Жесткое включение в задаче о вязкоупругом теле с трещиной Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ЖЕСТКОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ В ЗАДАЧЕ О ВЯЗКОУПРУГОМ ТЕЛЕ С ТРЕЩИНОЙ*)

Т. С, Попова

Пусть ft С М3 — ограниченная область с гладкой границей Г, ш С ft — подобласть с гладкой границей Г^ такая, что Г^ПГ = 0, По = 0\cU. Обозначим через n = (n\,n2,n%) внешнюю единичную нормаль к Г, а через v = (vi, — нормаль к Гр, направленную в сторону По- При

этом область ш соответствует жесткому включению.

Термин «жесткое включение» означает, что перемещения точек тела подобласти ш являются элементами пространства R(ш) жестких ин-финитезимальных перемещений. Это пространство определяется следующим образом:

Щш) = {р= (рьрьрз) | p{x) = Bx + C,x G ш},

где

/ О ь12 ь13 I

B= I -Ь±2 0 Ь2з I , C= (c^c^c3), bj, С— const, i,j = 1,2,3.

-ь -ь

Одним из неизвестных в задаче является вектор-функция u = (u\,U2,u%) перемещений точек тела. Введем соотношения для компонент тензоров малых деформаций и напряжений по формулам:

If dui duj \

£ij\u) = 2 + ' aij\u) = aijkl£kl(u), i,J = 1, 2, 3.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект N4402).

©2013 Попова Т. С.

Здесь и далее предполагается, что по повторяющимся индексам производится суммирование. Функции aijk^x) £ LTO(fi), i,j,k, l = 1,2 , 3, — компоненты тензора A модулей упругости, обладающего свойствами симметрии и положительной определенности:

aijkl - ajikl - aklij,

aijkiЫZij > d |£|2 V&j = j c0 — const > 0. Введем также обозначения

t

«w^ + j*,** «(d

о

которые будем использовать в уравнениях вязкоупругого состояния и равновесия, выполненных в цилиндре Qo = Оо х (0,T):

-aij,j(w(t,x)) = fi{t,x), i= 1,2 , 3 , aij( w{t,xX)) = aijki £ki{ w(t,x)), i,j = 1,2,3.

Здесь f = (fi, /, /3) — вектор, задающий внешние нагрузки.

Соотношения, аналогичные (1), использованы в постановках задач о трещинах в работах [1,2]. Исследование разрешимости задач о жестких включениях в упругих пластинах различной геометрии, а также свойств их решений проводились в [3—5]. Метод вариационных неравенств, а также его применение в теории упругости и вязкоу пру гости рассмотрены в работах [6-11].

1. Задача о жестком включении без трещины.

Постановка задачи. Задачу о равновесии трехмерного вязко-упругого тела с жестким включением будем рассматривать в следующем виде.

В цилиндре Q = П х (0, T) найти функции u{t, x) такие, что u(t) = p°(t) в ZJ, p°(t) £ R(u>), t £ (0, T), одновременно в цилиндре Qо найти функции Oij^t,x), i,j = 1,2,3, для которых выполняется:

-°ij,j(w(t,x)) = fi(t,x), i= 1,2,3, в Q0, (2)

= ацЫ(х)ек1(т(1,х)), = 1,2,3, в и(Ь,х) = 0 на Гх( 0,Т),

(3)

(4)

/

Оц{т(Ь, х))^ • Рг(х) ^Г

! г, х)р^{х)ём

(5)

Ур{х) е Щи) для п. в. г е (о, Здесь !{г,х) = е Що,т; ь2(П)).

Уравнения (2) суть уравнения равновесия при заданных внешних нагрузках f, соотношения (3) — уравнения, описывающие вязкоупру-гое состояние. В данных уравнениях компоненты тензоров зави-

сят от т, т. е. содержат интегралы вида / и(т, х)йт. Таким образом

уравнения (2), (3) характеризуют материал «с памятью»: для определения значений компонент тензоров деформаций и напряжений в текущий момент необходимо знать историю нагружения. Квазистационарные краевые задачи, в уравнениях которых использованы соотношения, аналогичные (1), исследовались также в [1,12,13]. Краевое условие (4) задает закрепление тела на границе. Условие (5) описывает воздействие внешних нагрузок на жесткую часть.

