CC BY
9
Заключение
Региональным дирекциям необходимо больше интересоваться ходом проектирования и более принципиально подходить к качеству ведомственной экспертизы, что позволит обеспечить выполнение инвестиционных задач в установленные руководством ОАО «РЖД» сроки с высочайшим качеством и минимально возможной ценой.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Программа развития железнодорожного транспорта до 2030 года : распоряжение правительства РФ № 877-р от 17.06.2008 г. // Собрание законодательства РФ. 2008. № 29 (ч. II). Ст. 3537.
2. О внесении изменений в Регламент взаимодействия участников инвестиционного процесса при форми-
ровании и реализации инвестиционной программы ОАО «РЖД» : распоряжение ОАО «РЖД» № 2042р от 15.10.2012 г.
3. Иванов В.В., Ковалев В.В., Лялин В.А. Инвестиции. / М. : Проспект, 2013. 592 с.
4. Компания «РЖД»: реальная инвестиционная программа // Евразия Вести. 2005. 15 февр.
5. Матвеев Ю.В., Матвеев Ю.К. Инвестиционный процесс и его особенности в России // Фундаментальные исследования. 2008. № 8. С. 143-146.
6. Навасардян К. Инвестиционный процесс и его участники [Электронный ресурс] // FB.RU. : сайт. URL: http://fb.ru/article/42977/investitsionnyiy-protsess-i-ego-uchastniki свободный. (Дата обращения 22.09.2012).
УДК: 531.36 Чайкин Сергей Васильевич,
к. ф.-м. н., н. с., Российское государственное бюджетное научное учреждение Институт динамики систем и теории управления им. В.М. Матросова СО РАН,
тел. (3952) 45-30-32, e-mail: schaik@yandex.ru
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ РАВНОВЕСИЯ ОРБИТАЛЬНОГО ГИРОСТАТА С УПРУГИМ СТЕРЖНЕМ, ДЕФОРМИРОВАННЫМ В ПЛОСКОСТИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ МЕСТНОЙ ВЕРТИКАЛИ
S. V. Chaikin
THE RELATIVE EQUILIBRIA OF ORBITAL GYROSTAT WITH THE ELASTIC BEAM DEFORMED IN THE PERPENDICULAR PLANE TO THE LOCAL VERTICAL LINE
Аннотация. Рассматривается в так называемой ограниченной постановке движение по кеплеровой круговой орбите в ньютоновском центральном поле сил гиростата с защемленным в его корпусе упругим стержнем. Первоначально прямолинейная ось недеформированного стержня помещается в плоскости симметрии главного центрального эллипсоида инерции механической системы. В процессе движения системы нерастяжимый стержень подвергается малым пространственным деформациям. При определенных предположениях найдены все относительные равновесия системы. В этих равновесиях деформированная ось стержня располагается в плоскости, перпендикулярной местной вертикали, в мгновенном центре масс системы. Найдены значения гиростатического момента, необходимые для реализации указанных выше равновесий.
Ключевые слова: гиростат, упругий стержень, круговая орбита, специальные нетривиальные относительные равновесия.
Abstract. The motion of gyrostat with the clamped in its body elastic beam on a circular orbit in the Newtonian field of forces is considered in the so-called restricted formulation of problem. The initially rectilinear axes of the plain bar is placed in the plane of symmetry of the principal central momentum ellipsoid of mechanical system. The beam is subjected to an infinitesimal spatial deformation in the process of system motions. The systems relative equilibria was found under certain assumptions. In this equilibria the deformed axis of the beam is in plane perpendicular to the local vertical in the instant center of mass of system. The special values of inner kinetic moment which are necessary for the realization of the above-mentioned equilibria were found, too.
Keywords: gyrostat, elastic beam, circular orbit, special nontrivial relative equilibria.
Введение
Рассматривается в ограниченной постановке [1] движение вокруг притягивающего центра по кеплеровой круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил механической системы, состоящей из стационарного гиростата и однородного прямолинейного в недеформированном положении упругого стержня, защемленного одним концом (второй конец стержня свободен) в корпусе гиростата. Ось недеформированного стержня произвольно располагается в плоскости симметрии главного центрального эллипсоида и проходит через его центр масс. В процессе движения систе-
мы стержень совершает бесконечно малые пространственные изгибные колебания без растяжения. Стационарный гиростат есть твердое тело (корпус гиростата), в котором зафиксирована ось вращающегося вокруг оси симметрии с постоянной собственной угловой скоростью другого однородного твердого тела - маховика.
