Символьно-численный анализ необходимых условий устойчивости относительных равновесий вытянутого осесимметричного гиростата Текст научной статьи по специальности «Физика»

35. Елисеев С.В. Рычажные связи в задачах динамики механических колебательных систем. теоретические аспекты / С.В. Елисеев, С.В. Бе-локобыльский, Р.Ю. Упырь, В.Е. Гозбенко. Иркутск, 2009. 258 с. Деп. в ВИНИТИ 27.11.2009 №737-В 2009.

36. Каимов Е.В. Некоторые приложения теории рычажных связей / Е.В. Каимов, Н.К. Кузнецов, С.В. Елисеев. Иркутск, 2015. 43 с. Деп. в ВИНИТИ 05.10.2015 №160-В 2015.

37. Елисеев С.В., Кинаш Н.Ж., Каимов Е.В. Рычажные связи механических колебательных систем // Вестник Всерос. науч.-исслед. и про-ектн.-конструкт. ин-та электровозостроения. 2015. № 1 (69). С. 112-126.

38.Хоменко А.П., Елисеев С.В., Каимов Е.В. Виртуальный рычажный механизм: динамическое гашение колебаний как форма проявления ры-

чажных связей // Изв. Транссиба. 2014. № 4 (20). С. 61-71.

39.Хоменко А.П., Елисеев С.В., Большаков Р.С. Особенности взаимодействия парциальных систем в виброзащитном контуре с двумя степенями свободы: рычажные связи в динамическом гашении колебаний // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2014. № 3 (43). С. 8-19.

40.Соотношения координат движения элементов механических колебательных систем как форма проявления рычажных связей / С.В. Белоко-быльский и др. // Системы. Методы. Технологии. 2015. № 3 (27). С. 7-14.

УДК 531.391

Банщиков Андрей Валентинович,

к. ф.-м. н., доцент, с. н. с.,

Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН,

тел. (3952) 45-30-56, е-mail: [email protected]

СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННЫИ АНАЛИЗ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИИ УСТОЙЧИВОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ ВЫТЯНУТОГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ГИРОСТАТА

A. V. Banshchikov

SYMBOLIC-NUMERICAL ANALYSIS OF NECESSARY CONDITIONS OF THE STABILITY OF RELATIVE EQUILIBRIUMS OF A PROLATE AXISYMMETRIC GYROSTAT

Аннотация. Исследуется динамика спутника-гиростата, движущегося в ньютоновском центральном поле сил по кеплеровой круговой орбите. Рассматривается случай, когда постоянный вектор гиростатического момента лежит в одной из главных центральных плоскостей инерции. В соответствии с идеями Ляпунова об исследовании устойчивости движения по уравнениям первого приближения, в пространстве введённых параметров выделены области, в которых возможна гироскопическая стабилизация одного класса относительных равновесий указанного в заголовке орбитального гиростата. Проведен параметрический анализ условий гироскопической стабилизации неустойчивых равновесий. Сформулировано утверждение о решении соответствующей системы неравенств в виде интервалов значений параметра, определяющего одну из двух ненулевых компонент вектора гиростатического момента. Исследование выполнено с помощью программного комплекса LinModel и функций символьно-численного моделирования пакета компьютерной алгебры Mathematica.

Ключевые слова: положения равновесий, степень неустойчивости, гироскопическая стабилизация, системы неравенств, компьютерная алгебра.

Abstract. The focus of the study is the motion of satellite-gyrostat on Keplerian circular orbit in central Newtonian field offorces. The paper considers the case in which the constant vector of gyrostatic moment lies on one of the principal central planes of inertia. With the application of Lyapunov's approach to the investigation of the stability of the motion by the first order approximation equations, the regions, where the gyroscopic stabilization for the certain class of equilibriums of the orbital gyrostat mentioned in the title is ensured, are singled out in the space of the inputted parameters. The parametrical analysis of the conditions of gyroscopic stabilization of the unstable equilibriums was carried out. The statement about the solution of a corresponding system of inequalities in the form of intervals of values of the parameter defining one of two nonzero components of a vector of gyrostatic moment was formulated. The research was conducted with LinModel software and Mathematica built-in tools for symbolic-numerical modelling.