Для исследования поставленной задачи введем функциональное пространство:

о

Л:Ь2(0,Т;Н'Ш(П)) ^ Ь2(0,Т;У),

имеющий вид

т

{Аи,и = ¡^^^>*>^ ие^(о^)).

о

Согласно принятым обозначениям

ю), и)}п0 = У 1и(г,х) + ! и{т,х)ё,т I и{г,х))№1а.

По V 0 /

Введем в рассмотрение билинейную форму Ъ(и,и) = и),е^(и)}п0 . В силу справедливости первого неравенства Корна [14] в области Л

(еч(.V), £гз{v)Ь > С1 \М\я1(П) е Н^П), с постоянной с\ > О, те зависящей от V, будем иметь

Ъ(и,и) > с2\\и\\НУи е Н)• (6)

Вычислим

т т

= ¡^ Н,егЛ ^ Ьо & = ]ъ{щи)Л

о о

т / г \ т / т т \

= J Ъ 1м + J и (1т, и I Л = ! Ь(и, м) Л + —6 I J исИ, J и(й\ . о \ о /о \о о /

Тогда благодаря (6) получим

(Ли,и) > \\и\\\Чатн1 -"(П))• (7)

Следовательно,

(Лм, и)

-—- - > +оо, \\ЩЬ2{ат

т. е. Л — коэрцитивный оператор. Кроме того, оператор Л монотонен и непрерывен, а значит, псевдомонотонен. Отсюда следует [2,11], что существует решение задачи

т

е Ь{$,т-,н1'ш{Щ, (Ли^) = ¿г Уv е Ь{$,т-,н1'ш{Щ.

о

(8)

и

В силу строгой монотонности оператора решение единственно.

Существование производной. Докажем, что решение задачи (8) имеет производную по t. Это позволит рассматривать и исследовать задачу (8) па сечениях цилиндров Q и Q ПРИ фиксированном t. Запишем уравнение (8) в виде

T T

J(uij ('.w(t)),£ij(v(t)))a0 dt = J(f(t),v(t))a dt Vv G L (0,T-,HT'Ш(П)). о о

(9)

Отсюда получим

T

J(aijki£ki{w{t)),£ij{v(t)))q0 dt

+ J laijki£ki lp0(t) + JpQ{r)dT I ,£ij{v{t))\ dt

о \ V о ) ' ш

T

= j(f(t),v(t))Q dt Vv G L (OTH^ifl)). (10) о

Выберем произвольное a > 0 и в качестве пробной функции в (10) возьмем

v — u(t), в G (t — a,t + a,

vie) = .

[О, в G (t — a,t + a)

где v G Hfà) — некоторый фиксированный элемент. Подставим v{0) a

t+ a

1

a

t-a

t+a

(aijki£ki{w(t)),£ij(v — u(t)))q0 dt

7Ja J (aijki £ki ( P°(t) + J pQir)d,T I ,£jiv — u(t))\ dt

t-a \ \ 0 ) ' ш

t+a

- <t) b dt.

Перейдем к пределу при a ^ 0 и получим для п. в. t

{aijki £kt{ w(t)), £ij (V - u(t)) )q0 t

(aijki £ki ( P°(t)+ / P (r) dr I v - u(t))\ = {f(t),v - u(t) )Q.

\ V i ! L (ii)

Перепишем (11) в виде

b(w(t),v - u(t))+(^aijki £ki + J P{r) dr ^ ,£j(v - u(t))^j

= {f(t),V - u(t))n. (12)

Пусть V = u(t+ h), тогда b(w(t),u(t + h) - u(t))

aij ki

£ki lp°(t) + J pQ{r)dr | ,£ij{ u{t + K) - u(t))j

= {f(t),u(t+h) - u(t))a. (13) t h v u t

b w t h , u t - u t h

+ (aijki£ki (p°(t+h)+ J p0(r) dr| ,£ij(u(t) - u(t + h))^

= {f(t+h),u(t) - u(t+h))a. (14)

Введем обозначения:

t+h

= v(t+h)-v(t) = 1 Г h>Q

h h J

t

ta

После сложения (13) и (14) получим

£Ы( ¿н р0(Ъ)) + £ы( (Гкра(г))),£гз( ¿н и(^) )ш = {¿н¿ни{Ь))п.

