CC BY
16Математические заметки СВФУ Январь—март, 2016. Том 23, № 1
УДК 539.3+517.958
ОБ ИЕРАРХИИ ТОНКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ В УПРУГИХ ТЕЛАХ А. М. Хлуднев, Т. С. Попова
Аннотация. Обсуждаются модели тонких включений в упругих телах при наличии отслоений. Наличие отслоения означает существование трещины между включением и матрицей. На берегах трещины задаются нелинейные краевые условия вида неравенств, исключающие взаимное проникание берегов, что приводит к формулировке проблем в виде задач с неизвестной областью контакта. Исследуется взаимосвязь между существующими математическими моделями и возможность предельных переходов по параметрам, характеризующим жесткость тонких включений.
Ключевые слова: тонкое включение, упругое тело, трещина, нелинейные краевые условия, параметр жесткости, предельные модели.
Введение
Последние годы являются периодом интенсивного исследования задач равновесия упругих тел с тонкими включениями и трещинами. Качество математических моделей при этом существенно зависит от характера моделирования тонкого включения и вида краевых условий на берегах трещин. Краевые задачи становятся существенно более сложными в случае нелинейных краевых условий вида неравенств, обеспечивающих взаимное непроникание берегов [1—11]. Тонкие включения могут отслаиваться от матрицы, и таким образом трещины могут располагаться между включением и матрицей. В этом случае также имеет смысл рассматривать нелинейные краевые условия на берегах трещин. Существуют различные способы моделирования тонких включений, расположенных в упругих телах. В данной работе при моделировании упругих тонких включений используются модели типа Кирхгофа — Лява и Тимошенко. Укажем большое число работ, относящихся к указанному направлению исследований [12-25]. Другие подходы к моделированию тонких включений без отслоения имеются в [26-30]. Что касается классических подходов с линейными краевыми условиями для описания задач теории трещин, то читатель может обратиться к монографиям [26,27]. Результаты для объемных жестких включений, расположенных в упругих пластинах, можно найти в [31-35].
Цель данной работы — провести систематизацию математических моделей в задачах равновесия упругих тел с тонкими включениями при наличии
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки России в рамках базовой части государственного задания (проект №3047).
© 2016 Хлуднев А. М., Попова Т. С.
отслоений. Рассматриваемые модели характеризуются набором параметров, в зависимости от которых можно получить различные модели тонких включений. Полученные в работе результаты в определенном смысле устанавливают иерархию математических моделей тонких включений в упругих телах.
1. Тонкое включение Бернулли — Эйлера
Изотропное включение Бернулли — Эйлера. Пусть О С R2 — ограниченная область с гладкой границей Г, 7 = (0,1) х {0}, 7 С О, О7 = О\7 (рис. 1). Обозначим через v = (vi;v2) единичный вектор нормали к 7, т = (v2, —vi); A = {aijki}, = 1, 2, — заданный положительно определенный тензор
коэффициентов упругости
aijki = ajiki = akiij, aijki & LTO(0), k, l = 1, 2, aijki£ijЫ > co|C|2, Cij, co = const > 0.
Все величины с двумя нижними индексами предполагаются симметричными по этим индексам. По повторяющимся индексам проводится суммирование. В рассматриваемой модели область О7 соответствует упругому телу, а 7 — тонкой упругой балке с заданными свойствами. В частности, считаем, что поведение балки 7 описывается моделью Бернулли — Эйлера. Предположим, что отслоение тонкого включения имеет место на положительном берегу 7 +, и таким образом, между упругим телом и включением имеется трещина. Перемещения включения совпадают с перемещениями упругого тела на 7-. Пусть f = (fi, f2) & L2(0)2 — заданный вектор внешних сил, действующих на упругое тело.
Формулировка задачи равновесия упругого тела 07 с тонким упругим включением 7 состоит в следующем. Требуется найти поле перемещений и = (их, и2) и тензор напряжений а = |<Гу }, г,] = 1, 2, определенные на 07, и перемещения точек тонкого включения V, ад, определенные в 7, такие, что
— ^у а = / в , (1.1)
а - Ае(и) = 0 в 07, (1.2)
¿«ни = а], -¿^11 = [<гт] на 7, (1.3)
и = 0 на Г, V = и-, ад = и— на 7, (1.4)
-уд! = уди = = 0 при ж1 = 0,1, [и„] > 0, (Г+ < 0, = 0, [и^] =0 на 7.