Данная работа продолжает исследования, начатые в [2, 3], где при некоторых предположениях, которые используются и здесь и для удобства чтения сформулированы ниже, рассматривалась эта же механическая система и силовое поле. В отличие от [2] соответствующее однопарамет-
иркутским государственный университет путей сообщения
рическое семейство нетривиальных равновесии системы ниже дополняется еще рядом отдельных, вообще говоря, равновесий системы.
1. Постановка задачи
Для описания движения системы и получения уравнений, определяющих интересующие нас относительные равновесия, вводятся следующие правые прямоугольные декартовы системы координат, ср. [2].
Система орбитальных координат (ОСК) Oyk (k = 1,2,3) с полюсом О в мгновенном центре масс системы и ортами осей а, р, у соответственно; орт р направлен по нормали к плоскости орбиты, у - по радиус-вектору мгновенного центра масс относительно притягивающего центра. Постоянный вектор угловой скорости вращения орбитальной системы координат относительно инерциального пространства w = ю Р, ю > 0; R - радиус круговой орбиты движения центра масс О, L - характерный размер системы, т - ее масса. Система координат O1xk с ортами осей ik (k = 1,2,3) жестко связана с корпусом гиростата (ССК); O1 - центр масс не-деформированной системы, а оси координат совмещены с ее главными центральными осями инерции. Q - вектор угловой скорости трехгранника O1 xk относительно Oyk.
Пусть в плоскости O1x2 x3 располагается прямолинейная в недеформированном состоянии ось упругого стержня, для простоты - постоянного кругового сечения и единичной длины, р -погонная масса стержня, а - расстояние от точки O до точки защемления стержня, а параметр s е [0, 1] определяет точку на оси стержня. Считаем, что в процессе движения стержень подвергается малым пространственным изгибным деформациям в соответствии с гипотезами Кирхгофа: сечения стержня не деформируются, пренебрегается их кручением и изменением нормали поперечного сечения относительно нормали этого же сечения в недеформированном положении стержня.
Точки гиростата занимают ограниченную область v1, а точки недеформированного упругого
звена - ограниченную область v2, Г - общая граница областей, dim Г ф 0, v = v + v2.
Для описания деформаций упругого звена системы используем локальную систему координат с ортами { fk }, орт f3 располагается вдоль оси недеформированного стержня, проходящей через
шшт
точку О , и направлен от нее. Радиус-вектор произвольной точки стержня, определяемой до деформации относительно точки О вектором г, после деформации будет определяться относительно мгновенного центра масс системы О выражением (г + и — г ), где и (¿,5-) - вектор упругого пе-
1
ремещения точек оси стержня, г - т~х|ри (t,s)ds -
радиус-вектор точки О относительно точки Ох. Далее будем пренебрегать величиной г0, т. е. считать, что точки О и О совпадают. Метод учета перемещения мгновенного центра масс приводится в [4].
Сформулируем используемые в работе предположения.
1°. Вектор упругого перемещения оси стержня представим следующим образом:
ад
и(¿,5) - £(^С?)^ + 4^(5)Ъ) =
р-0
= X ~ (t) Фn
(1.1)
n=1
где q2p+,(0 = q(p(s), Ф2p+í(s) = Xp'4s)f,; p = 0,1,
i = 1, 2. Заметим, что обобщенные координаты í/2/._i(/) определяют упругие перемещения вдоль оси fl5 а q2k{t) - вдоль оси f2 {к -1,2,...), лежащей в плоскости O1x2x3. Функции параметра 5, удовлетворяющие соответствующим краевым условиям (один конец стержня жестко закреплен, другой свободен), представляются следующим образом:
In (s) = xni-)1(s) = X(n2\(s) = ((sh Pn + sin Pn) X
X (ch PnS - cos PnS) - (ch Pn + cos Pn) X (1.2)
X (sh p„s - sin P„s) / (sin P„ ch p„ - cos p„ sh p„).
