CC BY
8
Системный анализ. Математика. Механика и машиностроение
ш
УДК 531.391 Банщиков Андрей Валентинович,
к. ф.-м. н., доцент, старший научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения
науки Института динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952) 45-30-53, (3952) 45-30-12, e-mail: bav@icc.ru
Чайкин Сергей Васильевич,
к. ф.-м. н., старший научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952) 45-30-32, e-mail: schaik@yandex.ru
О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ОДНОГО КЛАССА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО
ВЫТЯНУТОГО ГИРОСТАТА
A. V. Banshchikov, S. V. Chaikin
ABOUT INSTABILITY OF THE CERTAIN CLASS OF EQUILIBRIUMS OF AXIALLY SYMMETRIC PROLATE GYROSTAT
Аннотация. В ограниченной постановке рассматривается движение осесимметричного гиростата по кеплеровой круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил. Исследуются вопросы об устойчивости и гироскопической стабилизации одного класса равновесий вытянутого гиростата относительно орбитальной системы координат.
Ключевые слова: устойчивость движения, степень неустойчивости, гироскопическая стабилизация, системы неравенств.
Abstract. The motion of symmetrical gyrostat on Keplerian circular orbit in central Newtonian field offorces is considered in the restricted formulation of the problem. Stability and gyroscopic stabilization problems for the certain class of equilibriums of prolate gyrostat with respect to the orbital coordinate system are researched too.
Keywords: stability of motion, degree of instability, gyroscopic stabilization, system of inequalities.
Введение
Твердое тело с зафиксированной в нем осью вращающегося с постоянной относительной угловой скоростью маховика, уравновешенного статически и динамически, является гиростатом. Система движется по кеплеровой круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил вокруг притягивающего центра. Как и в [1], пренебрегаем взаимным влиянием движения гиростата относительно его центра масс и движением последнего с постоянной орбитальной угловой скоростью Ш по упомянутой выше орбите. Данная работа продолжает исследования, опубликованные в [1], использует те же обозначения, подходы и методы, хоро-
шо себя зарекомендовавшие в изучаемых вопросах.
Относительные равновесия
Для описания движения системы вводятся две правые прямоугольные декартовы системы координат с полюсами в центре масс О системы. Оук - орбитальная система координат - ОСК (ак - орт соответствующей оси), ось Оуъ которой направлена по радиусу-вектору, проведенному из притягивающего центра в центр масс гиростата; ось О у перпендикулярна плоскости орбиты, при этом ш = иа2, где о=|Ш|. Жестко связанная с корпусом гиростата (твердым телом) система координат Охк (1 к - орт оси Охк) имеет оси, направленные по главным центральным осям инерции гиростата. В этих осях матрица компонентов тензора инерции I диагональна [I'\ = diag{A,B,C), при этом оси выбраны так, что
/?, = (), > 0 ( / = 2,3), где Ик - компоненты вектора гиростатического момента системы, деленные на о, и В = А > С (равенство В = А означает, что эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения и что Охъ является осью симметрии, вдоль которой эллипсоид инерции гиростата вытянут).
Отметим, что в [1] рассматривался случай В>А = С, /г3=0, Иг>0, И2>0 и эллипсоид
инерции гиростата сплюснут вдоль оси симметрии.
Для определения взаимного расположения осей О у и О х используются направляющие
косинусы ак] = ак ■ 1 ^, определяемые самолетными углами а, ¡, у, см., напр., [2]. Так, компонен-
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
'23
(соответственно,
4(5 —С)
и вертикальной асимптотой а22 = —
К
'23
(В-С)
)
К
ответственно, а22 = —
4(5-С) ) (рис. 1).
(со-
(В-С)
Замечание 1. Пересечение гиперболы с единичной окружностью всегда будет в точках 1 и 2 на рис. 1, определяемых значениями (а22\ и (^22)2, так как правая ветвь гиперболы проходит через точку (0, 0). При определенных параметрах системы (например, при достаточно малом
И = И2+И1) пересечение возможно также в точках 3 и 4, определяемых, соответственно, значениями («22)3, (^22)4. При этом точки 3 и 4 могут совпадать, или даже отсутствовать (см. [5]).
Очевидно, каждая точка пересечения гиперболы (3) (или (4)) с окружностью
ты вектора з^ в осях Охк есть, соответственно, а21 = sin/?, а22 = cos ¡5 cos;/, ат. = — cos ¡5 sin у.