Таким образом,

{а.1]к1 £ы(¿ни{Ь) + ¿1и(г)),£^ (и(г)))п = и{Ь))п. (15)

Отметим, что в области Л справедлива оценка

{ацы£ы{¿ни(1)),£ч(dниь ^ Сз\\(ни(£)\\я1(П)-

(16)

Преобразуем (15) к виду

{а.цы £ы{ ¿н и{-Ь)),£^{( ¿ни{Ь)) )п

= {¿н и{Ь))п — (ащ1 £ы{¿1 ¿ни(г)))п.

Используя (16), получим

1 и9

+ д ^¿Тни(г) ^(П) +\\\dнu(t) Если А > 0 достаточно мало, то существует С4 > 0 такое, что

Ы^)\\я0!(П) ^ С4 (^^Н1)\\ь?(П) + ||dн и(1) Ия1(П)

.

Заметим, что для любых гладких функций х) справедливо [2] т-н т

I |Ц2(П) ¿1 < у \\vit)\\1ЧП) ¿1. (18)

о о

Проинтегрируем (17) по ^ ^^ до Т — Ни применим (18): тт н тт н тт н

\ ¿н

\ О О )

^т-н т \

У Ш^)\\1ча + У \\и®) ¿11 . (19)

Поскольку /г(г) £ Ь2^), неравенство (18) можно записать для V = /г: т-к т

К ш ^ \\т\\Ь(п)

Тогда

Т-к

т-к

\<1к/Ш

22(П)

¿г =

/{г + н) - /(г)

¿г

тт к

к

/т {т)йт

22(П)

тт к

1ь2(П)

22(П)

¿г= ! ^¿к/г

о

тт

\Ш\\1ча) ¿г.

Следовательно, из (19) получим

/ ¥ки(г)||Но1(п) ¿г < с4 И \\Мг)\\2ЬЦП) ¿г + у щг)} ¿г | .

0 \о о

Пусть Но достаточно мало, но Но ^ Н. Тогда

Т-к0 / Т Т

1 Ыки(г)ЦН01(П) ¿г < с4 П \\Мг)} ¿г +1 \\и(г)} ¿г) .

0 \о о

Переходя к пределу Н ^0, будем иметь

Т-к0 / т т

1 \Ыг)\\Н01(П) ¿г < с4 П \\мг)^^) ¿г +1 \\и(г)} ¿г \ . о \о о

Из произвольности Н следует, что

\Ыг)\2що,Т-М^)) < ^ + Ыг)\2що,тНт) )■ (20)

Таким образом, производная щ(г, х) существует, более того, взяв в (9)

V = и, получим

т т

У (оу (Цг)),£у(и(г)))По ¿г = У (/(г),и(г))п ¿г. о о

С учетом (7) будем иметь

или при малых Л > О

Тогда из (20) следует неравенство

1Мг)ИЬ(0,тН-(П)) ^ с(Н/(г)+ И^)•

Эквивалентность постановок. Докажем, что из соотношений (8) в предположении достаточной гладкости решений можно получить задачу (2)-(5). Поскольку производная ^существует, фун кция и имеет след па сечениях ^ при п. в. г € [0, Т]. Следовательно, решение задачи (9) является решением вариационного неравенства

(оЦ V) )По = (¡^)п Vv € Н ДО™ п .в. г € ( 0,Т). (21)

Таким образом, благодаря существованию производной по г у решения и(г, х) задачу (9) можно рассматривать на сечениях цилиндра Q в виде вариационного неравенства (21).