Величины Pn (n = 1,2,...) - корни уравнения
cos p ch p +1 = 0, при этом нормировка функций 1
такова, что JpXn(s)xp(s)ds = Mn^^ , Mn = 1. 0
2°. Потенциальная энергия малых упругих деформаций определяется выражением
П = 1 X Wp , ~np = ^rMn^np , Лп
n, p=1
где Лп (Mn) - частота (приведенная масса), соответствующая форме %п (s), EI - жесткость
EIÉi, (1.3) Р
0
стержня на изгиб, очевидно, что Л[ <Л2 <...;
также естественно полагать, что потенциальная энергия упругих деформаций во все время движения остается ограниченной. Если ввести новые переменные qn(() = (~пп)1/2~п(t) и соответственно фп= (~пп)-1/2фп(5) , то из ограниченности энергии заключаем, что q(t) = (^, ^,...) принадлежит гильбертову пространству /2 бесконечных последовательностей, ограниченных по норме
q=
\ 1/2
V n=1
Следует отметить, что Л > 1 и, как было показано [5], {л-1}^ 1Х и, стало быть, {л-2}е /2 .
3°. Пренебрегая величинами порядка (Ь / Я)3 и выше, используем известное приближенное выражение для потенциальной энергии гравитационных сил
П. = +1 w2 (3yJy - tr J).
1
g R 2
(1.4)
Здесь ц - произведение гравитационной постоянной на массу притягивающего центра, J -тензор инерции системы относительно мгновенного центра масс.
В соответствии с представлением (1.1)
((г + и)2 Е - (г + и) : (г + и))4т =
V
W
=J 0 +X qn(t) J n + X УпЯрJ
n ! p npl
(1.5)
п=1 п, р=1
где J 0 - тензор инерции недеформированной системы относительно точки О, Е - единичная матрица размера 3x3, двоеточие означает диадное произведение векторов. Далее в выражении для J(q) будем пренебрегать вторым бесконечным
рядом, формально полагая Jпр = 0 для любого п, p. Матрицы компонентов тензоров ^, ^ приведем в локальной системе координат {^}, которая получается из осей Охк, если последние повернуть вокруг Ох на некоторый угол о?то^2л), при этом новая ось Охк совпадает с 1"3, а ось Охх с . Взаимное расположение систем координат Охк и Ох'к задается таблицей направляющих косинусов ортов их осей.
f1 f2 f3
!1 1 0 0
Í 2 0 cosd -sind
Í 3 0 sind cosd
+
J2 J3
[J 0 Ъ =
a-b 0 0
J2 + J3
2
E +
00 cos 2d -sin 2d -sin 2d -cos 2d
[J2k ]f =
Jk
0 0 0 0 0 1
0 0 -1 , [J 2k-1 ]F = Jk 0 0 0
0 -1 0 1 0 0
Полагаем, что вещественные параметры (углы) А, 9 (mod(2rc)) следующим образом определяют орты ОСК относительно Ox'k :
у = cos А, у2 = sin А, уз = 0, ^ = sin А sin 9, Р2 = -cos А sin 9, Р3 = cos 9, ах = -cos 9 sin А, (1.6)
а2 = cos 9 cos А, а3 = sin 9. Здесь и далее:
i
Jk Jp(a + s) lkds, b
0
J - J
J 2 Ji
J 2 -J3
a =
J - J Ji J 3
J2 J3
4°. Центральный эллипсоид инерции гиростата и всей недеформированной системы не является эллипсоидом вращения.
В осях Oxk [J0]х = diag(Jx,J2,J3) и для определенности J2 > J1 > J3.
Известно, что уравнения движения допускают в рассматриваемом здесь случае кроме интегралов направляющих косинусов Ui (i = 1, 2,3) интеграл типа Якоби U. Имеем U = уу -1 = 0, U2 = рр -1 = 0, U3 = уР = 0,
1 (1.7)
U = T + П + П„ —wJw-wk = const. r g 2
Здесь k - постоянный гиростатический момент системы, далее также используется n = k / ю, кинетическая энергия определяется выражением
1
Tr ñJñ + ñG+ - Xanmqn4m,
2
1 W
2 x
n,m=1
1
где anm = Jp%n%mds, а вектор кинетического мо-
мента относительно точки O имеет вид
2
W
2
W
0
W W
g = J (r+u) x ii dm=X G nqn + X qnqpG np.
n=1 n,p=1
Выражения для О п и О пр, как и уравнения движения системы относительно ее мгновенного центра масс О, здесь не используются и не приводятся. Точкой обозначена частная производная по времени.