Keywords: equilibrium positions, degree of instability, gyroscopic stabilization, system of inequalities, computer algebra.

Введение вание, опубликованное в [1], где для осесиммет-

Твердое тело с зафиксированной в нем осью ричного вытянутого гиростата получены условия вращающегося с постоянной относительной угло- на параметры системы, обеспечивающие устойчивой скоростью маховика, уравновешенного стати- вость или неустойчивость относительных равно-чески и динамически, является гиростатом. Си- весий, и рассмотрен вопрос о возможности их ги-стема движется по кеплеровой круговой орбите в роскопической стабилизации при четной степени центральном ньютоновском поле сил вокруг при- неустойчивости. тягивающего центра. Работа продолжает исследо-

Механика

Используемый в работе программный комплекс (ПК) ЬтМоёв1 [2] предназначен для моделирования систем взаимосвязанных абсолютно твердых тел, а также исследования вопросов устойчивости и стабилизации решений линеаризованных моделей на базе классических теорем об устойчивости движения. Комплекс представляет собой набор интерактивных программ, выполняемых в режиме интерпретации в среде пакета компьютерной алгебры (ПКА) МмИвтаИса.

Производительность пакетов компьютерной алгебры и эффективность их использования существенно возрастают в связи с увеличением быстродействия и оперативной памяти современных компьютеров, позволяющих обрабатывать большие объемы символьной информации. Когда становится затруднительным проводить исследование исключительно в символьном виде, можно перейти к «означиванию» некоторых (или всех) параметров рассматриваемой задачи и тем самым снять вопрос об ошибках округления. Это позволяет исследователю по возможности глубже проникнуть в качественную природу процессов и переходить к количественной (численной) оценке на более позднем этапе.

Относительные равновесия

Для описания движения системы вводятся две правые прямоугольные декартовы системы координат с полюсами в центре масс О системы.

- орбитальная система координат (ОСК) (ак - орт соответствующей оси), ось ОЪ3 которой направлена по радиусу-вектору, проведенному из притягивающего центра в центр масс гиростата; ось ОЪ2 перпендикулярна плоскости орбиты, при этом ш = ш а2, где ш = | Ш | - модуль орбитальной угловой скорости. Жестко связанная с корпусом гиростата система координат Oz1 z2 z3 (\ - орт оси

Ог -) имеет оси, направленные по главным центральным осям инерции гиростата так, что В = А >С и И1 = 0, к2 > 0, к3 > 0 . Здесь А, В, С - моменты инерции системы относительно осей Oz1, Oz2, Oz3; Ик - проекция (на соответствующую ось) вектора гиростатического момента системы, деленная на ш. При В = А эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения и Oz3 является осью симметрии, вдоль которой эллипсоид инерции гиростата вытянут. Для определения взаимного расположения осей ОЪк и Ог- используются направляющие косинусы ак = ак • г , задаваемые самолетными углами а, Р , у .

Уравнения, описывающие положения равновесия относительно ОСК, определяют равновесия (а = 0, Р = 0, у = 0), соответственно, второго и третьего классов [3, 1]

Га = а0 = п% (п = 0,1), р = ро= 0,

у = у„: cos у 0(4(B - C)sin у0+h3) + h2sin у0 = 0; %

а = а0= —+ n%, Р = Р0= 0,

(1)

2 ^ ' (2)

у = у0: cos у0 ((B - С) sin у0 + h3) + К sin у0 = 0.

Отметим, что в [1] доказано, что положение относительного равновесия (2) неустойчиво и не может быть стабилизировано за счет влияния гироскопических сил.

Достаточные условия устойчивости относительных равновесий орбитального гиростата для различных вариантов расположения оси вращения маховика в корпусе гиростата изучались многими авторами (см., например, [4, 5]). Однако анализ необходимых условий устойчивости относительных равновесий гиростата выполнен лишь для случая расположения вектора гиростатического момента системы вдоль какой-либо главной центральной оси инерции системы.

Параметрический анализ условий гироскопической стабилизации относительных равновесий (1) Повторим некоторые обозначения и алгоритм исследования из [1], в основе которого лежит использование теорем Томсона - Тета - Четае-ва [6].

