Связь знакоопределенности с приведением к полным квадратам пучка двух квадратичных форм Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 512.647.2: 512.643.77

doi: 10.18097/1994-0866-2015-0-9-7-15

СВЯЗЬ ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ С ПРИВЕДЕНИЕМ К ПОЛНЫМ КВАДРАТАМ ПУЧКА ДВУХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ1

© Новиков Михаил Алексеевич

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Института динамики систем и теории управления СО РАН

Россия, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, e-mail: [email protected]

В статье обсуждается взаимная связь знакоопределенности связки двух квадратичных форм с одновременным приведением этих форм к полным квадратам одним линейным вещественным конгруэнтным преобразованием. Установлена теорема о необходимых условиях знакоопределенности связки двух квадратичных форм. Полученные требования полностью совпадают с условиями одновременной диагонализации матриц этих форм. Достаточные условия знакоопределенности связки двух квадратичных форм составляются для одновременно приведенных к диагональным матриц форм. Наряду с известным способом исследования знакоопределенности связки двух форм предложен альтернативный подход, позволяющий проводить параметрический анализ рассматриваемой задачи.

В прикладных задачах качественного анализа и теории устойчивости движения необходимые условия знакоопределенности связки квадратичных форм применяются на начальном этапе определения области устойчивости. В дальнейшем после диагонализации матриц достаточные условия устойчивости формируются из достаточных условий знакоопределенности связки двух квадратичных форм. Демонстрация полученных результатов проведена на известном решении устойчивости перманентного вращения вокруг вертикальной оси волчка Лагранжа. Для проведения многих вычислительных выкладок, связанных с раскрытием, подстановкой, факторизацией выражений и вычислением определителей матриц, применялась система аналитических вычислений на современных вычислительных средствах.

Ключевые слова: квадратичная форма; знакоопределенность связки двух форм; характеристическое уравнение из двух матриц; одновременная диагонализация двух матриц; конгруэнтное преобразование.

CORRELATION OF SIGN DEFINITENESS WITH REDUCTION TO PERFECT SQUARE

OF TWO QUADRATIC FORMS BUNDLE

Mikhail A. Novickov

DSc, Senior researcher, Institute of System Dynamics and Control Theory, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences

134 Lermontova st., Irkutsk 664033, Russia

The article discussed the interconnection between the sign definiteness bundle of two quadratic forms with simultaneous reduction of these forms to perfect squares by one linear real congruent transformation. The theorem about the necessary conditions for the sign definiteness of a bundle of two quadratic forms was ascertained. The obtained requirements fully coincide with the conditions for simultaneous diagonalization of matrices of these forms. The sufficient conditions for the sign definiteness of two quadratic forms are made up for the matrix forms simultaneously reduced to diagonal ones.

Along with the known method of research the sign definiteness of two forms bundle an alternative approach was suggested. The approach makes it possible to make a parameter analysis of the considered problem.

1 Работа выполнена при частичной поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ (проект N НШ -- 5007.2014.9). Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект N 15-08-06680-А).

In the applied problems of qualitative analysis and the theory of stability of motion, the necessary conditions for the sign definiteness of a bundle of quadratic forms are applied at the initial stage of determining the stability area. Further, after the diagonalization of matrices, the sufficient conditions for stability are formed from the sufficient conditions for the sign definiteness of two quadratic forms bundle. The obtained results are demonstrated on the known solution of the stability problem of permanent rotation around the vertical axis of the Lagrange gyroscope. The system of analytical calculations on the advanced computers had been applied to carry out various computations related with expansion, substitution, factorization of expressions and calculation of matrix determinants.

Keywords: quadratic forms, sign definiteness of two forms bundle, characteristic equation from two matrices, simultaneous diagonalization of two matrices, congruent transformation.

Введение

Устойчивость стационарных движений автономных механических систем более успешно проводится вторым методом Ляпунова [1]. Часто при получении достаточных условий устойчивости применяются знакоопределенные связки Четаева [2], составленные из первых интегралов возмущенного движения. Для линейных и линеаризованных систем первые интегралы представляются квадратичными формами от отклонений. В частности, для двух квадратичных форм в работе [3] установлено, что при возможности получения знакоопределенной связки двух квадратичных форм

Kj(c, х) = х 'M (с) х,

где M (с) = В — а А, при некоторых вещественных значениях с и знакопеременных формах

х Ах, х Вх всегда можно матрицы A и B привести к диагональным одним линейным невырожденным вещественным конгруэнтным преобразованием. Кроме того, в настоящее время не очевиден вопрос о знакоопределенности связки форм K1(a, х) при невозможности одновременной диагонализации соответствующих матриц, не всегда приведенные к полным квадратам квадратичные формы могут составить знакоопределенную связку K1 (с, х).

На основании изложенных рассуждений можно предполагать об отсутствии прямой аналогии между знакоопределенностью пучка нескольких квадратичных форм и приведением к диагональным линейным вещественным конгруэнтным преобразованием соответствующих этим формам матриц. Изучению такой зависимости в самом простом случае двух квадратичных форм посвящена настоящая статья.

1. О необходимых условиях знакоопределенности связки двух квадратичных форм

В случае знакоопределенной связки двух квадратичных форм K1 (с, х) при

знакопеременных х Ах и х Вх [3] линейное диагонализирующее преобразование обех матриц будет конгруэнтным, как и для регулярного пучка матриц [4]. При этом матрицы А и В допускают вырождение, как по частям, так и одновременно. Ортогональное преобразование в случае диагонализации Беллмана [5], можно полагать частным случаем конгруэнтного [4, 6]. Другие виды диагонализирующего преобразования [7] так же будут конгруэнтными, особенно в случае, когда нельзя составить знакоопределенную связку форм.

При исследовании знакоопределенности связки форм K1(c, х) важное значение имеют корни характеристического уравнения, составленного из матриц А и В :

f (Х) = det(В -АА) = 0. (1.1)

Для двух квадратичных форм при большем двух числе переменных, как показывают примеры, не всегда можно составить знакоопределенную связку форм Kl (с, х). Этот вопрос решает следующая

Теорема 1. Достаточными условиями знакопеременности связки двух знакопеременных квадратичных форм Kj(c, х) при любых вещественных значениях ст является одновременная неприводимость матриц А и В к диагональным.

Доказательство. Утверждение основано на предварительном приведении обеих матриц квадратичных форм к более простому виду, и полагаем их одновременно не диагонализируемыми. Как показано в [8], необходимыми и достаточными условиями

одновременной диагонализации матриц А и В являются:

1) корни характеристического уравнения (1.1) должны быть вещественными;

2) кратным корням уравнения (1.1) соответствуют простые элементарные делители. Рассмотрим в отдельности невыполнение каждого из представленных условий. При не

выполнении первого условия пусть, в частности, уравнение (1.1) содержит комплексные корни: = с + ¡й, X 2= с - ¡й, где с, й - вещественные; I — мнимая единица, остальные корни допускаются вещественными в произвольном количестве. Линейным вещественным неособым конгруэнтным преобразованием [9] х = Т1 у (у е Я", Ф 0) можно привести матрицы А и В к блочному виду:

{Ап 0 ^ _ (Вп 0 ^ В =

А =

0

22 У

0В

22 У

При этом первые блоки обеих матриц соответствуют выделенным комплексным корням, и имеют вид

А=

Г1 0 ^

0 -1

В„ =

Л

- с

Для анализа знакоопределенности составим укороченную квадратичную форму

((с-о) й Л

Кц(о, У1, У2) = (У1, У2)М1(^)(У1, У2); где №1(0) =

^ й (а- с))

При знакопеременной связке форм К11(с, у1, у2) знакопеременной будет и связка форм К1 (с, х) вследствие неособенности преобразования не зависимо от структуры матриц А22, В22. Легко видеть, что главным минором второго порядка матрицы М1 (с) здесь является йв(М 1 = -[(с-с)2 + й2]. Наличие отрицательного главного минора четного порядка матрицы квадратичной формы соответствует знакопеременности формы по теореме Якоби [4]. Так как здесь минор второго порядка отрицателен при всех вещественных с, то исходная связка К1 (с, х) знакопеременна.

Пусть далее кратному вещественному корню X j = а кратности 2к (при нечетной кратности один из корней Xj = а можно отнести к остальным вещественным некратным корням)

уравнения (1.1) соответствуют непростые элементарные делители (притом все, в противном случае часть простых корней Xj = а можно так же отнести к другой группе вещественных

корней). Неособым линейным вещественным конгруэнтным преобразованием [9] х = Т2у(у е Я", йвТ2 Ф 0) приведемматрицы А и В к блочным:

Г А„ 0 ^

А=

0

Г В„ 0 ^

В=

44 у

0В

44 У

где начальные блоки порядка 2к имеют вид

А„ =

(Ек 0 ^

V 0 " Ек У

и участвует квадратная матрица порядка к :

(0 0

00

Взз =

0 0

((аЕк +10) I.

(~аЕк +10),

0 1

1 ^

0

0 1 0

1 0 0

00

00

0

При таком представлении знакопеременность связки К1(а, х) может быть выявлена при знакопеременности одной из связок форм:

К12(ст,и) = и М2(ст)и; и е Я2; их = у^, и2 = у2,•••, и2к = У2к;

К1з(а,у) = у'Мз(а)у; V е Я(я"2к); VI = ^ = \-2к = У„,

где М2(а) = В33 -аА33; М3(а) = В44 -стА44. Особый интерес здесь представляет первая связка форм. Связка матриц М2 (с) при обозначении г0 = а — с имеет вид

(Го 0

0 г

00 1 о

о 1 - Г

... 0 ... 1

00 ... 0

— Г ... / Л

1 ^

0

0 0

0

- Г

0 /

0 1 ... 0 0 0

10 ... 0 0 ... 0

Здесь главный минор второго порядка J2 = -г02 -1, составленный из строк и столбцов с номерами к и (к +1), будет отрицательным при любых вещественных значениях с. По теореме Якоби [4] тогда связка квадратичных форм К12(ст, и) знакопеременна. Следовательно, знакопеременна и связка К1(с, х), что и доказывает теорему. Теорема доказана.

2. О достаточных условиях знакоопределенности связки двух квадратичных форм

Как ранее отмечалось, не все приведенные к диагональному виду матрицы могут составить знакоопределенную связку двух квадратичных форм. Найдем дальше условия, при выполнении которых связка К1 (с, х) знакопеременных квадратичных форм х Ах и хВх будет знакоопределена. Пусть заданы диагональные матрицы

А = ¿а ^ a22,■■■, апп Ъ В = ^аё Ь22----- Ьпп Ь

где Ъи = аи'К. (/ = 1,2,^,п); X. - корни уравнения (1.1), в том числе и кратные.

Исходную задачу можно переформулировать в виде эквивалентной: существуют ли вещественные конечные значения а и р, при которых форма

К 2(а,р, х) = х ' (аА + РВ) х может оказаться положительно определенной (при наборе а, р с противоположными знаками связка форм отрицательно определена). Последнее можно выразить системой линейных алгебраических уравнений от двух переменных а, р :

апа + ЬПР = е?,

а22 а + Ь22 р = в

(2.1)

а а + Ь Р = в

пп пп~ п

при некоторых вещественных 81,8 2,..., 8п. Для п >2 система переопределена, но при соответствующих условиях она может быть и совместна [4]. Для упрощения анализа знакоопределенности К2(а,р,х) выделим две подсистемы. К первой отнесем уравнения системы (2.1) в количестве к (1< к < п), для которых а^ <0(5 е{1,2,...,п}) и обозначим а{Г] = а^ <0 (5 е{1,2,^, п};. = 1,2,^, к). Остальные (п - к) уравнений из (2.1) составятвторую

1

Г

0

подсистему, и для нее a-1 = amm > 0 (m e {1,2,..., n}; j = k +1, k + 2,..., n). К первой подсистеме

относятся корни уравнения (1.1) A'f-1 = А. (при 1 < i < k), образующие группу корней Л(_).

