CC BY
19
УДК: 517.925.51: 519.6 Новиков Михаил Алексеевич,
д. ф.-м. н., с. н. с., учреждение Российской академии наук, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952) 45-30-96, e-mail: [email protected]
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СПУТНИКА
НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
M. A. Novickov
ASYMPTOTIC STABILITY OF THE EQUILIBRIUM POSITION FOR A SATELLITE
ON A CIRCTLAR ORBIT
Аннотация. В статье рассматривается несимметричный спутник с гиродинами, центр масс системы тел равномерно движется на круговой орбите. Исследование асимптотической устойчивости положения равновесия проводилось в известной ранее статье В.В. Сазонова вторым методом Ляпунова с функцией Ляпунова возмущенного движения, составленной из интеграла энергии и дополнительных слагаемых, содержащих управление гиродинами. Область устойчивости была определена из условия знакоопределенности квадратичной части функции Ляпунова V возмущенного движения и выражалась четырьмя строгими неравенствами. Условия стабилизации стационарного движения по теореме Барбашина - Красовского об
138
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 1 (45) 2015
асимптотической устойчивости были получены алгебраическими неравенствами, составленными из геометрических параметров спутника.
Исследование асимптотической устойчивости на границе устойчивости в предложенной статье проведено последовательным обращением в нуль строгих неравенств области устойчивости. В функции V тогда учитывались члены выше второго порядка. К исследованию положительной определенности неоднородной функции V применялся критерий знакоопределенности многочленов. Практическая реализация проверки знакоопределенности многочленов нескольких переменных представляет трудоемкий процесс вычислений, связанных с перемножением, раскрытием, подстановкой и факторизацией выражений. Вычислительный процесс при исследовании границ устойчивости проводился системой аналитических вычислений на персональном компьютере.
В результате проведенных вычислений выявлены участки границ устойчивости, на которых стационарное движение асимптотически устойчиво. При заданном в статье законе управления гиродинами асимптотическая устойчивость установлена членами не выше четвертого порядка функции Ляпунова возмущенного движения.
Ключевые слова: спутник с гиродином, асимптотическая устойчивость, границы области стабильности, положительная определенность полиномиальная, корни характеристического уравнения.
Abstract. The paper considers a non-symmetric satellite with gyrodynes, the mass center of the system of bodies moving along a circular orbit. Investigation of asymptotic stability for the equilibrium position was earlier conducted in the well-known V.V. Sazonov’s paper by Lyapunov’s second method, with the Lyapunov function for the disturbed motion, this function being composed of the energy integral and additional terms containing control of gyrodynes. The stability domain was determined from the conditions of signdefiniteness of the quadratic part of the Lyapunov function V for the disturbed motion and was expressed by four string inequalities. The conditions of steady-state motion stabilization according to the Barbashin - Krasovskii theorem on asymptotic stability were obtained in the form of algebraic inequalities composed of satellite’s geometric parameters.
The investigation of asymptotic stability at the stability boundary in the paper was conducted by sequential vanishing strong inequalities of the stability domain. In this case, only the terms of order higher than 2 were taken into account in function V. In the investigation of positive definiteness for the non-uniform function V the criterion of signdefiniteness of polynomials was applied. The practical realization of verification of signdefiniteness for the polynomials of several variables is labor consuming computational process bound up with multiplication, opening brackets, substitution and factorization of expressions. So, in course of our investigation bound up with stability boundaries, the computational process was performed with the aid of a system of analytical computations, on a personal computer.
As a result of computations conducted, stability boundaries have been revealed, on which the steady-state motion is asymptotically stable. Under the control law for the gyrodynes given in the paper the asymptotic stability is determined by the terms of order not higher than 4 for the Lyapunov function of disturbed motion.
Keywords: satellite with gyrodynes, asymptotic stability, boundary of the domain of stability, positive definiteness of polynomial, roots of characteristic equation.
Введение
Распространенным способом исследования устойчивости стационарных движений механических автономных систем является второй метод Ляпунова [1]. В задаче спутника с гиродинами [2], когда центр масс системы тел движется равномерно по околоземной круговой орбите, положительно определенной функцией Ляпунова V возмущенного движения выбирается полная энергия системы с управлением гиродинами, так что производная от V , составленная для уравнений возмущенного движения, отрицательно постоянна. При отсутствии целых траекторий множества V = 0 по теореме Барбашина - Красовского [3, 4] можно получить асимптотическую устойчивость исследуемого стационарного движения. В статье [2] приведены достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия в связанной со спутником системе координат, полученные из положительной определенности квадратичной части функции Ляпунова. Они записываются в форме строгих неравенств от геометрических параметров спутниковой системы.
В предложенной статье проведено исследование границ области устойчивости, когда одно или несколько строгих неравенств обращаются в
равенства. При этом исследование асимптотической устойчивости также проводится вторым методом Ляпунова с неоднородной функцией V . Для исследования знакоопределенности алгебраических многочленов привлекаются разнообразные вычисления определителей, перемножения и подстановки выражений, разложение алгебраических многочленов на множители. Для упрощения вычислительного процесса проведено исключение из анализа наибольшего числа переменных, для которых члены выше второго порядка не оказывают влияния на знакоопределенность функции Ляпунова.