Линеаризованные в окрестности (1) (или (2)) уравнения движения гиростата около центра масс имеют вид

Mq + Gq + Kq = 0, (3)

где q = (а, Р, у)T - вектор отклонений от невозмущенного движения (производные берутся по безразмерному времени т = rat); M >> 0 - положительно-определенная матрица кинетической энергии; G - кососимметричная матрица гироскопических сил; K - симметричная матрица потенциальных сил. Построение нелинейных уравнений движения гиростата, их линеаризация в окрестности решения (1) (т. е. получение в аналитическом виде матриц M, G , K) проведены с помощью ПК LinModel.

Введем безразмерные параметры

U -h2.

H 2 = -;

2 B

H 3 =—;

3B

У = С;

B

(4)

pc = cosу0; ps =- sm у0. Значения параметров лежат в интервалах

#2 > 0; H3 > 0; 0 < J < 1; -1 < Pc < 1 ( Pc * 0; p )•

(5)

Разрешим относительно Н3 условие существования равновесия (1) в новых обозначениях. С учетом полученного соотношения матрицы уравнений движения (3) принимают вид

J2 + Pc2 PsPc ( J - 1) 0Л

M =

PsPc ( J - 1) Ps2 + J Pi

G =

£ =

2

0

v 2(1 - J)PcP

' 3(1 - J)P, 3(J - 1)PcP, 0

' g23

2( J - 1)PcPs

g 23 0

3( J - 1)PcPs

3(1 - J)Ps2 + ^

s Pc

0

0 0

¿33 y

где

g23 = 2(1 - J)Ps2 - J +

H

2 .

¿33 = 4(1 - J)Pc2 +

H

V1 = Л (h 22 (J- 4( J-1) Pi ) + H 2 (J-1) Pc ((6 J-7) Pc2 - 3J ))+

+ 3( J -1) J(3J - 4) p2 ;

у2 = -^ (Н 2 (3- (3-1) р?) + Н 2( 7-1) рс ((6 3-1) р2с - 6 3))+

Рс

+ 3 (7 - 9( 3 -1) 3р2 + 33 (33 - 5)).

Характеристическое уравнение содержит х только в четных степенях. Устойчивость нулевого решения имеет место, когда все корни относительно X2, являясь простыми, будут вещественными отрицательными числами. Алгебраические

условия [7], обеспечивающие указанные свойства корней (необходимые условия устойчивости), представляют собой систему неравенств:

v3 >0, v2 >0, v >0, v >0,

Dis = V2Vi - 4v13v3 - 4V2V0 +18V3V2V1V0 - 27v02v32 > 0

(7)

Рс Рс

Область с четной степенью неустойчивости, полученная в [1], имеет вид

0< 3 <1 л-1< рс <0 л Н2 >4(3 -1) р3 . (6) Выписав характеристическое уравнение системы

¿ег (м х2+о х+к) = у3 х6+у2 х4+^ х2+у0 = о,

устанавливаем, что в коэффициенты V (; = 0,2) параметр р!! входит только в четных степенях. Поэтому, используя соотношение тригонометрической единицы р 2 + р 2=1, легко исключить параметр рх. Представим коэффициенты, зависящие от трех параметров рс , 3, Н2 , в явном виде как квадратичные полиномы относительно И2: V = аегМ = 3; ^ = ¿егК = 3Н2(1 -3)(Н2 + 4(1 -3)р3);

Дискриминант Dis характеристического уравнения в (7) представляет собой полином 8-й степени относительно H2, 12-й степени относительно J и 9-й степени относительно pc, что говорит о сложности анализируемых выражений. В силу громоздкости этот полином в явном аналитическом виде здесь не представлен.

В настоящей работе представим более детальный (чем в [1]) параметрический анализ системы неравенств (7) относительно «основного или ведущего» параметра H2 в области (6), где возможна гироскопическая стабилизация системы.

Отметим, что корни полинома v0 имеют в области (6) только вещественные неотрицательные значения: H^ = 0 и H® = 4( J -1)рС > 0 .