Во второй подсистеме находятся корни Aj = X j (при k < j < n), образующие группу Л(+).

В предположении неособой матрицы A вопрос знакоопределенности связки форм может быть решен следующей теоремой П.А. Кузьмина [3], хотя и не сформулированной в явном виде. Теорема 2. Для знакоопределенности связки квадратичных форм Kl(a, x) двух

знакопеременных форм x Ax и xBx, приведенных к полным квадратам, необходимо и достаточно выполнения одного из условий:

1. Ан = maxХ(:) < с < min А(+> = А(+) , (2.2)

max хны-л . шш , min ' V /

<е[1;k] je (k;n]

2. A(+) = max A(+> < с < min A(:> = AH . (2.3)

max j i min

je(k;n] ie [1;k]

Доказательство. В предположении неособой матрицы A обозначим с = -a/ß и система (2.1) в описании двух подсистем запишется:

ä/^A»-a) = в2/ß (i = 1,2,...,k),

(2.1')

[äj+)(A(j+)-a) = в2/ß (j = k +1,...,n). Ввиду a((~) xa)<0 для всех возможных индексов система (2.1) совместна при (А(г' - с) х (А(+) - с) < 0 . Последнее выполняется в двух случаях:

1. (А^ - с) < 0, (Aj - с) > 0; 2. (А1^ - с) > 0, (А^ - с) < 0.. Перебор всех возможных неравенств по всем индексам i е {1,2,^,k}, j е {k +1,^,n} приводит к неравенствам (2.2) и (2.3), что и доказывает теорему. Теорема доказана.

При этом положительной определенности Kl(a,x) соответствует неравенство (2.2), а отрицательной определенности - неравенство (2.3).

Для знакоопределенной формы Vl(x) все А (j = 1,2,^,n) относятся к одной группе

корней. В практических исследованиях нужное значение с тогда определяет

Замечание 1. При знакоопределенной форме V (x) значение с для знакоопределенности связки квадратичных форм Kl(a,x), приведенных к полным квадратам, определяется:

1. с > А» в случае отрицательно определенной V (x);

2. с > X^mOx в случае положительно определенной Vj(x).

Конечно, существуют и другие способы исследования знакоопределенности связки форм. В частности, можно предложить подход, основанный на последовательном анализе трех строк в системе (2.1):

a a + b ß = в2 ,

pp ppr p'

a a + b ß = e2, (2.4)

11 11* 1

^ a + brr ß = в2,

где p, q, r e {1,2,^, n}; p Ф q; p Ф r; q Ф r . Условием совместности системы (2.4) будет

det

f a b

pp PP p

a bqq в2

qq qq q

a brr в2

у rr rr r /

= 0.

Раскрывая последний определитель, запишем

Д(в ,, в,, в г ) = в2 + в 2 + в 2=0, где S = а Ь - а Ь , S = а Ь - а Ь , S = а Ь - а Ь . В зависимости от вида А(в , в , в )

^ р дд гг гг дд? д гг рр рр гг ' г рр дд дд рр 'г^"- V р ? д? г '

можно получить следующие заключения:

1. если форма A(s , в , s r) знакоопределеиа при хотя бы одном допустимом наборе индексов p, q, r е (1,2,..., n}, то связкаформ K2(а, р, x) знакопеременна;

2. если форма А (в p, в q, в r) знакопеременна при всех без исключения индексах p, q, r е (1,2,..., n}, то связка форм K2(а, р, x) знакоопределеиа;

3. если не существует ни одного набора индексов pl, ql, rl е (1,2,..., n} , при котором форма А (в , в , в ) знакоопределеиа, и допускаются наборы индексов p2, q2, r2 е (1,2,..., n}, для

которых форма А(в, в ,в ) знакопостоянна, то связка форм K2(a, р, x) знакопостоянна