1. Описание модели
В статье [2] рассматривается задача об исследовании асимптотической устойчивости положения равновесия спутника с гиродинами, центр масс системы равномерно движется с постоянной угловой скоростью ш0 по круговой орбите. Для описания движения спутника вводится орбитальная система координат OXjX2X3, в которой ось
OX направлена по касательной к орбите, ось OX имеет направление по радиус-вектору от центра Земли, ось OX2 дополняет правую систему координат. Связанная со спутником система координат
Oxxx направлена по главным центральным осям инерции спутника с соответствующими моментами инерции A, B,C . Через ю, (i = 1,2,3) обозначены проекции абсолютной угловой скорости спутника-гиростата на оси Oxt, Ht (i = 1,2,3) - проекции кинетического момента гиростата на оси Ox . Положение системы координат OxjX2x3 относительно OXjX2X3 задано углами a, р, у [2], так что направляющие косинусы atj = cos(X, x ■ ) заданы таблицей:
a21 = sin р, a22 = cos р cos у,
23
= - cos р sin у, a31 = - cos a cos P,
•*32
= - sin a sin у + cos a sin P cos у,
A CO і + (C — B) Ю 2 W3 + Hi і + ю 2 H 3 — ю 3 H 2 — = 3 O (C — B) a32 a33;
( abc, HjH2H3, ooo , XX32X3);
у = ю1 — (ю2 cos у — ю3 sin у) tg P; р = ю2 sin у + ю3 cos у; а = — ю0 + (ю2 cos у — ю3 sin у)/cos р.
Управление гиродинами управления [2]
задано
H = щН; H2 = H + n2h; H3 = пъН;
%h + h = J [що + Щ (®2 — O) + ПO],
сматривается [2]
ю;
(0) = 0, ю(0)= о, O0) = o
[A cos2x5 cos2x6 + B (— sin x5 sin x4 +
+ cos x5 sin x6 cos x4)2 + C (sin x5 cos x4 +
+ cos x5 sin x6 sin X4)2] —O2 [A sin2 X6 + + B cos2 X6 cos2 X4 + C cos2 X6 sin 2 X4] —
a33 = — sin a cos у — cos a sin р sin у.
Дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы тел приведены в [2]
(1.1)
законом
(1.2)
где т (i = 1,2,3), J - некоторые постоянные положительные величины; H, щ, п2, щ -
произвольные постоянные, связанные условием п2 + п22 + п^ = 1. Стационарным движением рас-
— 2 ю0 [п4 x7 sin x6 + (H + п4 x7) cosx6 cosx6 +
+ п3 xn cos X sin x4 ] + xQ/J .
Составленная в силу дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.1), (1.2) производная V отрицательно постоянна: V = —xQ/J.
Анализ знакоопределенности алгебраических функций выше второго порядка значительно может упроститься при уменьшении числа переменных. В связи с этим выражения первых трех слагаемых в V0: (х — ю0 sinx6), [x2 + ю0х
х(1 — cos x6 cos x4)], (x3 + ю 0 cos x6 sin x4) участвуют только квадратичными слагаемыми, и поэтому их можно исключить из анализа. Так как стоящие при них коэффициенты положительны, то для V будет рассматриваться только положительная определенность. Уберем из V0 первые три слагаемых и полученный остаток обозначим через V (x). Хотя в последнем выражении не участвуют x , x , x , будем в качестве x полагать (x4, x5, x6, x7)'.
Кроме того, обработка полиномов будет проводиться значитель-но проще при существовании в выражении V однородности. В частности, такая однородность может быть достигнута при исключении из анали-за ю0, что можно осуществить переходом к обоз-начениям
H 4 =
H п1 п9 ; п5 =—; п3 ; п6 =—; , 1
; . п4 =—; J 4 7 2 JQq
ю0 ю0 ю0 ю0
.(1.4)
(1.3)
у(0)=0, a(0)=0, р(0)=0, h(0)=0.
Соответственно введены отклонения: x = ю, x = ю2 — ю0, x = ю3, x = у, xs = a, x6 = р, x = h. Для исследования устойчивости движения (1.3) применялась функция Ляпунова возмущенного движения [2]
V0 = A (x1 — ю0 sin x6)2 + B [x2 + ю0 (1 — cosx6 cosx4)]2 +
\ 2
+ C (x + ю0 cosx sin X)2 + 3 ю
При указанной подстановке получим
V1(x) = roQ V2(x),
где V2(x) = ^ Fi (x), F (x) - форма порядка i.
Тригонометрические функции разложим в ряды Маклорена до членов шестого порядка. В результате выражения форм получатся такими:
F (x) = 3(C — A) xQ + [H4 + 4(B — A)] x2 — 2п x5x7 +
+ (H4 + B — C) x + 2п^ x^7 + J4 x~j;
F3(x) = 6(C—B) x4x5x6 + п5 x7 (xQ + xQ);
<
F (x) = (A - C) + 3(A - B) x2x2 + 3(B - C) x\xI -
- [H4 +16(B - A)] /12 x54 + n4 /3 x3 x7 -- [H4 + 8(B - C)] / 2 x52x2 - n6 x2x6x7 -
- [H4 + 4(B -C)]/12 x6 - nJ3 x\x7;
F (x) = 4(B - C) x^x5x6 + (B - C) x4x|x6 + 4(B - C) x
1ГГ6
4
x x4x5x3 - n5 /12 xjx7 - П /2 x2x2x7 - n5 /12 x^x7;
F (x) = 2(C - A) /15 x6 + (B - A) x\x\ + (C - B) x%x62 +
+ (B - A) x42x54 + 3(B - C) x42x52x62 + (C - B) x42x4 +
+ [H4 + 64(B - A)] / 360 x56 - n /60 x55x7 +
+ [H4 + 32(B - C)] / 24 x54x2 + n6 /12 x54x6x7 +
+ [H4 + 32(B - C)] / 24 x2x4 + щ /6 x52x63^ +
+ [H4 +16(B - C)] / 360 x6 + n /60 x65^ . Введем в рассмотрение матрицы
Л
M 0 =
M 1(10) 0 0 0
0 M 22 0 - n
0 0 m 33) n6
0 - n4 n6 J4
( M О 0 г ч-- г- _ nA Л
M =
0
- n
M 3(30)
4
они уточняются из (1.5) при дополнительных условиях на каждом участке границы. К тому же, хотя бы один из корней получаемого на границе устойчивости характеристического уравнения обращается в нуль.
