CC BY
10
^ - 0; ^ -
Q
D0P
Раскрывая первое граничное условие для пластины:
Tr R R
CR + C2 / R + -Г—In— - 0,
12 2D r
n 0
первое условие совместности:
DoA-4 A K2(fil ) - 4 AKfil ) +
+-
Q
Dofi
C
-rn
-^(i -m) + Г 2
объединяя второе и третье условия совместности:
A Ko (fil )+AKi (fil )+Q K (fil ) -
M—o _ ro(1 -m)
Eh,
Eh
-4 Ai K2 (fil ) -
Q
Dofi
3 Ko (fil)],
раскрывая четвертое условие совместности:
C
Cr + C2 — fi [-4 Ao K3(fil ) +
Q
+Ai Ko (fil ) + K2(fil)] DoP
(13)
(14)
Ki(fil )] — - Dn [Ci(1 + m) - (17)
Dofi3[-4Ao Ki(fil ) - (15)
(16)
получаем систему четырех уравнений (14)—(16) для нахождения последних четырех постоянных интегрирования Q, С2, A, A •
По найденным внутренним силовым факторам можно определить напряжения во всех точках пластины и оболочки и сделать соответствующие выводы о полученных геометрических параметрах оболочечно-пластинчатого элемента.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бояршинов С.В. Основы строительной механики машин. - М.: Машиностроение, 1973. -456 с.
2. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин: Справочник. -М.: Машиностроение, 1993. - 640 с.
3. Долотов А.М., Огар П.М., Чегодаев Д.Е. Основы теории и проектирования уплотнений пнев-могидроарматуры летательных аппаратов: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 2000. -296 с.: ил.
4. Расчеты на прочность в машиностроении/Под ред. С.Д. Пономарева - М.: Машгиз. Т. 1. -1956. - 884 с. Т. 2. - 1985. - 974 с. Т. 3. - 1959. -1118.
УДК 531.391 Чайкин Сергей Васильевич,
к. ф.-м. н., старший научный сотрудник Института динамики систем и теории управления СО РАН. Т. (3952) 45-30-32, e-mail: schaik@yandex.ru
Банщиков Андрей Валентинович, к. ф.-м. н., доцент, старший научный сотрудник Института динамики систем и теории управления СО РАН. Т. (3952) 45-30-53, (3952) 45-30-12, e-mail: bav@icc.ru
УСЛОВИЯ ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ОДНОГО КЛАССА РАВНОВЕСИЙ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСТАТА
НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
r
o
S. V. Chaikin, A. V. Banshchikov
CONDITIONS FOR GYROSCOPIC STABILIZATION OF THE CERTAIN CLASS OF EQUILIBRIUMS OF SYMMETRICAL GYROSTAT ON A CIRCULAR ORBIT
Аннотация. В ограниченной постановке рассматривается движение симметричного гиростата по кеплеровой круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил. Исследуются необходимые условия устойчивости и условия гироскопической стабилизации одного класса равно-
весий корпуса гиростата относительно орбитальной системы координат.
Ключевые слова: устойчивость движения, степень неустойчивости, гироскопическая стабилизация, системы неравенств.
Abstract. The motion of symmetrical gyrostat on Keplerian circular orbit in central Newtonian field
иркутским государственный университет путей сообщения
offorces is considered in the restricted formulation of problem. The necessary stability conditions and conditions for gyroscopic stabilization for the certain class of equilibriums of gyrostat's core with respect to the orbital coordinate system are researched too.
Keywords: stability of motion, degree of instability, gyroscopic stabilization, system of inequalities.
Введение
Данная работа, как и ряд предшествующих работ (см., например, [1-3]), посвящена изучению различных аспектов устойчивости и стабилизации относительных равновесий орбитального гиростата.
1. Постановка задачи. Относительные равновесия
Гиростат представляет собой твердое тело, в котором произвольным образом зафиксирована ось вращающегося с постоянной угловой скоростью уравновешенного маховика. При этом два момента инерции гиростата относительно главных центральных осей инерции равны. Система (массы m) движется в центральном ньютоновском поле сил так, что ее центр масс O вращается с постоянной орбитальной угловой скоростью W по кеп-леровой круговой орбите радиуса R вокруг притягивающего центра. Далее будем пренебрегать взаимным влиянием движения гиростата вокруг центра масс O и движением последнего по орбите - так называемая ограниченная постановка задачи орбитального движения [4].
С помощью самолетных углов а, Д у (рис. 1) определяем положение гиростата (осей Oxk) относительно правой орбитальной системы координат Oyk (ак - орты соответствующих осей). Ось Oy3 направлена по местной вертикали - радиусу-вектору, проведенному из притягивающего центра в центр масс гиростата; ось Oy2 направлена по нормали к плоскости орбиты так, что ш = са2 , где с =| ш |.