(этот случай имеет место при кратных вещественных простых корнях характеристического уравнения (1.1), относящихся к обоим группам корней Л('и Л(+));

4. если не существует ни одного набора индексов pl, ql, rl е (1,2,..., n} , при котором форма А (в , в , в ) знакоопределеиа, и допускаются наборы индексов p2, q2, r2 е (1,2,..., n}, для которыхформа А(в , в , в ) тождественно обращаетсяв нуль, так что система

a - La = 0; о - La =0 (2.5)

p2p2 1 q2q2 ' p2p2 2 r2r2 v /

имеет только положительные решения относительно Ll,L2, то связка форм K2(a, р, x) знакоопределеиа;

5. если не существует ни одного набора индексов pl, ql, rl е (1,2,..., n} , при котором форма А (в , в , в ) знакоопределеиа, существуют наборы индексов p2, q2, r2 е (1,2,..., n}, для

которых форма А(в, в , в ) тождественно обращается в нуль, и имеется хотя бы одно

отрицательное решение относительно Ll или L2 систем (2.5), то связка форм K2(a,р,x) знакопостоянна.

Случай двух переменных, когда анализу подлежит система

aua + buP = Sj2, [a22 a + b22 p = в 2,

единственно допускает знакоопределенную связку только при D = anb22 - a22bn Ф 0. Следовательно, справедлива

Теорема 3. Связка двух квадратичных форм K2(a, р, x) для двух диагональных матриц A и B от двух переменных положительно определена только в единственном случае

a11b22 - a22 bn Ф 0 .

Такой альтернативный подход рассматривается теоретическим, и он может оказаться пригодным к исследованию связок из трех и более квадратичных форм.

Предложенным подходом можно исследовать знакоопределенность связок двух квадратичных форм не только при числовых матрицах A и B, но и проводить параметрический анализ при произвольных вещественных матрицах A и B .

3. Примеры

В прикладных задачах устойчивости стационарных движений автономных механических систем исключением части переменных [3] иногда получаются два независимых первых интеграла возмущенного движения x Ax = const и x Bx = const. По теореме 1 достаточные условия устойчивости определяются, прежде всего, необходимыми условиями знакоопределенности связки интегралов, имеющей выражение Kl (с, x). При этом исключаются условия существования комплексных корней уравнения (1.1), и проводится анализ элементарных делителей кратных вещественных корней. При всех вещественных простых корнях уравнения (1.1) осуществляется линейное вещественное конгруэнтное преобразование x = Ty, приводящее матрицы Ah B к диагональным. Окончательная проверка

знакоопределенности Kj(c, y) будетустановленатеоремой 2. Пусть квадратичные формы заданы матрицами

А =

( 8 - 2 3 ^ - 2 2 - 5 3 - 5 5

В.=

(10 - 4 15 ^ - 4 10 -13 15 -13 - 2

откуда следует исходных форм.

Г 1 17 1 - 5 ^ (19 3 13 3 "

17 - 23 5 11 3 67 - 27 -13

; В2 =

1 5 - 8 - 2 13 - 27 - 2 6

V" 5 11 - 2 - 2, V 3 -13 6 10 ,

Формы знакопеременны, что следует из главных миноров второго порядка обеих матриц. Исключение переменной х3 получает форму

х1, х2) = (7х2 - 2х1 х2 - х22) (19х12 - 30х1 х2 +17х22). Здесь первый множитель принимает значения разных знаков, знакопеременность формы ^ (х1, х2), следовательно, и связки Характеристическим уравнением получается

/1 (X) = det(В1 ~ХА1) = 2(А? - 6А,2 + 21А,- 26) = 0. Решениями последнего являются = 2;X2=2-3/;X3=2 + 3/ (/2= -1). Так как имеются комплексные корни, то по теореме 1 нельзя составить знакоопределенную связку квадратичных форм.