2. Постановка задачи
Область устойчивости будет находиться достаточными условиями положительной определенности квадратичной формы F2 (x), которые выражаются положительными главными минорами матрицы M до третьего порядка включительно. Миноры, не зависящие от статических и динамических параметров спутника с гиродинами, в частности J4, не включаются в рассмотрение. Вычисленный по второй, третьей и четвертой строкам матрицы M главный минор имеет вид
1234 = J4 [H4 + 4(B - A)] (H4 + B - C) -
- n2 (H4 + B + C) - n62 [H4 + 4(B - A)] > 0.
Легко показать, что главные миноры второго порядка
124 = J4 [H4 + 4(B - A)] - n42 >0,
134 = J4 (H4 + B - C) - n62 >0 заведомо выполняются при /234 > 0 .
Окончательно условия положительной определенности квадратичной формы F2 (x)
задаются системой неравенств
C - A >0; H4 + 4(B - A) > 0;
где
M1(0) = 3(C - A), M22) = H4 + 4(B - A),
H4 + B - C >0; /234 > 0.
(2.1)
Они с точностью до обозначений (1.4) M^0) = H4 + B - C. Первая из них является совпадают с условиями устойчивости в [2].
матрицей квадратичной формы F2 (x), вторая Требование отсут-ствия целых траект°рий F0=0
представляет матрицу M0 без первой строки и составлены в [2]: столбца.
Характеристическое уравнение матрицы M имеет вид
B Ф A; n6 (n42 + n6) Ф 0; (C - A H4 + 4(B - A)^
f (X) = det (M -Щ) = X3 -- [2H4 + 4(B - A) + B - C + J4 ] X2 -- [(H4 + 4(B - A))(H4 + B - C) + J4 (2 H4 +
+ 4( B - A) + B - C) - n42 - n62] X- J4 [H4 + 4(B - A)] (H4 + B - C) + n2 (H4 +
+ B - C) + n2 [H4 + 4(B - A)] = 0.
В дальнейших исследованиях границы устойчивости понадобятся свойства корней последнего характеристического уравнения. Конечно, на каждом участке границы характеристические уравнения будут разными, но
B
3 C
(2.2)
( C - A H4 + B - C _
B 3 A
(C - A)(H4 + B - C - A)2
Ф 0.
V 3ABC y
Ставится задача: исследовать асимптотическую устойчивость стационарного решения (1.3) на границе устойчивости (2.1).
При этом система неравенств (2.2) остается неизменной, иначе, в лучшем случае, стационарное решение будет только устойчивым.
n
6
n
6
x
3. Общие сведения о знакоопределенности многочленов
В общем случае проводится исследование положительной определенности по-линомиальных функций вида
W (x) = W2m Xn ) + W* (xl,-, Xn+1 ),
x є Rn+, n,l, m > 1.
Здесь W2m (Xj,...,xn) - положительно определенная по своим переменным форма низшего 2m порядка, W ( х) - полином, состоящий из членов степени выше 2m . Вещественные решения
W(х) = 0 в окрестности начала координат можно искать в виде параметрических ветвей [5-7]
ад
н II м Тз '-к Тз II ., n; Ъг(р) є R, L > М,
\р\=L
Х = 5 tM Xn+1 51 Ч , -к*, СО* II +
tp = tp X ^2 Х...Х tp ; I p | = Pj + P2 + . + p,,
Pj > 0, j = 1,.,l, (3.2)
где мультииндекс p состоит из целых неотрицательных показателей степеней Pj (j = 1,2,.,n); 5 ■ = —1 может выбираться только для четных M при х ■ <0 и 5 . = +1 в остальных случаях; Ъ{(р) — вещественные значения; целочисленные положительные значения L и M подбираются в процессе построения решений W(х) = 0.
В результате подстановки выражений (3.2) в функцию (3.1) получается ряд
W(x(t)) = Wj(t) = Aq (Ъад;М;L;t) + ..., (3.3)
где Aq (Ъг(p)';M;L;t) - форма наименьшего
поряд-ка Q относительно многомерного (в общем слу-чае) параметра t и представляет алгебраическое выражение, содержащее коэффициенты функции (3.1) и параметризации
(3.2); многоточием обозначены члены более высокого порядка, чем Q .
Начальное целочисленное М можно полагать равным наименьшему общему кратному чисел: 1,2,.,2m. Величину L можно вначале полагать равной (М +1) и дальше находить из условия
Aq (Ъкр); М; L — 1; t) - 0 при Ъ( р) =0(М +1 < I р I < L — 1),
А (Ъ1(р);М; L;t) — 0
при Ъ(р) = 0 (М +1 < I р I < L), (i = 1,2,.,n).
В дальнейшем значения Q, L,М можно уточнить, сокращая их на наибольший общий делитель. Пусть при некотором L дробь Q/М приводится к несократимой q/r, тогда знакоопределенность функции решает
Теорема 1. В случае, если
1° : a) q = 2а +1 (а — целое число) или б) q = 2а и Aq Ър);М;L;t) - знакопеременная форма при некоторых вещественных Ъ,.( }, то функция W(х) знакопеременна (существует, по крайней мере, одна вещественная ветвь решения W(х) = 0, проходящая через начало координат);
2° : если q = 2а и Aq Ър);М;L;t) - положи-
тельно определенная форма при всех Ъ^р) є R, то функция W (х) положительно определена (не существует ни одной вещественной ветви решения W (х) = 0 , проходящей через начало координат);
3° : если q = 2а и Aq Ър);М;L;t) - знакопостоянная форма при всех Ъ^р) є R, то функция W(х) может быть знакоопределенной или знакопеременной на членах более высокого, чем Q , порядка (могут существовать вещественные ветви решения W(х) = 0 , проходящие через начало координат). В последнем случае для исследования знакоопределенности следует привлечь члены выше L порядка в (3.2).
