Моделирование и анализ устойчивости спутника с гиродинами с помощью программного комплекса LinModel Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.688: 531.36 Банщиков Андрей Валентинович,

к.ф.-м.н., доцент, старший научный сотрудник Института динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952) 45-30-53, (3952) 45-30-12, e-mail: bav@icc.ru

Чайкин Сергей Васильевич к.ф.-м.н., старший научный сотрудник Института динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952) 45-30-32, e-mail: schaik@yandex.ru

МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СПУТНИКА С ГИРОДИНАМИ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА LINMODEL

A.V. Banshchikov, S. V. Chaikin

MODELING AND STABILITY ANALYSIS OF A SATELLITE WITH GYRODINES VIA THE LINMODEL SOFTWARE PACKAGE

Аннотация. Проведён анализ динамики механической системы, представляющей собой неуправляемый спутник с тремя гиродинами на круговой орбите. Моделирование системы (построение нелинейных и линеаризованных дифференциальных уравнений движения в форме Рауса), а также исследование вопросов устойчивости и гироскопической стабилизации восьми найденных стационарных движений выполнено на PC посредством символьных или символьно-численных вычислений. Построенные области устойчивости и стабилизации имеют аналитический вид или графическое представление.

Ключевые слова: динамика системы тел, устойчивость движения, степень неустойчивости, гироскопическая стабилизация, системы неравенств, компьютерная алгебра.

Abstract. The analysis of dynamics of mechanical system, which represents an uncontrolled satellite with 3 gyrodines on a circular orbit was carried out. Modeling of systems (i.e. constructing the nonlinear and linearized differential equations of motion in Routh form) and also investigation of the problems of stability and gyroscopic stabilization of eight found steady-state motions was made on a PC by symbolic or symbolic-numerical computations. The constructed domains of stability and stabilization have an analytical form or graphic representation.

Keywords: dynamics of bodies system, stability of motion, degree of instability, gyroscopic stabilization, system of inequalities, computer algebra.

Введение

При построении математической модели (дифференциальных уравнений движения) для сложных механических объектов и при её качественном анализе исследователь сталкивается с необходимостью оперировать громоздкими аналитическими выражениями. Эти трудности бывают настолько велики, что существенно сужают класс исследуемых моделей. Проблемы достоверности, точности вычислений, а также вопросы ускорения и наглядности исследовательского процесса могут быть частично сняты, если в качестве инструментального средства выбран пакет компьютерной алгебры (ПКА).

К настоящему времени в немногочисленных работах [1] по динамике спутника с двух или трёхстепенными гироскопами исследовались отдельные стационарные движения. Задача определения всех стационарных движений ставилась для спутника, несущего только один силовой гироскоп [2]. Либо эта задача ставилась для подобных систем при некоторых существенных ограничениях, например отсутствии моментов гравитационных сил. Среди публикаций имеются работы (см., например, [3]), в которых гиродемпфирование реализуется с помощью различных законов управления гиродинами. Такую гравитационную ориентацию спутника считают активной. В представленной работе рассматривается пассивная (неуправляемая) ориентация спутника с помощью трёх гиро-динов.

иркутским государственный университет путей сообщения

Целью работы является анализ динамики рассматриваемой системы тел, а также исследование вопросов устойчивости и гироскопической стабилизации выделенных стационарных движений с помощью программного комплекса LinModel [4], разработанного на базе ПКА «МаШетайса». Подчеркнём, что задачи стабилизации конкретных механических систем под действием сил различной природы достаточно актуальны в настоящее время.

1. Описание исследуемой системы тел Пусть точка О (рис. 1) движется по круговой орбите радиуса Я вокруг притягивающего центра О с постоянной угловой орбитальной скоростью. Введём в точке О орбитальную систему координат Е1 так, что ось О1х1 направлена по радиусу орбиты, ось Охух по касательной к траектории орбиты в направлении вектора линейной скорости, ось по нормали к плоскости орбиты. Положение орбитальной системы координат описывается в инерциальной системе координат Е с полюсом в точке О . Присвоим орбитальной системе координат номер тела 1. Положение спутника (тело В2) будем определять по отношению к орбитальной системе координат. Центр масс системы находится в точке О. Движение системы рассматриваем в ограниченной постановке задачи [5]. Для осуществления ориентации в спутнике установлены три гиродина. Гиродин - двухстепенная гироскопическая система, состоящая из ротора и рамки (гиро-камеры). Ротор закреплён внутри рамки и вращается с постоянной угловой скоростью. На рис. 1 рамка и ротор каждого из них обозначены, соответственно, как тела В3, В4; В5, В6 ; В7, В8 .