Корни, соответственно, полиномов v и v отно-

1 2

сительно параметра H 2 имеют следующий вид:

(3),(4) _ ( J - 1) Pc ((6J - 7) Pc2 - 3J ) ±УР1

H

I/(5),(6) H 2

2(4(J -1)pc - J)

(J -1)Pc ((6J -1)Pc2 - 6J) + УР"

2((J -1)Pc2 - J)

(8)

где дискриминанты квадратных уравнении D = (J -1)p2 (9 (J -1)J2 - 6J(7+ 3J(4J - 7))p2 + + ( J -1)(49 +12 J (15 J - 23))p4 ) ; D = 4 (2 - 3 J)p2 J2 + 8 ( J -1) J(2 + 3 J)pc4 -

- (J -1)2 (12 J -1) p6 • С помощью функции Reduce ПКА Mathematica, предназначенной для нахождения символьного (аналитического) решения систем уравнений и неравенств, нетрудно доказать и сформулировать следующие замечания.

Замечание 1. Коэффициент при старшей степени H2 и свободный член в полиноме Dis не могут быть отрицательны при любых значениях параметров J и pc из (5).

Замечание 2. Коэффициенты при старшей степени H2 и свободные члены в полиномах V, V положительны при любых значениях параметров J и pc из области с четной степенью неустойчивости (6), а коэффициенты при первой степени H2 в этих полиномах отрицательны.

0

0

0

0

0

Механика

Замечание 3. Все вещественные корни (8) полиномов у1 , у2 имеют только положительные значения при любых значениях параметров J и pc из области (6). Установлена следующая упоря-

доченность

их

вещественных

значении

H23) < H24), H26) < H25) . Корни полиномов v и v2 могут быть также комплексно-сопряженными.

Аналитически проведена классификация области (6) значений параметров J и pc, где дискриминанты Dx, D2 имеют различные знаки. Графическое представление этих областей смотрите на рис. 1. Здесь область I (из двух частей) - это случай, когда Dj, D2 одновременно положительны; область II - случай, где Dj < 0, D2 < 0 ; в области III Dj > 0, D2 < 0 . Установлено, что случай Dj < 0, D2 > 0 невозможен.

A. I

ш

п

1

Рис. 1. Разбиение области значений параметров J , pc из (6)

С помощью функции символьно-численного моделирования и средств языка программирования ПКА Mathematica, где значения параметров

J , pc изменялись в сетке с шагом 10-3, установлены следующие факты, оформленные в виде замечания 4 и утверждения.

Замечание 4. В области с четноИ степенью неустойчивости (6) полином Dis может иметь 0, 2, 4, 6 вещественных корней относительно H2. А именно, максимальное количество вещественных корней в областях II и III равно шести, а в области I равно четырем. Отметим, что при отсутствии

вещественных корней, с учетом замечания 1, условие Dis > 0 выполняется.

Утверждение. Решение системы неравенств (7), определяющее область гироскопической стабилизации относительно параметра H 2, представляется:

(a) для значений параметров J , pc из области I в виде

H2 > x2,4 ,

где x2 4 - последний (второй или четвертый) упорядоченный вещественный корень полинома Dis ;

(b) для значений параметров J , pc из области II как объединение интервалов

4 (J -1)pl< H2< xxU x< H2< xU X< H2< xU H2> x, где xi - упорядоченные корни полинома Dis . При наличии четырех или двух вещественных корней вышеприведенная дизъюнктивная форма, соответственно, сокращается справа налево;

(c) для значений параметров J , pc из области III как объединение двух интервалов

4( J - 1)pc3 < H2 < x U H2 > x2,4,6 ,

где x , x - первый и последний (второй, четвертый или шестой) упорядоченные вещественные корни полинома Dis ;

(d) в случае отсутствия вещественных корней у полинома Dis решение получается в виде

H2 >4(J-1)p3 (для всех трех областей). Т. е. в

этом случае область гироскопической стабилизации совпадает с областью (6). Заключение

Проведенный параметрический анализ показал, что решение системы неравенств (7) определяется только вещественными корнями дискриминанта характеристического уравнения. Результаты получены в аналитическом виде или путем проведения численного эксперимента с графической интерпретацией. При выполнении символьно-численных вычислений использовались средства языка программирования и встроенные функции ПКА Mathematica.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 16-07-00201.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Банщиков А.В., Чайкин С.В. Анализ устойчивости относительных равновесий

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

вытянутого осесимметричного гиростата средствами символьно-численного моделирования // Космические исследования. 2015. Т. 53. № 5. С. 414-420.