Построение решений Ъ будет тем легче проводиться, чем ниже степень М. Этот вопрос может решать
Теорема 2. В анализе знакоопределенности формы (3.1) при значении m = 1 в разложении
(3.2) можно сразу полагать
М = 1,5 у =1, j = 1,., l.
Заметим, что последняя теорема точно решает вопрос знакоопределенности W (х) и не всегда соответствует построению решения W (x) = 0.
Построение ветвей вещественных решений производится последовательно отысканием всех вещественных решений уравнения:
Aq (Ънр);М; L; t) = 0 (3.4)
на каждом этапе построения рядов (3.2). Степень последнего уравнения относительно Ъ^р) не выше 2m .
4. Исследование устойчивости на границах устойчивости
Будем последовательно обра-щать каждое алгебраическое соотношение (2.1) в равенство. Функцию У2 (х) предстоит исследо-вать на положительную определенность. При этом в случае выполнения условий (2.2) и положительной определенности У (х) на границе устойчивости стационарное решение (1.3) по теореме Барбашина - Красовского [3, 4] будет
асимптотически устойчивым. При знакопеременной У (х) стационарное решение (1.3) по теоремам Барбашина и Красовского о неустойчивости [3, 4] получается неустойчивым.
а) Случай C = A. Полагаем второе, третье и четвертое неравенства (2.1) выполненными. В этом случае без приведения квадратичной части F (х) к полным квадратам параметризация по теореме 2 будет такой:
Х4 = t; х5 = bj tJ +...; х6 = b2]tJ +...; х7 = b3]tJ +..., (4.1) где J > 2 ; многоточием обозначены члены по t высших порядков. Первоначально при J = 2 получается:
У2( *(t )) = A4(bn;l;2; t) +..., (4.2)
где A4 = [H4 + 4(B — A)] bj2 — 2n4 bi2b32 + (H4 + B + + C) b222 + 2n6 b22b32 + J4 b322. Ввиду положительности всех главных миноров матрицы Ых до третьего порядка включительно единственным вещественным решением уравнения (3.4) будет bi2 = b22 = b32 = 0 . Привлечение к анализу членов более высоких порядков в (4.1) приводит также к тривиальному решению b] =0 (i = 1,2,3; J >2) .
В таком случае будем к решению вопроса устойчивости применять теоремы Каменкова [8, 9]. Согласно теореме Каменкова о неустойчивости, для неустойчивости нулевого решения нелинейной системы
zl = Z1(zi, z2); Z2 Z2(zl, Z2 )
необходимо и достаточно, чтобы хотя бы на одном вещественном решении уравнения F (z ,z ) = = z2 Zj — zj Z2 =0 , отличном от тривиального, функция R(z,z2) = zxZx + z2 Z2 принимала положительное значение.
Эта теорема может быть применена и к большему числу переменных, если считать другие переменные допустимыми параметрами. Из системы (1.1) выделим два уравнения
Jn2 Jn1n2
+
At At
H + 4ю0 (B — A) Jnn
A At
х2 +
n — П тйл
х3 +----------- х7 +
At
B — A
n
n
2
х2 х3------х^х-, +------х^х-, —
3(B — A)®2
3 х7
a32a33,
H + 4® (B — A) Jnn
At
Jn2n3
At
Jn
At
3 x +n3 + niT® 0
At
B — A щ n, 3(B — A)q„
------її —2її +—1 хх +------------- a„a„.
A 12 A 17 A 27 A 31 32
Функции Каменкова для составленной подсистемы будут:
At
F = — {[Ht + ® (B — A)t + Jnn3] х2 +
+ Jn2n3 х1 х2 + J(n3 — n2) х1 х3 — Jn1n2 х2х3 +
+ [Ht + ®0(B — A)t — Jn1n3] х3 —
— (n3 + ЩШ 0) х1 х7 + (n1 — n3T® 0) х3 х7 +
+ t [(B — A) х2 + щх7] (х^ + х\) — т х2х7 (пххх + п3х3) — — 3®20(B — A) a32 (z^ + zai)} = 0,
At
R = ——{Jn2 х2 + Jnn2 ххх2 + 2Jnxn3 хххъ +
+ Jn2n3 х2хъ + Jn\ х2 — [(щ — n3ТЮ0 )х +
+ (n3 + Щтш0)Z] хп + т х2х7 (п3х3 — п3х3) +
+ 3тю 2(B — A) a32 (х3а33 — х3a31)}.
Выберем переменные х4, х5, х6, х7
параметрами и положим их равными нулю. Переменную х будем считать бесконечно малой, отличной от нуля, а х3, х3 полагаем малыми.
Тогда слагаемое х2 (хх2 + х^) будет сравнительно мало по сравнению с квадратичными слагаемыми и им в функции F можно пренебречь. При этом функция R состоит только из квадратичных слагаемых. После домножения на положительное (A т) матрицы соответствующих квадратичных форм будут следующими:
( d f ) D11 D ( f ) D12 D (F) ^ D13
Df = d f ) D12 0 d (F) D23
d f ) ^ D13 D ( F ) D23 d (F) D33 j
+
х3 = —
х1 —
х2
х7 —
где
Dr = -
J
2n 2 nn
n1n2 0
2n n nn
2ni
D\f ’ = Hz + (B - A)za0 + Jnn;
D(F) = J(n2 - n2)/2; D(F) = Jn2n3/2;
D23) = -Jnxn2/2;
2
3
n2 n3
2
D3f) = Hz + (B - A)zco0 - Jnxn3 .
