Задача о равновесии вязкоупругого тела с тонким жестким включением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2014. Том 21, № 1

УДК 517.955

ЗАДАЧА О РАВНОВЕСИИ ВЯЗКОУПРУГОГО ТЕЛА С ТОНКИМ ЖЕСТКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ Т. С. Попова

Аннотация. Рассматривается задача о равновесии двумерного вязкоупругого тела, имеющего тонкое жесткое включение. Дифференциальная постановка задачи содержит интегральное условие, учитывающее воздействие внешних нагрузок на жесткую часть. Приводится эквивалентная вариационная постановка, с помощью которой доказана однозначная разрешимость исходной задачи. Получены дополнительные свойства решений, позволяющие упростить интерпретацию указанного интегрального условия.

Ключевые слова: вязкоупругое тело, тонкое жесткое включение, вариационный метод, квазистатическая задача.

Пусть вязкоупругое двумерное тело занимает в естественном недеформи-рованном состоянии область О С R2 с гладкой границей Г и вектор u = (ui, U2) задает перемещения точек этого тела.

Введем соотношения для компонент тензоров малых деформаций и напряжений по формулам

1 / du ■ du ■ \

£ij(u) = 2 (^¿^г + = a*jkl£kl(u), i,j = 1,2.

Здесь и далее предполагается, что по повторяющимся индексам производится суммирование. Коэффициенты aijki, i,j,k,l = 1, 2, — компоненты тензора модулей упругости, обладающего свойствами симметрии и положительной определенности:

aijkl ajikl aklij,

aijkiЫ£ij > co|£|2, = j, co = const > 0.

Для формулировки квазистатической задачи с уравнениями, описывающими вязкоупругую среду, введем следующие обозначения:

t

w(t'x) = u((,x> + /u(">t* <°,т). (1)

o

При подстановке (1) в формулы для eij(w(t,x)) можно получить соотношения для aij (t,x) вида

t

aij (t,x) = aijki (x)eki (w(t, x)) = a^ki (x)eki (u(t,x)) + J a^ki (x)eki (u(r,x)) dr.

(g 2014 Попова Т. С.

Таким образом, в точках х € О выполнено

(£) = а1]Ы+ / а^ы£ы{т) ¿г, 4 € (0,Т). о

Полученные уравнения соответствуют закону, характеризующему вязкоупругое состояние тела:

Г = Ае + Ае,

где г) обозначает дифференцирование по временной переменной.

Соотношения (1) будем использовать и в уравнениях равновесия:

дсу (4, х)

/i(i,x), i = 1, 2,

где / = (/1, /2) — вектор, задающий внешние нагрузки, а (4, х) находится из формул, указанных выше.

Следовательно, в отличие от уравнений равновесия, используемых вместе с законом Гука (упругое состояние), в рассматриваемой задаче величины компонент тензоров деформаций и напряжений не могут быть вычислены локально по а зависят от полной истории нагружения.

Квазистационарные краевые задачи, в уравнениях которых использованы соотношения, аналогичные (1), исследованы в работах [1—4].

Рассматриваемое вязкоупругое тело имеет тонкое жесткое включение, форма которого задана кривой 7 С О. Кривая 7 гладкая, незамкнутая, без самопересечений. Пусть V = (^1, — единичный вектор нормали к 7 и О7 = О \ 7.

Пусть кривую 7 можно продолжить до пересечения с Г таким образом, что область О7 разбита на две подобласти О1 и О2 с липшицевыми границами и при этом Шв8(г П дОг) = 0, г = 1, 2.

Понятие «жесткое включение» в рамках данной модели описывается следующим образом. Введем так называемое пространство жестких инфинитези-мальных перемещений Д(7) следующего вида [5]:

Я(т) = {р = (Р1,Р2) | р(х) = Вх + С, х € 7},

0 Ь -Ь 0

й7 = {р € £2(0, Т; й(7)) | р(4, х) = В(4)х + С(4) на 7 х (0, Т)}, где В (4) — кососимметрическая матрица, элементами которой являются функции, не зависящие от х: В(4) = ^ и С(4) = (с1 (4), с2 (4)).

Будем говорить, что вязкоупругое тело содержит тонкое жесткое включение, если функции и на 7 х (0, Т) совпадают с некоторым элементом пространства Д7:

и = р0 на 7 х (0,Т), р0 € Й7.

Рассмотрим дифференциальную постановку задачи о равновесии двумерного вязкоупругого тела с тонким жестким включением без отслоения.

