Задача сопряжения упругого включения Тимошенко и полужесткого включения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2018. Том 25, № 1

УДК 539.3+517.958

ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ УПРУГОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ТИМОШЕНКО И ПОЛУЖЕСТКОГО ВКЛЮЧЕНИЯ А. М. Хлуднев, Т. С. Попова

Аннотация. Исследуется краевая задача, описывающая равновесие двумерного упругого тела с двумя тонкими сопрягающимися включениями при наличии отслоения. При этом одно из включений является упругим, а другое — полужестким. Наличие отслоения означает существование трещины между включениями и упругим телом. На берегах трещины задаются нелинейные краевые условия вида неравенств, которые не позволяют противоположным берегам трещин проникать друг в друга. Указанные краевые условия приводят к формулировке проблемы в виде задачи с неизвестным множеством контакта. Приведена как дифференциальная постановка в виде краевой задачи, так и вариационная постановка в виде задачи минимизации функционала энергии на выпуклом множестве допустимых перемещений. Обоснована однозначная разрешимость поставленной задачи. Показана эквивалентность дифференциальной и вариационной постановок. Исследован предельный переход по параметру жесткости тонкого упругого включения. Найдены условия сопряжения как для исходной задачи, так и для предельной.

Б01: 10.25587/8УРи.2018.1Л2770

Ключевые слова: включение Тимошенко, полужесткое включение, упругое тело, трещина, нелинейные краевые условия

1. Формулировка задачи равновесия. Поведение и свойства композитных материалов в значительной степени зависят от свойств связующего и характера его контакта с наполнителем. В качестве наполнителя часто выступают тонкие волокна (включения). В свою очередь, моделирование поведения волокон может быть разным с точки зрения математической модели; при этом качество модели сильно влияет на конечный результат. В последние годы выполнено большое число работ, в которых поведение волокон описывается на основе моделей балок Бернулли — Эйлера и Тимошенко и различных предельных моделей, получаемых после переходов к пределу по физическим параметрам [1-5]. При этом допускалось отслоение волокон от связующего, что с точки зрения математической модели означает наличие разреза (трещины) в области решения. Как известно, классический подход к описанию трещин в деформируемых телах характеризуется линейными краевыми условиями на берегах. При этом модели допускают взаимное проникание берегов, что противоречит практике [6]. В указанных выше работах, относящихся к тонким включениям, на берегах трещин задавались нелинейные краевые условия, не допускающие взаимного проникания берегов. В этом случае рассматриваемые задачи относятся

© 2018 Хлуднев А. М., Попова Т. С.

к классу проблем с неизвестным множеством контакта. По поводу различных краевых задач теории трещин с краевыми условиями взаимного непроникания берегов можно обратиться к [7-23].

Существуют и другие подходы, используемые для описания включений в упругих телах без отслоения [24-28].

Следует также подчеркнуть трудность отыскания краевых условий в точке контакта включений. Указанные точки являются точками сопряжения, поэтому вид соответствующих краевых условий зависит от моделей, используемых для описания включений. Отметим большое число работ, в которых исследовались задачи сопряжения как в случае тонких включений, так и в других ситуациях [29-37].

В данной работе исследуется задача сопряжения двух тонких включений, расположенных в упругом теле. Как было отмечено, предельные переходы по параметрам для включений Бернулли — Эйлера и Тимошенко приводят к различным предельным моделям для тонких включений. В частности, можно получить несколько разных с точки зрения моделирования полужестких включений. Мы рассматриваем случай полужесткого включения, полученного из модели Бернулли — Эйлера при переходе параметра жесткости к бесконечности [3]. Указанная модель содержит обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка для определения прогиба тонкого включения с правой частью, учитывающей влияние окружающего упругого тела; касательные перемещения тонкого включения при этом имеют заданную структуру.

Содержание работы таково. В разд. 1 формулируется задача равновесия упругого тела с упругим и полужестким включением. Установлена эквивалентность вариационной и дифференциальной постановок. Найдены условия сопряжения в точке контакта тонких включений. В разд. 2 обоснована возможность предельного перехода по параметру жесткости упругого включения и найдены условия сопряжения в точке контакта.

Приведем формулировку задачи равновесия упругого тела с двумя тонкими включениями. Пусть £ С К2 — ограниченная область с гладкой границей Г, 7 С = £ \ 7, где

= (-1, 0) х {0}, = (0,1) х {0}, 7 = ъ и 7* и{(0,0)}}.

Считаем, что срединная линия тонкого упругого включения совпадает с 7<; а 7з совпадает со срединной линией полужесткого включения. Таким образом, 7 можно рассматривать как неоднородное включение, состоящее из двух частей 7^7^ Упругое тело при этом занимает область (рис. 1). Для описания упругого включения используется модель балки Тимошенко (см., например, [38]), а для описания полужесткого включения — модель, полученная из балки Бернулли — Эйлера предельным переходом по параметру жесткости [3]. Пусть V = (0,1) — единичный вектор нормали к 7, а т = (1, 0); А = {а^и}, г,к, I =1, 2, — заданный положительно определенный тензор коэффициентов

упругости:

aijki = ajiki = akiij, k, l = 1, 2; aijki £ LTO(Q),

ajkiPjPki > co|p|2 для всех j = pj, co = const > 0.

