CC BY
20
УДК 531.391 Чайкин Сергей Васил ьеви ч,
к.ф.-м.н., с.н.с., Учреждение Российской академии наук Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел.: (3952)45-30-32,e-mail: schaik@yandex.ru Банщиков Андрей Валентинович,
к.ф.-м.н., доцент, с.н.с., Учреждение Российской академии наук Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел.: (3952)45-30-53, e-mail: bav@yandex.ru
АНАЛИЗ МНОЖЕСТВА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ СПУТНИКА-ГИРОСТАТА
S.V. Chaikin, A. V. Banschikov
THE ANALYSIS OF THE SET OF THE RELATIVE EQUILIBRIA OF GYROSTAT SATELLITE
Аннотация. Рассматривается в ограниченной постановке движение спутника-гиростата по кеплеровой круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил. Особенностью расположения статически и динамически уравновешенного вращающегося маховика в корпусе гиростата является постоянная скорость его вращения и неизменяемое расположение оси его вращения в плоскости, перпендикулярной большей оси главного центрального эллипсоида инерции. С использованием компьютерной алгебры и численного моделирования на основании оригинальных уравнений, определяющих относительные равновесия системы (положения покоя корпуса гиростата относительно орбитальной системы координат), изучается множество упомянутых равновесий в зависимости от величины гиростатического момента системы. Дополнительные исследования необходимы при изучении изменений множества относительных равновесий в зависимости от величины гиростатического момента, когда ось вращения маховика лежит в какой-либо другой плоскости симметрии главного центрального эллипсоида инерции системы.
Ключевые слова: спутник-гиростат, круговая орбита, относительные равновесия, бифуркация равновесий.
Abstract. The motion of gyrostat satellite on a circular keplerian orbit in the Newtonian field of forces is considered in the restricted formulation of problem. The peculiarity of the location of statically and dynamically balanced flywheel in the body of gy-
rostat is it's constant velocity of rotating and invariable disposition of axes of rotating in a plane that is perpendicular to a larger axes of the principal ellipsoid of inertia of system. The set of the relative equilibria of system is studied in depend on magnitude of inner angular moment by means of computer algebra and numerical modeling on the basis of original equations for the determining of the relative equilibria of system (positions of a rest for the body of gyrostat in orbital coordinate system). Supplementary investigations are necessary for the study of the variations of the set of relative equilibriums of gyrostat satellite in depend on magnitude of inner angular moment when the axes of the flywheel rotating is in any other plane of symmetry of the principal ellipsoid of inertia of system.
Keywords: gyrostat satellite, circular orbit, relative equilibria, bifurcation of equilibriums.
Введение. Для описания в ограниченной постановке [1] движения спутника-гиростата в центральном ньютоновском поле сил на кеплеровой круговой орбите введем следующие правые прямоугольные декартовы системы координат. Орбитальная система координат Oyk с ортами соответствующих осей (к = 1,2,3) имеет полюс O в центре масс спутника-гиростата, ось Oy3 (орт ) направлена по радиусу-вектору орбиты, проведенному из притягивающего центра в центр масс системы; ось Oy2 направлена по нормали к плоскости орбиты так, что орбитальная угловая скорость
Современные технологии. Механика и машиностроение
ш
системы еа = с- £, где с =| а\. Оси жестко связанной с корпусом спутника-гиростата системы координат (орты осей хк) с полюсом в точке О
выбраны таким образом, что матрица компонентов центрального тензора инерции I в этих осях имеет диагональный вид: [I ] = , /2, /3) при этом I < 12 < 13. Постоянный вектор гиростатического момента системы, деленный на с, в осях Ох к
имеет матрицу компонентов \31 =((),32,3^)' . при этом =|=|3|33, Л Л Л2+Л2=1-Величины 32, З3 есть направляющие косинусы вектора гиростатического момента системы в системе координат О^.
Взаимное расположение систем координат Оук и О^ очевидным образом определяется таблицей направляющих косинусов, £ - проекция орта £ к на ось Ох.
Если в уравнениях движения системы в рассматриваемом случае, см., например, [2, 3], приравнять нулю производные по времени, то получим уравнения, определяющие относительные равновесия спутника-гиростата, которые запишем следующим образом:
£1 I £ 2=-#! 3, £ 3I £ 2=-# 3 3/4, £ 1 I £ 3= 0, £ .х £. £ к = е1]к (1, з,к е {1,2,3}).