В соответствии с конкретной конфигурацией механической системы пользователю программного комплекса LinModel необходимо указать N - количество тел в системе. Далее для каждого тела В^ (к = 1,N) системы задать:

1) ] - номер тела В у, с которым соединено тело Вк (у = 0 для тела В1 и у < к) или номер системы координат Е1 (ОуХуУугу), по отношению

к которой определяется положение тела Вк;

2) номера осей вращения и соответствующие углы поворотов (их идентификаторы);

3) г^ — радиус-вектор точки Ок соединения

к

тел В у и В в осях системы координат Е1 (т.е. задается по отношению к предыдущей системе

координат);

4) гс - радиус-вектор точки Ск (центр масс

тела Вк) в осях ;

5) - вектор относительной линейной

к

скорости точки О в проекциях на оси Е1 (для тела В вектор абсолютной линейной скорости);

6) массу тела и его тензор инерции в точке

Ок.

Рис. 1. Структура взаимосвязи тел

Итак, представим исходные данные, задающие геометрические и кинематические характеристики спутника с гиродинами.

Число тел - 8.

Тело 1 (орбитальная система координат) описывается по отношению к инерциальной системе координат. Номера осей вращения: {3,0,0} и углы поворотов: {%,0,0}, т.е. положение орбитальной системы координат относительно инерци-альной системы координат определяется одним поворотом на угол % вокруг третьей оси Oz0 . Нули среди номеров осей вращения указывают на то, что повороты вокруг других осей отсутствуют.

Радиус-вектор точки Ох в системе координат Е°: r0° = (Bcos^, Rsm%, 0) . Радиус-вектор центра

масс: г/, = (0, 0, 0). Вектор абсолютной линейной

скорости точки 01: Vq = (-Ra>0sin^, Ra>0cos%, 0), где ca0 = X = const >0 - угловая скорость орби-

тальной системы координат. Формально при моделировании считаем, что масса и тензор инерции тела равны нулю.

Тело 2 (спутник) описывается по отношению к телу 1. Номера осей вращения: {1,3,2} и соответствующие углы поворотов: {у, в, р}, т. е. положение спутника относительно орбитальной системы координат определяется последовательностью трех поворотов: вокруг первой оси Оххх на

угол у; вокруг третьей оси О2\ на угол в; вокруг второй оси Оу на угол р. Радиус-вектор точки 02 в орбитальной системе координат:

Гд =(0,0,0), т.е. точки ()] и 02 совпадают. Радиус-вектор центра масс тела: г,2 =(0,0,0), т.е.

центр масс спутника находится в точке О ■ Вектор относительной линейной скорости точки 02:

= (0, 0, 0). М2 - масса спутника, 3х, , Jz -

главные центральные моменты инерции спутника.

Тело 3 (рамка первого гиродина) соединено с телом 2 (спутником). Поворот рамки происходит вокруг второй оси О2у2 на угол а1 (рис. 2). Радиус-вектор точки О3 соединения тел, её относительная линейная скорость, радиус-вектор центра масс, соответственно, имеют вид:

момент инерции относительно оси собственного вращения рамки.

Тело 4 (ротор первого гиродина) соединено с телом 3. Поворот ротора происходит вокруг первой оси О2х3 на угол ф1 (рис. 2). Радиус-вектор

точки О соединения тел, её относительная линейная скорость, радиус-вектор центра масс так же, как и для предыдущего тела, имеют нулевые компоненты. Мг - масса ротора, 3г - момент инерции относительно оси собственного вращения.

Исходные данные для второго и третьего гиродинов (соответственно, пары тел В5, Вб и В7, В8) совпадают с геометрическим описанием и распределением масс для рамки и ротора первого гиродина. Отличие состоит лишь в осях собственных вращений. Для второго гиродина поворот рамки происходит вокруг третьей оси на угол а2, а ротора вокруг второй оси на угол ф2. Для третьего гиродина поворот рамки происходит

вокруг первой оси на угол а3, а ротора вокруг третьей оси на угол ф ■

г2 = Уд = гс3 = (0, 0,0). Ммасса рамки, -

Рис. 2. Углы поворотов для рамки и ротора первого гиродина

Таким образом, рассматриваемая консервативная механическая система описывается девятью обобщёнными координатами: р, в, у, а, ф, а2 ,ф2, а ,Фз и находится в ньютоновском поле

притяжения к центру О ■

2. Построение символьной модели

Перечислим задачи, решённые с помощью программного комплекса LinModel для рассматриваемой системы тел в символьном виде.

2.1. Для каждого тела вычислены геометрические и кинематические характеристики:

• матрица направляющихся косинусов, определяющая угловое положение системы координат 2к относительно 2', связанной с предыдущим телом;

• вектор относительной угловой скорости к -го тела в 2 (] < к, к = 1Д ] = {0,1,2,3,5,7});

• радиусы-векторы центров масс и точек соединения тел;

• абсолютные угловые скорости тел и линейные скорости точек соединения тел.