По повторяющимся индексам производится суммирование. Все величины с двумя нижними индексами в дальнейшем считаются симметричными по этим индексам; f = (fi, f2) £ L2(Q)2 — заданный вектор внешних сил, действующих на упругое тело.

Будем предполагать, что положительный (по отношению к нормали v) берег включения y отслаивается, образуя тем самым трещину между упругим телом и включением. На берегах трещины будем задавать краевые условия вида неравенств, обеспечивающие взаимное непроникание берегов. Постановка задачи равновесия упругого тела с включениями Yt, Ys состоит в следую-

щем. Найти вектор перемещений и = (и^иг) и тензор напряжений о = {о^},

г,^ = 1, 2, определенные в , и функции определенные для 7, 7, 7г соответственно, а также постоянную со такие, что

- о = /, о - Ае(и) = 0 в , (1.1)

—шц = [от ], -р,п + V, 1 + р = 0, -«и - = [о^ ] на 7г, (1.2)

^ = со, V, 1111 = [о^] на ъ, (1.3)

и = 0 на Г; ад = и—, V = и- на 7, (1.4)

v,11 = VJ111 = 0 при х1 = 1; р + V,!, = адд = рд = 0 при х1 = -1, (1.5)

к] > 0, о+ < 0, о+ = 0, о+К] = 0 на 7, (1.6)

"и(0+) = -рд(0-), V,ш(0+) = -(v,l + р)(0-), (1.7)

^(0+) = -р(0-); [v(0)] = [Ц0)] = 0; ад,1(0-) = 0, ^ о— = 0. (1.8)

Здесь [к] = к+ — к- — скачок функции к на 7, где к± — значения функции к на положительном и отрицательном берегах разреза в соответствии с выбранным направлением нормали ь>; [р(0)] = р(0+) — р(0—), рд = е(и) = {е^(и)} — тензор деформаций, е^{и) = +Uj¡i), г,] = 1,2; (IV = (a^ljVj,a^2jVj), сг„ =

^VI, от = (о^)т, = пи. При этом (1.1) — уравнения равновесия упругого тела и уравнение состояния (закон Гука), а (1.2) представляют уравнения равновесия тонкого включения 7^ Уравнения для этого тонкого включения в точности соответствуют модели упругой балки Тимошенко. Правые части [<г^], [о"т] в уравнениях (1.2) описывают силы, действующие на включение со стороны упругого тела. Соотношения (1.3) относятся к полужесткому включению 73. В частности, имеем уравнение четвертого порядка для вертикальных (вдоль оси ж2) перемещений этого включения, а горизонтальные (вдоль оси жх) перемещения постоянны. Первое краевое условие из (1.6) обеспечивает взаимное непроникание берегов трещины. Второе и третье условия (1.4) гарантируют равенство перемещений точек упругого тела и тонкого включения на 7-. Вторая группа краевых условий (1.5) соответствуют нулевому моменту, нулевой перерезающей силе и нулевой деформации растяжения (сжатия) тонкого включения 74 в точке жх = —1. Первые четыре условия (1.8) и условия (1.7) являются условиями сопряжения тонких включений в точке (0, 0). Что касается оставшихся краевых условий (1.6), то они являются типичными при формулировке краевых задач с неизвестной областью контакта (см. [10]). В частности, если в заданной точке жо контакт отсутствует, т. е. [и^(жо)] > 0, получаем нулевое значение поверхностной силы: (жо) = 0. С другой стороны, если поверхностная сила ненулевая, т. е. <г+ (жо) < 0, то имеем условие контакта [и^(жо)] = 0. Наконец, последнее условие (1.8) обеспечивает равенство нулю сил, действующих вдоль оси жх на полужесткое включение 73.

Для простоты физические параметры в уравнениях равновесия (1.2) для упругого включения и во втором уравнении (1.3) взяты равными единице. В дальнейшем зависимость от параметра, характеризующего жесткость включения 74, будет исследована подробно (см. разд. 3). В частности, будет обоснована возможность предельного перехода по этому параметру при его стремлении к бесконечности.

Как показано ниже, соотношения (1.1)—(1.8) в точности эквивалентны вариационной формулировке задачи минимизации функционала энергии на подходящем множестве функций. При этом функционал энергии будет содержать слагаемые, соответствующие энергии деформирования упругого тела, работе внешних сил, энергии деформирования включения 74 и энергии изгиба включения 7в. Приведем вариационную формулировку задачи (1.1)—(1.8). Введем в рассмотрение вспомогательный функционал

Р(Ф) = \ I+ +<^)2}, ф = (у,ии,1р),

действующий из Н 1(7г)3 в М. Определим функционал энергии

7г(и, = ^ J <?{и)е{и) - I /и + Р(ф) + ^у2п; Ф = К </>)•

Здесь и далее для краткости оу (и)£у (и) обозначается через о(и)е(и). Введем пространство функций

н = {(и,ф) | и е Н1(07)2, (V,™) е н 1(7)2, р е н 1(7<);

v|7s е н2Ы,И7з е М; ф =

и множество допустимых перемещений

К = {(и,ф) е Н | [и„] > 0, V = и—, ад = и— на 7; vIl(0+) = -р(0-)},

где

н1(07) = {С е Н 1(07) | С = 0 на Г}. Тогда задача минимизации:

найти (и, ф) е К так, что п(и, ф) = п, имеет решение, удовлетворяющее вариационному неравенству

(и,ф) е К, (1.9)

У о(и)е(и - и) - У /(и - и) + ^'(ф)(ф - ф)

+ / vJl1(VJl1 - vIl1) > 0 для всех (и, ф) е К. (1.10)

Задача (1.9), (1.10) разрешима. Для доказательства разрешимости фактически требуется установить коэрцитивность функционала п на множестве К, так как слабая полунепрерывность снизу этого функционала очевидна. При (и, ф) е К и а > 0 имеем

7г(и, ф) = - ! гт{и)е{и) - J /и + .Р(?/>) + 2 У ^Д1 ^ а J^ + ^^ ^ =

О^ О^ 7з 7

В силу краевых условий ад = и—, V = и— на 7, неравенства Корна и теорем вложения справедливо следующее неравенство при малых а: 1

^ J ст{и)е{и) -aJ(v2+w2) > 0. (1.11)

^ I 1)\П,Ц-\П,> - ГУ I 1 7'2 1

О^ 7

Воспользовавшись леммой, доказанной в [2], получим, что существуют постоянные с1, с2, С3, не зависящие от функций, такие, что

а !{V2 + ии2) +а J(У2 +ъи2) + !{г^ + <р2г + (Уа +р)2}

74 7з 74

1

+ Ц У2и>С1\\(у, IV, р)\\2нгЫ]3 +с2|М|2Р(7з) +Сз|И|^1(7з). (1Л2)

Здесь мы принимаем во внимание тот факт, что w = const на ys. Таким образом, из (1.11), (1.12) вытекает, что

n(u, ф) ^ ||(и,-^)||я ^ го, (u, ф) G K, ф = (v,w,<),

что означает коэрцитивность функционала п.

Ниже доказывается, что на классе гладких решений задачи (1.1)—(1.8) и (1.9), (1.10) эквиваленты. Это означает, что все соотношения (1.1)—(1.8) вытекают из (1.9), (1.10) и, обратно, неравенство (1.9), (1.10) можно вывести из (1.1)-(1.8).

Предложение 1. Формулировки (1.1)—(1.8) и (1.9), (1.10) эквивалентны на классе достаточно гладких решений.

Доказательство. Пусть выполнено (1.9), (1.10). Подстановкой в (1.10) тестовых функций вида (u, ф) = (u, ф) ± (u, 0), U G C0°(O7)2, можно получить уравнение равновесия (см. (1.1)). Второе и третье условия из (1.8) выполнены в силу теорем вложения, так как v,w G H 1/2(y). Подставим в (1.10) функцию (u, ф) = (u, ф) ± (u, ф), (u, ф) G K, ф = (v, w, <¿3), [uv] = 0 на 7. Получим

У o-(u)e(u) - J /u + У {w,iw,i + <,1<3,1 + (v,i + <)(v,i + <)} + J v,nv,n = 0.

Yt Ys

Интегрирование по частям здесь дает

- J[(°"V)u] - J{w,iiw + (<,ii - v,i - <)<3 + (v,ii + <,i)v}

Y Yt

+ / «,1111«+ гдг— + <д<3|-1 + («,1 + <)« — + «д^д^ — «дп«^ = 0. (1.13)

Та

Выбирая в (1.13) тестовые функции, обладающие свойствами V = г« = <¿3 = 0 при ж1 = —1; г« = с € К на 73,

<¿3 = 0 при ж1 = 0—, V = «д =0 при ж1 = 0+, 1,

найдем

— J[<т^— J\°тйт] — J{гд1гй + (<,11 — «,1 — <)<3 + («,п + <,1)3}

(1.14)

+ J v,iiiiv + (w,iw)(0-) = 0. (1.15)

Y

В силу произвольности й+ получаем = 0 на 7. Учитывая условия й— = г«, й- = V на 7, из (1.15) получим уравнения (1.2) и второе уравнение из (1.3). Более того, поскольку постоянная с из (1.14) выбирается произвольным образом, из (1.15) следует последняя группа условий (1.8).

Вернемся к тождеству (1.13), справедливому для всех указанных выше функций (и, -г/)). В силу уже доказанных уравнений и краевых условий получим

(ад,1«)|-1 + (р,1р)1—1 + ((V,! + р)£)|°-1 + (V,11/3,1)10 - (^,111«)|1 = 0. (1.16)

Из этого тождества получаем справедливость краевых условий (1.5) для ад, V, р и, таким образом, из (1.16) следует, что

(р,1р)(0—) + ((ид + р)й)(0—) - («11/д)(0+) + (щ,111«)(0+) = 0.

Поскольку й(0+) = И(0—) и р(0—) = —V, 1 (0+), отсюда убеждаемся в справедливости краевых условий из (1.7). Второе, третье и четвертое условия из (1.6) стандартны для контактных задач с неизвестным множеством контакта с тонкими включениями, поэтому их вывод из (1.9), (1.10) опустим (см. [2, 3,10]). Таким образом, из (1.9), (1.10) следуют все соотношения (1.1)—(1.8). Обратно, пусть выполнены соотношения (1.1)—(1.8). Докажем, что соответствующие функции удовлетворяют вариационному неравенству (1.9), (1.10). Выберем произвольную функцию (и, г—) € К, — = (ад, г>,р). Из (1.1)—(1.3) следу-

I (— ¿1у а — / )(и — и) — J (ад, 11 + [о> ])(« — ад) — 7^,11 + р,1 + О ])(и — +

О^ 74

+ У (—р,11 + и,1 + р)(р — р) + У (и,1111 — о ])(и — V) = 0.