Знак «х » означает векторное произведение соответствующих векторов; е^к - альтернирующий тензор [4], принимающий одно из значений {-1,0,1} в зависимости от значений 1,к.
Относительные равновесия, условия их существования. Учитывая последнее соотношение в (1), запишем эквивалентные уравнения, определяющие относительные равновесия системы следующим образом:
(I£2+ 3)х(I£2+ 3/4) * 0,
£ 3^ £ 2 + 3) х£ 2 = 0, £1£ 2х (I £ 2+ 3/4) = 0, £11£ 3 = 0, £ .х £ з £ к = е., (I £+ 3) х (I £2+ 3/4) = 0, £,(1£ 2+ 3) = 0, £ 3Ц £ 2+ 3/4) = 0,
£11 £ 3= 0, £ .х £ , £ к=е1]к.
Далее займемся равновесиями, определяемыми первой группой уравнений. Другие случаи, являясь более простыми для изучения, ранее уже активно исследовались.
Если ввести в рассмотрение очевидно ненулевые в нашем случае векторы £г = ±(7£2 +3) /д2
и £3 =±£2 х(/£2+3/4), перпендикулярные £2,то
£1 = £ / | £ | и £3 = £3 /1 £31. Теперь эквивалентные уравнения запишем следующим образом: (I£2+ 3)х (I£2+ 3/4) * 0, £ 2=1, (I£ 2+ 3) х£ 2 £ 2х (I£ 2+ 3/4) = 0, < ((I£ 2+ 3) х£ 2)I(£ 2х(I£ 2+ 3/4)) = 0, (2) £1 = ±(I£ 2 + 3) х£ 2/1 (I£ 2 + 3) х£ 21, £ 3=±£ 2х (I£ 2+ 3/4)/1 (I£ 2 + 3/4) х£ 2\.
Разрешая уравнения второй и третьей строки в (2) относительно неизвестных компонент £п
вектора £2 с учетом неравенства первой строки,
получаем единственно возможные в нашем случае решения
В 13 - 12
22 4 )1 I2 - 11
В 13 - 12
32 4 ^ Iз - 11
1-5+3((±)
+ ]
3Ъ (-5+3((±)2(£2 - 1)/4л), (3)
£ 12 = ^22 £32 ,
(1)
где В =
\з\р22+з2ъ(12-11)1(1ъ-11) -/, )(/,-12)
>0,
3^2 =
з.
3^3 =
Р22 " - а) '
Зз7(/2 -/^/(/З -/,)
р22 +Л2(4 -Л)'
л = 32 (В2 +1)2 + 32 (В2 -1)2.
Заметим, что 32 + 332 = 1, а компоненты векторов £ и £3 определяются по соответствующим формулам в (2), зная £12.
Условия существования найденных решений (так называемый класс (4в) относительных равновесий спутника-гиростата на кеплеровой круговой орбите по принятой классификации, см., например, [2]) определяются, очевидно, одним неравенством
1 -£-£ >0.
Если параметры спутника-гиростата таковы, что при каком-либо выборе знака (±)2 в (3) выполнено последнее неравенство, то имеется одно-
2
2
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
временно четыре относительных равновесия спутника-гиростата класса (4в). Класс равновесий (4в) характеризуется тем, что ни одна из осей, связанных с корпусом системы координат Ох к, не лежит
в равновесии ни в одной из координатных плоскостей системы осей Оук.
Вводя далее в качестве бифуркационного
параметра х = 1 - ^ , х е [0,1), в зависимости
от величины которого будем исследовать наличие - отсутствие относительных равновесий системы, определяемых в соответствии с (3), (2), запишем определяющее неравенство следующим образом: / = Л2 (64 а +100 Ь (/22 + а /3 ) + 36 а Ь) х3 -- Л2 (128 а +100 Ь Л + а/2) + 36 аЬ) х2 + + (16а + 34Ь(. + а.?,) + 64а./2)х-16а <
< (±)2302 + /?2(2х -1)2 х(/?2 - а.72 +
+2а.х) = (±)2/2.