2.2. Получены кинетическая энергия систе-

1 9 9 9

мы тел Т = - XX 4 (Юч, + £ 4 (Юч, + 4 (Ю

2 /=1 ]=\ ;=1

как квадратичная форма по обобщенным скоростям и силовая функция и(д) приближенного

ньютоновского поля тяготения. Здесь д - вектор

обобщенных координат. В силу громоздкости по-

иркутским государственный университет путей сообщения

лученных выражении явный вид лагранжиана системы L = T + U здесь не представлен. При упрощении выражения лагранжиана учтено условие круговой орбиты: v¡R3 = С , где R - радиус орбиты, (о0 >0 - постоянное значение орбитальной

угловой скорости, v - постоянная тяготения (произведение массы притягивающего центра на гравитационную постоянную).

2.3. Установлено, что три обобщённые координаты ф1, ф2, ф3 (углы собственных вращений роторов гиродинов) являются циклическими, а остальные шесть позиционными. Выписаны в явном виде три первых интеграла, соответствующие циклическим координатам:

дТ/дфу = Jr{J\+ \j/cosOcos{(p+ QTj) -Ósm{(p+ аг) +

+ ®n(COS(<p+ ar1)siné'sini^-c0si^sin(^+«))))= n-¡; дТ/дф2 = Jr {ф2+{вsincp- i//cos0eoscp)sina2 + + (p-i//sin0)cosa2 +<»n(cos0sini//cosa2 + (1) + (eos ц/ sin cp-eos cp sin в sin y/) sin a2)) = w8; дТ/дф3 = Jr (ф3 + (Ó cos q> + i^cos в sin cp) cos a3 + + (i^sind? -<p)sinar3 +co0(-cos6?sini^sincir3 + + cos a3 (cos pcos + sin в sin (psin t^))) = n9, где n, П, П, произвольные постоянные первых интегралов.

2.4. Составлена функция Рауса 9í(</.,</.,«;) =

= L ~ X n6+mФ„ Ai = 1,6; j = 7,9), где ф\,ф2,ф3 вы-

m=\

ражены через qj,qj,nj с помощью уравнений (1)

(т.е. полученная функция не содержит обобщённых скоростей, отвечающих циклическим координатам). Представим функцию Рауса для исследуемой механической системы в явном виде:

5R = -((Jf +I/„cos2p+./vsin2p) Ó2 +Jf(á{ + ál+ál)+ 2

+ (.Jf+ (./vcos2p +J,sin2p) cos2в + J sin2<9) у/2) + (Jf +J )<p2 - sind(Jf +JV) фц/+ coscps,mcpcos6(J,-Jr) Ó ij/+J (p- sm0\j/) + +Jf (cosp Óá2+ cos9 eoscp \¡/á3 + cosé1 sinp \j/á2- sincp 0á3) + + 0con(cosy/J f + sinp(sinpcosi//-cospsin0sini//) Jx + + COSp (cosacos t// + sin0sin<^sint//) J: ) + l//ffl0COSÍ?X x (cos^sinpcosp(Jz - Jx) + sine sinp (Jcosp + Jzsin2p - J )) + + o)0 J f (eos в sin + (cospsiné* sin ц/ -cosí// sin cp)á3 + + (cospcosp+sin6>sinpsini//) á2) + ®0cos6> sinif/(Jf+Jv) ф +

3Jr®0 32

■(4cos2e(cos2p(cos2a2+ cos2a3) - 2cos2(p+a)) +

+ -^(2cos2ecos2^(J-2 J + Jz) + (5 -7cos2e)(J + Jz) + 16

+ 2 (7cos2e -1)J - (cos2p(cos2p(cos2e -3) +14cos2e) -

- 4sinesin2psin2p)(Jz - Jx)) + -°-{3(Ыг +3(Mf + Mr ))R2+Jf) -

ООО

W7+W„+Wq . . •

----2-— + (cos6'cos(p + «1)i^-sin(p + «1)t/)w7 +

2Л

+ (cosee2 p+sinpsinee2 0 -(cosee2 sin#+cos#cospsina2) \js) w8 + + (cosicosa;, в — silla;, p + (cosicosa;, siiiip+siiií?sina;3) ц/)Пд +

+ co0 (cos(p+ccj) sin esin ^ - cos ^sin(p+ax) ) n + + ®0 (cosecos^2 sin^+(cos^sinp-cospsinesin^)sina2) n8 + + c)0 (cos^3 (cospcosp+sinesinpsin^) -cosesin^sina) Щ.