Таким образом, задача о возможности получения положительных значений R на хотя бы одном вещественном решении (кроме тривиального) уравнения F = 0 свелась к установлению знако-переменности квадратичной формы N2(x)= (x3,x2,x3)Dr (x3,x2,x3) на равной нулю другой квадратичной форме N1(x) = (x1,x2,x3) Df x (x3,x2,x3) . По аналогии с теоремой Финслера [10] о знакоопределенности одной квадратичной формы на равной нулю другой квадратичной форме для решаемой здесь задачи достаточно, чтобы связка форм (N2 (x) - р N (x)) допускала положительные
значения в окрестности нуля. Для этого понадобится характеристическое уравнение, составленное из матриц Dp и Dr :
ф(а) = det (Dr - oDf) = z2пЩ + n^) x x [H + (B - A) ш0] а (1 + J 2 а 2) = 0.
Так как последнее уравнение имеет не все вещественные решения, то отсюда можно сделать следующие заключения [11]:
1. Формы N (x) и N2(x) знакопеременны.
2. Матрицы Dp и Dr нельзя одновременно привести к полным квадратам одним линейным вещественным конгруэнтным преобразованием.
3. Связка квадратичных форм (N2 (x) -а N (x)) всегда знакопеременна при любых вещественных
а є (-то;+то) .
Следовательно, при значениях x , x , x в окрестности нуля квадратичная форма N (x) всегда может принимать положительные значения на любых вещественных (кроме тривиальных) решениях N (x) = 0. Отсюда по теореме
Каменкова о неустойчивости [8, 9] стационарное движение (1.3) неустойчиво.
б) Случай H4 = 4(A - B). Возможность отрицательного главного минора матрицы М0
второго порядка 124 = -n^ сразу приводит по теоремам Барбашина и Красовского [3, 4] к неустойчивости стационарного решения (1.3). Поэтому для вопроса устойчивости необходимо n4 = 0. Характеристическое уравнение, составленное по матрице М , в этом случае имеет вид /і(Я) = X2 - (4A - 3B - С + J4) X +
+ J4 (4A - 3B - С) - n62 = 0.
(4.4)
Полагая в общем случае щ ф 0, составим линейное неособое вещественное преобразование [12]:
x4 = У4; x5 = У5; x6 =(X1 - J 4 ) Уб +
+ (X 2 - J 4 ) У7; x7 = n6 (Уб + У7), где X, X2 - корни уравнения (4.3). Тогда в новых переменных квадратичная форма F приводится к полным квадратам:
3 (С - A) У4 + Л-1 уб + Л2 у7 5
где
Лг = Xг [(4A - 3B - С)2 - J4 (4A - 3B - С) + 2n62] --(4A - 3B - С - J4) [ J4 (4A - 3B - С) - пЦ (i = 1,2). Для вычислений определителей матриц, перемножения многочленов, осуществления подстановок, разложения на рациональные множители всюду применялась система аналитических вычислений «Mathematica», что позволяло упростить анализ, ускорить и уточнить результаты вычислений.
По теореме 2 здесь можно использовать параметризацию
У 4 C12 t + ••
У5 =t; Уб = c22t + •• ,2
(4.5)
У7 c33 t + • • • .
При подстановках (4.4) и затем (4.5) в выражение V(x) получим
V (x(у (t))) = A4 (Ci2 ;1;2; t) +...,
где A4 = [3(С - A) c12 + Л1 C22 + Л2 C32 + n5 n6 (c22 +
+ c32) + A - B] t4. Сворачивая последнее выражение в полные квадраты и применяя теорему Виета для корней уравнения (4.3), последнее выражение в квадратных скобках запишем:
3(С - A) 4 +Л.
C22 +"
2Л
1 У
где
+Л0
G = a - B -
C22 + "
2Л
G
1
2 У
(4A - 3B - С) n2 4 [J4 (4A - 3B - С) - n62]
2
2
По второму пункту теоремы 1 для положительной определенности функции У2 (х) необходимо потребовать G >0 . Отсюда можно составить условия асимптотической устойчивости стационарного решения (1.3), считая выполненными условия (2.2), когда одно из необходимых условий (2.1) обращается в нуль:
C - A >0; H4 = 4(A - B); п4 = 0; 4A - 3B - C > 0;
A - Б >
(4A - 3B - C) ns2 4[J4(4A - 3B - C) -п62]'
(4.6)
потребовать пб = 0 . Характеристическое уравнение здесь будет таким:
f2 (X) = X2 + (4A - 3B - C + J4) X- J4 (4A - 3B - C) + n2 = 0.
(4.3')
X 3 , X 4 .
Корни последнего уравнения обозначим Линейное неособое вещественное преобразование:
х4 У4; х5 (J4 X3) y5 + (J4 X4) y7;
x6= Уб; x7= П4(У5 + У7)
(4.4')
приводит квадратичную форму квадратам:
F
к полным
3 (C A) y4 + Л3 y5 + Л4 y7 ,
где Лг = X, [(4A - 3B - C)2 + J4 (4A - 3B - C) + + 2n24] - (4A -3B -C + J4)[J4 (4A -3B -C) + n?],
(, = 3,4).
По теореме 2 здесь параметризация будет:
y4 d12 t + •••; y5 d2
t2 + •
У6 t; y7 d33 t + ••• .
(4.5')
При подстановках (4.4') и затем (4.5') в выраже-ние У ( x) получим
У2(х(y(t))) = A4 (d,2;1 ;2;t) +...,
где A4 = [3 (C - A) d22 + Л3 (d22 + п4пъ 2Л3 )2 +
+ Л4 (d32 + п4п52Л4)2 + G2] t4 . Выражение остатка
^2 =
C - B 4
22 ^
4
1
- + -
1
Л Л,
Отдельно рассмотрим случай, когда G1 = 0 . Выразив линейно переменную C из уравнения (4A - 3B - C) п52 = 4(A - B) [ J4 (4A - 3B - C) - пб2 ] и полагая с12 = 0, c22 = -п5п6/(2Л1), c32 = -п5п6/ /(2Л), продолжим разложение (4.5). В результате получается
У>(х(y(t))) = A5 (c,3 ;1;3; t) + .,
где A = щп6 (c22 + Сз) t5 7^ 0. По первому пункту теоремы 1 функция у (х) знакопеременна. Следовательно, условия G — 0 приводят к неустойчивости стационарного решения (1.3).
