CC BY
10
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
УДК: 517.925; 531.36
Новиков Михаил Алексеевич,
д. ф.-м. н., с. н. с., Учреждение Российской Академии наук, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952) 45-30-96, e-mail:nma@icc.ru
О ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СПОСОБАХ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОНОМНЫХ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
M.A. Novickov
ON METHODS FOR COMPUTATION OF SUFFICIENT CONDITIONS FOR STABILITY OF AUTONOMOUS CONSERVATIVE SYSTEMS
Аннотация. В статье предложен вычислительный способ получения достаточных условий устойчивости автономных консервативных систем, какими, в частности, являются гироскопические. Он основан на положительной определенности параметризованной квадратичной формы, составленной из матриц гироскопических сил и потенциальной функции. В вычислениях используется оценка одного из параметров гироскопических сил из алгебраического уравнения для выполнения необходимого условия устойчивости. Установлена невозможность получения достаточных условий устойчивости при использовании неполной связки из первых интегралов, в частности одного первого интеграла полной энергии.
Ключевые слова: гироскопическая система, характеристическое уравнение, необходимое условие устойчивости, достаточное условие устойчивости.
Abstract. The paper proposes a computation method to obtain sufficient conditions for stability of autonomous conservative systems, in particular gyroscopic ones. The method is based on positive defmiteness of parameterized quadratic form made up of the matrices of gyroscopic forces and potential function. The calculations employ the estimation of one of gyroscopic force parameters from the algebraic equation to meet the required stability condition. It is established that the sufficient stability conditions cannot be obtained when only part of the first integrals (for example the first integral of total energy) is used.
Keywords: gyroscopic system, characteristic equation, necessary stability conditions, sufficient stability conditions.
Введение
Прикладные задачи устойчивости движения механических систем обычно решаются вторым методом Ляпунова [1-9]. Как правило, достаточные условия устойчивости строятся на основе знакоопределенности квадратичной части связки, составленной из первых интегралов уравнений движения [2]. Легче отыскиваются интегралы линейных автономных систем [10-13]. Объектом исследования в настоящей статье являются линейные консервативные автономные системы, описываемые функцией Лагранжа
L (q, q) = 1(q' Aq + q' Bq + q' C q),
где A - матрица кинетической энергии (A = A); B - матрица, формирующая гироскопические силы; C - матрица потенциальной функции
(C = C); q, q е Rn . Все описанные матрицы предполагаются постоянными. Всегда можно линейным неособым вещественным конгруэнтным преобразованием [14] матрицы A и C одновременно привести к диагональным, притом, ввиду положительно определенной кинетической
энергии, матрица А будет единичной. Поэтому можно считать А = Е.
Необходимые условия устойчивости обычно устанавливаются отсутствием отличных от нуля вещественных частей корней характеристического уравнения
ф(Х) = det (Е X2 — (В — В')/2 X —С) = 0.
Иногда достаточные условия устойчивости с точностью до границы совпадают с необходимыми. Конечно, не всегда это возможно, прежде всего такое совпадение зависит от количества известных первых интегралов, участвующих в связке.
В частности, к автономным консервативным системам относятся гироскопические, когда
В = —В. Устойчивость линейных гироскопических систем двух степеней свободы достаточно подробно изучена [2], а для систем больших размерностей вопрос устойчивости недостаточно исследован. Большинство исследований обобщает гироскопические системы двух степеней свободы.
В статье проведено исследование устойчивости гироскопической системы трех степеней свободы при неполной матрице гироскопических сил.
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
1. Постановка задачи
Рассматривается линейная автономная гироскопическая система трех степеней свободы [15, 16]
' 41 = Р1 <?2 + с1 4и
'42 = - Р1 41 + Р2 43 + С2 42, С1-1) 43 = - Р2 42 + С3 4з, где с, с2, ^ - коэффициенты потенциальной функции; р1, р2 - коэффициенты матрицы гироскопических сил. Всюду значения с1, с2, с3 полагаются вещественными и отличными от нуля. Вещественные коэффициенты Р , Р матрицы гироскопических сил полагаются управляющими параметрами для устойчивости нулевого решения системы (1.1). Здесь не будут рассматриваться случаи потенциальной устойчивости системы
(1.1), когда 4 С 4 ^ 0 . Ставится задача получения алгебраического критерия устойчивости, выраженного через коэффициенты матриц В и С .
2. Математическая модель критерия устойчивости
Построение системы первых интегралов автономных консервативных систем обсуждалось в статьях [10-13]. Конечно, не всегда неполной связкой интегралов можно добиться результата. Чтобы показать это, исследуем устойчивость системы (1.1), для которой рассмотрим пример 1 с исходными данными с = -0,5, с2 =3, с3 = 4.