2. Символьные вычисления в моделировании и качественном анализе динамических систем / А.В. Банщиков и др. // Вычислительные технологии. 2014. Т. 19. № 6. С. 3-18.

3. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников // Итоги науки и техники. Исследование космического пространства. М. : ВИНИТИ АН СССР, 1978. Т. 11. 223 с.

4. Сарычев В.А., Мирер С.А., Дегтярев А.А. Динамика спутника-гиростата с вектором гиростатического момента в главной плоскости

инерции // Космические исследования. 2008. Т. 46. № 1. С. 61-73.

5. Гутник С.А., Сарычев В.А. Динамика осесимметричного спутника-гиростата. Положения равновесия и их устойчивость // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. Вып. 3. С. 356-368.

6. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М. : Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.

7. Козлов В.В. О стабилизации неустойчивых равновесий зарядов сильными магнитными полями // Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61. Вып. 3. С. 390-397.

УДК 517.98 Баргуев Сергей Гавриилович (Ганжурович),

к. ф.-м. н., доцент, кафедра высшей математики и общепрофессиональных дисциплин, Бурятский институт инфокоммуникаций (филиал), Сибирский университет телекоммуникаций и информатики,

тел. 89503808172, e-mail: [email protected]

РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ БАЛКИ ТИМОШЕНКО С УПРУГО ПРИКРЕПЛЕННЫМ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ

S. G. Barguev

THE SOLUTION OF THE INITIAL BOUNDARY VALUE PROBLEM OF THE VIBRATIONS OF TIMOSHENKO BEAM WITH ELASTICALLY ATTACHED SOLID

Аннотация. В статье приводится методика решения начально-краевой задачи для колебаний двухпролетной балки Тимошенко с упруго прикрепленным твердым телом. Концы стержня имеют жесткое закрепление. Применены идеи и наработки, предложенные автором в предыдущих работах. Ставится задача определения поперечных смещений балки в зависимости от продольной координаты и времени, а также смещения твердого тела в зависимости от времени. Начальные условия ставятся в виде задания в начальный момент времени значений поперечных смещений балки в зависимости от продольной координаты и смещения твердого тела. Выводится условие типа ортогональности собственных форм колебаний, что подразумевает получение линейной комбинации интегралов от произведения поперечных смещений балки, произведения первых производных поперечных смещений балки, а также произведений амплитуд твердых тел при разных значениях собственных частот, принимающей определенное значение при совпадении частот и нулевое значение при несовпадении частот. Решение ищется в виде разложения в ряд Фурье по собственным формам колебаний системы с учетом полученного условия ортогональности.

Ключевые слова: собственные частоты, собственные формы, условие ортогональности, начально-краевая задача, ряд Фурье.

Abstract. The technique of the solution of an initial boundary value problem for fluctuations of a double Timoshenko beam with elastically attached solid body is given in the article. The ends of a core have rigid fixing. The ideas and practices offered by the author in the previous works are applied. The task of definition of cross shifts of a beam depending on the longitudinal coordinate and time, as well as shift of a solid body depending on time is set. Entry conditions are laid down in the form of setting in an initial timepoint ofpreset values of cross shifts of a beam depending on the longitudinal coordinate and shift of a solid body. The condition of orthogonality type of its own forms offluctuations that means receiving a linear combination of integrals from work of cross shifts of a beam, work of the first derivative cross shifts of the beam, and also works of amplitudes of solid bodies at different values of its own frequencies accepting a certain value at coincidence offrequencies, and zero value at discrepancy of frequencies is derived. The solution is looked for in the form of decomposition in Fourier series in its own forms offluctuations of the system taking into account the received orthogonality condition.

Keywords: generalization, own frequency, own forms, orthogonality condition, initial boundary value problem, Fourier series.

Введение

Под начально-краевой задачей понимается задача поиска закона движения изучаемой механической системы в зависимости от времени при известных ее начальном положении и скоростях. Решение задачи предполагает знание собственных частот и форм колебаний данной системы.

Получение условия ортогональности

Рассматривается механическая система в виде двухпролетной балки Тимошенко с упруго прикрепленным твердым телом, изображенная на рис. 1.

В работе [1] приведена гибридная система дифференциальных уравнений, описывающая движение данной механической системы: