели место неравенства
y(lkl|/I+1 + IMI'2) < V(t,q,q) ^ 2а2(||9|Г+1 + ||g||2),
' v\ll3)< -^(IM+ 1МГ1) ^ -bh(t)V^.
Значит, если t0 ^ 0, а величины ¡|r/o|| и ||go|| достаточно малы, то
V{t,q(t),q{t)) SÍ V(t0,q0,q0) (1 + b № (í0, q0, 9o) í h(r)dT
V A4 + 1 Jto
для всех t ^ ¿o- Здесь снова через q(t) обозначено решение рассматриваемой системы с начальными данными g(ío) = 9о, q{tо) = 9о-
Таким образом, положение равновесия q = q — 0 асимптотически устойчиво.
Замечание 6. Доказанная теорема справедлива и для и = 1 (для линейных диссипативных сил).
Замечание 7. Предположим, для простоты, что в системе (13) гироскопические силы не зависят явным образом от времени. Тогда в условиях теоремы 8 предельная система в смысле [2, 16] для системы (13) существует, является автономной и не содержит диссипативных сил. Поэтому предельная система имеет интеграл энергии и ее положение равновесия q — q = 0 не может быть асимптотически устойчивым. Отсюда следует, что в условиях теоремы 8 асимптотическая устойчивость положения равновесия не может быть равномерной по (ío,9o5<Zo), поскольку на основании результатов [17] тогда и положение равновесия предельной системы должно было бы быть асимптотически устойчивым. Таким образом, теорема 8 дает достаточные условия наличия заведомо негрубого динамического свойства неравномерной асимптотической устойчивости при эволюции диссипативных сил, приводящей к их исчезновению. В этом плане содержащийся в данной теореме результат носит граничный характер.
Замечание 8. Если функция h(t) определяется по формуле (18), где а < 0, то условия теоремы 8 будут выполнены тогда и только тогда, когда
а^-1. (32)
Следующая теорема показывает, что для эволюций диссипативных сил, задаваемых формулой (18), условие (32) является неулучшаемым.
Теорема 9. Пусть функция h(t) имеет вид (18). Тогда при а < —1 положение равновесия q = q = 0 системы (13) устойчиво, но не является асимптотически устойчивым.
Доказательство. В качестве функции Ляпунова выбираем полную энергию системы
V(q,q) = n(q) + \qTq.
Имеем
^.^-(t + iHf + i^to).
Значит, рассматриваемое положение равновесия устойчиво. В области (8) справедливы оценки
ai(lkir+1 + Ikill2) ^ V(q,q) < a2(\\q\r+1 + Hill'2),
V\im> -«.(i +l)eNr+1 £ -a^t+irv^,
где ai, «2, «3, > 0. Выберем начальные данные </(0) и q(0) решения q(t) системы (13) так, чтобы оно при всех t ^ 0 удовлетворяло неравенствам ||</(i)|| < г/, ||</(i)|| < г]. Тогда на промежутке [0, +оо) будет выполняться соотношение
_ 2
УШ,М) > V{q(0),q(0)) (l + + + 1Г+' " ^ '
Отсюда получаем V(q(t),q(t)) ^ с > 0 при t ¡г 0. Здесь с - постоянная, зависящая, вообще говоря, от начальных данных рассматриваемого решения. Следовательно, положение равновесия не может являться асимптотически устойчивым.
Замечание 9. Таким образом, если функция h(t) имеет вид (18), причем показатель степени а отрицателен, то ограничение (32) представляет собой не только достаточное, но и необходимое условие асимптотической устойчивости.
7. Заключение. Необходимо отметить, что диссипативные силы оказывают существенное, определяющее влияние на динамику механических систем. Следовательно, эволюция этих сил может приводить к существенному изменению свойств движений, что вызывает необходимость выделять характерные типы эволюции и изучать возможность сохранения асимптотической устойчивости положения равновесия для каждого из них по отдельности. Предложенный в настоящей статье подход с выделением четырех типов эволюции диссипативных сил не является единственно возможным и выбирался с учетом как соображений «физического смысла» и полноты рассмотрения, так и применяемых методов доказательства. В качестве основного метода исследования использовадся второй метод Ляпунова, причем установлено, что для различных типов эволюции диссипативных сил могут оказываться эффективными как функции Ляпунова со знакоопределеиной, так и со знакопостоянной производной в силу изучаемых уравнений.
Работа частично поддержана в рамках программы JVs 22 «Управление механическими системами» Президиума РАН.
Summary
Aleksandrov A. Yu., Buzlukova О. A., Kosov A. A. On the maintainance of the equilibrium position stability of mechanical systems under the evolution of dissipative forces.
Certain classes of nonlinear mechanical systems with nonstationary parameter under the dissipative forces are investigated. By the use of Lyapunov's direct method the conditions of asymptotic stability of equilibrium positions for systems considered are obtained.
Литература
1. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 384 с.
2. Андреев А. С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // Прикл. математика и механика. 1984. Т. 48, № 2. С. 225-232.
3. Hatvani L., Krisztin Т., Totik V. A necessary and sufficient condition for the asymptotic stability of the damped oscillator // J. Different. Equat. 1995. Vol. 119, N 1. P. 209-223.
4. Hatvani L. Integral conditions on the asymptotic stability for the damped linear oscillator with small damping // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. Vol. 124, N 2. P. 415-422.
5. Хатвани JI. О действии демпфирования на свойства устойчивости равновесий неавтономных систем // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65, JVa 4. С. 725-732.
6. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Пер. с англ.; Под ред. В. В. Румянцева. М.: Мир, 1980. 300 с.
7. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1987. 304 с.
8. Косое А. А. Об устойчивости и стабилизации неконсервативных систем // Оптимизация, управление, интеллект. 2004. № 2 (8). С. 114-121.
9. Александров А. Ю. Об управлении вращательным движением твердого тела при нестационарных возмущениях // Изв. РАН. Сер. Механика тв. тела. 2000. № 1. С. 27-33.
10. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.
11. Карапетян А. В. Об устойчивости неконсервативных систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика и механика. 1975. № 4. С. 109-113.
12. Зубов В. И., Ермолин В. С., Сергеев С. Л., Смирнов Е. Я. Управление вращательным движением твердого тела. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. 200 с.
13. Смирнов Е. Я., Павликов В. Ю., Щербаков П. П., Юрков А. В. Управление движением механических систем. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. 316 с.
14. Александров А. Ю. К вопросу об устойчивости по нелинейному приближению // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, № 6. С. 1203-1210.
15. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.
16. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary differential equations //J. Different. Equat.
1977. Vol. 23, N 2. P. 216-223.
17. Artstein Z. Uniform asymptotic stability via limiting equations //J. Different. Equat.
1978. Vol. 27, N 2. P. 172-189.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А. П. Жабко.
Статья принята к печати 18 сентября 2006 г.