74

Интегрируя здесь по частям, получим

У а(и)е(и — и) — У /(и — и) + J[а^(и — и)]

О7 О^ 7

+ У {«,1(«,1 — «,1) + р,1(<р,1 — р,1) + («1 + р)(«,1 + р — -Уд — р)}

74

+ У ^пСй п^п) — У [а^ ](7 — V) — У {[стт ](« — ад) + О ](й — V)}

74

— адд(ад — г)|-1 — рд(р — р) |—1 — («д + р)(« — V) |—1

+ «ш^ — и)|0 — «и^д — ^,1)11 = 0. (1.17)

С учетом краевых условий (1.5), (1.7), первого и последнего из условий (1.8) для вывода вариационного неравенства (1.10) из (1.17) достаточно доказать,

что справедливо соотношение

У [о^ (г^ - )] + У [от (ит - ит)] - J [о^ ](« - V)

7 74 7з

- У{[от](й - ад) + О](/ - V)} < 0. (1.18)

74

Однако справедливость неравенства (1.18) легко проверяется с помощью краевых условий (1.4), (1.6).

Таким образом, из (1.1)—(1.8) получаем (1.9), (1.10). Предложение 1 полностью доказано.

2. Предельный переход по параметру жесткости. В этом разделе введем положительный параметр в модель (1.1)—(1.8). Этот параметр будет характеризовать жесткость тонкого включения 74. Целью проводимых ниже рассуждений является обоснование возможности предельного перехода при стремлении указанного параметра к бесконечности. Итак, пусть 6 > 0 — параметр. Для каждого 6 можно найти единственное решение задачи

(и5,-5) е к, (2.1)

У о(и5)е(и - и5) - у /(й - и5) + 6^'(¡5)(- - -5)

+ У V5!! (й 11 - -и5и) > 0 для всех (й, -) е к. (2.2) Задача (2,1), (2.2) соответствует минимизации функционала энергии

1 Г , , , , , 1

2 У - У ¡и + 5Р(ф) + 1 Jv*n, ф = (у,'ш,(р),

на множестве К и на классе гладких решений эквивалентна следующей дифференциальной постановке: найти вектор перемещений и5 = (и!,и2) и тензор напряжений о5 = {о^}, г,^ = 1, 2, определенные в 07, и функции V5, ад5, , определенные на 7, 7, 74 соответственно, а также постоянную с0 такие, что

- о5 = /, о5 - Ае(и5) = 0 в , -6адг11 = ], -6<г11 + 6^ + 6/ = 0, -6^п - = [^] на 7<, ад5 = с^ -у51111 = на , и5 = 0 на Г; ад5 = и^-, V5 = на 7,

5 5 п 1 5,5 5 5 п 1

г>,п = « д11 = 0 при х1 = 1; < + « д = ад д = < д = 0 при х1 = -1,

К] > 0, < 0, =0, К] = 0 на 7,

г'д1(0+) = — ¿р51(0—), V ,111(0+) = —6^ + рй )(0—),

vfl(0+) = —р' (0—); [Vй (0)] = [гй (0)] = 0; «'1(0—) = 0, | а^- = 0.

Тз

Сначала получим априорные оценки решения задачи (2.1), (2.2). Из (2.2) при а > 0 имеем

/ а(ий)е(ий) — | /ий + б|{(гй1)2 + (р'О2 + (Vй + рй)2}

О^ О^ 74

+ 1 (^ц)2 ± а|{(гй)2 + (Vй)2} = 0. (2.3)

Тз 7

В силу неравенства Корна, краевых условий (1.4) и теорем вложения при малых а имеем

\ I + 0.

О^ 7

Применяя рассуждения, использованные при доказательстве коэрцитивности функционала п, при 6 > ¿о > 0 получим

11и Нн1 (О7)2 < с, У(Vй,гй)Уя!(7)2 < с, |И|Я2(7.) + УрйУя!(74) < с (2.4)

и равномерно по 6

{(«1)2 + (рй1)2 + (^1 + рй)2} < с. (2.5)

74

В силу (2.4), (2.5) можно предполагать, что при 6 ^ то

ий ^ и слабо в Н (07)2, Vй ^ V слабо в Н2(78), (2.6)

(Vй,«й) ^ (V,г) слабо в Н%)2, рй ^ р слабо в Н %*), (2.7)

«,1 = 0, р,1 =0, + р = 0 на 74. Следовательно, существуют постоянные с1, с2, С3 такие, что

г(ж1) = С1, р(ж1) = С2, ^(0:1) = —С2Ж1 + сз на 74.

Введем множество допустимых перемещений для предельной задачи

= {(и^) | и € Н1(07)2; v|7s € Н2(7Д € Д7*);

и—17 € М; [и^] > 0, V = и- на 7; [^1(0)] = 0},

где

£(7*) = {1 I 1(01) = с1Х1 + со на 74; со, с1 € М}.

При определении множества £(7*) считается, что постоянные со, с1 произвольны.