В цилиндре Q = О х (0, Т) найти функции и такие, что и = р0 на 7 х (0, Т), р0 € Д7, и одновременно в цилиндре Q7 = О7 х (0,Т) найти функции , г, ] = 1, 2, для которых выполняются условия:

д(Тг^Х) =Ш,х), г = 1,2, (2)

где B = ( , b I, C = (c1, c2), 6, c1, c2 = const. Также введем пространство

оу (Ь,ж) = ауы (ж)еы (ад(Ь,ж)), г,^ = 1, 2, в ф, (3)

и(Ь,ж) = 0 на Г х (0,Т), (4)

J\a-ij (Ь, (ж) ¿7 = 0, р £ Я(т), при п. в. Ь € (0, Т). (5)

7

Уравнения (2) суть уравнения равновесия при заданных внешних нагрузках /, соотношения (3) — уравнения, описывающие вязкоупругое состояние.

В данных уравнениях компоненты тензоров о и е зависят от ад, т. е. содержат *

интегралы вида / и(т, ж)^т. Краевое условие (4) задает закрепление тела на о

границе. Условие (5) учитывает вектор поверхностных сил на кривой жесткого включения.

Исследование разрешимости задач о жестких включениях в упругих телах, а также свойств их решений проводились в [5-10]. Рассмотрим билинейную форму вида

Ь(и,и) = У ауыеы (и)еу (и) ¿О

о

-2/п т. тг1(

и функциональное пространство Н7 = {V = (г>1,г>2) € Ь2(0,Т; Н 1(О)) | V = 0 на Г х (0, Т), V = р на 7 х (0, Т), р € й7}.

Обозначим через V пространство, сопряженное к Н7. Введем также линейный оператор Л : Н7 ^ V такой, что

т

(Ли, и) ^ У и) ¿Ь, и € Н7.

о

Отметим, что в принятых обозначениях

* \ / *

(ж)

о /о \ о

Ь(ад,и)= ь|и + J и^т, и I = J ауы (ж)еыг |и(Ь,ж)+У и(т, ж) ¿т I еу (и(Ь, ж)) ¿О.

Теорема 1. Пусть /(Ь, ж) € И 1(0,Т; Ь2(О)), ауыг(ж) € Ьто(О), г,М = 1, 2. Тогда задача (2)—(5) имеет единственное решение и(Ь, ж) € Н7, оу (Ь, ж) € Ь2(ф7) такое, что и*(Ь,ж) € £2(0,Т; Н 1(О)).

Для доказательства теоремы сначала докажем лемму о существовании единственного решения вариационной задачи с уравнением Эйлера для оператора Л. Далее покажем, что указанная вариационная задача является эквивалентной формулировкой задачи (2)-(5). Тем самым будет доказана однозначная разрешимость поставленной краевой задачи. Отметим, что в [11-16] можно найти описание вариационных методов и их применение в теории упругости и вязкоупругости.

Лемма 1. Существует единственное решение и(Ь, ж) вариационной задачи

т

и € Н7, (Ли^) = У J /V ¿О ¿Ь, V € Н7. (6)

о о

Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу неравенства Корна

[17]

J £j(v)£j(v) dn > С1 ||^УНо1(П), V G Я01(О), n

с постоянной c1, не зависящей от v, имеем

Ь(и,и) > с2Ы2Н1(П), и G Н1(П). (7)

Вычислим

т т / t \

(Ли, и) = j Ь (w, и) dt = j Ь|и + j и dr, и I dt

о о V о /

т / т т \

= J Ъ(и,и) dt+—blj udt, j ибЙ|. о \о о /

Тогда ввиду (7) получим

(Ли,и) >||u||Hy. (8)

Следовательно,

(Ли, и)

т. е. Л — коэрцитивный оператор. Учитывая его монотонность и непрерывность, можно сделать вывод, что Л псевдомонотонен. Отсюда следует [16], что решение задачи (6) существует. В силу строгой монотонности оператора решение единственно. Лемма 1 доказана.

Далее выведем дополнительное свойство решений задачи (6), а именно существование производной ut(t,x) в П. Это свойство позволит рассматривать задачу (6) на сечениях цилиндра Q при фиксированном значении t G (0,T). При этом интегрирование по т от 0 до текущего момента времени t сохраняется и в формулировке на сечениях.

Лемма 2. Пусть f G Н 1(0, T; L2(Q)). Тогда существует производная ut G L2(0, T; Н 1(П)) решения задачи (6).