Если в уравнениях движения гиростата приравнять нулю производные по времени всех входящих в них величин, то получим хорошо известные уравнения, определяющие относительные равновесия (состояния покоя корпуса гиростата относительно ОСК) [2-4]:
ajIa^O, ajla^— ajh, a,Ia2 = — a,h/4 . (1) Используя соотношения 3^33X33,33=3^32, запишем систему эквивалентных им уравнений [1]:
Гаг Ia3 = 0, ((Ia2 + h) хa2) a3 = 0, 1
<[(а2 х(Ia2 + h/4))ax = 0 J^
a2 = 1, ((Ia2 + h)хa2) (a2 х(Ia2 + h/4)) = 0,
(2)
[((Ia2 +h)xa2) I (a2 x(Ia2 +h/4))= 0.
С учетом условий В = А> С и hx=0 после простых преобразований уравнения (2) запишем в эквивалентной форме
<721=0, а\2 +4 =1,
а22 h - агъ h-ЦВ-С) а2Ъ а22 = 0, áj = ±(l32 +Ь)хз2, з3 = áj х з2 /|áj I, (3) \а22 h3 - а2, h2—(B — С) а22а2Ъ = 0, [ з3 = ±з2х(1з2+h/4), 3] =з2 х з3 /| з31. (4)
Первое уравнение в (3) (или, соответственно, в (4)) задает гиперболу с горизонтальной асимптотой
а\2 + а2Ъ = 1, определяет тройку координат
(~2)/ (l = 1,4) в Oxk вектора fe),:
т 1/2
(а2\= 0,(а22\, 1 -(о22)Г
(о ) = 0, (а22)2, - 1-(а22)
1/2
(а2)3 = 0, (а22)3, 1 — (а22)
2
'22 -'З
22/2 1/2
(а2)4 = 0, (а22)4, 1 ~(а22)24
1/2
(5)
Рис. 1. Графическое представление решений систем (3) и (4)
В соответствии с используемыми здесь для определения взаимного расположения осей Oyk и Oxk самолетными углами и принятой классификацией относительных равновесий (см., например, [2-4]) уравнения (3) определяют относительные равновесия {а = 0, ¡3 = 0, у = 0) второго класса: а = а0 = П7Г (п = 0,1), /3 = /30= 0, у = у0, cosf0(4(5 — C)sinf0 + А3) + h2 sin y0 = 0,
а уравнения (4) определяют относительные равновесия третьего класса: я
а = а0=- + пж, /? = /?о = 0, у = у0,
2 (6)
cos у0 ((В — С) sin у0 + Ъъ) + h2 sin у0= 0.
Исследование устойчивости относительных равновесий третьего класса
Линеаризованные в окрестности (6) уравнения движения гиростата около центра масс имеют вид
Системный анализ. Математика. Механика и машиностроение
р, =±Ф~ /к •
H
pc
G =
М =
JPs+Pc PsPc(J-1) О pspc{J-1) p2s+Jp2c 0 0 0 1
(J -1) pcps p2 + Jp2 -—
Pc
(i - J) pcps
H 2 2 г 2
— - p2 - J P2
0
K =
3(J-\)pl 3(1 -j)pcp, о 3(1 -J)pcp, k22 0
0
0
m
Mq + Gq + Kq = 0, (7)
где q = (а, ¡, у) — вектор отклонений от невозмущенного движения (производные берутся по безразмерному времени r = oí); М» 0 - положительно определенная матрица кинетической энергии; G - кососимметричная матрица гироскопических сил; K — симметричная матрица потенциальных сил. Построение нелинейных уравнений движения гиростата, их линеаризация в окрестности решения (6) (т. е. получение в аналитическом виде матриц M, G, K) проведено с помощью программного комплекса LinModel [6].
Введем безразмерные параметры
и - V и т-С■
£1*. —-, ii-, —-, j —-,
2 В 3 В В (8)
Рс = «22 = COSr0 ; Ps = а23 = -sin Го .
Значения параметров лежат в интервалах
— \<рс<\; Н3 > 0; Н2> 0; 0<J<1;
v3=J; v0=3H2(J-l) H2+{\-J)p
1 9
vl=—H2(J-1 )pc (2-6J)p2c + 3J +
+ H2 2(J -1 )p2c +J +3(J-1 )Jp4c
(13)
4 + ^
Pc
+ H2(J — \)pc + J (3J — 2).
(9)
Уравнение (6) для y0 в параметрах (8) разрешим относительно Н3 :
ps(H2+(\-J)pc)
(10)
С учетом (8), (10) матрицы уравнений движения (7) принимают вид
(11)
где к22 =3(J-1)A2 k33=(\-J)p2c
Рс Рс
В коэффициенты характеристического уравнения системы (7)
det МA2+GA + К =v3X6+v2X4+v1X2+v0 = 0 (12) параметр ps входит только в четных степенях; исключим его, учитывая pi + pi = 1. Получаем
Устойчивость нулевого решения уравнений (7) имеет место, когда все корни (12) относительно А2, являясь простыми, будут вещественными отрицательными числами. Алгебраические условия [7], обеспечивающие указанные свойства корней, представляют собой систему неравенств: v3 >0, v2 > 0, V] >0, v0 > 0,
(14)
Dis = v2 v2 - 4vfv3 - 4v2v0 +18v3v2vjv0 - Ylv\v\ > 0.