Возьмем теперь произвольный элемент (и, 7) € КТогда «(ж1) = Ьо + 61X1 на 74; € К, г = 0,1; и—|7 = со € К. Положим ^ = («,«7, <), где «7 = со на 7, < = —Ьх на 74. В этом случае (и, яр) (Е -ЙГ. Подставим элемент (и, яр) в качестве тестовой функции в (2.2) и перейдем к пределу при 6 ^ го на основе сходимости

(2.6), (2.7). Получим

(и,«) € К(2.8) У а(и)е(и - и)/(и - U) + J «,11(«,11 - ) > 0 для всех (и, 77) € К(2.9)

Следует пояснить принадлежность предельного элемента (и,«) множеству К В частности, требует пояснения условие [г>д(0)] = 0. При 6 > 0 мы имели (и5) € К, в частности, г><51(0+) = -<5(0-). В силу указанной сходимости г>5, <5 это условие будет выполнено и в пределе при 6 ^ го, т. е. г>д(0+) = -<(0-). Однако <(0-) = с2, г>д(0-) = -с2, поэтому [г>д(0)] = 0. Кроме того, ясно, что для предельной функции « из (2.7) будем иметь [«(0)] = 0 и, таким образом, « = и—|7 € К. Все остальные условия, необходимые для принадлежности множеству Кдля предельного элемента (и,«) очевидны. Итак, доказано следующее утверждение.

Теорема. Решения задачи (2.1), (2.2) сходятся при 6 ^ го в смысле (2.6),

(2.7) к решению задачи (2.8), (2.9).

Задача (2.8), (2.9) описывает равновесие упругого тела с тонким включением 7, которое отслаивается на положительном берегу. Более того, часть 74 включения является жесткой, а часть 78 — полужесткой.

Приведем дифференциальную формулировку задачи (2.8), (2.9). Требуется найти вектор перемещений и = (и1,и2) и тензор напряжений а = {<Гу}, г, = 1, 2, определенные в 07, и функцию определенную на 7, а также постоянные Ьо, ао, а1 такие, что

- а = /, а - Ае(и) = 0 в 07, (2.10)

«,1111 = а] на 78; «,11 = «,111 =0 при Ж1 = 1, (2.11)

и = 0 на Г; Ьо = и-, « = и- на 7, (2.12)

[«(0)] = 0, [«,1 (0)]=0; «(ж1) = ао + а.1жь Ж1 € (-1,0), (2.13)

К] > 0, а+ < 0, а+ = 0, а+ [и„] = 0 на 7; ^ а- =0, (2.14)

7

У а ]1 - («,111)(0+)1(0-) + «,11(0+)1,1(0-) = 0 для всех 1 € Ь(7<). (2.15)

74

Учитывая структуру элементов пространства ¿(74), заметим, что тождество (2.15) можно переписать в виде двух соотношений

- У К ] + V,111(0+) = 0, У ]Х1 + «11(0+) = 0,

74 74

которые имеют ясный физический смысл.

Предложение 2. Формулировки (2.8), (2.9) и (2.10)-(2.15) эквивалентны на классе достаточно гладких решений.

Доказательство. Пусть выполнено (2.8), (2.9). Возьмем в (2.9) тестовую функцию (и, г>) = (и,«) ± (и, 0), и € С0°(О7)2. Получим уравнение равновесия (см. (2.10)). Далее выберем в (2.9) тестовую функцию вида (и, г>) = (и, г>)±(й, 55), (й,й) € К[г^] = 0 на 7. Будем иметь тождество

У ст(и)е(й)/и + У V,пин = 0.

Отсюда следует после интегрирования по частям

^ У [(<г^)и] + у V,ццй + V,ц*5,111 - V, 111V|0 = 0

или

— J-J-J[°т*5т] + У «11115 + V, 11V, 111 - ^,т*5|1 = 0. (2.16)

74 Та 7 7з

В силу произвольности величин *5± отсюда заключаем, что

= 0 на 7; У о-— = 0.

7

Кроме того, из (2.16) получаем

«дш = [о^] на 78; V,!! = «дц = 0 при Ж1 = 1. Итак, из (2.16), обозначая |74 через I, имеем

У К - («,111)(0+)г(0-) + «,11(0+)г,1(0-) = 0 для всех I € ¿(74),

74

т. е. тождество (2.15). При этом мы воспользовались тем, что 1,1(0-) = «,1(0+).

Справедливость оставшихся краевых условий (2.14) сомнений не вызывает. Они стандартны для задач с неизвестным множеством контакта при наличии упругих, жестких или полужестких включений (см. [2,3,10]). Итак, из (2.8), (2.9) вытекают все условия (2.10)-(2.15).

ем

Докажем обратное. Пусть выполнены все соотношения (2.10)—(2.15). Име-I( — div а — f )(и — и) + J(«,11ц — [<г^])(г — V) = 0 для всех (и, гг) € К

Ys

Интегрируя здесь по частям, находим

У o-(u)e(U - u) У f (u - u) + У [ctv(u - u)] + У v,ii(V,ii - xv,n)

Oy Oy Y Ys

-J К ](v - v) + v,iii (v - v)|0 - v,ii(i,i - v,i)|1 =0. (2.17)

Ys

Для того чтобы доказать справедливость вариационного неравенства (2.9), из (2.17) достаточно установить, что

у [<rv(u - u)]+y v,ii(v,ii - v,ii)-J [^v ](V - v)+ v,iii(v - v)|! - v,ii(v,i - v,i)|! < 0.