Доказательство. Запишем уравнение (6) в виде т т

aijki £ki (w(t))£ij (v(t)) dÜdt = J Jf (t) v(t) düdt, v G Щ. (9) о n о n

При доказательстве данной леммы для удобства в формулах не указана зависимость функций от x. Обозначим

Н1'о(П) = {v G Н 1(П) | v = 0 на Т, v = р на y, Р G R(y)}. Пусть a > 0. Рассмотрим следующую функцию:

v - u(t), в G (t - a, t + a),

v(0)

'0, в G (t - a, t + a),

где V € Н^'0(О) — некоторый фиксированный элемент. Подставим v(0) в (9), разделим полученное равенство на 2 а и получим

*+а г+а

2а

а О * — а О

Отсюда при а ^ 0 имеем J ауы еыМ^еу- (V - и(Ь)) ¿О ^/(Ь)^ - и(Ь)) ¿О при п.в. Ь € (0,Т). (10)

о

Таким образом

и

о

Пусть V = и(Ь + Л), тогда

Ь(ад(Ь),V - и(Ь)) ^У /(Ь)^ - и(Ь)) ¿О. (11)

Ь(ад(Ь), и(Ь + Л) - и(Ь)) = У /(Ь)(и(Ь + Л) - и(Ь)) ¿О. (12)

о

Теперь запишем (11) в точке Ь + Л, а в качестве V возьмем и(Ь). В результате получим

+ Л), и(Ь) - и(Ь + Л)) = у /(Ь + Л)(и(Ь) - и(Ь + Л)) ¿О. (13)

о

Введем обозначения:

*

Сложив (12) и (13), можем записать

и(Ь) + и(Ь)) =У ^/(Ь) ¿^и(Ь) ¿О.

о

Отсюда

Ь(4.и(Ь),4.и(Ь)) =1 4/(Ь) 4,и(Ь) ¿О - б(^и(Ь),4и(Ь)). (14)

о

Отметим, что

6(^и(Ь),^и(Ь)) > сэУ^ьи(Ь)УН01(О). (15)

Значит, из (14) следует, что

1 2

При достаточно малых Л > 0 существует постоянная С4 > 0 такая, что

Ки(Ь)||Но(О) < С4(||4/(*)||£2(о) + Ки(*)||Но(О)). (16)

Проинтегрируем (16) по г от 0 до Т — Н:

т-л

' т-л

т-л

/ ЫниШщ1(П) й < С4И П^л/(г)\\*2(о) ¿г + У К«(г)||Що(о) (17)

Заметим, что для любых гладких функций у(Ь,х) выполняется

т-л

тт

¿г </\Ш\\Ът ¿г.

(18)

Тогда из (17) с учетом (18) получим

т-л

' т-л

2

щ (О) ¿г < \\dhf (г)\\2Ь2(П) ¿г + ! \Кг)\\Що(о) ¿г) ■ (19)

о \ о о

Поскольку /±(г) € Ь2(^), (18) можно записать для V = /*: т-л т

/ КЛ(г)|Ц2(о) ¿г < ¡' \\Мг)\\1ЧП) ¿г.

Тогда тт л

тт л

\Ш(г)\\1Чп) dг

т-л

/ (г + Н) — / (г)

Н

¿г

Ь2(О)

тт л

О)

¿г.

¡1/Шс1т м= / К-^Н'чп)^/ил

о * Ь2(О) о о

Следовательно, из (19) имеем

тт-л / т т \

/ \Ки(г)\\Що(о) ¿г < с4П \\/*(г)\12(о) ¿г + | \\u(г)ПЩо(o) ¿г).

о \о о /

Пусть Но достаточно мало, но Но > Н. Тогда

т-ло / т т \

/ \\dhu(г)ПЩо (О) ¿г < с4и \\Л(г)\\^(о) ¿г + | \\и(г)\Що (о) ¿г).

о \о о /

Переходя к пределу Н ^ 0, имеем

т-ло / т т \

/ \\и*(г)ПЩо(о) ¿г < С4 П \\/*(г)П|2(о) ¿г +1 \Кг)\\Що(о) ¿г). о \о о )

Из произвольности Но > 0 следует, что

\Мг)\\Ь(о,т;Я0 (О)) < С4(П/*(г)П^2(д) + \Кг)\\Ь(о,т;Я0 (О)) ). (20)

2

2

Таким образом, производная ut(t,x) существует, более того, взяв в (9) v = u, получим

T т

J J aijki£ki (w(t))£ij (u(t)) düdt = J j f (t)u(t) düdt. 0 П 0 n

С учетом (7) имеем

или при малых Л > 0

llu(t)lll2(0,T;HY-° (П)) < II f (t)\\l*(Q).