2. Относительные равновесия
Пусть переменные с «крышкой» определяют некоторое невозмущенное движение системы (относительное равновесие при
£1 - 0, д - 0). Уравнения для отыскания интересующих нас относительных равновесий системы, определяемых расположением орта у (заданным углом А), найдем, определяя методом Лагранжа условия, обеспечивающие экстремум и при выполнении условий ик - 0 (1.7). Для этого стандартным способом исследуется связка интегралов при П - 0, д - 0
V1 = +П + Пg -1 wJw - kw + 1 g 2
- PT[J2i-i]P) = 0^ q2*-i = -a2 jk sin 20 sin Д / 2,
(2.4)
ka = юJ—— [sin20((a - b - cos 2d)sin2 Д +
+ 2 cos 2d) + 2 cos 20 cos Д sin 2d] +
W
+ ю3 sin 0 cos 0 cos 20X jk2,
k=1
ky = ю2( J2 - J3) sin Д(sin 2d cos 0 -
(2.5)
- (a - b - cos 2d) sin 0 cos Д).
При этом, как типично и для обратной задачи о равновесии гиростата без упругого элемента, параметр v остается неопределенным, поскольку не зафиксирован пока гиростатический момент, а точнее, его проекция на нормаль к плоскости орбиты, см. (2.2). Наконец, из последнего уравнения в (2.1) получаются вполне определенные соотношения параметров Д и 0.
f со со Л
а
1 3
+ 3ю2А,Ц, +—Ю2^? —ю2сти, 3 2 2 2
где X, ст, V - неопределенные множители Лагранжа. Получаем следующие уравнения для определения множителей Лагранжа и переменных с «крышкой», определяющих относительные равновесия:
ст- у ад у, л=-р ад у, а ад у - 0, (2.1)
V - в ад в + вп, а ад в = -па, у ад в = -пу/4,
(2.2)
дп + ю2(3 у Зп т - ГЗ п (д) - в Jn (д)в)/ 2 - 0,
п -1,2,______(2.3)
Прямыми вычислениями с использованием выражений (1.6) из (2.3) находим
2^2к-1 + Ю 2 (3 УТ [2к-1 ]У - ¿г и2к-1 ] -
J0 +X q2k-1J2k-1 +X q2kJ2k Y = 0 »
k =1 k =1 J
«(- cos 0 sin Д, cos 0 cos Д, sin 0) X (a - b 0 0 >
0 cos 2d - sin 2d 0 - sin 2d - cos 2d
( 0 0 - Л
J - J
,j 2 J 3
x (■ 3
2
+
+ ю
sin 0 cos 0X (-sin Д
k=1
(0 0 0 ^
000
-10 0
+
(2.6)
+ cos Д
0 0 -1
v0 -1 0 J
) jk2)
cos
Д^
sin Д
v 0 J
= 0
2q2k + ю2(3 yT [ J 2k ]y- tr [j 2k ]-PT [ J 2k ]P) = 0 «
^ q2jfc =ю2jk sin 20cos Д/2, k = 1,2,...
Компоненты (проекции) гиростатического момента k на орты а и у для реализации равновесий (1.6), (2.4) должны определяться следующими равенствами, полученными из уравнений где первая система уравнений с учетом (1.6),
« sin Д((а - b - cos 2d) cos Д cos 0 + sin 0 sin 2d) = 0.
Последнее уравнение, очевидно, эквивалентно объединению следующих трех систем:
{sinД = 0, 0-произвольный параметр} V;
[sin Д ^ 0, cos 0 ^ 0, a - b - cos 2d = 0, [ sin 0 = 0, Д- произвольный параметр V; [sin Д^ 0, cos 0 ^ 0, a - b - cos 2d ^ 0,
tg0 = -(a - b - cos 2d) cos Д / sin 2d,
(2.7)
(2.2):
(2.4), (2.5) определяет два однопараметрических
v
семейства нетривиальных (упругий стержень в равновесии деформирован) относительных равновесий системы, аналогичных соответствующим двум семействам из рассмотренных в [2], где в осях {fk}
(3 = (0,+ sin 9, cos 9), у = (±1,0,0), а = у1(0, cos 9, sin 9),
q2k-1 = 0> q2k = ±®2 Jk sin 9 cos 9> kó = w
x (sin 29 cos 2d ± cos 29 sin 2d) + ш3 sin 9 cos 9 cos 29 x
W
xXJ', kY = 0.
k=1
Вторая система уравнений с учетом (1.6), (2.4), (2.5) определяет два однопараметрических семейства тривиальных (стержень недеформи-рован в равновесии) относительных равновесий
системы в осях {fk} а = (+ sin А,± cos А,0), (3 =
= (0,0,±1), у = (cos А, sin А,0), q2k-1 = 0, q2k = 0, ka =
= ш-
J Jз
2
cos А sin 2d, ky =± 2 w(J2 - J3)sin Ах
x sin 2d.