Таким образом, вопрос асимптотической устойчивости в этом случае решается членами не выше четвертого порядка функции У2 (х).
Отметим, что здесь выполнялось /234 = 0.
в) Случай H4 = C - B . В этом случае также для исключения отрицательного главного минора второго порядка I34 = -п^ необходимо
*-3 J м у
приведением к общему знаменателю и применением теоремы Виета для уравнения (4.3') преобразуем к виду:
( (4 A - 3B - C) п2 Л
G2=-2 4
C - B -
[J4 (4A - 3B - C) + п42]у
По второму пункту теоремы 1 для положительной определенности функции У (х) необходимо потребовать G2 >0. Условия
асимптотической устойчивости стационарного решения (1.3) в этом случае границы получатся:
C - A >0; 3B + C - 4A >0; H4 = C - B; пб =0;
C - B >■
(4A - 3B - C) п2
(4.6')
J4 (4 A - 3B - C) + п2
Попытка обратить в равенство последнее строгое неравенство (4.6') также приводит к появлению членов пятой степени параметра t . По теореме 1 тогда функция У (х) знакопеременна, откуда по теоремам Барбашина и Красовского [3, 4] следует неустойчивость стационарного решения (1.3). Здесь устойчивость решается членами до четвертого порядка включительно, аналогично и
1234 = 0 .
г) Случай кратных корней характеристического уравнения при 4(A - B) =
H4 = C - B . Отсутствие отрицательных главных миноров второго порядка для матрицы Мх требует: п4 =0, п6 =0. В этом случае второе условие в (2.2) не выполняется, и поэтому асимптотической устойчивости быть не может. Проведем тогда исследование хотя бы устойчивости стационарного решения.
В этом случае матрица М получается диагональной с рангом, равным двум. Поэтому линейного диагонализирующего преобразования проводить не нужно. Параметризация по теореме 2 будет следующей:
2 2
х4 = e11t1 + e12t1t2 + e13t2 + •••; х5 = t1; хб = t2;
22 х7 = e21t1 + e22t1t2 + e23t2 + • •
(4.5")
где многоточием обозначены члены выше второго порядка. При подстановке (4.5'' ) в выражение
функции V2 (x) получается ряд по t1 и t2, начинающийся с членов четвертого порядка, так что после преобразований и упрощений запишем
A4(eij ;l;2;ti512) = 3 (C - A) [e11 tl + (ei2 + 1) t1t2 + ei3 t2] + +J4 [(e21 + n5/ (2J4)) t1 + e22 t1t2 + (e23 + n5 (2J4)) ^ +
+ (A -5 -n52 /(4J4)) (t2 +122)2 + 3 (5 A - 45 - C) tx2t22 .
Для положительной определенности формы двух переменных необходимо и достаточно положительности каждого из четырех коэффициентов. В этом случае можно ослабить условия устойчивости, выраженные системой неравенств (2.1):
C = 4 A - 35 > A; Н. =4( A - 5); n =0;
_ (4.6")
n6=0; A - 5 > n52/(4 J4).
Здесь существует устойчивость стационарного движения (1.3) по теореме Ляпунова при геометрической конфигурации спутника: C > A > 5 .
Рассмотрим дальше возможность ослабления условий устойчивости (4.6 ), когда A - 5 = n\ / (4 J4); ej j t2 + (e42 + 1)t4t2 + e4312 =0;
(e21 + n5 (2J4))tj2 + e22tjt2 + (e23 + n5 /(2J4))tl = 0. В этом случае получается
A5 (eij ;1;3; t1, t2 ) = 6 (5 - C) t1t2 (e14 t1 + e15 t1 t2 +
+ e16 t1t2 + e17 t2) 2у (t1 + tz) X X
X (e24 t1 + e25 t112 + e26 t1t2 + e27 t2 ) .
По первому пункту теоремы 1 функция V2 (x)
2
при заданных предположениях знакопеременна. Отсюда по теоремам Барбашина и Красовского [3, 4] следует неустойчивость стационарного решения (1.3).
Здесь устойчивость также решается членами до четвертого порядка, и /234 = 0.
д) Случай I234 = 0 . В этом случае один из корней уравнения (1.5) должен быть равным нулю. Предположим в общем случае n4 ф 0, n6 ф 0, Н4 + 4(5 - A) > 0, Н4 + 5 - C >0 . Составим по матрице Mj линейное неособое вещественное
преобразование
(x5,x6,x7)' = S (У5,У6,У7І,
А = 1; A = -—(Н 4 + 5 - C -У i) (i = 5,6).
(4.3''')
Здесь Уi (i = 5,6) - корни уравнения
/з (У) = У2 - (Н4 + 5 - C + J + n) У +
+щ (Н4 + 4 A - 25 - 2C + J) = 0 .
Для исследуемого случая из равенства I234 = 0 выразим
2 _ J4 [Н4 + 4(5 - Л)](Н4 + 5 - C) - n] (Н4 + 5 - C)
Н 4 + 4(5 - A)
.(4.7)
Преобразование (4.7) приводит квадратичную форму F2(x) к полным квадратам:
n
6
3(C - A) У42 +Л5 y2 +Л6 y6 , где с помощью равенства (4.3 ) упрощаются выражения Л = С У і + со (i = 5,6). Значения коэффициентов c (i = 0,1) получаются такими:
С = [4(A - 5)(20A -195 - C) - Н4 (36A - 355 - C) -
- J (16 A -135 - 3C - Н4)] /{[Н4 + 4(5 - Л)](Н4 + 5 - C)}, c0 = {(Н4 + 4A - 2B - 2C + J )[48(A - B')2 - 24(A - В)Н4 + 3Н42 -
- 2J4 (4A - 35 - C) - J42 ]} / {[Н4 + 4(5 - A)] (Н4 + 5 - C)}.