Не ограничивая общности, введем жестко связанную с корпусом гиростата правую прямоугольную декартову систему координат Oxlx2x3
с полюсом O в центре масс гиростата и осями, направленными по его главным осям инерции, так, что B > A = C и h3 = 0, hx > 0, h2 > 0. Здесь
A, B, C - моменты инерции системы относительно осей O x1, Ox2, Ox3 соответственно, hk - проекция вектора гиростатического момента системы (кинетического момента маховика), деленная на с, на
ось Oxk (ik - орт оси). В осях Oxk матрица ком-
понентов [I] тензора инерции I является диагональной, [I ] = diag (A, B, C).
Рис. 1. Орбитальная и связанная системы координат
При этом потенциал сил гравитации П g определяем приближенным выражением [4]:
„ um 1 2
Пст + (3 a.Ia, - tri),
g R 2 3 3
где u - произведение гравитационной постоянной на массу притягивающего центра.
Уравнения, описывающие относительные равновесия - состояния покоя корпуса гиростата относительно орбитальной системы координат, хорошо известны, см., например, [1, 2]. Далее используется их вид, предложенный в [3]. В рассматриваемом случае уравнения выписываются следующим образом:
a23 = 0 , a221 + a222 = 1 ,
С a21h2 - a22h 1 + (B " A) a21 a22 = 0
[a3 =± a x (i a2 + h /4), a = ax a, a2lh2 - a22h + 4 (B - A) a21 a22 = 0,
(1)
(2)
[Я] =+ (1а2 + К)х а2, а3 = а ха2 • Здесь и далее ак{ = ак ij, х - векторное произведение. Уравнения (1), (2) относительно неизвестных а2к определяют орт а2 в равновесии, а затем
по значению а2 находятся по соответствующим формулам орты а1 и а3 .
Замечание. Таким образом, для гиростата с осевой симметрией имеются лишь два класса относительных равновесий (см. общепринятую классификацию равновесий, например в [1]):
21
= sin Д0, a22 = cos^Q.
M =
fB гоз2Д + Asin^0 0
0 A sin^0 A 0 0A
Л
a) равновесия второго класса (в нашем случае задаются уравнениями (2)), когда по касательной к орбите в центре масс гиростата в ту или другую сторону направлена главная центральная ось инерции гиростата (в нашем случае O x3 ), две другие оси ( O x1 и O x2 ) не совпадают ни с одним из ортов ± а2 ; при этом вектор гиростатического момента системы (вектор направлен по h) в равновесии перпендикулярен aj;
b) равновесия третьего класса (в нашем случае задаются уравнениями (1)) характеризуются тем, что вдоль местной вертикали в ту или другую сторону направлена главная центральная ось инерции гиростата (в нашем случае O x3 ), ни одна из других осей связанной системы координат не совпадают ни с одним из ортов ± а2 ; при этом вектор гиростатического момента системы в равновесии перпендикулярен а3 .
Далее займемся получением необходимых условий устойчивости относительных равновесий гиростата на круговой орбите, определяемых уравнениями (1), и параметрическим анализом условий их гироскопической стабилизации [5].
В соответствии с введенными углами поворотов (см. рис. 1) относительные равновесия (<зг = 0, /? = О, у = 0), задаваемые системой уравнений (1), будем определять следующими их значениями:
а = а = 0, J3 = fl0= const, у = у= 0, (3) или |а = а0=^, f3 = P0= const, у = у= 0 }, а значение угла Д определяется из (1) при
Í 0 §12 0 1
G = а - §12 0 §23
1 0 - §23 0 J
кососимметричная
матрица гироскопических сил, здесь
gu= к совД - к 8тД + (А - В) в1п2Д; g23 = к2 + (В - 2 А) со$,Р0 и К - симметричная матрица потенциальных сил:
л\-2 о п о/п о
K = а2
3(B - A)sin2 Д 0 3(B - A)sin Д
0
k 22
3(B - A)sin Д 0
0
k33
где k22 = (B - A) cos 2Д + h sin Д + h, cos Д;
k33 = (B-A)(3 + cos Д) + h2cosД0. Отметим, что условия положительной определенности матрицы K совпадают с достаточными условиями устойчивости [6] исследуемого решения (3).