Соответствующие матрицы кинетической энергии, гироскопических сил и потенциальной функции будут следующими:
Г 0
A = E3; B =
0 ^
Р2 0
(
; С =
0
0 ^ 0
0
'3
Pi
Pi 0 0 " Р2
В статье [17] на основе интеграла энергии и гироскопического интеграла
Н = ^(q Е q - q С q) = const,
Vl=(q В + q С) (В q + С q)-q С q = const
предложена схема составления достаточного условия устойчивости тривиального решения, опирающаяся на положительную определенность квадратичной формы, построенной на матрице
N = (-2С - B2 - 2 к+ E), где к+ — наибольшее по модулю собственное значение матрицы С. Как показано в [15], этим способом не удалось получить достаточные условия устойчивости.
Не удается получить и достаточные условия устойчивости для одного известного первого интеграла, кроме интеграла полной энергии в случае отрицательно определенной потенциальной функции.
Алгебраические условия устойчивости предпочтительно формулировать в виде некоторой квадратичной формы Ж0 (4), чтобы из выполнения ее положительной определенности следовала устойчивость нулевого решения гироскопической системы. Установим вначале некоторые свойства системы (1.1), выводимые из необходимых условий устойчивости [16]:
£0 >0, & > 0, £2 > 0, б(Р1,Р2) > 0 , (2.1)
где £0 = -С1 С2 ^ 41 = Я1 - (с1 Р2 + с3 Р*Х 42= Р12 + Р2 - S2, Я1 = с1 с2 + с1 с3 + с2 ^ Я2 = с + с2 + с3, Q(Р1, Р2) = £12 £2 - 4 £13 -
- 4 £0 £2 +18 £0 £1 £2 - 27 £02 >0.
При этом первое условие соответствует четной степени неустойчивости гироскопической системы по теореме Тэта - Томсона - Четаева [2], а последнее неравенство выражает вещественность всех корней кубического уравнения
ф1(М) = М3 + £2 М + £1 М + £0 =0, так что ф (Л2) = ф( Л) = ¿а (АЛ2 - ВЛ- С) = 0.
Составим вначале некоторые свойства системы (1.1), выводимые из необходимых условий (2.1). Как отмечено в [16], для устойчивости нулевого решения (1.1), в частности, необходимо с1 с3 <0, что следует из графика полинома ф (м) = 0 в интервале (-да; + да) . Вместе с первым неравенством (2.1) это возможно только при с2 >0. Для исследования гироскопической устойчивости предоставляется только одна комбинация знаков коэффициентов потенциальной функции: с <0; с2 >0; с3 >0 (другая возможная комбинация: с1 >0; с2 >0; с3 <0 сводится к предыдущей заменой переменных: х1 = 43;
Х2 = 42; Х3 = 41 ).
В зависимости от знаков величин Я1, Я2 для составленной комбинации коэффициентов матрицы С анализу подлежат три случая:
1) Я2 >0, Я >0; 2) Я2 >0, Я <0; 3) Я2 <0, Я <0 .
Случай Я2 <0, Я >0 соответствует потенциальной устойчивости и поэтому здесь не рассматривается.
Первый случай возможен для значений | с1 | < с2 с3/(с2 + с3) . В частности, это всегда вы-
полняется при | c1 | < min (c2, c3 )/2. Ввиду
S1 > 0 сумма (c3 Pj2 + c p2) может принимать значения разных знаков.
Второй случай (S2 > 0, S1 < 0) допускается
при —2—3— < | c | < c2 + c3 . В частности, это все-fo + 03)
гда существует при 1 max (c2, c3 ) < | c | < c2 + c3 .
Третий случай (S2 <0, S1 <0) возможен только при | c | > c2 + c3. Во втором и третьем
случаях сумма (c pj2 + С Р2) должна быть только отрицательной.
Для упрощения дальнейшего анализа введем обозначения переменных
2 Pi u = Р2; а =—г.
Р22
(2.2)
^2(q,г) = q'M0(r) q , q е Я3, M(>(r) = -
С +
5
2
в которой положительный параметр г (г >4) выбирается исходя из условий:
Ж2(д,г) >>0, £0= -с с2 е3 > 0, Q(д,р)>0. Здесь второе условие выделяет класс систем, для которых возможна гироскопическая устойчивость. Третье условие нужно здесь для исключения комплексных корней с ненулевой вещественной частью характеристического уравнения.