Условие последнего корня уравнения (1.5) Л7 (0) = 0 выражается равенством
n42 (Н4 + 5 - 02[Н4 + 4(5 - A) + J + 2n\] х
х[Н4 + 4( 5 - A) - n4 ]2 = 0.
При имеющихся в этом случае предположениях только последняя скобка составленного уравнения может обращаться в нуль. Отсюда следует
n4= Н4 + 4(5 - C). (4.8)
При подстановке (4.10) в (4.9) получим
n2 = (Н4 + 5 - C) [ J4 - Н4 - 4(5 - A)]. (4.9) Тогда для условия асимптотической устойчивости
(1.3) необходимо 0 < Н4 + 4(5 - A) < J . Параметризация в данном случае будет такой:
У4 = gut + •••; У5 = gnt + •••;
У6= g3312 + •••; У7 =t. (4.5 ")
При подстановках (4.7), (4.8), (4.9) и затем
где
Г s s11 S21 S31 ^
S12 S 22 S32 ; где
v s13 S 23 S33 ,2
s, =-
S =
[-У2 + Уi (Н4 + 5 - C + J4) -
- J 4 (Н 4 + 5 - C) + n2];
(4.5''' ) в выражение V (x) получим
V2(x(y(t))) = A4(g,2 ;1;2;t) + - - -,
у
A4 = [3 (C - A)
g 12 +
A ^
6(C - A)
+
У
+ Л<
g 22 +
A
2Л
У
+ Лй
5
g 32 +
A,
2Л
+ G3] t4
б У
2
1
n4 n6
2
2
Выражение G3 при применении теоремы Виета для корней уравнения f (X) = 0 приводится к
виду
G = RL + R3Иа
r2 ra
где
R = (C - A) H4 J42 +12 (B - A) (B - C) Hi -- 2[(B - A) (5B - 4A - C) + (B - C)2] H4 J +
+ H4 [8(B - A)2 (5B - 2A - 3C) + 21(B - A) (B - C)2 --(B - C)3] -12 (B - A) (B - C)2 J + 48 (B - A)2 (B - C)2;
Rz=4(C - A)[H4 + 4( B - C) - J 4]2;
R = 9H4 - 2(12A - 13B + C) H3 - J3 [H4 + 4(B - C)] +
+ 2H4 J2 (4 A - 5B + C) + 2[4(B - A) x x (19B - 20A) + 2 (B - C)2 + 4 C (B - C) - J42] H42 -- (4A - 3B - C)2 HAJA - J2 [16 (B - A)2 +
+ (B - C)2] + 4 H4 [(B - C)3 + 4 (B - A) (B - C)2 -
- 32 (B - A)2 (8A - 7B - C)] - 2 (4A - 3B - C)2 x x 2 (4A - 3B - C)2 x (2A - B - C) JA + 256 (B - A)3 x x (2B - A - C) -128 (B - A)2 (B - C)2 +
+ 8 (B - A) (B - C) (3B + C)(B + 3C) - (B - C)4;
R = (H4 + 4A - 2B - 2C + JA)2 (H43 - 2H42 x x (2A - 3B + C) - 8 H4 J4 (B - A) - [H4 + 4(B - A)] J42 --16 H4 (B - A) (C - A) - J4 [8 (B - A) (3B - 4A + C) + + (B - C)2] + 32 (B - A)2 (2 A - B - C)}.
Условия асимптотической устойчивости (2.1) в данном случае можно ослабить:
C > A; H4 + 4 (B - A) > 0; H4 + B - C >0;
(4.6"')
234 = 0; RR2 + R3 n5 R4 > 0 .
Величину n5 из (1.4) можно выразить через
2 2 2 2
n4, n6: n5 = ш - n4 - n6 , но последнее равенство можно использовать только как дополнительное проверочное условие. Попытка обратить в нуль
последнее неравенство (4.6 ) не приводит к дальнейшему ослаблению условий асимптотической устойчивости стационарного решения (1.3).
Обращение в нуль минора /234 и одного из главных миноров первого порядка /2 или /3 не получает новых случаев границ устойчивости. Все они сводятся к ранее рассмотренным случаям.
Все полученные на границе устойчивости условия асимптотической устойчивости можно выразить в исходных терминах, выполнив обратную замену переменных (1.4).
Заключение
Как в [13], так и в настоящей статье предлагается возможность исследования границ устойчивости стационарных движений спутника с гиродинами вторым методом Ляпуно-ва. Предложенный способ основан на знакоопределенности алгебраических многочленов.
В статье [13] проведено исследование асимптотической устойчивости стационарного движения спутника при первом задании закона управления гиродинами. При таком управлении асимптотическая устойчивость на границе устойчивости установлена всюду членами до шестого порядка функции Ляпунова возмущенного движения. Там же выявлена неустойчивость стационарного движения симметричного спутника (C = A ) анализом знакопеременности функции Ляпунова на границе при C = A . В предложенной статье проведено исследование асимптотической устойчивости того же стационарного движения на границе устойчивости при втором законе управления. При таком управлении асимптотическая устойчивость на границе устойчивости установлена членами до четвертого порядка. В зависимости от вида управления на границе устойчивости стационарного движения спутника вопрос асимптотической устойчивости решается разными порядками.