(4)
а =
(
1 + 12 > 13 ^ (2 - а) ^ > (1 - а) ^
1 --
1
Л
1 + (1 - а)
х /3 < 1 < /3. Оканчивая доказательство, заметим, что интервал, из которого следует выбрать значе-
((
ние 1 е
1 --
1
4,13
очевидно, не пус-
1 + (1 - а), той для Vа е (0,1).
Вычислим значения / и /2 при х = 0, х = 1
произвольных
значениях
параметров
е (0,1)
Здесь для удобства введены вещественные
(12 -11) , (13 -12) , 1 -и Ь = —-—, очевидно, а + Ь = 1;
(13 - 1г) (/3 -
при / < 12 < 13 параметры а, Ь е (0,1). С учетом связи /2 + /32 = 1 будем считать вещественные функции / и /2 зависящими от переменной x и,
в соответствии с формулами для J3, двух параметров ,/3,ае(0,1). Очевидно следующее
Утверждение 1. Для любого значения а е (0,1) существуют моменты инерции 1, определяющие физически реализуемую механическую систему (спутник-гиростат), такие, что 0 < 1 < 12 < 13, 13 < 12 +1 и (12 -1 )/(13 -1) = а.
Доказательство. Пусть задано произвольное а е (0,1). Полагая, что выполнено последнее равенство, имеем 12 = 1 + а(13 -1). Ясно, что таким образом выбранное 1 больше 1 и 12 < 13 ^ 1 (1 - а) < 13 (1 - а) при ^ < 13. Таким образом, выбор 1 в зависимости от 1 ограничивается условием (кроме ^ < 13 )
/;(х = 0;а,^2) = -16а<0, (±)2/2(х = 0;а,./2) = 0,
/;(х = 1;а,72) = 34(1-а)(1-(1-а)72)>0, (5)
/2 (х = 1;а,) = 30 (1 - а) (1 - (1 - а) ^).
Так как функции /1 и /2 гладкие, отсюда
непосредственно следует справедливость следующего утверждения.
Утверждение 2. При любых значениях параметров а,./2е(0,1) графики функций /х и
(+)2 /2 (соответственно / и (-)2 /2) на интервале х е [0,1) имеют хотя бы одну общую точку и, соответственно, имеется хотя бы один интервал для значений x из [0,1), где неравенство (4) выполняется.
Методы решения неравенства (4) хорошо известны. Например, надо найти нули функций /
и /2 на интервале х е[0,1) (пусть общие нули, занумерованные по возрастанию, есть 1 < N < 5 ) и решать неравенство последовательно на каждом подинтервале: [0,г1),..., (гы,\).
Однако для наших целей продуктивнее воспользоваться следующими рассуждениями. При возведении обеих частей неравенства (4) во вторую степень мы избавимся от иррациональности в правой части. Перенеся все члены, например, в левую часть, получим полином от х шестой степени Р6(х;а,./3) = ./,2с коэффициентами, зависящими от параметров а,./3е(0,1). Коэффициент при старшей степени x полинома Р6 положителен. Среди шести его возможных вещественных корней один корень будет точно существовать из-за того, что, как мы теперь знаем (утверждение 2) имеется минимум одно пересечение у графиков функций / и (-)2 /2 на х е[0,1). Значит, при определении областей по переменной x из интервала [0,1), где /1 < /2 (для определенности рассматриваем этот случай) мы можем иметь максимум пять
и
Современные технологии. Механика и машиностроение
различных точек пересечения графиков функций /1 и /2. Пусть в этом случае пересечение графиков определяется точками х, занумерованными так, что 0 < х - х - X - X - - X < 1. При этом в соответствии с (5) на интервале х е[0, х1) неравенство / < /2 выполняется, а на интервале х е (х5,1) не выполняется. На рис. 1 для данного гипотетического случая (мы предположили, что при некоторых значениях параметров а, 11 е(0,1) имеется пять различных точек пересечения графиков функций / и / на интервале х е [0,1), определяемых значениями х е {х1,..., х5}) области, где неравенство / < /2 не выполняется,
заштрихованы, а где выполняется, не заштрихованы.
I—-——► *
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Утверждение 3. Существуют значения параметров а,./3е(0,1), определяющих физически реализуемую механическую систему, при которых максимальное число интервалов для значений бифуркационного параметра х из интервала [0; 1), когда неравенство (4), обеспечивающее существование относительных равновесий, определяемых в соответствии с (3), (2), выполняется (не выполняется), равно трем (неравно трем).