В этом разделе будем использовать формулу Грина [4,15]

(оу (и),£у( и) )В = (оу (и)ц - (оуц( и),щ)о •

Здесь В С М3 — ограниченная область, дВ = 7 — гладкая граница,

V = — внешняя нормаль к 7. Индексы В и 7 обозначают интегрирование по области В и границе 7 соответственно. Формула

В и, и

Возьмем V £ Щ 'и(П) такое, что V = 0 в ш. С помощью формулы Грина из (21) выведем:

,щ)г - ,щ)тр - }п0 = Ц^^По + ■

Значит, в области По выполнены уравнения

-\°цЛ. Ьо = а^Ьо ■

Из произвольности функции V следует, что

-(Тгз,зМ =/г, 1=1,2,3, в По. (22)

Возьмем V £ ЩПрименяя в (20) формулу Грина, с учетом (22) получим

-\оц (ад)^- ^г}гр = \/^)ы ■

В силу произвольности V, а также того, что V = р в р £ Щи), следует

-\агз(т(г,х))1/з ,рг{х) )г р = \/{г,х),р{х) )ш Ур{х) £ Е{ш),

г

г

вольную функцию V £ проинтегрируем полученное соотноше-

ние по области По и применим формулу Грина:

^}По + \<ггз{-ш)^^г}гр = \/^)п0

С учетом (5) будем иметь

\aijiш,£ ¿¿( ^ ^ = ^^п ■

Таким образом, мы доказали, что из краевой задачи (2)-(5) в предположении достаточной гладкости решений можно получить задачу (9) и обратно, из задачи (9) можно вывести соотношения (2)-(5). Следовательно, краевая задача (2)-(5) эквивалентна задаче (9), а значит, однозначно разрешима.

2. Трещина по краю включения. В этом пункте рассмотрим задачу о равновесии вязкоупругого тела, имеющего частично отслоившееся жесткое включение. При этом зону отслоения будем рассматривать как трещину, проходящую по поверхности жесткого включения.

Постановка задачи. Пусть Л и По — области, определенные в п. 1. Поверхность 7, удовлетворяющая условиям 7 С Гтеав(Гр \ 7) ф О, соответствует трещине на границе включения. Трещина имеет два берега 7+ и 7— определяемые в соответствии с направлением нормали V таким образом, что нормаль V- к 7- совпадавт с V, тогда = —V.

Обозначим также П7 = П \ 7 и соответственно = П7 х (О, Т).

Поверхность 7 можно продолжить до пересечения с Г таким образом, чтобы область П7 была разбита та две подобласти П+ и П- и при этом теав(Г П дП ±) ф 0. Будем считать, что области обозначены так, что 7+ С дП+ и 7- С дП

Функция и{х) — одно из неизвестных в задаче и может принимать различные значения на берегах трещины. Используя обозначения и+ и и- для значений функции и на 7+ и 7- соответственно, введем следующее обозначение для скачка функции на 7:

Соотношения для £г¿(и), ог¿(и), ш(Ь,х), а также определение пространства К(и) примем прежними.

Краевую задачу поставим в следующем виде.

В цилиндре найти функции и{р,х), и{р) = /э°в и7, £

Щи), 4 £ (0, Т), одновременно в цилиндре ^о найти функции оц (£,х), г,0 = 1, 2,3, для которых выполняется:

оц(ш(г,х)) = ацЫ{х)£ы{ш^,х)), ¿,.7 = 1,2,3, в ф0, (24)

и и и- ■

—оцц(ш(г,х)) = /г(г,х), ¿=1,2,3, в д0

(23)

и(*,х) = 0 па Гх( 0,Т),

(25)

- Оу(• рДх) = / /¿(г,х)р*(х) Гр " (26)

vр(x) € ДН для п. в. г € (о, Т).