Третья система уравнений из (2.7) с учетом соотношений (1.6), (2.4), (2.5) и соответствующих
формул типа sin 9 = ±tg6/^1 + tg29, cos9 = ..., где
tg9 определяется через параметры задачи a, d и cos А соответствующим выражением в (2.7), определяет два однопараметрических (параметр А, точнее cos А ) семейства нетривиальных относительных равновесий системы: в осях {f }
у = (cos А, sin А,0), (3 = (sin А sin 9,- cos А sin 9, cos 9),
а = (- cos 9 sin А, cos 9 cos А, sin 9), q2k-1 = -w2Jk x
x sin 9 cos 9sin А, q2k = w2Jk sin 9 cos9 cos А, ka =
= w J ^ Js (sin 29((a - b - cos 2d) sin 2 А + 2 cos 2d) +
W
+ 2 cos 29 cos А sin 2d) + w3 sin 9 cos 9 cos 29X Jk,
k=1
ky = 2 w (J2 - J )sin А^т 2d cos 9 -
- (a - b - cos 2d) sin 9 cos А).
Замечание 1. Во всех случаях для выражений, содержащих двойной знак (±) или (+), имеется два независимых выражения, определяемых одновременным выбором либо верхнего, либо нижнего знака.
Замечание 2. С учетом того, что уравнения (2.1)-(2.3), определяющие относительные
равновесия системы (но не множители Лагранжа), не меняются при одновременной замене a ^ -(X , y ^ -у, найденные выше относительные равновесия следует дополнить очевидным образом.
Для примера вычислим значения компонентов гиростатического момента системы в осях Ox для относительных равновесий,
приведенных последними. Пусть k|3 / w = x. Очевидно, k = (ka)a + (kJJ)|3 + (ky)y, а используя матрицу направляющих косинусов ортов {ik} и {fk } , запишем
k = (ka)(- cos 9 sin А • f1 + cos 9 cos А • f2 + sin 9 • f3) + + x(sin А sin 9^ f - cos А sin 9 • f2 + cos 9 • f3) +
(ky )(cos А^ f1 + sin А^ f2) = (-ka cos 9 sin А + x sin А x sin 9+ ky cos А)^ + (ka cos 9 cos А- x cos А sin 9 + + ky sin А)^ + (ka sin 9 + x cos 9)f3 = (ky cos А - (ka x x cos 9 - x sin 9) sin А) • i1 + (cos d(ky sin А + (ka cos 9 --x sin 9)cos А)^т d (ka sin 9 + x cos 9)) • i 2 + (sin d x x (ky sin А + (ka cos 9 - x sin 9) cos А) + cos d(ka sin 9 + + x cos 9)) • i3.
В последнее выражение в правой части следует подставить соответствующие значения (ka), (ky) и учесть, что sin 9 и cos 9 необходимо вычислить с использованием величины tg9 из (2.7).
Заключение
Для механической системы, тех же силовых полей и основных предположений, что ив [2], найдены все специальные относительные равновесия, которые реализуются лишь при соответствующих значениях гиростатического момента системы и характеризуются тем, что в равновесиях плоско-изогнутый стержень или, что то же самое, его первоначально прямолинейная ось перпендикулярна местной вертикали, проходящей через центр масс системы. Такие равновесия непосредственно в соответствии с (2.4) показывают влияние инерции на деформацию стержня.
Множество относительных равновесий системы, рассмотренных в работе, естественно богаче такового из [2].
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ, 15-08-06680а.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М. : Наука, 1965. 416 с.
x
2
2. Чайкин С.В. Устойчивость семейства 4. нетривиальных равновесных ориентаций на притягивающий центр гиростата с упругим стержнем // Прикл. матем. и механика. 2004. Т. 68.
№ 6. С. 971-983.
3. Чайкин С.В. Стабилизация нетривиальных 5. относительных равновесий гиростата с упругим элементом на круговой орбите // Прикл. матем. и механика. 2006. Т. 70. № 5. С. 793-800.
Белецкий В.В., Чайкин С.В. Учет перемещения центра масс гиростата с упругим стержнем при анализе устойчивости семейства его равновесий // Вестн. МГУ. Сер.: Матем. механика. 2006. № 1. С. 42-47.
Chaikin S.V. Equilibria Stability of the Satellite as a System with a Countable Number of Degrees of Freedom // Acta Astronáutica. 2001. V. 48, № 4. P. 193202.