Рассмотрим дальше вопрос о положительной определенности формы W2 (д, г). Требование положительности главных миноров первого и второго порядков матрицы М0 (г) приводит к системе неравенств
Введенный относительный параметр а принимает только неотрицательные значения, другая положительная величина и рассматривается в качестве переменной. Из второго и третьего неравенств (2.1) можно составить ограничения
р2 <(сз2 - с1с2)/(сз- с1);
а < (с2С3 - С12)/(С32 - С1С2 ) = аИах ;
Р1 >(сз2 - С1С2)/(С3 - С1) а .
Каждое выражение в правых частях полученных неравенств принимает только положительные значения. Областью допустимых значений величины а, определяемой из необходимых условий
устойчивости, является интервал 11 = [0; атах) .
В [15] показано, что в области, ограниченной условием положительной определенности квадратичной формы W1(g) = д (-С - В2/4) д и одновременно отрицательной определенностью формы д (-С - В2/4 - к+ Е/4) д [18], нулевое решение системы (1.1) может быть как устойчивым, так и неустойчивым.
Теперь перейдем к формированию квадратичной формы W0 (д). Форма W1 (д) обладает почти всеми свойствами W0(g) [18], за исключением условия Q >0. Но так как положительной определенности Wx (д) недостаточно для устойчивости, то в качестве (д) предлагается квадратичная форма
2 2 2 2 Pi > rci; Р2 > rc3; Pi + P2 > rc2;
22 ci P2 + c3 Pi < rci c3 .
(2.3)
Для примера 1 первое неравенство выполняется тождественно ввиду с1 < 0. Так как ^ с3 <0, то правая часть четвертого неравенства (2.3) должна быть только отрицательной. Поэтому в левой части последнего неравенства (2.3) не допускаются нулевые и положительные значения. Следовательно, областью допустимых значений параметра а , получаемой из требования положительной определенности W2 (д, г), рассматривается только интервал 12 = [0; а0), где а0 = -с1/с3 . Легко показать, что при 5Х >0 будет /2 с и при 51 < 0 области допустимых значений имеют другое построение: 12 з 11. Тогда при любых соотношениях знаков 51,52 должно быть
(с1 р + с3 р2) < 0. Составим область допустимых значений а , определяемую положительной определенностью формы W2 (д, г): 13 = 11 п 12 = = [0, а»), где а» = а0 при 51 > 0 и а» = атах при 5 <0.
Далее установим ограничения на параметр г, исходя из положительной определенности
(д, г). Из второго, третьего и четвертого неравенств (2.3) следует
г < и / с3 ; г <(а +1) и / с2 ; г <(с3 а + сх ) и / сх с3 . Так как при с1 <0, и >0 существует неравенство 1/с3 > 1/с3 + а/с, то первое неравенство и/с3 можно убрать из анализа. Обозначим
r
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
Г (а, и) = тт
(а +1) и (с3 а + с ) и
(2.4)
В зависимости от значений с1 < 0, 0 < с3 < с2 можно легко показать, что г» (а, и) = (а +1) и/с2 при а е [0, с1 (с3 - с2)/(с3 (с2 - с1))) и г* (а, и) = = (с3 а + с) и/(с с) при а е (с (с3 - с2)/ /(с3 (с2 - с1)), а0) или с2 < с независимо от
значений а.
Изучим теперь соответствие условий знакоопределенности ^2(д, г) с необходимыми условиями устойчивости гироскопической системы. Для этого придадим одному из параметров, например р1, определенное значение, пусть р1 = р10. Подставим его в выражение Q(р1, р2) и решим уравнение Q(р10, р2 ) = 0 относительно неизвестной р2. Так как выражение Q(рх, р2 ) содержит только четные степени от р , р , то из последнего уравнения найдем наибольшее положительное решение | р20 |. Из графика Q(р10, р2), в частности, видно, что при | р2 | > | р20 | всегда будет Q(р10, р2 ) > 0, что соответствует выполнению устойчивости нулевого решения системы (1.1).
В исследуемом примере с2 < с3, поэтому Г (а, и) определяется выражением
(с + сз а) _ (с1 р22 + сз р2) _
и =
= 6( Pо, р2)-
Очевидно, при | р2 | > | р20 | справедливо
с р2 + с, в(А0, р2) = ~-3
с1сз
р120
_ (р2 + сз/с1 р^
>
>
С?220 + с3/с1 р20) _
= 0(р10 , р20).