Y Ys Ys

(2.18)

Однако справедливость неравенства (2.18) легко проверяется в силу краевых условий (2.14), (2.15).

Предложение 2 доказано.

В заключение отметим, что условия сопряжения для предельной модели (2.10)-(2.15) характеризуются первыми двумя равенствами (2.13) и тождеством (2.15). Горизонтальные перемещения включений Yt,Ys в точке (0, 0) совпадают в силу (2.12) и равны bo

ЛИТЕРАТУРА

1. Khludnev A. M., Negri M. Crack on the boundary of a thin elastic inclusion inside an elastic body // Z. Angew. Math. Mech. 2012. V. 92. N 5. P. 341-354.

2. Itou H., Khludnev A. M. On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies // Math. Meth. Appl. Sci. 2016. V. 39, N 17. P. 4980-4993.

3. Khludnev A. M., Leugering G. R. Delaminated thin elastic inclusion inside elastic bodies // Math. Mech. Complex Systems. 2014. V. 2. N 1. P. 1-21.

4. Khludnev A. M., Leugering G. R. On Timoshenko thin elastic inclusions inside elastic bodies // Mathematics and Mechanics of Solids. 2015. V. 20, N 5. P. 495-511.

5. Хлуднев A. M. Оптимальное управление включениями в упругом теле, пересекающими внешнюю границу // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. Т. 18. № 4. С. 75-87.

6. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

7. Khludnev A. M. Singular invariant integrals for elastic body with delaminated thin elastic inclusion // Quart. Appl. Math. 2014. V. 72, N 4. P. 719-730.

8. Itou H., Khludnev A. M., Rudoy E. M., Tani A. Asymptotic behaviour at a tip of a rigid line inclusion in linearized elasticity // Z. Angew. Math. Mech. 2012. V. 92, N 9. P. 716-730.

9. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.

10. Хлуднев А.М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

11. Ковтуненко В. А. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67, вып. 1. С. 109-123.

12. Kovtunenko V. A. Primal-dual methods of shape sensitivity analysis for curvilinear cracks with nonpenetration // IMA J. Appl. Math. 2006. V. 71, N 5. P. 635-657.

13. Knees D., Schroder A. Global spatial regularity for elasticity models with cracks, contact and other nonsmooth constraints // Math. Methods Appl. Sci. 2012. V. 35, N 15. P. 1859-1884.

14. Рудой Е. М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова — Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика.

2010. Т. 10, вып. 2. C. 98-117.

15. Рудой Е. М. Асимптотика функционала энергии для трехмерного тела с жестким включением и трещиной // Прикл. математика и техн. физика. 2011. Т. 52, № 2. С. 114-127.

16. Хлуднев А. М. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 5. C. 98-110.

17. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пологой облочки Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 3. С. 58-69.

17. Хлуднев A. M. О равновесии двуслойной упругой конструкции с трещиной // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 2. С. 144-153.

18. Щербаков В. В. Об одной задаче управления формой тонких включений в упругих телах // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 1. С. 138-147.

19. Щербаков В. В. Существование оптимальной формы тонких жестких включений в пластине Кирхгофа — Лява // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 4. С. 142-151.

20. Lazarev N. P. Shape sensitivity analysis of the energy integrals for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion // Z. Angew. Math. Phys. 2015. V. 66, N 4. P. 2025-2040.

21. Lazarev N. P., Rudoy E. M. Shape sensitivity analysis of Timoshenko's plate with a crack under the nonpenetration condition // Z. Angew. Math. Mech. 2014. V. 94. P. 730-739.

22. Рудой Е. М., Хлуднев А. М. Односторонний контакт пластины с тонким упругим препятствием // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 2. C. 120-130.

23. Shcherbakov V. V. The Griffith formula and J-integral for elastic bodies with Timoshenko inclusions // Z. Angew. Math. Mech. 2016. V. 96, N 11. P. 1306-1317.

24. Bessoud A.-L., Krasucki F., Serpilli M. Plate-like and shell-like inclusions with high rigidity // Compt. Rend. Math. 2008. V. 346, S. I. P. 697-702.

25. Bessoud A.-L., Krasucki F., Michaille G. Multi-materials with strong interface: Variational modelings // Asymptotic Analysis. 2009. V. 61, N 1. P. 1-19.

26. Pasternak I. M. Plane problem of elasticity theory for anisotropic bodies with thin elastic inclusions // J. Math. Sci. 2012. V. 186, N 1. P. 31-47.

27. Vynnytska L., Savula Y. Mathematical modeling and numerical analysis of elastic body with thin inclusion // Comput. Mech. 2004. V. 50. N 5. P. 533-542.

28. Kozlov V. A., Maz'ya V. G., Movchan A. B. Asymptotic analysis of fields in a multi-structure. New York: Oxford Univ. Press, 1999. (Oxford Math. Monogr.).

29. Le Dret H. Modeling of the junction between two rods //J. Math. Pure Appl. 1989. V. 68. P. 365-397.

30. Titeux I., Sanchez-Palencia E. Junction of thin plate // Europ. J. Mech. A/Solids. 2000. V. 19. N 3. P. 377-400.

31. Gaudiello A., Zappale E. Junction in a thin multidomain for a forth order problem // Math. Models Methods Appl. Sci. 2006. V. 16. N 12. P. 1887-1918.