2.5. Построены нелинейные уравнения движения в форме Рауса, которые можно рассматривать как дифференциальные уравнения движения «приведенной» системы с шестью степенями свободы.

Формулы, используемые при решении задач 2.1-2.5, приводятся в [6] или [7].

Известно, что при некоторых условиях механическая система с циклическими координатами может совершать стационарное движение, которое состоит в том, что все позиционные координаты и циклические скорости сохраняют постоянные значения, равные начальным.

Стационарное движение спутника с гироди-нами зададим в следующем виде: ср= 0, 0 = 0, i/f = 0, а1=а°, ап=а°, а3=а3, ф= 0, в = 0, у/= 0, áj=0, c¿t = 0, c¿3=0,

ф1=И1, , ф3 = h3 . (3)

Здесь Л1, ^2, h3 и aO, a£, a^- соответственно постоянные значения угловых скоростей собственных вращений роторов и углов рамок гиродинов. Значения \, h, h могут быть определены из интегралов (1). На заданном стационарном движении главные центральные оси инерции спутника совпадают с осями орбитальной системы координат.

2.6. Получены условия существования заданного стационарного движения. А именно, движение (2) подставлено в построенные на предыдущем шаге нелинейные уравнения движения Рауса. Тем самым, полученные условия существования движения (2) имеют вид:

c0cosa1O(n7 - 3sinaOJrc0) = 0, Jra>lcosa°2 sin a°2 = 0, a0 (cos a° (n7 - 3 sin a° Jrco0) - sin a° n) = 0, ca0sin a° n = 0, c0 (sin a° n9 - cos a° n) = 0.

(2)

+2(3cos2e - 1)(cos2^2- cos2a3) - 8sin2e(cospsin2^2+ sinpsin2^3)) +

Эти условия сводятся к следующим независимым соотношениям на постоянные интегралов

2

2

П, П, П и постоянные значения углов рамок ги-родинов аО, , ^ :

I «8=0, cos аО(п7 - 3 sin а^ Jr^>0 ) = 0,

cos aO sin a0 = 0,

sin an=0 •

Предполагая, что а0, а%, а0 принимают значения в интервале [ 0, ж/2 ], из последних соотношений нетрудно выписать восемь решений:

О п а1 = П О п а2= —, 2 2 а3 = 0, п8 = 0; (4)

О п а1 = ñ О п а2= —, 2 2 Пд=0, «8 =0; (5)

п а = — • 1 2 , аО =0, азО=0, «8 =0; (6)

0 п а = — 1 2 , а2 = 0, Пд=0, п8 = 0; (7)

аО = 0, аО = 0, «7 = = 3 sin аО Jra0, п8 = 0; (8)

o п а =—, 2 2 аО = 0, п7 = 3 sin аО Jr&0, «8 = 0 ; (9)

п

2

р = 0, в = 0, = 0, а = —, а2 = 0, а3 = 0,

аО =0, Пд = 0, «7 = 3sinаОJr®0, «8 = 0; (10)

« =0, п =3sina1OJr ®0, п =0. (11)

Заметим, что начальное значение на решениях (5), (7), (10), (11), а также значение а0 на решениях (8)-(11) могут быть произвольными.

Определение. Частные решения (2) нелинейных уравнений движения Рауса, где постоянные а°, и., (г = 1,3; = 7,9) имеют один из наборов значений (4)—(11), будем называть положениями равновесия «приведенной» системы (стационарными движениями).

Отметим, что на всех полученных решениях постоянная и второго циклического интеграла (1) равна нулю. Следовательно, если подставить движение (2), (3) в интегралы (1), то при и8 = 0 получим к2 = 0 (т.е. ротор второго гиродина на стационарном движении должен находиться в покое).

В работе [8] найдены все относительные равновесия системы с шаровыми тензорами инерции рамок и роторов, определяемые тем, что общий внутренний кинетический момент в таком равновесии перпендикулярен оси 02х2 .

1. Анализ устойчивости. Алгоритмы исследования в символьно-численном виде устойчивости и стабилизации линеаризованных моделей механических систем изложены в [9], [10]. Рассмотрение этих вопросов часто приводит к задаче

«параметрического анализа» полученных алгебраических неравенств.

Пример 1. Рассмотрим исследование устойчивости и гироскопической стабилизации положения равновесия с набором постоянных значений из (6):

ж

—, а =о, а = о, 2, 2 , 3 , (12)

ф = 0, 0 = 0, у/ = 0, а1 = 0, «2=0, «з = 0.

Примем положения равновесия (12) спутника с гиродииами за невозмущённое движение

</°, ¿¡° (/ = 1,6) . В возмущённом движении положим qi = (]'■ + Ас/1, = Дс/;.