Q(1; 8,288772091605)« +2,13389 х 10-7), а = (1/8,288772091605)2 « 0,014555247784778897, 6(1; 8,288772091605) ^15,17593569664248;
б) при р10 =2 получим | р20 |= 11,045920900099 (здесь 0(2; 11,045920900098) « -3,65463 х 106 и Q(2; 11,045920900099) « +5,5Ш2 хо а =
= (2/11,045920900099)2 « 0,03278356160241012, 6(2; 11,045920900099) « 22,503092132810977;
в) при р10=3 получим | р201= 13,833213370369 (здесь Q(3; 13,833213370368) ^-7,51787 х 106 и Q(3; 13,833213370369) « +3,8034 х10-5), а3 =
= (3/13,833213370369)2 « 0,04703231521890591,
6(3; 13,833213370369) « 29,83448037538915 .
Проведем теперь анализ величин £ £2.
Сложив первые три неравенства (2.3) и разделив полученную сумму на число два, запишем
р2 + р2 > Г (с1 + с2 + с3).
Как показано в [15], величины г = 4 недостаточно для устойчивости нулевого решения системы (1.1). При рассматриваемых здесь значениях
г >4 сразу можно заключить, что р2 + р^ >
> с + с2 + с3.
что приводит к #2 >0. Введем
положительную величину О = (р х + р2 )/с
2
под-ставим ее в выражение д2 = р1 + р - (с1 + с2 + с3) = (О -1) с2 - (с1 + с3), которое, как ранее показано, является положительным. Отсюда следует ограничение
(2.5)
с + с3 О -1
Составим теперь д = с2 (с + с3) + с ^ - с3 рх2 -
с р2, которое с использованием четвертого не-
Следовательно, устойчивость нулевого решения системы (1.1) существует для положительно определенной квадратичной формы г) при значениях рх = р10, | р2 | > | р20 |, когда г* (а, и) = 6(р10, р2)>6(р10, р20). Точно так же легко показать г* (а, и) = 6(р1, р20) > 6(р10, р20),
если выбирать | р11 <| рш |, | р2 | = | р20 |. Для примера 1 можно составить краткие вычислительные данные:
а) при р10 =1 получим | р20 |= 8,288772091605 (здесь Q(1; 8,288772091604)^-7,29895 х 107 и
равенства (2.3) запишется д > с2 (с1 + с3) -- (г -1) схс3. При подстановке (2.6) получим (с + с3)2
?1
--(г -1) с1 с3
(О -1)
Для рассматриваемых здесь О > г >4; с1 с3 < 0 каждое слагаемое последнего выражения положительно. Следовательно, получается д >0 . Таким образом, в предположении положительной определенности квадратичной формы Ж2 (д, г) и ^ >0 выполняются д >0, д2 >0.
3. Оценка решений и из уравнения
Q = 0
с
с1 с3
2
с1с3
С1с3
с
3
с
3
Практическое исследование двупараметри-ческого выражения Q(р, р2 ) > 0 опирается на оценку корней уравнения Q( р1, р2 ) = 0 относительно одной какой-то переменной. Осуществляя в выражении Q подстановку (2.2) с помощью системы аналитических вычислений на ПЭВМ, составим разложение по степеням и :
Q1 (а, и) = Ь4 и4 + Ьз и3 + Ь2 и 2 + Ь1 и + Ь0
где
при значениях а е 13 коэффициенты Ьъ и Ъх будут отрицательными, притом | Ьх | > | Ь3 |. Тогда
оценка наибольшего положительного корня уравнения (3.1) будет довольно завышенной. Ее можно понизить, применяя теорему 1. Рассмотрим простейший случай, когда имеется еще только один отрицательный коэффициент а , так что М > т, ат > ам . Составим замену переменных ( I— Л
Ь4 = (с3 а + с)2 (а +1)2; Ь3 = 2[2(с3 а + с)3 -
У = Ьг
Ь = м -
>0
- 52 (с3 а + сх)2 (а +1) - 5Х (с3 а + сх) (а +1)2 + В новых переменных уравнение (3.1) запишется:
+ 2с с2 с3(а +1)3]; Ь2 =(522 -125)(с3 а + С)2 + + 2 (2 5г52 + 9 С с2 с3) (С а + С) (а +1) + (5Х2 --12 с с2 с 52) (а +1)2; Ь =2 [(6 5Х2 - 5 522 -
- 9 с ^ ^) (с3 а + с ) + (6 с с2 с3 5^ - 5Х2 52 -
- 9 с с2 с 5) (а +1)]; Ь0 = 5Х2 522 - 4 5Х3 - 4 с с2 х
х с3 53 +18 с с2 с3 52 - 27 (с ^ с)2 .