(и(г,х) - р0(г,х)) V >0 на х(0,Т), (27)

о„(ад) <0, От(ад)=0 на х(0,Т), (28)

(и(г,х) - р0(г,х)) V • о„(ад) =0 на 7+ х(0,Т). (29)

Здесь /(г,х) = (/ъ/2,/з) € Н^О^Ь2^)), коэффициенты ауйг(х), как и прежде, удовлетворяют условиям симметричности и положительной определенности, функции о^, от определяются из соотношений

О^ = Оу ^ V*, От — ОV - Ои • V•

Для исследования задачи о трещине по краю включения введем следующее функциональное пространство:

Н '"(ГЦ) = {V = (VI, V2, vз) € Н( ГЦ) | V = 0 па Г, V = ръш\ р € Я(ш)}. Обозначим

К7 = {V € Н'"(^Ц) I (V - р)v > 0 п. в. на 7}. В качестве множества допустимых перемещений возьмем

ж1 = Иг,х) € Ь (о '"(°т)) I v(г) € к7 п. в .г € (о,т)}.

Обозначив через V* пространство, сопряженное к Н'"(ГЦ), рассмотрим оператор

Л* :Ь2(0,Т;Н^'"(ГЦ)) ^ Ь2(0,Т^*),

имеющий вид

т

(Л*и,и) = У(оуН,£у(и) )По, и € ь (0 ,Т;Н£ '"(°т) )• о

В каждой из областей П+ и Л выполнено первое неравенство Корна, следовательно, это неравенство выполнено и во всей области Л7:

(£ij(v),£ij(v)hy > ceWv\HVv G H>

где cg = const > 0 те зависит от v. № свойств ацы{x) следует

b7(u,u) = {a,ijki{x)ekl(u),£ij(u))ny > c-j\\u\\Hi' Далее рассуждая, как и при выводе (7), можно получить

1 1 (A*u,u) = J b(u,u) dt +—b i J udt,

udt | ^ \\u\VL2{QiT.Hl'

о \о о

Отсюда следует коэрцитивпость оператора Л*. Учитывая непрерывность и монотонность оператора, заключаем, что Л* псевдомонотонен. Тогда существует решение вариационного неравенства

т

и £ Жу, (А*и,у — и) (/,у — и)(1 ^ Уу £ Жу. (31)

о

Это неравенство можно записать в виде т т

и £Ж7, J(оij(w),£ij(v — и))п0 (/,у — Уу £ Х-,. (32)

о о

Существование производной. Далее, как и в п. 1, докажем, что решение и{Ь, х) имеет производную иь{Ь, х). В силу

£ц(т) = £ц + J Р ^ = 0 в и

неравенство (32) можно представить в виде т т

и £ , J (оц {т),£ц (у — и) )п0 + J (ацЫ{ х)£ы( т),£ц( V — и) )ш о о

т

(/,у — и)ат Уу £Ж7. (33)

Выберем произвольное a > 0 и возьмем в (35) пробный элемент вида

( V, в е (t - a,t + a),

via) = <

I и(в), в е (t - a.,t + a),

где V е KY — некоторый фиксированный элемент. Подставим v{0) в a

í+ a í+a

¿ J K'(«'(i)).£¡j(''-',(i)))fio + ¿ J (aijki£ki{w),£ij{v ~u(t)))u

t-a t-a

i+a

J (f(t),v-u(t))Qj.

t-a

Перейдем к пределу при a ^ 0 и получим для п. в. t е (0,T)

(aij(w(t)),Eij(v-u(t)))п0 + {ауЫ£kí{w(t)),£j (v-u(t)))ш > (f(t),v-u(t))qt .

Последнее неравенство перепишем в виде

b(w(t), v - u(t)) + bu(w{t), v - u{t)) > (f(t), v - u{t))ny, (34)

где Ьш(u,U) = (aijki£kí{u),£j(U))ш.

Возьмем в (34) v = u(t + К), тогда

b(w(t), u(t + h) - u(t)) + bu(w(t), u{t+h) -u{t)) > (f(t), u{t + h) - u{t))aт.

(35)

th

v = u(t)'.

b(w(t + h),u(t) - u(t + h)) + bu(w(t+ h),u(t) - u(t + h))

> (f{t+h),u{t) - u(t+h))nY. (36)

h

b(dhu(t) + dThu{t), dhu(t)) + Ьш (dhp0(t) + dThpQ{t), dhp0(t))

< (dh f(t), dhu(t))qy .