Линеаризуем нелинейные уравнения движения Рауса в окрестности невозмущённого движения (12). Тем самым получаем систему уравнений возмущённого движения в первом приближении. Представим явный вид этих уравнений, совпадающий с их формой представления (файл формата Ко1еБоок ПКА «МаШешайса») в программном комплексе 1лпМос1е1:

Jf (ф+ ах) + (пп 0) ф- + (д>+ сх1)еа0 (3/г®0- п7) = 0,

7/((9 + а2) +Ыг{0 + а2)сэ1 =0,

3^(цг + ос-^ + ^щ- ^со^) ф+ (ц/ + а3)со0п9 = 0,

+ 3у)ф+3/ + (и7 - п9+ 3+ 3- Jz)(o0) ^ - (п9 - 3гсо0)а3+со0 (а1 СЧ®о ~ пт) (1

+ д>(п9-п7 + 2(37 - их + и2)®0)) = 0,

(,/г + ,/х) ц/ + ./у а3 - (п7 + .//&>„) а1

~ (П "П + С-7/ + Л + •}у ~Л)■®о)Ф

+ а>0 («з п9 + !//(!%, -n1+(Jz-Jy)CL>0)) = 0, (.//+./г)6' + 3 а>1 ((./- 7 +./,.) 6> + ./.«2) = 0.

Здесь для отклонений координат Д^ в возмущённом движении сохранены исходные обозначения обобщённых координат. В системе (13) уравнения представлены в соответствии со следующим порядком обобщённых координат: ах ,а2 ,а3 . Заметим, что второе и шестое уравнения по координатам а2 и в отделяются от остальных уравнений движения (т.е. система уравнений разбивается на две подсистемы).

Из коэффициентов системы (13) сформированы матрицы А, О, С характеристического уравнения системы: |АЛ2 + ОЛ + С| = 0, где А — определённо положительная матрица кинетической энергии, а О, С , соответственно, матрицы гироскопических и потенциальных сил.

Теоремы Кельвина - Четаева [11] позволяют начать изучение вопроса об устойчивости решения

а2 =

иркутским государственный университет путей сообщения

с анализа матрицы C потенциальных сил. Учитывая, что на движении (12) постоянные интегралов щ и щ выражены соотношениями щ = Зг (Ь ); щ = Jr (h + ®0), соответствующая матрица имеет вид

(

C =

С11 0 0 С14 0 0 1

0 С22 0 0 0 С26

0 0 С33 0 С35 0

С14 0 0 С44 0 0

0 0 С35 0 С55 0

0 С26 0 0 0 c66 )

(14)

где

С11 = С14 = /rс0(4с0 - А1); С33 = С35 = /rC0(h3 + ®0);

с44 = с0 О^ (Ь3 - Ю + 4('/г " Jx + 2'/г)с0);

С55 = с0 О^ (А3 - К) + (Л - '/у + 2•/г )с0 ) ;

С22 = С26 = 3®02'/г ; С66 = 3®02('/г - Л + Л) •

Выпишем условия определённой положительности матрицы (14):

Jy > Jx , 4©0 -^>0, h3 +©0>0,

^ -(^ + Jz - Jy)®0<0, (15)

Jrh + 4(Jr - Jx + Jz) ®0 > 0 •

Заметим, что на практике абсолютные значения угловых скоростей роторов значительно превосходят со0 (т.е. \кг \ >>с0, |й31 >>со0, о0 << 1) . Следовательно, для выполнения условий (15) роторы первого и третьего гиродинов должны вращаться в разные стороны, а именно, ^ <0, ^ >0 .

Предположим, что некоторые условия (15) не выполнены (т.е. потенциальная система неустойчива). В этом случае рассмотрим вопрос о возможности стабилизации решения системы за счёт влияния гироскопических сил.

Из теоремы Кельвина - Четаева [11] о влиянии гироскопических сил следует, что гироскопическая стабилизация возможна только для систем, имеющих чётную степень неустойчивости. Известно, что чётность (нечётность) степени неустойчивости по Пуанкаре определяется положительностью (отрицательностью) определителя матрицы потенциальных сил.

Например, если знаки второго и четвёртого неравенств в (15) изменить на противоположные 4с0 - \<0, Jrh1 - (/r + /z - Jy ) с0 > 0, то определитель матрицы С

МС = 9JrЧ8(Jx - Jy)(^г -(Jr - Jy + Jz)с)* * (4^0 -^^ +Co)(hзJr + 4(Jr - Jx + Jz)с)

остаётся положительным, но некоторые главные диагональные миноры этой матрицы отрицательны, поэтому система будет иметь чётную степень неустойчивости. Для выполнения этих двух условий необходима положительность hx.