Оценка переменной и подразумевает нахождение одной из нижних границ наибольшего положительного корня уравнения Q1 (а, и) = 0 . При заданных значениях параметра а задача сводится к нахождению точного (с заданной степенью точности) или оценочного решения уравнения для переменной и . Такой подход позволяет упростить определение параметров для получения условия 0(р1,р2)> 0.
Из выражения гЛак,и) (к = \,2,...) видно,
что при оценочном решении
у(у(г)) = Ьпгп + ах Ьп-1
п-1 п-1 .
Г + ...
+ ам Ь
и^^ „п-М
+... + ап-1 Ьг + ап =0.
Подбором величины Ь здесь коэффициенты при степенях (и - т) и (и -М) оказались равными. Тогда согласно теореме 1 за величину А можно принять | атЬ"~т |. Верхней границей положительных корней г по теореме 1 будет
(-ат)Ь'
Ь'
+
1 = 1 т[-
1 Ьт
ат +1.
Пересчет верхней границы для переменной У приводит к значению
У0 = ЬГ0 = ф-от +(м.
V ат
Таким образом, справедлива
Теорема 2. Все положительные корни алгебраического уравнения (3.1) при а0 = 1 и от-значение рицательных коэффициентах ат, ам (ат > ам )
г (а, Щ) будет тем точнее, чем ближе к точному решению и окажется величина и . Нахождение оценочного решения опирается на известные результаты вычислительных методов [19].
Теорема 1 [19, с. 80]. Все положительные корни алгебраического уравнения
И У) = «о У + «1 V"" + • • • + «„-1 У + а„ = 0 (3.1) с вещественными коэффициентами меньше значения (^А/а0 + 1), где А - наибольшее по абсолютной величине значение из отрицательных коэффициентов уравнения {ЗА), т - индекс первого отрицательного элемента в ряду ал, а2, ..., ап.
Пусть в полиноме (3.1) для определенности будет а0 =1. Часто возникают ситуации, когда отрицательный коэффициент в (3.1) неединственный. Можно, в частности, показать аналитически (численные эксперименты это подтверждают), что
получаются меньше значения
У0=(-ат )1/т + (ам /ат )1/(м-т) .
В случае большего числа отрицательных коэффициентов уравнения (3.1) ат, а , а ,
5 • ■ -5ап,1 '■> <т2<...<т1<п , среди кото-
рых имеются по модулю превышающие | аот |, оценка верхней границы положительных корней осуществляется оптимальным выбором из их числа. Здесь вещественную Ь нужно подобрать так, чтобы в преобразованном выражении только коэффициент одной степени (п - т ;).
у е {1, 2,...,/} при переменной г был равен коэффициенту (ат Ьп-т), а остальные отрицательные коэффициенты не превосходили его по моду-
лю. Тогда выбор индекса условия
т.
производится из
а
т
■7 = т Г 0 1
и
к
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
(т . -т)
тах
кеО,2,.,/}
Л
(т, -т)
Таким образом, справедлива
Теорема 3. Все положительные корни ал-
и0 - оценка наибольшего вещественного положительного решения уравнения ^ (ак, и) = 0 по теореме 2;
г0 = г* (ак , и0) .
Очевидно, что 6( рш, р20 ) = г* (а,, иот ) при
гебраического уравнения (3.1) при а0 =1 и от- а, =(^0^20) , и тогда при и > мот будет вы-
рицательных коэффициентах ат, а , ^ , ...,
а; т < т1 < т2 <... < т1 < п, из которых хотя бы
один превышает по модулю | аот |, будут меньше значения
У0=(-ат )1/т + (ам /ат) где натуральное М выбирается из условия
ч1/(М-т)
аМ
1
V ат у
(М-т)
тах
ке{1,2,...,/}
(т, -т)
Приведем поясняющий пример. Пусть задано уравнение <Ну) = У3 - 9 У2 - 32 у - 48 = 0 . Корни последнего уравнения для сопоставления известны: у1 = -3; у2 = -1; у3 =12 . Так как коэффициенты второй, первой степеней и свободный член отрицательны, то по теореме 3 выберем
наибольшее из чисел <!—' /— I. Первое является
19 V3/
большим, тогда верхней границей положительных корней данного уравнения по теореме 3 будет у0 =9 + 32/9 « 12,555556 . Как отсюда видно, полученный результат незначительно отличается от наибольшего точного решения. В другом примере
уравнение ^(у) = У3 - 4 у2 - 32 у - 768 = 0
единственным вещественным корнем имеет ух = 12 (остальные комплексные находятся из
уравнения у2 + 8 у + 64 = 0). Наибольшим из
чисел 8 и -\/192 является последнее. По теореме
3 тогда получим у0 = 4 + 8 л/3«17,8564 . Получаемые по теореме 1 оценки значительно отличаются от найденных.