Во втором примере квадратичные формы заданы матрицами

А2 =

Характеристическое уравнение имеет вид

/2 (А,) = det (В2 - ХА2) = 3456(2А,4 - 11А,3 + 7А,2 + 11Х- 60) = 0. Вещественными решениями являются = -2;X2 =2;X3 = 2.5;X4 = 3 . Матрица диагонализирующего преобразования строится по собственным векторам

Т =

2

В результате приведенные к диагональному виду матрицы имеют вид

А2 = Т2, А2 Т2 = 16

По теореме 2 интервал (2; 2.5) обеспечивает положительную определенность связки форм.

Хорошим примером анализа связки двух квадратичных форм можно считать исследование устойчивости перманентного вращения вокруг вертикальной оси [2, 3] симметричного тяжелого твердого тела (волчка Лагранжа). Достаточные условия устойчивости этой известной задачи подробно изучены, они получены ранее в [2] прямым анализом знакоопределенности связки квадратичных форм. Затем в [3] те же условия получены с применением теоремы Финслера [3] для квадратичных форм, и здесь они приводится в качестве примера для демонстрации теорем 1 и 2.

Четыре первых интеграла записываются в виде

1 -1 -11 1 ^

-1 1 3 3

2 2 2 2

2 2 18 6,

12 0 0 0 > ' 24 0 0 01

0 - 2 0 0 0 - 4 0 0

; В2 = Т2, В2 Т2 = 16

0 0 72 0 0 0 180 0

0 0 0 9 V V 0 0 0 27,

A( p2 + q2) + 2z 0 у 3 = const, A( py1 + qy 2) + Cry 3 = const,

Yi2 +Y 2 +Y2 =1,

r = r0 = const,

где z0 - вещественная. Рассматривается устойчивость перманентного вращения волчка Лагранжа

p = q = 0; r = Го = ю; = у2=0; у3=1. (3.1)

Необходимые условия устойчивости (3.1) получены ранее Н.В. Маиевским [2, 3]

Сго > 2^.

Составим отклонения от стационарного решения: x1 = p; x2 = q; x3 = у^ x4 = у2; x5 = у3 -1. Уравнения возмущенного движения имеют первые интегралы:

V0 = Ax2 + Ax22 + 2 z0 x5 = const,

V1 = Ax1 x3 + Ax2 x4 + Cz0 x5 = const, V2 = x32 + x42 + x52 + 2 x5 = 0. При малых значениях k = x^ + x^ из последнего уравнения можно выразить x5 в виде ряда

x5 = -1 + 7(1 -k) = -12k- 18k2 - 116k3 -.... Подставляя x5 в остальные интегралы, получатся выражения F1 (x) = V0 - z0V2 и

F2(x) = V1 - z 0V2, начальные квадратичные части которых F1(2)( x), F2(2)(x) представляются матрицами

A3 =

(A 0 0 0 A 0 0 0 - z„

0 ^ 0 0

00

0 - z,

(0 0 00

B3 =

0 J 0

A 0

A 0 - Crn

0 ^ A 0

0A

0

- Cr

0 J

Характеристическое уравнение из матриц A3, B3 здесь будет таким:

f3(X) = det(B3 -X A3) =

(- AX

det

A (z0 X-Cr)

0/

= ЦТ 2(A ) = 0.

Дискриминант квадратного уравнения

y(A) = z0Х2 - Cr0z0X + A = 0

равен

03 = (Сг0)2 - 4Az0. Здесь при 03 < 0 нельзя составить по теореме 1 знакоопределенную связку форм (х1, х2, х3, х4)(В3 - сА3)(х1, х2, х3, х4) при любых вещественных с . Вещественные корни уравнения у(А) = 0 могут быть только при 03 > 0. Требование 03>0 приводит к условию Маиевского [2, 3] Сг0

Четырехкратный корень X = Сг0/(2z0) уравнения у(А) = 0 приводит к знакопостоянной связке квадратичных форм

K

Cr

СГг1, У V 2z0 у

CAk

2 z„

2 z„

У (

У1 - C~y3

Cr0 J

У 2

2 z0 Cr

У4

Легко показать, этот корень оказывается простым. В этом случае при г0 = 2^Az0 /С

квадратичная часть связки К1 (с, у) = (^2(2) (х(у)) - oF1(1) (х(у))) знакопостоянна, и дальнейшее исследование устойчивости перманентного вращения можно проводить только привлекая члены выше второго порядка в выражениях функций F1 (х(у)), F2 (х(у)). Не обсуждая

2

2

проведения анализа в этом случае, как показано в [10], достаточные условия устойчивости перманентного вращения совпали с необходимыми.