Характеристическое (вековое) уравнение системы (13) Л(Л2) = Лх(А2)*Л2(Л2) = о содержит Л только в чётных степенях. Известно, что устойчивость в таких системах возможна только в случае, когда все корни многочлена Л будут чисто мнимыми, а, соответственно, корни относительно ЛЛ являются вещественными отрицательными числами. Этот критерий, приведённый в [12], реализован в программном комплексе LinModel.

Выпишем алгебраические условия, обеспечивающие существование чисто мнимых корней

для ЛХ(Л2) и Л2(Л2) . Для уравнения ЛХ(Л2) = = (J^2 + 3(Jy - Jx)a2) (JfÁ2+ 3Jr®02) = 0 единственное условие J > Jx обеспечивает требуемые свойства корней. Коэффициенты уравнения

л2 (л2)=а0 л8 + a л + а2 л4+a л2 + а4 = 0 и выписанные для него необходимые и достаточные условия существования чисто мнимых корней

а> >о, а > о, а2 >о, а > о, а > о, 3а2 -8а0а2 > о,

а^aj2 - 3a3aj3 - бааа2 + 14ooOO -- 4а0а3 - 18а2а^ + 1ба2а2а4 > о , а^a2Oj2 - 27а2Oj4 - За^а^ + + (1б)

2 2 3 2 2 2 3

+ 144a0a2a4aj - 4a2a4a¡ -ба^аа + ^аа^а -

2 2 2 2 4 3 3

-192а2 a O2 a - 8оаа2 a3a4aj - 27acia3 +25бa2a2 -

- Заа^Оз - 128a4a4a2 + 16a0a3a4 + ЫЗа^^а^^ > о

имеют громоздкий аналитический вид и в явном виде не представлены.

detC

Заметим, что a4 =-

-. С помо-

9 J (J - J )ю4

г ^ y х' 0

щью функции Reduce пакета «Mathematica», предназначенной для решения систем алгебраических уравнений и неравенств, находится аналитическое решение для положительности коэффициента a4 . В результате получаем три возможных варианта значений для момента инерции спутника Jz :

0< Jz < Jx - J; Jx - J< Jz <3Jr + Jy;

z x 4 x 4 z г y (17)

Jz >3Jr + Jy . Параметрический анализ неравенств (16) проводился в символьно-численном виде. При этом дополнительно использовались функции

Рис. 3. Область гироскопической стабилизации

Пример 2. Рассмотрим исследование устойчивости и гироскопической стабилизации положения равновесия с набором постоянных значений из

(8), дополнительно предположив аО = 0 :

\(р = 0, 0 = 0, у/ = 0, аг=0, «2=0, «з=0,

\<р = 0, 0 = 0, у/ = 0, «х= 0, «2=0, «з=0.

Постоянные значения угловых скоростей роторов гиродинов на решении (18) имеют вид: \ =0, ^ =0, ^ = Щ3 - Н •

Характеристическое уравнение для системы уравнений возмущённого движения на рассматриваемом решении имеет вид:

(18)

RegionPlot и RegionPlot3D, предназначенные для графического 2D- и 3D-представления решения систем алгебраических неравенств.

Введены следующие числовые значения на распределение масс в системе: 3Г =3, 3} =1,

3х =230, 3у =310 (размерность моментов инерции - кгм2), а н0 =0,0011 рад/с. Для каждого из трёх интервалов (17) были построены графические области (в пространстве параметров 32, И3 ), в которых выполняются неравенства (16). Установлено, что наибольшая область гироскопической стабилизации будет для первого интервала из (17).

В качестве графического представления на рис. 3 приведено решение неравенств (16) для третьего интервала при 32 =350 Заштрихованные части являются областями гироскопической стабилизации решения (12). Из рисунка видно, что для стабилизации системы ротор третьего гироди-на должен вращаться более чем в шесть раз быстрее либо медленнее ротора первого гиродина.

(3}Л2 + 33га%)(3Л + 3(3у - 3Х - 3Н2) ■ *(а0 л8 + а л6 + а2 л4 + щ л2 + а) = 0, где а4 = 3 к3гН 3 - 32) (к + 33г - 43х + 432)

(19)

а0 = 3}3х3у >0;

(здесь и ниже к = 3Г (И3/н0 +1) );

щ = 3н23х(к2 + (к -33г)3у) + 3} - 3Х + 3у- 232)3} + +(М(М -3у) + (33г + 23у + 232 -к)3х -332)); а2 = Н04(-3к3г3х(к +3у) + 3} -(43х + 3у -532)+ +(3х (33г + 43у - 432- 2к) + (3 3Г - 432){3у -32) + к (к +32)) 3} + (3х (к2 + 2(3у + 32)к - 932 + 63г (к - 3у - 32)) -- (3у-32)(к2 + (к -33г)32) -3(к -33г)3х2)3у);

а3 = Н ((33 (3у - 32) + к (к + 432) - 4к3х)3} + + (9(3у - 32) 32 + 6(2(3 у - 32)32 + 3х (к - 23 у + 2323 -

- к (3у - 32 )(к - 43х + 432))3} --3к3г ((к + 33г + 2 3 у + 23г) 3х - (3у -3г )(к +32) - 33х2)). Отметим, что условие 3^ - 3Х - 3Г >0 обеспечивает существование чисто мнимых корней для первого и второго сомножителей в уравнении (19).