В практических исследованиях введем в рассмотрение для некоторого значения относительного параметра ак обозначения:
иот - наибольшее вещественное положительное решение уравнения Q0 (ак, и) = 0 (найденное с некоторой степенью точности);
полняться ^ (ак, и) > 0 . Такое же заключение следует и для оценочного решения
и = М0 : Qо(аk,М0)>0 .
4. Параметрический анализ условия
Q >0
Применение изложенных теорем для анализа Q(р1, р2) > 0 будет эффективнее после приведения уравнения ^ (а, и) = 0 к выражению с единичным коэффициентом при старшей степени:
<р(а, м) = м 4 + м 3 + ^ м 2 + и + ^ (4.1)
ь4 ь4 ь4 ь4
Уравнение (4.1) четвертой степени относительно и может накладывать дополнительное ограничение на область допустимых значений параметра а . Для этого составим ряд Штурма [19, 20]:
дQ1 (а, и)
Л(м) = Qо(a, и), /1(и) = -
ди
/ (и) = т22 и2 + т21 и + то, /3(и) = т31 и + т30, /4(и) = т40, где т22 =3 Ь32 - 8 Ь2 Ь4; т21 = 2 (Ь2 Ь3 - 6 Ь1 Ь4);
т
20
= Ь1 Ь3 -16 Ь0 Ь4; т31=2(16 Ь0 Ь2 Ь^ - 6Ь,
х Ь32 Ь4 -18 Ь2 Ь42 +14 Ь1 Ь2 Ь3 Ь4 -3 Ь1 Ь33 - 4Ь;3 Ь4 +
+ Ь22 Ь32); т30 = - 48 Ь0 Ь1 Ь; + 32 Ь0 Ь2 Ь3 Ь4 --9Ь0 Ь33 + 3Ь2 Ь3 Ь4 -4Ь1 Ь22 Ь4 + Ь1 Ь2 Ь32;
т
40
0^3 -Г ^3 ^4 ^ 12 "4 ^ "2 "3 :
= 254 Ь03 Ь43 + Ь02 (-192 Ь1 Ь3 Ь42 -128 Ь22Ь42 +
24
+144 Ь2 Ь32 Ь4 - 27 Ь34) + Ь0 (-6 Ь2 Ь32 Ь4 + +144 Ь2 Ь2 Ь42 - 80 Ь1 Ь22 Ь4 +18 Ь1 Ь2 Ь33 +16 Ь24 Ь4 -
- 4Ь23 Ь32) -27 Ь4 Ь42 +18 Ь3 Ь2 Ь3 Ь4 -4Ьх3 Ь33 -
- 4 Ь2 Ь23 Ь4 + 6 Ь2 Ь22 Ь32.
Легко видеть, что в интервале (-то; + го) при Ь4 > 0, т22 >0, т31 > 0, т40 > 0 уравнение ^ (а, и) = 0 имеет четыре вещественных решения. Если изменить только знак т40 , то окажется только два вещественных решения. Хотя два вещественных корня могут существовать и при отрицательных т31 или т22 , но тогда тем более должно выполняться т < 0 . Следовательно,
1
1
а
а
т
т
к
а
а
т
т
у
а
т
к
а
т
х
при т40 = 0 совершается перестраивание вещественных корней в комплексные. Тогда а = а00 (а00 - корень уравнения т40 =0) является границей интервала, в котором существуют четыре вещественных корня и уравнения (4.1).
Но при т40 = 0 обращается в нуль результант [20], составленный из полиномов /0 (и) и (и) . Равный нулю результант соответствует кратному корню и уравнения ^ (а, и) = 0 . Тогда область допустимых значений параметра а , вызванная особенностью уравнения (4.1), уточняется: ае 14 =[0; а00) с /3.
Так как для уравнения (4.1) всюду Ь4 >0, Ь2 >0, Ь0 >0 , то для оценки верхней границы и положительных корней будем применять теорему 2. Из соотношения с2 < с3 в примере 1 применяется
(с3 а + с ) и0 г0 =-.