Тогда из (20) следует, что

КФНЬф.Т;H(n)) < c(||ft(t)||£2(Q) + \\f(t)\|2(Q)).

Отсюда вытекает утверждение леммы. Лемма 2 доказана.

Для завершения доказательства теоремы покажем, что задача (2)—(5) эквивалентна задаче (6).

Доказательство теоремы 1. Согласно лемме 2 можем рассматривать задачу (6) при фиксированном t

е (0,T):

b(w, v) = j fvdü, n

где w = w(t, x), v = v(t, x), f = f (t, x). Запишем последнее уравнение в виде

J aij£ij(v) dü = J fvdü. (21)

n

Здесь, как и ранее, Гц находится по формулам (1), т. е. содержит интегрирование от 0 до Ь. Подставим V € С°(О), V = р на 7, р € Д(7) в (21) и проинтегрируем по частям. Тогда при данном Ь € (0,Т) выполнены уравнения

дхз

в смысле распределений.

Возьмем V € Я"1'0(О). Из (21) интегрированием по частям получим

У К- V- ] vг d1 = 0, V € Я1'°(О).

7

т. е. V = р на 7, р(ж) € Д(7) при фиксированном Ь € (0,Т). Можем записать J[(Гц(Ь, ж)^]рЭг(ж) d7 = 0, р € Е(7), при п.в. Ь € (0,Т).

7

Обратно, умножая уравнение (2) на V € и интегрируя по частям, с

учетом (5) получим уравнение (6).

Таким образом, при достаточной гладкости решений задачи (2)—(5) и (6) эквивалентны. Покажем, что условию (5) можно придать точный смысл, несмотря на то, что функции г^не определяются на 7 в поточечном смысле.

Продолжив кривую 7 до пересечения с Г, как это указано в начале работы, обозначим продолженную кривую через 2, тогда 7 С 2. Будем использовать формулы Грина [5,18]

= - (22)

справедливые для любых функций <Ту (ж), € Ь2(0), г,] = 1, 2, и (Е Нх(-0),

где Б — область с липшицевой границей, п = (п, п2) — единичный вектор внешней нормали к сШ, скобки (•, ■)! обозначают двойственность пространств

Н^(дО) и его сопряженного Н~^(дО).

Отметим, что формула (22) справедлива в каждом из случаев Б = ^, г = 1, 2, при внешней нормали пг = (п\, п12) к д^.

1

Введем в рассмотрение пространство с нормой

00 V £

где ||г>||| „ — норма в пространстве Д~2(£); г(х) = сИз1;(я;, <9£).

2

Пусть V определена на 2. Обозначим через V продолжение нулем функции V на всю д^:

V на 2, 0 на дПг \ 2.

_ 1 I

Тогда V £ Н2 (<9Г^) в том и только том случае, когда V £

Зафиксируем Ь € (0,Т). Из (21) с помощью (22) получим

С учетом (2) отсюда выводим

Обозначив через Н002 (£) пространство, сопряженное к Д"020(£), полученное соотношение можно записать в виде

= 0, (23)

1

где скобки (•, обозначают двойственность пространств Н002 (£) и Д^Е).

2

В результате получили, что условие (5) выполнено при п. в. 4 € (0,Т) в смысле (23).

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Khludnev A. M. On equilibrium problem for a plate having a crack under the creep condition // Control Cybernetics. 1996. V. 25, N 5. P. 1015-1030.

2. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.

3. Popova T. S. The equilibrium problem for a linear viscoelastic body with a crack // Мат. заметки ЯГУ. 1998. Т. 5, № 2. С. 118-134.

4. Попова T. С. Метод фиктивных областей в задаче Синьорини для вязкоупругих тел // Мат. заметки ЯГУ. 2006. Т. 13, № 1. С. 105-120.

5. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

6. Khludnev A. M., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Math. Meth. Appl. Sci. 2010. V. 33, N 16. P. 1955-1967.

7. Хлуднев А. М. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 5. С. 98-110.

В [7] прошу указать номер тома!!!

8. Lazarev N. P. An equilibrium problem for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2013. V. 6, N 1. P. 53-62.

9. Неустроева Н. В. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 4. С. 92-105.

10. Неустроева Н. В. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, № 4. С. 51-64.

11. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988.

12. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.

13. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

14. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983.

15. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: Изд-во Моск. гос. академии приборостроения и информатики, 1997.

16. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

17. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

18. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

Статья поступила 12 марта 2014 г. Попова Татьяна Семеновна

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, кафедра математического анализа, ул. Белинского, 58, Якутск 677000, Республика Саха (Якутия) ptsoktSmail.ru