32. Gaudiello A., Zappale E. A model of joined beams as limit of a 2D plate //J. Elasticity.

2011. V. 103, N 2. P. 205-233.

33. Ciarlet P. G., Le Dret H., Nzengwa R. Junctions between three dimensional and two dimensional linearly elastic structures //J. Math. Pures Appl. 1989. V. 6. P. 261-295.

34. Faella L., Khludnev A. M., Popova T. S. Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Mathematics and Mechanics of Solids. 2017. V. 22. N 4. P. 737750.

35. Khludnev A. M., Popova T. S. On the mechanical interplay between Timoshenko and semirigid inclusions embedded in elastic bodies // Z. Angew. Math. Mech. . 2017. V. 97, N 11. P. 14061417.

36. Khludnev A. M., Popova T. S. Junction problem for rigid and semi-rigid inclusions in elastic bodies // Arch. Appl. Mech. 2016. V. 86, N 9. P. 1565-1577.

37. Khludnev A. M., Popova T. S. Junction problem for Euler—Bernoulli and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Quart. Appl. Math. 2016. V. 74, N 4. P. 705-718.

38. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Механика твердых деформируемых тел. Т. 5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1973.

Статья поступила 28 ноября 2017 г. Хлуднев Александр Михайлович

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, пр. Акад. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090; Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090 khlud@hydro.nsc.ru

Попова Татьяна Семеновна

Северо-Восточный Федеральный университет им. М.К. Аммосова, ул. Белинского, 58, Якутск 677000 ptsoktSmail.ru

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2018. Том 25, № 1

UDC 539.3+517.958

ON JUNCTION PROBLEM FOR ELASTIC TIMOSHENKO INCLUSION AND SEMI-RIGID INCLUSION A. M. Khludnev and T. S. Popova

Abstract: An equilibrium problem for elastic bodies with a thin elastic inclusion and a thin semi-rigid inclusion is investigated. The inclusions are assumed to be delaminated from the elastic bodies, forming therefore a crack between the inclusions and the elastic matrix. Nonlinear boundary conditions are considered at the crack faces to prevent mutual penetration between the crack faces. The inclusions have a joint point. We present both differential formulation in the form of a boundary value problem and a variational formulation in the form of a minimization problem for an energy functional on a convex set of admissible displacements. The unique solvability of the problem is substantiated. Equivalence of differential and variational statements is shown. Passage to the limit is investigated as the rigidity parameter of the elastic inclusion goes to infinity. The limit model is analyzed. Junction boundary conditions are found at the joint point for the considered problem as well as for the limit problem.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.1.12770

Keywords: Timoshenko inclusion, semi-rigid inclusion, elastic body, crack, nonlinear boundary conditions.

REFERENCES

1. Khludnev A. M. and Negri M., "Crack on the boundary of a thin elastic inclusion inside an elastic body," Z. Angew. Math. Mech., 92, No. 5, 341-354 (2012).

2. Itou H. and Khludnev A. M., "On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies," Math. Meth. Appl. Sci., 39, No. 17, 4980-4993 (2016).

3. Khludnev A. M. and Leugering G. R., "Delaminated thin elastic inclusion inside elastic bodies," Math. Mech. Complex Syst., 2, No. 1, 1-21 (2014).

4. Khludnev A. M. and Leugering G. R., " On Timoshenko thin elastic inclusions inside elastic bodies," Math. Mech. Solids, 20, No. 5, 495-511 (2015).

5. Khludnev A. M., "Optimal control of inclusions in an elastic body crossing the external boundary [in Russian]," Sib. Zh. Ind. Mat., 18, No. 4, 75-87 (2015).

6. Morozov N. F., Mathematical Questions of the Crack Theory [in Russian], Nauka, Moscow (1984).

7. Khludnev A. M., "Singular invariant integrals for elastic body with delaminated thin elastic inclusion," Q. Appl. Math., 72, No. 4, 719-730 (2014).

8. Itou H., Khludnev A. M., Rudoy E. M., and Tani A., "Asymptotic behaviour at a tip of a rigid line inclusion in linearized elasticity," Z. Angew. Math. Mech., 92, No. 9, 716-730 (2012).

9. Khludnev A. M. and Kovtunenko V. A., Analysis of Cracks in Solids, WIT Press, Southampton; Boston (2000).

10. Khludnev A. M., Problems of Elasticity Theory in Nonsmooth Domains [in Russian], Fizmat-lit, Moscow (2010).

© 2018 A. M. Khludnev, T. S. Popova

11. Kovtunenko V. A., "Invariant energy integrals for the nonlinear crack problem with possible contact of the crack surfaces," J. Appl. Math. Mech., 67, No. 1, 99-110 (2003).

12. Kovtunenko V. A., "Primal-dual methods of shape sensitivity analysis for curvilinear cracks with nonpenetration," IMA J. Appl. Math., 71, No. 5, 635-657 (2006).

13. Knees D. and Schroder A., "Global spatial regularity for elasticity models with cracks, contact and other nonsmooth constraints," Math. Methods Appl. Sci., 35, No. 15, 1859-1884 (2012).