Отсюда

ъ(ани(ь),ани(ь)) + ъи(¿нр0(г), ¿нр0(г))

< Ш(г), ¿ни(г))ау — ъ(¿1 и{г),йни(г)) — ъш (¿тн^{г),йнр°{г)).

Используя (30), получим

+ м\^и(т2н1(По) + \\\л1р%Щ2НЦш) + \ынр°(тт(ы).

При достаточно малых Л > 0 найдется > 0 такое, что

.

Проинтегрируем (37) по г от 0 до Т — Ни применим (18):

т-н

J ¡¡¿ни{г)\Н1 .-(п^ ¿г о

(т-н т-н

I Ш(г)\ЦЧПI \Ки(г).„^¿г

(т-н

У Ш{г)йЧп}аг + ] ¡Н¿г| . (38) о о

Поскольку /г{г) £ Ь2^), неравенство (18) можно записать для V = /(, тогда из (38) получим т-н / т т \

У ¡¡¿ни(г)¡Н¿г < с8 и \\мг)\Ц2(П) ¿г + ^ \\и(г)¡Н¿г I . о \о о /

Пусть Но достаточно мало, но Но ^ Н. Тогда, переходя к пределу при Н —> 0, будем иметь т-н0 / т т

1Мг)¡Н¿г < ^ П \\Мг)\\Ъ{П} ¿г + ^ \\

и{г)¡¡н.-(п^ ¿г I .

Из произвольности Но следует

Таким образом, производная щ(Ь, х) существует, более того, взяв в (32) V = 0, получим

т т

¡ц «Шел ит >п„ & = {{тмъ

о о

С учетом (30) будем иметь

\\иШщ0^ ^УШЪ(Я) + МНШщо^Н1^^))

или при малых А > 0 Тогда из (39) следует

кюГщотт^^)) < \\Ъя + \\т\\ЪЯ)•

Эквивалентность постановок. Покажем, что исследованная задача (32) эквивалентна задаче (23)-(29) в следующем смысле: при условии достаточной гладкости решений из вариационного неравенства можно вывести все соотношения (23)-(29), и наоборот из краевой задачи можно получить вариационное неравенство. Тем самым будет доказана однозначная разрешимость поставленной в начале раздела задачи.

Поскольку производная иг существует, мы можем рассматривать задачу (32) па сечениях цилиндров Q7 и Qo при некотором фиксированном значении Ь. Поэтому запишем вариационное неравенство (32) в виде

и е К7, {оц (т), ец{V - и)>п0 > - и>пт Vv е К7, (40)

где т, V, и — соответственно сокращение обозначений для '(Ь), и(Ь) при фиксированном Ь.

Возьмем в (40) в качестве пробной функции V = и ± в, где в £ Нд(ГЦ) и в = 0 в ш, получим

в))По = (/,в)п0. Применяя формулу Грина, выведем

— \а^,Л— ,вгЬо = (/,в)п0 ■

Следовательно, в По в смысле распределений выполнены уравнения равновесия:

—аЧ,Л -)= /г, 1,2,3. (41)

Далее, возьмем функции и £ Н(П), и = р в ш, р £ Е(ш) и в качестве пробного элемента в (40) подставим V = и ± и. Тогда

\аЦ и)^ = \/,и)П 1 ■

Применяя формулу Грина в последнем равенстве, учитываем выбранное направление нормали V.

— \агз,Л ™),иг )п0 — \aiji ,щ)Г + = \/,и)п 1. С учетом выведенных уравнений (41)

— \аЦ {w)Vj,иг)тр = \/,и)ш ■

Поскольку и = р на Гр, отсюда следует справедливость (26). Выберем в качестве пробного элемента в (40) V = и + и, где и £ Ни = 0 в ш, ии ^ 0 на 7+. Применим формулу Грина, тогда

— \ач,Л™),иг)п0 — ,щ)г + > \/,и)^ 1.