Матрица потенциальных сил для решения (18) имеет следующий вид:

Г-33, 0 0 -33, 0 п Л

С = Н

0 0

-33г 0 0

33г 0 0 0 к 0 0 0 к + 4(32 -3х)

0

33

к 0

0 к 0

к + 3г -3у 0

0 33г 0 0 0

3(3у -3х)

Очевидно, что С не является определённо положительной матрицей, так как главные диагональные миноры первого и второго порядка отрицательны. Но при выполнении одного из вариантов условий

1)

2)

3 -3 -3 >0, к + 33 -43 + 43 <0,

к (32 - 3у ) > 0;

3у -3х -3Г >0,

к + 33 - 43 + 43 > 0,

к (32 - 3у ) < 0

определитель этой матрицы ёв1С = -2732 к * * (32 - 3у )(3у- 3х-3Г )(к + 33г - 43х+ 432 )Н положителен, и, тем самым система будет иметь чётную степень неустойчивости. В этом случае поставим вопрос о возможности гироскопической стабилизации.

Известно, что необходимым условием стабилизации является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Учитывая три допустимых варианта соотношений между моментами инерции спутника: 3х < 3у < 32 ,

иркутский государственный университет путей сообщения

Jx < J < Jy

Jz < Jx < Jy

подставляем в коэффициенты a (i =1,4) числовые значения для Jx, Jy, Jz. Ставим задачу найти интервалы значений для параметров гиродинов Jу, Jr, к , обеспечивающих положительность a . С помощью упомянутой выше функции Reduce In[1] = Reduce[J^ > 0 л J < Jr л a /(J ®о) >0 л a/®о > 0 л a3/®06 >0 л a4/(3 Jra>s0) > 0, {Jf, Jr, к}, Reals ]

удалось установить, что для всех трёх вариантов соотношений между моментами инерции спутника эти условия несовместны: Out[1] = False, то есть одновременная положительность коэффициентов a, a2, a, a не может быть обеспечена. Этот же вывод получен при известных числовых значениях Jу, Jr, к для гиродинов и свободных параметров

Jx, Jy, Jz. Следовательно, гироскопическая стабилизация положения равновесия (18) невозможна.

При анализе устойчивости других стационарных движений получены следующие результаты:

A. Решения с набором постоянных значений из (4), (5), (9), (11) являются неустойчивыми в силу наличия положительного вещественного корня

относительно Я2 у одного из сомножителей

Л2 J — 3Jr со0 2 = 0 характеристического уравнения

системы. Неустойчивыми в этих решениях являются переменные а2, а2. Заметим, что на всех

этих решениях = п/2 .

B. Для решений с набором постоянных значений из (7), (10) линеаризованные в окрестности этих решений нелинейные уравнения движения Рауса имеют дополнительный частный интеграл по координате а3. Следовательно, каждое характеристическое уравнение имеет двойной нулевой корень. Анализ устойчивости этих решений можно проводить только по пяти позиционным координатам.

Заключение

С помощью программного комплекса Lin-Model проведён анализ динамики механической системы, представляющей собой неуправляемый спутник с тремя гиродинами на круговой орбите. Подчеркнем, что лишь одно из восьми выделенных стационарных движений является устойчивым по всем позиционным координатам и циклическим скоростям, когда параметры системы удовлетворяют неравенствам (15). К тому же, это движение может быть стабилизируемо (если неко-

торые из условий (15) не выполнены) за счёт действия гироскопических сил с чётной степенью неустойчивости. В последующих исследованиях предполагается рассмотреть устойчивость всевозможных стационарных движений вида (2), (3), когда постоянные значения углов рамок гиродинов принадлежат всей области значений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. // Итоги науки и техники. Исследование космического пространства. - М. : ВИНИТИ, 1978. - Том 11. - C. 5-223.

2. Амелькин Н.И. О стационарных движениях спутника с двухстепенным силовым гироскопом в центральном гравитационном поле и их устойчивости // Прикладная математика и механика. - 2009. - Т. 73, вып. 2.- С. 236-249.