14. Rudoy E. M., "The Griffith formula and Cherepanov-Rice integral for a plate with a rigid inclusion and a crack," J. Math. Sci., New York, 186, No. 3, 511-529 (2012).

15. Rudoy E. M., "Asymptotic behavior of the energy functional for a three-dimensional body with a rigid inclusion and a crack," J. Appl. Math. Mech., 75, No. 6, 731-738 (2011).

16. Khludnev A. M., "The problem for a crack on the border of a rigid inclusion in a elastic plate [in Russian]," Izv. Akad. Nauk, Mekh. Tvyord. Tela, No. 5, 98-110 (2010).

17. Lazarev N. P., "The equilibrium problem for a Timoshenko-type shallow shell containing a through crack," J. Appl. Ind. Math., 7, No. 1, 78-88 (2013).

17. Khludnev A. M., "On the equilibrium of a two-layer elastic body with a crack," J. Appl. Ind. Math., 7, No. 3, 370-379 (2013).

18. Shcherbakov V. V., "On an optimal control problem for the shape of thin inclusions in elastic bodies," J. Appl. Ind. Math., 7, No. 3, 435-443 (2013).

19. Shcherbakov V. V., "Existence of an optimal shape of the thin rigid inclusions in the Kirchhoff-Love plate," J. Appl. Ind. Math., 8, No. 1, 97-105 (2014).

20. Lazarev N. P., "Shape sensitivity analysis of the energy integrals for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion," Z. Angew. Math. Phys., 66, No. 4, 2025-2040 (2015).

21. Lazarev N. P. and Rudoy E. M., "Shape sensitivity analysis of Timoshenko's plate with a crack under the nonpenetration condition," Z. Angew. Math. Mech., 94, 730-739 (2014).

22. Rudoy E. M. and Khludnev A. M., "Unilateral contact of a plate with a thin elastic obstacle," Sib. Zh. Ind. Mat., 12, No. 2, 120-130 (2009).

23. Shcherbakov V. V., "The Griffith formula and J-integral for elastic bodies with Timoshenko inclusions," Z. Angew. Math. Mech., 96, No. 11, 1306-1317 (2016).

24. Bessoud A.-L., Krasucki F., and Serpilli M., "Plate-like and shell-like inclusions with high rigidity," Compt. Rend. Math., 346, No. I, 697-702 (2008).

25. Bessoud A.-L., Krasucki F., and Michaille G., "Multi-materials with strong interface: Variational modelings," Asympt. Anal., 61, No. 1, 1-19 (2009).

26. Pasternak I. M., "Plane problem of elasticity theory for anisotropic bodies with thin elastic inclusions," J. Math. Sci., 186, No. 1, 31-47 (2012).

27. Vynnytska L. and Savula Y., "Mathematical modeling and numerical analysis of elastic body with thin inclusion," Comput. Mech., 50, No. 5, 533-542 (2004).

28. Kozlov V. A., Maz'ya V. G., and Movchan A. B., Asymptotic Analysis of Fields in a Multi-Structure, Oxford Univ. Press, New York (1999). (Oxford Math. Monogr.).

29. Le Dret H., "Modeling of the junction between two rods," J. Math. Pure Appl., 68, 365-397 (1989).

30. Titeux I. and Sanchez-Palencia E., "Junction of thin plate," Eur. J. Mech., A, Solids, 19, No. 3, 377-400 (2000).

31. Gaudiello A. and Zappale E., "Junction in a thin multidomain for a fourth order problem," Math. Models Methods Appl. Sci., 16, No. 12, 1887-1918 (2006).

32. Gaudiello A. and Zappale E., "A model of joined beams as limit of a 2D plate," J. Elasticity, 103, No. 2, 205-233 (2011).

33. Ciarlet P. G., Le Dret H., and Nzengwa R., "Junctions between three dimensional and two dimensional linearly elastic structures," J. Math. Pures Appl., 6, 261-295 (1989).

34. Faella L., Khludnev A. M., and Popova T. S., "Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies," Math. Mech. Solids, 22, No. 4, 737-750 (2017).

35. Khludnev A. M. and Popova T. S., "On the mechanical interplay between Timoshenko and semirigid inclusions embedded in elastic bodies," Z. Angew. Math. Mech., 97, No. 11, 14061417 (2017).

36. Khludnev A. M. and Popova T. S., "Junction problem for rigid and semi-rigid inclusions in elastic bodies," Arch. Appl. Mech., 86, No. 9, 1565-1577 (2016).

37. Khludnev A. M. and Popova T. S., "Junction problem for Euler—Bernoulli and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies," Q. Appl. Math., 74, No. 4, 705-718 (2016).

38. Grigolyuk E. I. and Selezov I. T., Mekhanika Tvyordyh Deformiruemyh Tel. V. 5. Neklassiche-skie Teorii Kolebaniy Sterzhney, Plastin i Obolochek, Nauka, Moscow (1973).

Submitted November 28, 2017

Alexander M. Khludnev

Lavrentiev Institute of Hydrodynamics,

15 Lavrentiev Avenue, Novosibirsk 630090, Russia;

Novosibirsk State University,

1 Pirogov Street, Novosibirsk, 630090, Russia

khlud@hydro.nsc.ru

Tatyana S. Popova

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 58 Belinsky Street, Yakutsk 677000, Russia ptsoktSmail.ru