С1 Сз
Проведем теперь анализ при известных значениях параметра р матрицы гироскопических
сил. Иллюстрирование составленного вычислительного способа выполним на примере 1 и выясним влияние параметра а е 14 на вычисляемые значения и0, г0 . Для полного анализа составим дополнительную характеристику, как относительную погрешность определяемого численно
параметра г :
г0 -бСР^ Р20)
8Г (а) =
которую (если не учитывать погрешность вычислений) можно считать равной е (а) = | (и -- ит )/и0 | . Для сравнения с ранее вычисленными экспериментальными значениями 0(р10, р20) будем последовательно полагать параметр а равным:
а =0,014555247784778897; а2 = 0,03278356160241012; а =0,04703231521890591. Значение а = ах ранее было получено при р10 =1, р20 = 8,288772091605 , когда для р2 > р20 нулевое решение (1.1) является устойчивым: существуют все чисто мнимые корни характеристического уравнения. Для значения а = ах уравнение (4.1) имеет вид
ф(а,и) = и4 " 100,80990355938627 и3 +
+2457,95580550098 и2 -17341,10152578854 и + +1234,8083569171463 = 0. Проведенные численные выкладки показывают:
и0 *113,92546060725383, и *68,70374278657248,
т ' '
г * 25,164938535546163, п (а, ^ ) * 15,175935696642561 . Сравнивая найденное п (а,) с 0(1 8,288772091605) * 5,17593569664248, заключаем об их равенстве с точностью 10-13, что вполне объясняется погрешностью вычислений. Расчеты показывают
Ег (а1 ) =
25,164938535546163 -15,17593569664248
25,164938535546163
* 0,39694127703884274. При р0 = 2, р20 = 11,045920900099, где а = а2, уравнение (4.1) будет ф(а2, и) = и4 --150,05634102966957 и3 + 3617,9807935764984 и2 --23961,289282146594 и + 1709,2508728672015 = 0. Проведенные вычисления показывают: и0 * 162,6928734223298,
и * 122,01236853058103,
т ' '
г * 30,005914679409354, к(а, ит)* 22,503092132729986. Последнее незначительно отличается от 0(2; 11,045920900099) * 22,503092132810977 (порядок малости меньше 10-10). Относительная погрешность здесь
Е(а) * 0,25004478706149763 . При р10 =3, р20 =13,833213370369 (когда а = а3) рассматривается приведенное уравнение (4.1): ф(а3, и) = и4 - 217,40230094883302 и3 + + 5153,950426016979и2 -32567,99738242757 и + + 2326,4390852552924 = 0. Вычисления в этом
случае
дают:
и * 229,64179481736338,
мт «191,3577921500969, г « 35,809278141769745, г,(а,ит) * 29,839448037529753 . Отличие последнего от 0(3; 13,833213370369) * * 29,83448037538915 составляет порядка 10-10. Относительная погрешность здесь такая: ег(а) * 0,1668505503720638.
г
0
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
Дальше параметр а будем искать из условия, соответствующего наилучшему решению нахождения параметра г . Этому удовлетворяет
решение задачи условного экстремума Q (а, м) . В качестве области допустимых значений а полагаем /3 (так как интервал /4 пока неизвестен). Для решения системы уравнений из Q1 (а, м) = 0 и д^ (а, м) / да = 0 составим результант седьмого порядка [20], который для примера 1 имеет три вещественных решения а4 = — 1, а = 1 / 8, а6 « *0,09286194045666021 (остальные корни комплексные, притом кратные). Первые два решения сразу исключаются из рассмотрения: первый не попадает в область допустимых значений как отрицательный, второй является невключенной правой границей /3. Третий корень а6, уже ранее говорилось, должен быть равным а00, он и определяет правую границу интервала /4. Уравнение (4.1) здесь принимает вид
ф(а6, и) = и4 -1467,23133536988и3 + +31837,19248240625 и2 -175153,545555547517 и +
+12568,146319394147 = 0. Проведенные расчеты показывают следующие значения:
М * 1478,1573095458004, и * 1445,28268971430753,
т ' '
г * 95,01021525721175, к (а, ит ) * 92,89743271518591, еи (а) * 0,02237425063253505 . При равном нулю результанте полиномов ^ (а, м ) и д^ (а, м )/ да должны существовать кратные корни переменной и [19, 20]. Действительно, для значения а = а6 аналитическое решение уравнения (4.1) получает кратный корень и * 10,9358641, который здесь не является наибольшим.
Экстремальные значения Q1 (а, м ) = 0 возможны еще и на левом конце интервала /4, когда а = 0 . В этом случае уравнение (4.1) примет вид ф(0, и) = и4 - 77 и3 +1875,25 и2 --13954,5 и + 992,25 = 0. В результате вычислений получаем: и0 « 90,46206792165574, ит « 31,50000000000008, г * 22,61551980413936, г(0, мт) « 7,875 . Экспериментальные вычисления при р10 = 0 позволили найти | р20 |* 5,6124860934979, так что при
| р21 > | р201 все корни характеристического уравнения гироскопической системы будут чисто мнимыми. Отсюда 0(0; 5,6124860934979 * * 7,875000037426829. Относительная погрешность ег(0) * 0,6517877506737105.
