CC BY
8
УДК 512.647.2: 512.643.77: 512.643.72: 531.36 Новиков Михаил Алексеевич
к.ф.-м.н., с.н.с., Учреждение Российской академии наук Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952)45-30-96, e-mail: nma@icc.ru
О ДИАГОНАЛИЗАЦИИ И ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ ПУЧКА ТРЕХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
M.A. Novikov
ON DIAGONALIZATION AND SIGN DEFINITENESS OF THE PENCIL OF THREE QUADRATIC FORMS
Аннотация. В статье установлено частичное соответствие между диагонализацией трех симметрических матриц и знакоопределенностью пучка трех квадратичных форм, построенных на этих матрицах. Знакоопределенные связки трех квадратичных форм могут быть получены как для одновременно диагонализируемых трех соответствующих этим формам матриц, так и не диагонализируемых, даже попарно. Полученные достаточные условия знакопеременно-сти связки трех квадратичных форм частично состоят из нарушенных условий диагонализации соответствующих матриц. Составлена схема анализа знакоопределённости пучка трех квадратичных форм.
Ключевые слова: связка квадратичных форм, знакоопределенность, знакопеременность, знакопостоянство.
Abstract. The paper states partial correlation between diagonalization of three symmetric matrices and signdefiniteness of a pencil of three quadratic forms constructed on these matrices. The signdefinite bundle of three quadratic forms may be obtained both for three simultaneously diagonalized matrices corresponding to these forms of matrices and non-diagonalized matrices even pairwise. The obtained sufficient conditions of sign variability of the bundle of three quadratic forms are partially due to the violated conditions of diagonalization of the corresponding matrices. A scheme of analysis of sign defi-niteness for a pencil of three quadratic forms is proposed.
Keywords: the pencil of quadratic forms, sign-definiteness, sign-variability, sign-constancy.
Введение
В теории устойчивости движения часто в качестве функций Ляпунова используются интегра-
лы и связки первых интегралов [1]. В случае квадратичных форм этих интегралов возникает необходимость привлечения теоремы Финслера [2]. Связь диагонализации двух матриц квадратичных форм с знакоопределенностью пучка двух квадратичных форм обсуждалась в статье [3]. Точно такой же вопрос для трех квадратичных форм ставится в настоящей статье.
Кроме того, интерес к теореме Финслера возникает и в вопросах знакоопределенности форм четного высшего порядка и большего числа переменных [4, 5].
1. О необходимых условиях знакоопределенности связки трех
квадратичных форм
Приведение к диагональным трех вещественных симметрических матриц предполагает существование линейного вещественного неособого преобразования Т, так что матрицы Т АТ,
ТВТ, ТСТ получаются диагональными. Этот вопрос решает
Теорема 1 [6, 7]. Для одновременной диагонализации трех вещественных симметрических матриц А, В, С одним линейным вещественным неособым конгруэнтным преобразованием необходимо и достаточно выполнения трех условий:
1) матрицы А и В одновременно диаго-нализируются,
2) матрицы А и С одновременно диаго-нализируются,
3) В А1 С = С А'1 В.
Здесь для диагонализации двух матриц, например А и В, предполагается выполнение необходимых и достаточных условий [7]:
1) решениями характеристического уравне-
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
ния det (В — Я А) = 0 являются только вещественные значения,
2) матрица (В - Я, А) для всех / = 1,2,..., и (где п - порядок матриц) имеет только элементарные делители.
В случае невозможности одновременной диагонализации двух матриц можно рассматривать приведение также линейным вещественным конгруэнтным преобразованием к взаимно упрощенным [3].
Под знакоопределенностью пучка трех квадратичных форм
К (а, 3,у, х) = х' М (а, 3, у) х, где М(а, 3, у) = аА + /ЗВ + уС , понимается существование некоторых вещественных значений а,/,у, при которых форма К (а,/,у, х) знако-
определена. Следует сразу отметить, что не для всех приведенных к диагональным матриц может быть знакоопределенность К (а, 3, у, х) . Это очевидно хотя бы на следующем примере 1:
А =
(1 0 0 — 1 00
0 1 0 2
В =
(1 0 0 — 2 00
0 1
0
4
С =
Здесь матрица М(а, 3, у) = ((а + /+у) 0
0 — (а + 2/ — 4 у) 00
(1 0 0 —1 00
0 0
0 1
0
2
V
имеет
А =
0 —1 0 0
В =
С =
0 1 1
, V0 1 . ,
Легко проверить, что третье условие теоремы о диагонализации здесь не выполняется. При этом связка форм с матрицей М(а,/,у) =
((а + 3 + у) 0 0 1
0 (а+3 + у) (3 + у)0
0 (3 + у) (а + 23 + 3 у),
будет положительно определенной при любых а > 0, 3 >0, у >0 .
Кроме того, существуют примеры, когда для трех одновременно недиагонализируемых, даже попарно, матриц А, В, С можно получить знако-определенную связку форм К (а, 3, у, х) .
Пример 3. Пусть
А =
(1 0 0 0 1 (—5 2 0 01
0 —1 0 0 2 5 0 0
, В =
0 0 1 0 0 0 — 4 0
V 0 0 0 — ,0 0 0 I2,
С =
е 2 0 0 0
o^ 0 2
2 — 3
Можно показать, что, например, при
, у = 3 связка матриц
(2 4 0 01
4 10 0 0
М (а, 3, у) = 0 0 7 6
ч 0 0 6 9,
2(а + 23 — 4 у)у минор второго порядка
J2= К22 К33 = — 2 (а + 23 — 4у)2 < 0. Этого достаточно [8, 9], чтобы форма К(а,3,у,х) не была знакоопределена. Ввиду значений (а + 3 + у) любого знака на множестве (а + 23 — 4у) = 0 делаем вывод о знакопеременности связки квадратичных форм К (а, 3, у, х) при любых значениях а, 3, у.
Вместе с тем существуют примеры, где связка одновременно недиагонализируемых форм может быть знакоопределенной.
Пример 2. Пусть (10 0 1 (10 0 1 (10 0 ^
соответствует положительно определенной квадратичной форме.
Поэтому, как и в [3], уместно поставить вопрос о нахождении условий, гарантирующих зна-копеременность пучка квадратичных форм К(а,3,у, х) . Конечно, эти условия должны быть выражены через элементы матриц А, В, С .
В дальнейшем будут рассматриваться характеристические уравнения
/ (Я) = det (В — Я А) = 0, (1.1) /2(м) = det (С — ^ А) = 0. (1.2)
Матрица А предполагается неособой. Имеет
место
Утверждение 1. Для знакопеременности связки трех квадратичных форм К(а,3,у, х) достаточно выполнения трех условий:
1) матрицы А и В одновременно не диа-гонализируются,
2) матрицы А и С одновременно не диа-гонализируются,
3) ВА— С = С А'1 В.
Доказательство. Согласно [6, 7], рассмотрению подлежат три возможности выполнения первых двух условий утверждения:
1) уравнение (Я) = 0, кроме вещественных, допускает комплексные решения, и уравне-
иркутским государственный университет путей сообщения
ние f (и) = 0 , кроме вещественных, допускает комплексные решения,
2) уравнения (1.1) и (1.2) имеют только вещественные решения, и допускаются соответствующие непростые элементарные делители,
3) уравнение f (Л) = 0 имеет только вещественные решения, причем допускаются непростые делители, и уравнение f (и) = 0, кроме вещественных, допускает комплексные решения.
В первом случае будем полагать одну пару комплексно-сопряженных корней уравнений (1.1) и (1.2). Для других случаев полагаем корень Л = c кратности 2k с непростыми элементарными делителями (B — cA) .
Согласно [10], линейным вещественным неособым конгруэнтным преобразованием T матрицы A и B можно привести к взаимно упрощенным:
Г All 0 1 „„ Г Bii о 1
T\ AT 1 =
0
T' B T =
22
0 B
22 m
T \ CT =
ii
C'C
C 1
C12
12 22 У
где одноименные блоки имеют такую же размерность, что и Ajj, а матрица С12 в общем случае
предполагается отличной от нуля.
Третье условие утверждения разлагается в блочные равенства
r л—1 г =г л-1 r Bii Aii Cii Cii Aii Bii,
R Л-i С = С Л—1 R B11 A11 v-i2 12 a22 b22 '
(i.3)
B22 A^ C22 = C22 A—i B22.
Дальше проведем анализ каждого из возможных случаев.
А. В случае только комплексных корней уравнений (1.1) и (1.2) положим
Cu =
где c - вещественные (j = i, 2, 3) . Первое из
Г Ci С 1 С2
v C2 С3 у
матричных равенств (1.3) приводит к необходимому: с3 = — с. Тогда в пучке матриц
M(а, Д,у) = T\ M(а, Д,у) Т главный минор второго порядка будет следующим:
/ (а + Д + (ДЪ + 1
= ае =
I (Д + УС2) — (а + Да +
= —[(а + Да + с)2 + (Д + ^2)"].
При не всех одновременно равных нулю значениях а, Д, у величина <0. Согласно теореме Якоби [8, 9], отрицательного главного минора четного порядка достаточно для знакопе-ременности связки форм Т \ К(а,Д,у, х) Т, следовательно, и связки форм К(а,Д,у, х) .
Б. Во втором случае приведем предварительно матрицы А и В к взаимно упрощенным [10]
Aii =
Г E
0
0 — E
Л d Г (aEk + Л) ; Bii =
k У
где
где квадратные матрицы Ап, Вп порядка т соответствуют в первом случае комплексным корням Л = а + /Ъ; Л = а - /Ъ уравнения (1.1) (здесь
т = 2; /2 = —1), и в остальных случаях - кратному вещественному корню Л = с с непростыми элементарными делителями (В — сА) (здесь т = 2к). При этом квадратные матрицы А2, В22 порядка (п — т) соответствуют всем простым корням уравнения (1.1). Этим же преобразованием матрица С приведется к
Г С
Ii =
Г 0 0
0 i
Ii
0 i
0 0
Ii
(—aEk + Ii)
11
0
0 0
Ек - единичная матрица порядка к . При этом можно считать к = 21, где I - целое, иначе элемент матрицы Д с номерами (I +1) строк и
столбцов должен быть равен нулю, и тогда он является простым корнем и его можно отнести к группе А22, В22. Легко проверить, что первое матричное соотношение (1.3) исключает диагональную структуру матрицы С , и поэтому представим ее в виде
Г А1 £>121 £
Cn =
v D'i2
'22 у
при квадратных матрицах (j, 5 = 1, 2) порядка к . Второе условие утверждения позволяет пред-
ставить D = dEk +12,
Д2= I2,
D22= — dEk + 12,
где а - некоторое вещественное решение уравнения (1.2), /2, = /2 с ^ . В общем виде
12 =
Г 0 0
0
5:
0 0
5
0
51
50
0
У
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
где 5}=0 либо ^ =10 = 1,2, ...,/).
В связке матриц М(а, 3, у) главный минор второго порядка, состоящий из строк и столбцов с номерами к и (к +1) , имеет вид
((а + 3с + у) (3 + уЗ,) 1 ^ = det =
2 ^ (3Ь + у8х) — (а + 3с + у))
= —[(а + 3с + у )2 + (3 + у^ )2]<0. Согласно теореме Якоби [8, 9], отсюда также следует знакопеременность формы К(а, 3, у, я) .
В. В третьем случае второе условие утверждения соответствует существованию к ком-плексно-сопряжеиных корней характеристического уравнения (1.2): //( = + ( / = 1, 2,..., А" ).
Тогда построим матрицы
А 1 =
( dl 0
0 0 (0 0
0
d 2
0 0
d
А 2 =
0 0
гк—1
V ек
( d,,
а22 = —
0
0 d
0 0
к—1
0 0
0 0
0 0
к—1 0
0 dk
0 е11
е 2 0
0 0
0 0
/
0
d 2 0
0 1 0
0
d1
знакопеременности связки форм К (а, 3, у, х) не изменится несмотря на появление дополнительных отрицательных главных миноров матрицы М(а, 3, у).
Следует отметить, что наличие дополнительных комплексных решений или вещественных корней уравнения (1.1) с непростыми элементарными делителями может разве лишь получить добавочные отрицательные слагаемые в форме К (а,3,у, х), что не нарушает знакопеременность К (а,3,у, х) .
Заметим, что третье условие утверждения накладывает достаточно сильное ограничение на виды матриц А, В, С. Так, знакопеременность связки форм наблюдается, например, для матриц
А = í Е , В =
— Е
к
((сЕк +А) 11
(—сЕк + /,)
С =
Из первого матричного равенства (1.3) получаются следующие соотношения на коэффициенты: dk—+ = dj; ек—+= — е/ . Они дают дополнительные ограничения на комплексные решения уравнения (1.2). В связке матриц М(а, 3, у) главный минор второго порядка, состоящий из строк и столбцов с номерами к и (к +1) , имеет вид
((а + 3с + уйк) (3 + е) 1 ^ = aet =
í (3Ь + уек) — (а + 3с + уЛк)
= —[(а + 3с + уёк)2 + (3 + уек)2] < 0 . Согласно теореме Якоби [8, 9], здесь также связка форм К(а,3,у, х) знакопеременна. Следовательно, утверждение доказано.
При отличной от нуля матрице С свойство
( а 0 0 01 0 Ь 10 0 1 — Ь 0 V 0 0 0 d , при любых вещественных а, Ь, с, d , но при этом не выполняется третье условие утверждения. Выразить полученное в терминах исходных матриц А, В, С не удается.
Вместе с тем пример 3 показывает, что при невыполненном третьем условии вместе с первыми двумя условиями утверждения может получиться знакоопределенность связки форм К (а, 3, у, х) .
2. О достаточных условиях знакоопреде-ленности связки приведенных к полным квадратам трех квадратичных форм
Довольно часто при исследовании знакоопределенности связки квадратичных форм К (а, 3, у, х) в соответствии с теоремой 1 возникает возможность осуществить диагонализацию симметрических матриц А, В и С . Конечно, в этом случае анализ будет упрощен. Как и в [3], для получения достаточных условий знакоопределенности К(а,/3,у,х) потребуем, чтобы при любых
вещественных е. Ф 0 ( / = 1,2,..., п ) система
аи а + Ьи 3 + си у = е2,
Ь22 3
у = Вг
(2.1)
а а + Ь 3 + с у = е
пп пп Г пп / п
была совместна, т. е. имела вещественные нетри-
0
0
0
V
иркутским государственный университет путей сообщения
виальные решения относительно а, (, у .
В общем случае предполагаем вначале матрицу А неособой и п >3 . Выделяя в (2.1) какие-либо четыре строки с номерами р, д, г, £
а а
рр
С у = £ .
рр р
В
р
а а + Ь В + с у = £2
gg gg " г& ' g
агг а+ Ьгг ( + Сгг У =
а„ а+ Ьи ( + с„ У = £, составим условие их совместности:
р(р, g, г, £) = £(g, г, £) £2 - £(р, г, £) £ +
(2.2)
+ р, g, £) £ - р, g, г) £2=0,
(2.3)
где
Б(1, у, к) =
V акк
с„ с.
Чтобы представить какую-то геометрическую интерпретацию «разделенности корней» [2], разделим последнее уравнение на (а а а а ), отличное от нуля по условию А Ф 0. В результате форма (2.3) преобразуется в
р( р, g, г, £ ,£) =
_А (g, г, Р) 2 А (р, г, 0 ,
£
А(р, g, £) 2 А(р, g, г) , _
£ -
££ = 0 ,
где
А(/, у, к ) = <
П Л
1 л
1 л
и /к
\
существует вещественных решений, кроме £ = £ = £г = £ =0 . В этом случае связка квадратичных форм К(а,(,у, х) не может быть знако-определенной ни при каких действительных а, (, у. В лучшем случае часть связки квадратичной формы, состоящая из четырех слагаемых с 2 2 2 2
х , х , х , х , может оказаться знакопостоянной.
р g г I
Таким образом, справедливо
Утверждение 2. Если при каких-либо индексах р, д, г, £ для знакопеременных квадратичных
форм х .А х, х В х и х С х с диагональными матрицами А А Ф 0), В и С форма р(р, g, г, £,£) знакоопределена, то связка квадратичных форм К (а, (, у, х) не знакоопре-делена ни при каких вещественных а, (, у.
Дальше рассмотрим вырождение формы (2.3) с меньшим числом слагаемых. Пусть форма (2.3) состоит из трех слагаемых. Не уменьшая общности, полагаем 0(р, g, г) = 0. Тогда между строками в (2.2) существует линейная зависимость:
арр11 + + агг 13=0,
Ьрр11 + + Ьгг ¡3=0,
Срр11 + Сgg 12 + Сгг ¡3 = 0
(2.4)
/ - ко-
Л - корень уравнения (1.1) (я = ¿,у,к) , рень уравнения (1.2).
Выражение А(/,у,к) имеет геометрическую трактовку: если в плоскости Л О / обозначить точки Q(Л), то количественно А(/,у,к) равно удвоенной площади треугольника, построенного на вершинах Q(Лj), Q(Лj), Q(Лk) . При
этом знак А(/,у,к) означает ориентацию (ниже или выше) плоскости Л О
К сожалению, представляется невозможным осуществить сравнение и упорядочение точек плоскости. Поэтому анализ «разделенности корней» здесь проводиться не будет.
Дальше проведем исследование разных видов форм (2.3) и связанных с ними свойств связки квадратичных форм К(а,(,у, х) аналогично [3]. Очевидно, для знакоопределенной формы (2.3) не
при не всех равных нулю ¡х, ¡2, ¡3. Пусть /3 ф 0, тогда из (2.4) можно выразить агг, Ьгг, сгг и, используя свойства определителей [8], получить
Б( р, г, £ ) = - ^ Б( р, g, £);
¡3
Б( g, г, £) = - А- Б( g, р, £ ) = ^ Б( р, g, £).
и
и
Выражение (2.3) при этом приводится к виду
р(р, g, г, £,£) =
_Б(р, g, £) 2,2
и
(¡1 £р + ¡2 £2 + ¡3 £г2) = 0.
Для знакопеременных форм хАх, хВ х и х С х система (2.4) может иметь как решения I, ¡2, ¡3 одного знака, так и решения с разными знаками.
Если значения I, ¡2, ¡3 одного знака, то р( р, g, г, £) = 0 имеет единственное решение £ = £ = £ =0, исключающее знакоопределенность К (а, (, у, х) .
При значениях I, ¡2, ¡3 разных знаков (допуская одно из них равным нулю) часть слагаемых связки К (а, (, у, х) по переменным хр, х2 , хг, х£
может быть и знакоопределенной. Окончательно
а
а
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
этот вопрос решится с другими группами слагаемых связки К (а, /3, у, х) .
Имеет место
Утверждение 3. Если при каких-либо индексах р, д, г, г для знакопеременных квадратичных
форм х А х, х Вх и х С х с диагональными матрицами А (<$вг А Ф 0), В и С форма р(р, g, г, г, е) с тремя слагаемыми знакопостоянна, то связка квадратичных форм К (а, /, у, х) не знакоопределена ни при каких вещественных а, /3, у.
Наличие вещественных ^, ^, ¡3 можно обобщить существованием однопараметрического решения Ь = (1г, ¡2, ¡3, /4) системы
¥ Ь = 0
нулевой
при одной какой-то ¡, =0(7 е{1,2,3,4}), где
(2.5) компоненте
¥ =
Л
Ьрр bgg Ьгг Ьй с с с е.
У РР gg гг й
Дальше рассмотрим большее число равных нулю слагаемых в р(р, g, г, е) . Если вырождение формы (2.3) происходит при существовании каких-либо двух пропорциональных строк в (2.2), то имеет место, например, равенство
а Ь с
гг _ гг _ гг _ (
аи Ьи си
на, то связка квадратичных форм К (а,/,у, х) не знакоопределена ни при каких вещественных а, /, у.
Если вырождение формы (2.3) происходит из-за линейной комбинации трех строк (2.2) (непропорция двух строк), то легко показать 0(г,7, к) = 0 для г, 7, к е {р, g, г, £} . В этом случае существует двухпараметрическое рещение системы (2.5). Если при этом хотя бы один из наборов
решений Ь = (11,12,Аз,¡4) или Ь2 = (¡21,¡22,¡23,¡24) состоит из компонент одинакового знака (не учитывая нулевых), то часть связки К (а,/,у, х) по
переменным х , х , х , х не может быть знакооп-
ределенной.
Обобщением утверждений 3 и 4 является Утверждение 5. Если одно- или двухпараметрическое решения системы (2.5) допускают значения одного знака, исключая нулевые, то связка квадратичных форм К (а,/, у, х) не знакоопределена ни при каких вещественных а, /, у.
Отдельно рассмотрим случай п = 3 , где при вещественных е1 ф 0, е2ф 0, е3ф 0 совместна система
ап а + Ьп /3 + сп у = е2 а22 а + Ь22 / аъъ а + Ь33 /3 + с33 у = е
22 у £2 ' 2
3 .
(2.1')
где 5 - некоторое вещественное. Форма (2.3) в этом случае приводится к
Р(р,g,г,г,е) = 0(р,g,г) (ег2 - 5 е 2) = 0. Очевидно, при 5 >0 анализ сводится к трем строкам (2.2), где возможно существование вещественного решения для ер Ф 0; е&Ф 0;
егФ 0; е1Ф 0. Окончательно знакоопределенность К(а,/,у, х) будет решаться другими строками связки квадратичных форм.
При 5 <0 , где единственно ег = 0 = е1, часть слагаемых связки К (а,/,у, х) по переменным х , х , хг, х, как и раньше, не может быть
знакоопределенной.
Таким образом, справедливо
Утверждение 4. Если при каких-либо индексах р, д,г, £ для знакопеременных квадратичных
форм х .А х, х В х и х С х с диагональными матрицами А (/Лег А Ф 0), В и С форма р(р, g, г, г,е) с двумя слагаемыми знакопостоян-
Дальше проведем анализ двух возможностей: 1) Б(1,2,3) Ф 0; 2) Б(1,2,3) = 0 .
В случае первой возможности всегда существует [8] вещественное решение от ех, е2, е3 для определения а, /, у.
Вторая возможность при 0(1,2,3) = 0 сводится к решению системы
¥ А=0, (2.5')
где
¥ =
Если решением (2.5) являются значения /, /2, ¡3 одного знака, не считая нулевых, то, как и ранее, связка форм К (а,/,у, х) не может быть знакооп-ределенной ни при каких вещественных а, /, у .
Если набор /, 4, ¡з допускает значения разных знаков, то связка форм К (а, /3, у, х) при соответствующем подборе а, /, у будет знакоопределена.
Отсюда следует
(а а11 а22 а Л а33 (¡1)
Ь„ Ь22 Ь33 , а = ¡2
у с11 с22 с33 у У ¡3 у
а
а
а
gg
гг
у
иркутский государственный университет путей сообщения
^ =
V Ь22
Ь
Л 2 =
33
V. Ь33
"11 Ьи
\
(
Лз =
11
а
22
\
Ь11 Ь2
Утверждение 6. Для диагональных матриц А, В, С форм трех переменных всегда можно составить знакоопределенную связку квадратичных форм К (а, (, у, х) при одном из условий:
1) £(1,2,3)* 0;
2) £(1,2,3)= 0 и \, /2, ¡3 имеют значения не одного знака.