Проведенный анализ демонстрирует состоятельность подхода, основанного на знакоопределенности неоднородных функций Ляпунова, в которых форма низшего порядка знакопостоянна. Следует отметить, что второй метод Ляпунова является пригодным как при нахождении области устойчивости, так и при исследовании устойчивости на ее границе. Конечно, при таком подходе нужен параметрический анализ границы устойчивости, который требует большого числа различных вычислений.
Работа выполнена при частичной поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ (проект № НШ-5007.2014.9).
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта РФФИ (проект 15-08-06680-А).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения // Собр. соч. М.Л.: Изд-во АН СССР, 1956. Т. 2. С. 7-263.
2. Сазонов В.В. Гравитационная ориентация искусственных спутников с гиродинами // Космические исследования. 1988. Т. 26. Вып. 2. C. 315-317.
3. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М. : Наука, 1966. 530 с.
4. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М. : Наука, 1970. 240 с.
5. Walker R.J. Algebraic Curves. Princeton, New Jersey: Univ. Press, 1950.
6. Уокер Р. Алгебраические кривые. М. : Изд-во иностр. лит., 1952. 236 с.
7. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1979. 255 с.
8. Каменков Г.В. Устойчивость движения, колебания, аэродинамика. Т. 1. М. : Наука, 1971. 255 с.
9. Каменков Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. Т. 2. М. : Наука, 1972. 213 с.
10. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. М. : Наука, 1973. 206 с.
11. Новиков М.А. Математическое моделирование и преобразования в задачах устойчивости стационарных движений механических и управляемых систем : автореф. дис. ... докт.физ.-мат. наук. Санкт-Петербург. 2012. 26 с.
12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : Наука, 1967. 576 с.
13. Новиков М.А. О границах устойчивости стационарного движения спутника с гироскопом // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74. Вып. 2. С. 230-238.
УДК 519.673:629.7.083 Даниленко Николай Владимирович,
к. т. н., доцент, доцент кафедры авиационных двигателей, Иркутский филиал Московского государственного технического университета гражданской авиации,
тел.: 8-914-91-06-774, e-mail: [email protected] Пахомов Сергей Васильевич, к. т. н., доцент, доцент кафедры механики и приборостроения, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел.: 8-914-88-40-649, e-mail:[email protected] Сафарбаков Андрей Мирсасимович, к. т. н., доцент, доцент кафедры авиационных двигателей, Иркутский филиал Московского государственного технического университета гражданской авиации,
тел.: 8-914-88-74-327, e-mail: [email protected]
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ВИХРЕЙ
ВОЗДУХОЗАБОРНИКОВ
N. V. Danilenko, S. V. Pakhomov, A. M. Safarbakov
AIR INLETS INTERFERENTIAL WHIRLWINDS MATHEMATICAL MODELLING
Аннотация. На базе метода дискретных вихрей изложена постановка задачи математического моделирования стокового вихреобразования перед воздухозаборником, расположенным над подстилающей поверхностью (экраном). Задача математического моделирования вихрей воздухозаборников решалась в два этапа. На первом этапе отрабатывалась и проверялась модель потенциального установившегося течения стокового потока по каналу силовой установки без вихреобразования на входе в воздухозаборник. При этом были установлены причина интерференционного вихреобразования и его катализирующие факторы, а также доказана возможность формирования не только одного, но и пары вихрей. Установлен путь возможности математического моделирования вихрей воздухозаборников. На втором этапе решена задача математического моделирования вихрей воздухозаборников посредством введения в метод дискретных вихрей нового граничного условия прилипания и выделения из потенциального стокового течения вихрей воздухозаборников как следствия силового воздействия на стоковый поток стенок воздухозаборников и подстилающей поверхности. Исследованы характеристики вихреобразования воздухозаборника с показом на примерах численного эксперимента, полученного с использованием ПЭВМ. На основании взаимосвязи кинематических параметров сделано базовое заключение. В местах сгустков скорости и максимумов ее градиентов существует потенциальная возможность угловой закрутки стокового потока и образования стоковых вихрей. Получены характерные интерференционные вихревые течения в виде векторных полей скоростей с учетом влияния внешних факторов на интенсивность вихрей перед воздухозаборником.
Ключевые слова: математическое моделирование, воздухозаборник, потенциальное установившееся течение, вихревые течения, интерференционное стоковое вихреобразование, тангенциальная скорость потока, градиент скорости потока.
Abstract. On the basis of discrete whirlwinds method the of mathematical modeling of drain vortex formation in front of the air inlet located over a spreading surface (screen) problem definition is stated. The problem of mathematical modeling of whirlwinds of air inlets was solved in two stages. At the first stage, the model of the potential established current of a drain stream on the channel of the power plant without vortex formation on an entrance to an air inlet was fulfilled and checked. The reason of interferential vortex formation and its catalyzing factors were thus established, and also possibility of formation not only one, but also couple of whirlwinds is proved. The way of possibility of mathematical modeling of whirlwinds of air inlets is established. At the second stage, the problem of mathematical modeling of whirlwinds of air inlets by means of introduction in a method of discrete whirlwinds of a new boundary condition of sticking and allocation from a potential drain current of whirlwinds of air inlets, as consequences of power impact on a drain stream of walls of air inlets and a spreading surface is solved. Characteristics of vortex formation of an air inlet with display on examples of the numerical experiment received with use of PEVM are investigated. On the basis of interrelation of kinematic parameters, the basic conclusion is made. In places of clots of speed and maxima of its gradients there is a potential possibility of an angular swirl of a drain stream and drain whirlwinds formation. Characteristic interferential vortex currents in the form of vector fields of speeds taking into account influence of external factors on intensity of whirlwinds in front of before an air inlet are received.
bywords: mathematical modeling, ventilating air intake, potential established current, vortex flows, interferential drain vortex formation, flow tangential velocity, derivative velocity of a flows.