Доказательство. Выше было показано, что число упомянутых интервалов не может быть больше трех. Покажем, что при некоторых значениях параметров а, е (0,1) реализуется рассмотренный гипотетический случай. С использованием системы компьютерной алгебры МаШешайса и пакета программ [5] выполнены необходимые численные эксперименты. Найдены значения параметров а = 0,010022 и 1Ъ =0,999982, при которых графики функций /, (х:«..73) и /2(х;а,./3)
имеют пять различных точек пересечения на интервале х е[0,1) , или, другими словами, функция
(/ - /2) имеет пять различных корней на интервале х е[0,1) . Результаты численных расчетов представлены на рис. 2-5.
Рис. 4
Рис. 5
Заключение. В работе используются оригинальные уравнения (2) для отыскания относительных равновесий спутника-гиростата на кеплеровой круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил в частном случае расположения гироста-тического момента системы. По мнению авторов, эти уравнения более удобны при изучении изме-
ИРКУТСКИЙ государственный университет путей сообщения
нений интересующего нас множества относительных равновесий системы (равновесия класса (4в)), в зависимости от величины гиростатического момента.
Впервые дается ответ на вопрос, сформулированный в статье [2, стр. 178]: каково максимальное количество областей значений | | из интервала [0, да), в которых отсутствуют относительные равновесия класса (4в) спутника-гиростата на кеп-леровой круговой орбите в частном случае расположения гиростатического момента.
Дополнительные исследования требуются для изучения изменений множества относительных равновесий класса (4в) в зависимости от |/|е[0, да) и при других частных случаях расположения гиростатического момента системы (при / = 0; при /3 = 0).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК
1. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. - М.: Наука, 1965. - 416 с.
2. Longman R.W. Gavity-Gradient stabilization of gyrostat satellites with rotor axes in principal planes // Celestial Mech., 1971. - № 3. - P. 169-188.
3. Сарычев В.А., Мирер С.А., Дегтярев А.А. Динамика спутника-гиростата с вектором гиростатического момента в главной плоскости инерции // Космические исследования. - 2008. - Т. 46, № 1. -С. 61-73.
4. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. - М.: Мир, 1974. - 318 с.
5. Банщиков А.В. Программное обеспечение для параметрического анализа систем алгебраических неравенств (ПО PASI) // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2000611004. Роспатент. 5 октября 2000 г.
УДК 624.046.5 Коваленко Галина Владимировна,
к.т.н., доцент, профессор кафедры «Строительные конструкции», Братский государственный университет, тел.: 8(3953)32-53-508, (3953)37-93-05,
Меньщикова Надежда Сергеевна, ст. преподаватель кафедры «Строительные конструкции», Братский государственный университет, тел.: 8(3953)32-53-50, e-mail: nadezhdam08@mail.ru,
Фигурина Екатерина Владимировна, аспирант, «Братский государственный университет»,
тел.: 8(3953)32-53-50
НЕЛИНЕЙНО-ДЕФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ УСИЛЕННЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
G. V. Kovalenko, N.S. Menshchikova, E. V. Figurina
NONLINEAR DEFORMATION MODEL OF THE STRESS
STATE OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES
Аннотация. Сформулированы основные положения нелинейно-деформационной модели напряженно-деформированного состояния эксплуатируемых железобетонных конструкций, усиленных наращиванием сечения и дополнительной продольной арматурой. Предложенная методика позволяет учитывать предысторию нагружения, физическую нелинейность, ползучесть и усадку дополнительного бетона.
Ключевые слова: нелинейно-
деформационная модель, усиленные железобетонные элементы, нелинейное деформирование, смешанное армирование.
Abstract. The Formulated the basic provisions of the nonlinear deformation model of the stressstrain state operated concrete structures, reinforced by build-up section, and additional longitudinal reinforcement. The proposed method takes into account the prehistory of loading, physical nonlinearity, creep and shrinkage of additional concrete.
Keywords: nonlinear deformation model, reinforced concrete elements, nonlinear deformation, a mixed reinforcement.
В последнее десятилетие для расчета железобетонных элементов, подвергающихся воздействию продольных сил и изгибающих моментов,