В отличие от единственной возможности знакоопределенности связки двух квадратичных форм двух переменных здесь имеется дополнительная возможность знакоопределенности связки трех квадратичных форм трех переменных, состоящая в равенстве нулю наибольшего определителя третьего порядка и существовании вещественного решения системы (2.5 ), значения которого не одного знака.
Если матрицы А и В не связаны зависимостью В = д А, где д - вещественное, то соотношение ^ : ¡2: ^ можно записать в виде ^ : : , где
V" 11 22 у
Пример 4. Пусть в результате диагонали-зации получены А = diag [-2, 4, 4];
В = ^^ [-8,-4,1]; С = diag [5,-2, -4]. Система
(2.5 ) имеет решение Ц = (2,-3, 4) . Согласно утверждению 6, связка форм знакоопределена. Действительно, полагая, например, а = у = 11; ( = 4,
получим
К(а, Д у, х) = х; + 6x1 + 4хз ^
Для исследования знакоопределенности связки трех квадратичных форм можно применить и другой простой способ, состоящий в использовании связки двух квадратичных форм. Согласно ему для приведенных к полным квадратам двух квадратичных форм у(х) = хАх и у(х) = х Вх, удовлетворяющих свойству «разделенности корней» [2], последняя квадратичная форма У (х) = х С х вовсе не имеет значения. Из знакоопределенности связки двух форм (У (х) -оУ2 (х)) следует знакоопределенность К (а, (, у, х) , где можно полагать а = 1; ( = -о; у = 0 .
При «неразделенности корней» для форм У (х) и у (х) можно проверить соответствие «разделенности корней» для форм у (х) и у (х)
или у (х) и у (х) . Возможность какого-либо из этих случаев позволяет сделать утвердительное заключение о знакоопределенности К(а,(,у, х) при каких-то вещественных а, (, у .
В частности, в последнем примере для форм У(х) и у(х) имеются «разделенные корни»:
Л- = 2>Л+)=1/4>Л+) = -1, откуда непосредственно следует знакоопределенность К (а, (, у, х) .
В случае если ни в одной из трех групп связок двух форм у (х) и у (х), у (х) и у (х), У (х) и у (х) не выполняется свойство «разде-ленности корней», следует проводить анализ системы (2.2) любым подходящим способом. Здесь достаточно потребовать положительности диагональных элементов связки матриц М(а, (, у) . Во всяком случае, можно решать систему неравенств ег«. + /3 Ьп + у сн> 0 (/=1,2,..., и). (2.6) Хотя линейная задача (2.6) решается нетрадиционными способами, она предоставляет существенно меньшие трудности по сравнению с нелинейной при недиагональных матрицах А, В, С .
Пример 5. Пусть А = diag [-2, 4, 2,1]; В = diag [-2, - 6, 4, - 2]; С = diag [5,-18,1, 3]. Легко проверить, что здесь не существует «разделенно-сти корней» ни для одной из трех групп связок двух форм. Вместе с тем, связка трех форм, например, при а = 2, ( = -1, у = 1/ 2 имеет вид
К (а, (, у, х) = (х2 +10 х22 + х32 +11 х2)/2» 0.
Вопрос о знакоопределенности одной квадратичной формы на равных нулю двух других и связь ее с знакоопределенностью связки К(а,(,у, х) представляет отдельный самостоятельный интерес и здесь не будет рассмотрен.
3. Общая схема исследования знакоопределенности связки трех
квадратичных форм
При невозможности приведения одним линейным вещественным неособым конгруэнтным преобразованием к диагональным матрицам, что проверяется теоремой 1, можно попытаться применить утверждение 1. Проверка этих условий осуществляется в терминах элементов исходных матриц А, В, С . Выполнение условий утверждения 1 сразу гарантирует невозможность получения знакоопределенной связки квадратичных форм К (а, (, у, х) ни при каких вещественных а, (, у .