Первое условие в (14) выполняется (v3 = det M) . Dis представляет собой полином 8-й степени относительно Н2, J и 6-й степени относительно рс, что говорит о сложности анализируемых выражений.
Замечание 2. Анализ случаев, когда условия на параметры обеспечивают кратные корни в (12) (при v0 = 0 и/или Dis = 0 ), здесь не проводится.
В соответствии с теоремами Томсона - Тета - Четаева начнем изучение вопросов об устойчивости равновесий (6) по линейному приближению и их гироскопической стабилизации с анализа матрицы K потенциальных сил.
Главный диагональный минор первого порядка матрицы K из (11) на интервалах (9) отрицателен, поэтому матрица потенциальных сил не является положительно определенной. Справедливо
Утверждение 1. Относительные равновесия, определяемые значениями:
a) (а2\ для параметров из области
OcJcl; 0 < д, <1; Н2> 0 ;
b) (а2)2 для параметров из области 0<J <1; -1<рс<0; H2>(J-\)pc ;
c) (о2 )3 и (а2)4 для параметров из области
{0 < J <1; —\<рс< 0; (.J-X)pl<H2<(J-X)pc}, будут неустойчивыми и для нелинейной системы уравнений движения.
Доказательство: Для параметров из областей a), b), c) видно, что v0 < 0. При этом грубо нарушено одно из условий (14), что дает экспоненциально растущее решение в (7), и по теореме Ляпунова о неустойчивости по первому прибли-
2
2
жению [8] равновесия будут неустойчивыми и для нелинейной системы. ■
Поставим вопрос о возможности гироскопической стабилизации неустойчивых равновесий (6)
при условии
vq ее det а: = 3H2(J -1) Н2 + (1 -J)pl > о.
Множество в пространстве параметров, удовлетворяющее последнему неравенству определяет область с четной степенью неустойчивости: 0<./<1Л—1</?с<0Л0< Н2 <{J — \) pi. (15) Из (15) следует очевидное ограничение на параметр 0 < H2 < 1.
Замечание 3. В область с четной степенью неустойчивости, вследствие очевидных неравенств 0 < Н2 < (J -1) pi < (J -1) pc, соотношения (10) и Я3 > 0, могут попасть лишь равновесия, определяемые значениями (~2)3 и (~2)4 .
В случае отсутствия положительной определенности матрицы К , но при dct К > 0 для обнаружения в пространстве параметров свойства гироскопической стабилизации необходимо выяснить, в какой части области с четной степенью неустойчивости выполняются оставшиеся (кроме v0 > 0) неравенства из (14).
Рассмотрим сначала вместо решения системы (14) более простую задачу. Символьное решение системы неравенств, определяющих только положительность коэффициентов (13), получено с помощью функции Reduce пакета Mathematica Reduce [0 <J <1 Л -1 < рс <1 Л рс^0 Л Я2>0 Л
Av0 > 0 Л Vj > 0 Л v2 > 0, {J, рс, Н2}] и имеет ответ FALSE .
Таким образом, система неравенств (14) также будет несовместна, и верно
Утверждение 2. Относительные равновесия, определяемые значениями (а2)3 и (а2)4 для параметров
{0<J<1; — 1 < д, <0; 0<H2<(J-l)p;}, не могут быть стабилизированы за счет гироскопиче-
ских сил (подходящего выбора вектора гиростати-
ческого момента).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Чайкин С. В., Банщиков А. В. Условия гироскопической стабилизации одного класса равновесий симметричного гиростата на круговой орбите // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 4 (32). С. 65-70.
2. Сарычев В. А., Мирер С. А., Дегтярев А. А. Динамика спутника-гиростата с вектором гиро-статического момента в главной плоскости инерции // Космические исследования. 2008. Т. 46. №1. С. 61-73.
3. Longman R.W. Gravity-Gradient Stabilization of Gyrostat Satellites with Rotor Axes in Principal Planes // Celestial Mech. 1971. № 3. P. 169-188.
4. Анчев А. Равновесни ориентации на спьтник с ротари. София : Изд-во на Българската академия на науките, 1982. 131 с.
5. Чайкин С. В., Банщиков А. В. Анализ множества относительных равновесий спутника-гиростата // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 3 (27). С. 38-42.
6. Банщиков А. В., Бурлакова Л. А., Иртегов В. Д., Титоренко Т. Н. Программный комплекс LinModel для анализа динамики механических систем большой размерности : свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008610622. ФГУ ФИПС ; опубл. 01 02.08.
7. Козлов В. В. О стабилизации неустойчивых равновесий зарядов сильными магнитными полями // Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61. Вып. 3. С. 390-397.
8. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М. : Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.