Введем безразмерные параметры:
Hi= 17; H2= %; J=A; pc = cosA; ps = sin$>
B B B
Значения параметров лежат в интервалах:
-1< pc <1; H2 > 0; -U J <1;
(5)
Замечание. При различных значениях к, к2 е (0, да) уравнение (1) в этом случае, как легко можно показать, имеет решением минимум два различных вещественных значения Д е[0,2^) и максимум четыре (также различных) вещественных значения. 2. Уравнения движения Представим линеаризованные в окрестности решения (3) уравнения движения в виде
Мс[ + Ос[ + Kq = 0, (4)
где q = (а, (, у)т - вектор обобщённых координат; М - положительно-определенная матрица кинетической энергии
(рс * 0; рз = ±д/1 -р2с ; Н > 0).
Ограничения на параметр 3 следуют из условий В < А + С; С = А. Отметим, что при значениях рс = 0 (р8 = 0) из (1) следует к = 0 (к 1 = 0), а это противоречит Н, #2 е (0, да)
В новых обозначениях разрешим (1) относительно Н1 :
H =
_ps ( H2 + (1 - J) pc )
(6)
Перепишем уравнения первого приближения (4) в новых обозначениях, где все производные берутся по безразмерному времени т = сС. Представим матрицы этих уравнений с учетом (6):
( т 2 , 2 п. Л
Jp,2 + p2 0 pJ
G =
M =
f 0
pcps(1 - J) 0
J 0
0 pJ
pcps(J - 1) 0
pc( 2 J -1)-H 2
0 J
0
H2 + pc(1 - 2J) 0
c
иркутским государственный университет путей сообщения
к =
3(1 - J)(1 - p2 ) 0 3ps (1 - J)
3Ps (1 - J)
22 0
¿33
(7)
к22 =(1 - 3) Р2С+ ^; ^33 = Н2 Рс + (3 + рс2)(1 - 3). Рс
Выписав характеристическое уравнение системы: аег(ЫХ2 + С! + К) = у3Л6+ У2Л4+ ^2+ У0 = 0, (8) устанавливаем, что в коэффициенты V (/ = 0,2) параметр р, входит только в квадрате. Учитывая,
2 2
что рс + р5 = 1, легко исключить параметр р,. Представим коэффициенты уравнения (8), зависящие от трёх параметров рс, 3, Н2 , в явном виде:
уо = 3(1 - 3 )(1 - рс2)( Н2 +(1 - 3) рс)(Н2 +(1 - 3) рС); VI = Н2 (3 - 2рС - 23 (1 - рС)) +
(1 - 3) рс (3 + 2 рС - 23 (1 - рС ))-
(1 -3)рс (3(7рс2 -3)-4рс2);
У2= Н2 (3 + (1 -3)рс) + Н2рс (1 -3)(3 + (2 -3)рС) +
+ (3 -1)2 рс4 + (3 - 23) 3рс ; = 32р^ (9)
3. Анализ матрицы потенциальных сил В соответствии с теоремами Кельвина - Че-таева [5] начнем изучение вопроса об устойчивости решения (3) с анализа матрицы К потенциальных сил.
Заметим, что йе1К = V). Выпишем условия положительной определенности матрицы К из (7):
(10)
+H 2 (1 - J
— II — -
(1 -J)(1 -p2)>0, ¿22 >0, Vo>0.
л I -<J<1
(11)
Отметим, что первое условие в (10) всегда выполняется с учетом значений параметров из интервалов (5). Последнее неравенство в (10) сводится к неравенству pc (H2 + (1 - J)pc) >0 , исходя из явного вида v0 в (9).
Символьное решение системы неравенств (10) получено с помощью функции Reduce пакета Mathematica и имеет вид
((-1<pc <0л0<H2 <(J-1)pC)v(0<pc <1 лH2 > 0))
Рис. 2. Области с положительно определенной матрицей К
Из полученных решений видно, что для положительной определённости матрицы K на интервале 0 < pc <1 нет ограничения сверху для значения H2, а на интервале -1< pc <0 имеется ограничение: 0 < H2 <1/2 .
При выполнении условий (10) рассматриваемое равновесие системы устойчиво. Известно [5], что в этом случае при действии гироскопических и диссипативных сил устойчивость равновесия сохранится. Если положение равновесия неустойчиво под действием одних потенциальных сил, то из теоремы Кельвина - Четаева о влиянии гироскопических сил следует, что гироскопическая стабилизация возможна только для систем, имеющих четную степень неустойчивости.
Если предположить, что главный диагональный минор 2-го порядка матрицы K отрицателен, т. е. ¿22 <0, то система будет неустойчивой и можно поставить вопрос о возможности гироскопической стабилизации.
Известно, что четность (нечетность) степени неустойчивости по Пуанкаре определяется положительностью (отрицательностью) определителя матрицы потенциальных сил.