Из проведенных экспериментальных вычислений сравнительный анализ (хотя использовались приближенные вычисления) позволил установить определенные выводы:
1) с ростом р для устойчивости нулевого решения (1.1) увеличивается и р20, а также г0 и
г*(а,,м0) при а, = (рю / р20)2;
2) с ростом а увеличивается г0 и г (а, и0) ;
3) с ростом а уменьшается относительная погрешность ег (а) , а также точность вычисляемых величин г и г (а, и0) .
Следовательно, на левом краю интервала допустимых значений отрезка (при а = 0) значение
г наименьшее. Но при этом расхождение между вычислительной оценкой значения г по теореме 2 и экспериментальным значением г* (ак, ит ) будет наибольшим. На правом конце интервала /4 (при а = а ) значение г0 является наибольшим, а расхождение между г0 и п(а,мт) наименьшим. Таким образом, интерес для практических исследований представляют границы интервала /4, остальные промежуточные значения а приведены здесь для иллюстрации свойств составленного вычислительного способа получения достаточных условий устойчивости.
В частности, наименьшим значение параметра г для устойчивости нулевого решения гироскопической системы (1.1) в примере 1 будет г > 7,875 , а в приближенных вычислениях для оценочных решений м = м0 : г > 22,61551981.
Заключение
В статье показано, что неполной связкой из первых интегралов не всегда можно получить достаточные условия устойчивости. Также показана невозможность решить этот вопрос и при только одном известном первом интеграле полной энергии. Предложенный в статье вычислительный способ получения достаточных условий устойчивости позволяет проводить исследование устойчивости гироскопических систем вида (1.1). При таком подходе гарантированно выполняются все необходимые условия устойчивости систем вида (1.1). Во всяком случае, для упрощения вычислений в практических задачах можно не решать уравнение
Q (a, u) = 0 , а применять оценку наибольшего положительного решения u = u0 по теореме 2. Такой подход позволяет упростить анализ системы. По сравнению с получением решений общей задачи нахождения необходимых условий устойчивости гироскопической системы, это составляет преимущество в выборе последовательности выполняемых операций. Особенно последнее может оказаться полезным для исследования систем большей размерности.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Т. 2 // М.-Л. : Изд-во АН СССР, 1956. С. 7-263.
2. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М. : Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.
3. Летов А.М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М. : Физматгиз, 1962. 483 с.
4. Летов А.М. Математическая теория процессов управления. М. : Наука, 1981. 255 с.
5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М. : Наука, 1967. 472 с.
6. Каменков Г.В. Устойчивость движения, колебания, аэродинамика. Т. 1. М.: Наука, 1971. 255 с.
7. Каменков Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. Т. 2. М. : Наука, 1972. 213 с.
8. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М. : Наука, 1966. 530 с.
9. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М. : Наука, 1971. 312 с.
10. Кузьмин П.А. Квадратичные интегралы линейных механических систем // ПММ. 1960. Т. 24, Вып. 3. С. 575-577.
11. Лахаданов И.М. О стабилизации потенциальных систем // ПММ. 1975. Т. 39, Вып. 1. С. 53-58.
12. Лахаданов И.М. О квадратичных интегралах линейных автономных систем // ПММ. 1978. Т. 42, Вып. 3. С. 555-557.
13. Бурлакова Л.А., Иртегов В.Д. Теорема Рауса-Ляпунова в системах с линейными интегралами // Прямой метод в теории устойчивости и его приложения. Новосибирск: Наука, 1981. С. 151-165.
14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : Наука, 1967. 576 с.
15. Новиков М.А. О достаточных условиях устойчивости одной линейной гироскопической системы // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 4 (40). С. 23-33.
16. Новиков М.А. О необходимых условиях устойчивости одной гироскопической системы // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 3 (39). С. 80-86.
17. Булатович Р. М. Об устойчивости линейных потенциальных гироскопических систем в случаях, когда потенциальная энергия имеет максимум // ПММ. 1997. Т. 61, Вып. 3. С. 385-389.
18. Козлов В.В. Гироскопическая стабилизация и параметрический резонанс // ПММ. 2001. Т. 65, вып. 5. С. 739-745.
19. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. М.: ГИФМЛ, 1960. 620 с.
20. Ван дер Варден. Современная алгебра. Т. 2. М.-Л. : ОНТИ НКТП СССР, 1937. 210 с.