Принимая во внимание уже выведенные соотношения (23) и (26), получим

— \<Уц{,щ)7+ > 0■ Используем представление для функций и и вида

а^ {w)vj = —V + ат(ю), и = ииV + ит.

Тогда последнее неравенство можно переписать в виде -{оЛ.«V + от(т), и„V + ит>7+ > 0• и

от (т) = 0 на •

Тогда

-{ои{«), ии> 0• Поскольку и = р, р е Щи), р = 0 в и, то

^ ^0 на 7+ •

Значит,

ои(« < 0 на 7~|\

Таким образом, установлена справедливость соотношений (28). Выведем теперь (29).

Рассмотрим некоторую точку хо на поверхности 7, и в окрестности этой точки рассмотрим случаи возможного контакта берегов трещины.

х

(и - (42)

Данное условие интерпретируется как отсутствие контакта берегов трещины. Тогда найдется окрестность данной точки и(хд), в которой условие (42) также выполнено. Возьмем достаточно гладкую функцию ф, имеющую носитель в £/+, где 11+ = II(хо) П П+, П+ — область, введенная в начале п. 2. При указанных условиях функция V = и ± Аф является элементом множества К7, тел и А достаточно мало. Подставив V = и ± Аф в (40), получим

{°ц{т),ец(ф)>п0 = ¡г,фг>Пт •

Отсюда благодаря формуле Грина

пТ7+ = 0.

Следовательно, cr+(w) = 0 на 7 П U+. Пусть теперь atiw) < 0 в точке жо- Тогда по доказанному (u(xo) — p°(xo))v(xo) = 0. Условие (29) выведено.

Обратно, рассмотрим краевую задачу (23)-(29) при фиксированном t. Умножим уравнения (23) на v — u(t), где v £ KY, проинтегрируем по По и применим формулу Грина:

(aij( w),£ij( v — u(t)) )q0 + (<Jij( w)vj ,vi — щ( t) )1+

+ (°ij(w)vj,Pi — Pi W)rp\Y = (f(t),v — uWho ■ Отсюда можем записать

(aij( w),£ij( v — u(t)) )q0 + (ffij( w)vj ,vi — Ui( t) )1+

+ {°ij(w)vj,Pi — Pi W)Гр — (°ij (w)vj,Pi — Pi W)Y-

= (f(t),v — U(t) )пт — {fit), Pi — Pi (t) )ш ■ С учетом условия (26) будем иметь

(aj( w),£ij(v — и^)) — (f{t)/o — u{-t) )Q ^

= —{jw)vj, (vi — utt)) — (Pi — Pi W))7■

Для завершения доказательства необходимо показать, что правая часть полученного равенства неотрицательна. Второе из условий (28) дает

— (°ij(w)vj, (vi — — (Pi — Pi W))7

= — w), (v — p)v)7 + (av{w), (u(t) — P0(t))v).y■

Используя первое из условий (28), соотношение (29) и свойства функции v £ Kj, получим, что правая часть последнего соотношения неотрицательна.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kbludnev А. М. On equilibrium problem for a plate having a crack under the creep condition // Control and Cybernetics. 1996. V. 25, N 5, P. 1015-1030.

2. Khludnev А. М., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.

3. Khludnev A. M., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Math. Meth. Appl. Sci. 2010. V. 33, N 16. P. 1955-1967.

4. Хлуднев A. M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

5. Хлуднев А. М. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 5. С. 98-110.

6. Вайокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988.

7. Ваеидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.

8. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

9. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983.

10. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: Изд-во Моск. гос. академии приборостроения и информатики, 1997.

11. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

12. Popova Т. S. The equilibrium problem for a linear viscoelastic body with a crack // Мат. заметки ЯГУ. 1998. Т. 5, вып. 2. С. 118-134.

13. Попова Т. С. Метод фиктивных областей в задаче Синьорини для вязкоупругих тел // Мат. заметки ЯГУ. 2006. Т. 13, вып. 1. С. 105-120.

14. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

15. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

г. Якутск

17 декабря 2012 г.