Следовательно, условие Маиевского [3] допускает для устойчивости (3.1) обращение в равенство.

Заключение

В статье установлено, что необходимым условием знакоопределенности пучка двух квадратичных форм являются необходимые и достаточные условия одновременной диагонализации соответствующих матриц.

Нахождение достаточных условия знакоопределенности связки двух квадратичных форм опирается на более простой анализ после приведения соответствующих матриц к диагональному виду. Показано сочетание использования необходимых и достаточных условий знакоопределенности связки форм. Исследование знакоопределенности связки двух квадратичных форм большего числа переменных, хотя и представляет сложный параметрический анализ, но дает возможность получить конечный результат. Демонстрация этого наглядно иллюстрируется приведенным примером.

Литература

1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения // Собрание сочинений. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. - Т. 2. - 263 с.

2. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 535 с.

3. Кузьмин П. А. Малые колебания и устойчивость движения. - М.: Наука, 1973. - 206 с.

4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 576 с.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Наука, 1976. - 351 с.

6. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989. - 655 с.

7. Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. - М.: Наука, 1966. - 555 с.

8. Новиков М.А. О диагонализации матриц трех квадратичных форм // Оптимизация, управление, интеллект. - 2000. - № 5, ч. 1. - С. 150-156.

9. Новиков М.А. О приведении матриц квадратичных форм к взаимно упрощенным // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. - № 2 (26). - C. 181-187.

10. Румянцев В.В. Сравнение трех методов построения функций Ляпунова // Прикладная математика и механика. - 1995. - Т. 59, вып. 6. - С. 916-921.

References

1. Lyapunov A. M. Obshchaya zadacha ob ustoichivosti dvizheniya [A General Problem of Motion Stability]. Moscow-Leningrad: USSR Academy of Science publ., 1956. V. 2. 263 p.

2. Chetaev N. G. Ustoichivost' dvizheniya. Raboty po analiticheskoi mekhanike [Stability of Motion. Works on Analytical Mechanics]. Moscow: USSR Academy of Science publ., 1962. 535 p.

3. Kuz'min P. A. Malye kolebaniya i ustoichivost' dvizheniya [Small Vibrations and Stability of Motion]. Moscow: Nauka, 1973. 206 p.

4. Gantmacher F. R. Teoriya matrits [The Theory of Matrices]. Moscow: Nauka, 1967. 576 p.

5. Bellman R. Introduction to Matrix Analysis. New York, Toronto, London: McGrow-Hill Book Company, 1960. 348 p.

6. Horn R., Johnson C. Matrix Analysis. New York: Cambridge University Press, 1985.

7. Burbaki N. Algebra. Moduli, kol'tsa, formy [Algebra. Modules, rings, forms]. Moscow: Nauka, 1966. 555 p. (transl. from Fr.)

8. Novikov M. A. O diagonalizatsii matrits trekh kvadratichnykh form [On Diagonalization of Matrices of three Quadratic Forms]. Optimizatsiya, upravlenie, intellect - Optimization, Control, Intellect. 2000. No. 5. Part 1. Pp. 150-156.

9. Novikov M. A. O privedenii matrits kvadratichnykh form k vzaimno uproshchennym [On Reduction of Matrices of Quadratic Forms to Mutually Simplified]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie - Modern Technologies. System Analysis. Modelling. 2010. No. 2 (26). Pp. 181-187.

10. Rumyantsev V.V. Sravnenie trekh metodov postroeniya funktsii Lyapunova [Comparison of three Methods for Lyapunov's Function Construction]. Prikladnaya matematika i mekhanika -Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1995. Bk. 59, V. 6. Pp. 916-921.