Символьное решение системы неравенств, определяющих область с четной степенью неустойчивости, найдено с помощью функции Reduce [ ¿22 < 0 л v0 > 0 , {J, pc, H2} ] и имеет вид
1< J <1 Л-1< pc <0 л H 2 > - pc (1-J).
Для графического представления решения Графическое представление этой области приве-системы неравенств (10) (см. рис. 2) использова- дено на рис. 3. лась функция RegionPlot3D пакета МаШешайса. В затененных областях рисунка матрица К положительно определена.
Я?-5
1.0 -1.0
Рис. 3. Область с четной степенью неустойчивости Из полученных решений следует, что все
значения угла Д е
л/ 3л/ /2 , /2
Рис. 4. Срез областей с различными степенями неустойчивости при Н2 =1/10
чивость в таких системах возможна только в случае, когда все корни многочлена будут чисто мнимыми, а, соответственно, корни относительно X являются вещественными отрицательными числами.
Необходимые условия устойчивости, обеспечивающие требуемые свойства корней, представляют собой систему неравенств [7]:
У3 > 0, ус > 0, у > 0, V, > 0,
У уС - 4у3 Уз - 4УС v0+18v3 vс v1 v0 - 27у^ V2 > 0.
(12)
при нс > У^ при-
надлежат области с четной степенью неустойчивости.
Для наглядности на рис. 4 приводится срез областей с различными степенями неустойчивости
при н2 = . Области неустойчивости: наиболее
темные - с нулевой степенью (т. е. в них выполняются условия (10) и решение (3) устойчиво), более светлая - с четной степенью (т. е. в этой области система неустойчива, но detK >0 ), вне выделенных областей система имеет нечетную степень неустойчивости (т. е. detK <0 ).
Заметим, что У3 = detM, следовательно, первое условие в (12) выполняется в силу положительной определенности матрицы кинетической энергии. Последнее неравенство в (12) также получено в аналитическом виде, но в силу его громоздкости в явном виде не представлено. Отметим, что его выражение представляет собой полином восьмой степени по параметру Н2 с ненулевыми коэффициентами, зависящими от параметров рс, 3.
Известно, что для положительно-определённой матрицы К на интервалах из (11) все неравенства (12) выполняются.
В случае отсутствия положительной определенности матрицы К , для обнаружения свойства гироскопической стабилизации необходимо выяснить, в какой части области, изображенной на рис. 3, выполняются неравенства (12). Ответ на этот вопрос дается с помощью функции RegionP¡otЗD и представлен на рис. 5.
4. К вопросу о гироскопической стабили-
зации
Рис. 5. зб-область гироскопической стабилизации
2Б-представление (рис. 6) решения системы
Характеристическое уравнение (8) содержит неравенств (12) наглядно показывает, что гиро-X только в четных степенях. Известно, что устой-
иркутским государственный университет путей сообщения
скопическая стабилизация возможна не во всей области с четной степенью неустойчивости, а только в ее заштрихованной части.
Рис. 6. Срез области гироскопической стабилизации при Н2 = 1/10 Заключение
Для одного из двух возможных классов относительных равновесий симметричного гиростата получены необходимые условия устойчивости и проведен параметрический анализ условий гироскопической стабилизации. При выполнении символьных расчетов и численного моделирования в качестве инструментального средства использовались функции пакета компьютерной алгебры МаШетайса и программный комплекс LinModel [8]. Представленные исследования предваряют дальнейшую работу по устойчивости и стабилизации относительных равновесий несимметричного гиростата.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Longman R.W. Gravity-Gradient stabilization of gyrostat satellites with rotor axes in principal planes // Celestial Mech., 1971. - № 3. - P. 169188.
2. Сарычев В.А., Мирер С.А., Дегтярев А.А. Динамика спутника-гиростата с вектором гироста-тического момента в главной плоскости инерции // Космические исследования. - 2008. - Т. 46, № 1. - С. 61-73.
3. Чайкин С.В., Банщиков А.В. Анализ множества относительных равновесий спутника-гиростата // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. - № 3 (27). - С. 38-42.
4. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. - 416 с.
5. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 535 с.
6. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников // Итоги науки и техники. Исследование космического пространства. -М.: ВИНИТИ, 1978. - Т. 11. - С. 5-223.
7. Козлов В.В. О стабилизации неустойчивых равновесий зарядов сильными магнитными полями // Прикладная математика и механика. -1997. - Т. 61, вып. 3. - С. 390-397.
8. Банщиков А.В., Бурлакова Л.А., Иртегов В.Д., Титоренко Т.Н. Программный комплекс LinModel для анализа динамики механических систем большой размерности. // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008610622. ФГУ ФИПС, 1 февраля 2008 г.