При В А- С * С А"1 В наиболее приемлемым способом анализа является использование теорем Сильвестра или Якоби [8] о положительности миноров четного порядка. Это сводится к не-
а
а
а
22
33
33
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
линейной задаче относительно а, /3, у, поэтому вынужденно хотя бы часть матриц А, В, С рекомендуется предварительно привести к взаимно упрощенным [10].
Диагонализация матриц А, В,С позволяет существенно упростить анализ. Очевидно, большая часть задач знакоопределенности может быть решена составлением трех связок двух квадратичных форм. При этом корни характеристических уравнений легко определяются через диагональные элементы диагональных матриц А1, В1, С , и дальнейшая проверка «разделенности корней» не доставляет затруднений.
При невыполнении свойства «разделенности корней» для каждой из трех групп связок двух квадратичных форм следует выделить по четыре строки вида (2.2) и составить форму р(р,g,г,г,е). Знакоопределенность или знакопос-тоянство какого-либо набора строк согласно утверждениям 2-4 или утверждению 5 позволит сделать общее заключение о невозможности получения знакоопре-деленной связки квадратичных форм К (а,3,у, х) ни при каких вещественных а, 3, у .
Безрезультатность и этих подходов для диагональных матриц А, В, С может быть дополнена решением задачи (2.6). Если система неравенств (2.6) имеет вещественные решения относительно а, 33, у, то связка К (а, 3, у, х) знакоопределена, иначе - связка форм К (а, 3, у, х) не знакоопреде-лена.
Заключение
Хотя не получены необходимые, отдельно достаточные и одновременно необходимые и достаточные условия знакоопределенности связки трех квадратичных форм, все же имеются некоторые результаты. Проведенные исследования показали очень незначительную прямую зависимость между знакоопределенностью связки трех квадратичных форм и диагонализацией соответствующих матриц. В частности установлено, что полученные в утверждении 1 достаточные условия зна-копеременности К (а, 3, у, х) состоят из двух нарушений и одного выполнения условий (необходимых и достаточных) диагонализации этих матриц. Все три нарушения условий диагонализации могут привести как к знакопеременным (пример 1), так и знакоопределенным (примеры 2-5) связкам трех квадратичных форм. Очевидно, существуют примеры трех квадратичных форм, где выполняется промежуточное знакопостоянство связки форм.
Знакоопределенность связки трех приведенных к полным квадратам квадратичных форм эффектно решается комбинированием связок двух
квадратичных форм и исследованием знакоопределенности или знакопостоянства формы р(p, g, r, t,s) и даже применением системы неравенств (2.6).
Конечно, необходимые условия знакоопределенности связки трех квадратичных форм могут и не существовать. Во всяком случае, как показали проведенные исследования, они не зависят от условий диагонализации трех соответствующих форм матриц. По этой же причине трудно оценить степень расхождения достаточных и необходимых условий знакоопределенности пучка трех квадратичных форм и «разделенности корней».
Можно отметить общий вывод, что для пучка трех квадратичных форм нет такой тесной связи с диагонализацией соответствующих матриц, как для пучка двух квадратичных форм.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М. : Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.
2. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. М. : Наука, 1973. 206 с.
3. Новиков М.А. О связи диагонализации и знакоопределенности пучка двух квадратичных форм // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 3 (27). С. 233-241.
4. Новиков М.А. Знакоопределенность и теорема Финслера // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. Спецвыпуск. С. 126-132.
5. Новиков М.А. О знакоопределенности форм двух переменных // Материалы XIV Байкальской школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения» (ИСЭМ СО РАН, ISBN 978-5-93908-052-1). 2008. С. 134-141.
6. Новиков М.А. О диагонализации матриц трех квадратичных форм // Оптимизация, управление, интеллект. 2000. № 5, ч. 1. С. 150-156.
7. Новиков М.А. О диагонализации матриц трех квадратичных форм. Иркутск : Вестник Иркутского гос. техн. ун-та. 2005. № 4 (24). C. 160-166.
8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : Наука, 1967. 576 с.
9. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М. : Наука, 1979. 299 с.
10. Новиков М.А. О приведении матриц к взаимно упрощенным // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 2 (26). С. 181-187.