3. Сазонов В.В. Гравитационная ориентация искусственных спутников с гиродинами // Космические исследования - 1988.- Т. 26, вып. 2. - C. 315-317.

4. Банщиков А.В., Бурлакова Л.А., Иртегов В.Д., Титоренко Т.Н. Программный комплекс LinModel для анализа динамики механических систем большой размерности. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008610622. ФГУ ФИПС, 1 февраля 2008 г.

5. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М. : Наука 1965. - 412 с.

6. Банщиков А.В., Бурлакова Л.А., Иртегов В.Д., Титоренко Т.Н. Задачи механики и компьютерная алгебра // Математические машины и системы. - 2008. - № 4. - C. 82-97.

7. Титоренко Т.Н. Комплекс программ для качественного исследования механических систем и электрических цепей : автореферат диссертации на соискание учёной степени к.т.н. - Иркутск. - 2002. - 18 с.

8. Чайкин С.В., Банщиков А.В. Анализ множества относительных равновесий спутника-гиростата в частном случае расположения его гиростати-ческого момента // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. -№ 3(27). - С. 38-42.

9. Банщиков А.В., Бурлакова Л.А. Информационно-исследовательская система «Устойчивость» // Известия РАН. Теория и системы управления. -1996. - № 2. - C. 13-20.

10. Banshchikov A.V., Bourlakova L.A. Computer algebra and problems of motion stability // Ma-

thematics and Computers in Simulation. — 2001. — 12. Козлов В.В. О стабилизации неустойчивых Vol. 57. — P. 161—174. равновесий зарядов сильными магнитными по-

11.Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М. : Гос- лями // Прикладная математика и механика. —

техиздат. 1946. - 204 с.

1997. - Т. 61, вып. 3. - С. 390-397.

УДК 62-531.7 Лукьянов Дмитрий Анатольевич,

аспирант ИрГТУ

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МОТОР-ВЕНТИЛЯТОРОВ ЭЛЕКТРОВОЗОВ С УПРАВЛЯЕМЫМ ПНЕВМАТИЧЕСКИМ ВИБРОИЗОЛЯТОРОМ

D.A. Lukyanov

STUDY OF THE FAN MOTORS OF ELECTRIC LOCOMOTIVES WITH CONTROLLED

PNEUMATIC BUMPER DYNAMICS

Аннотация. Создана конечно-элементная модель подвесок мотор-вентиляторов электровозов. В целях уменьшения вибрации в конструкцию подвески МВ введены пневматические виброизоляторы с изменяемыми параметрами жесткости. Проведенный расчет динамических характеристик подвески МВ показал возможность значительного уменьшения вибрации МВ путем изменения давления воздуха в пневмо-элементах.

Ключевые слова: мотор-вентилятор, конечно-элементная модель, динамические характеристики, жесткость подвески, вибрация, пневматические виброизоляторы.

Abstract. Finite-element model of electric locomotives fan motors suspensions is created. In order to reduce vibration pneumatic bumpers with variable stiffness parameters are introduced in the design of fan motors suspension. The calculation of dynamic characteristics of the fan motor suspension showed the possibility of a significant reduction of vibration in the fan motor by changing the air pressure in pneumatic elements.

Keywords: fan motor, finite-element model (FEM), dynamic characteristics, suspension stiffness, vibration, pneumatic bumpers.

Проведенные исследования показывают, что вспомогательное машинное оборудование современных электровозов работает в условиях высокой виброактивности. В среднем уровень виб-

рации мотор-вентиляторов электровозов в 1,5-2 раза превышает допустимые уровни, что коррели-руется с пропорциональным уменьшением их межремонтного ресурса [1, 2]. По данным статистики [3], особенно часто выходят из строя подшипники МВ, что связано с возможными резонансными явлениями в конструкции и подвеске МВ, влиянием рядом стоящего оборудования, в частности поршневых мотор-компрессоров (МК).

Моделирование динамики МВ в разных режимах работы при вибрационном силовом и кинематическом возмущении возможно с использованием дифференциальных уравнений пространственных колебаний МВ как твердого тела [4, 5]. Однако проблемой является определение упруго -демпфирующих характеристик опор МВ весьма сложной конструкции и имеющих индивидуальное исполнение не только в различных типах электровозов, но и для каждого мотор-вентилятора одной секции электровоза. Современным подходом является определение упруго-демпфирующих характеристик опор вспомогательных машин путем расчета характеристик жесткости и податливости с использованием метода конечных элементов и соответствующих пакетов прикладных программ, а также путем проведения экспериментальных исследований динамики МВ в режимах свободных и вынужденных колебаний на электровозе. В последнем случае можно уточнить некоторые частоты собственных колебаний по обобщенным ко-