(1.5)
(1.6)
Здесь [Л] = Н+ — Н- — скачок функции Н на 7, где Н± соответствуют следам Н на 7^. Знаки ± определяются по отношению к нормали г/, гид = (жх,ж2) €= О, е(и) = {£у(и)} — тензор деформаций, е^{и) = + Uj¡i), г,] = 1,2, <тг/ =
(суV?, (Т2?V?), = с?V?ст = • т, и^ = . Функции, определенные на 7, отождествляем с функциями переменного ж1.
Соотношения (1.1), (1.2) суть уравнения равновесия и закон Гука; соотношения (1.3) соответствуют уравнениям Бернулли — Эйлера для упругой балки 7. При этом правые части [<гт], [<г^] в (1.3) описывают влияние окружающей упругой среды на балку 7. Первое неравенство в (1.6) обеспечивает взаимное непроникание берегов трещины. Остальные краевые условия (1.6) являются типичными для краевых задач с неизвестной областью контакта. В частности, если в заданной точке жо контакт отсутствует, т. е. [и^(жо)] > 0, получаем нулевое значение поверхностной силы: (о^)+ (жо) = 0. С другой стороны, если поверхностная сила ненулевая, т. е. (жо) < 0, то имеем условие контакта [и^(жо)] = 0. Второе и третье соотношения в (1.4) обеспечивают совпадение вертикальных (вдоль оси ж2) и горизонтальных (вдоль оси ж1) перемещений упругого тела с перемещениями включения на 7-. Краевые условия (1.5) соответствуют свободным концам балки, т. е. изгибающий момент и перерезающая сила равны нулю. Кроме того, продольная сила также равна нулю. Положительный параметр 5 характеризует жесткость включения.
Приведем вариационную формулировку задачи (1.1)—(1.6). С этой целью введем множество допустимых перемещений
Кь = {(и,у,г) е Н (07)2 х Н2(7) х Н 1(7) | [и„] > 0, у и рассмотрим функционал энергии
= ^ I а(и)е(и) - ^ + ^ ^ «Д1 + ^ [ ™
и- , г = ит на 7}
где пространство Соболева Н^ (07) определяется так:
Н1 (07) = {ф е Н 1(07) | ф = 0 на г}. Можно доказать существование решения задачи минимизации [17]:
найти (и , у , г ) е Кь так, что П 5 (и , у , г ) = П 5.
Кь
Решение этой задачи удовлетворяет вариационному неравенству
(и5, Vй, ад5) е Кь,
У с(и5)е(и — и5) — У /(и — и5)
(1.7)
+ -и(-д1 — угп)+ ^(гид — > 0, (и, у» е Кь. (1.8)
2
1
Сходимость решений при 6 ^ то в задаче (1.7), (1.8). Интересно исследовать сходимость решений задачи (1.7), (1.8) при 6 ^ то. Введем в рассмотрение пространство ^(7) для жестких перемещений включения и множество Кг допустимых перемещений для предельной задачи:
й« (7) = {1 | 1(жх) = Со + С1Ж1, е (0, 1), Со, С1 е м},
Кг = {и е я!(п7)21 ] > 0, и-|7 е ), и-|7 е м}.
Как оказывается, в модели (1.7), (1.8) можно осуществить переход к пределу при 6 ^ то и получить вариационное неравенство для предельной функции и:
и е кг, (1.9)
У о-(и)е(и - и) ^У /(и - и) > 0, и е Кг. (1.10)
Обоснование предельного перехода в задаче (1.7), (1.8) обеспечивает доказательство разрешимости в задаче (1.9), (1.10). С другой стороны, доказательство разрешимости задачи (1.9), (1.10) можно осуществить, минимизируя функционал энергии
^М = \ J <г{<р)Ф) - ! !ч>
на множестве Кг.
Заметим также, что решение задачи (1.9), (1.10) единственно. Приведем дифференциальные формулировки задачи (1.9), (1.10).
(1) Первая дифференциальная формулировка задачи (1.9), (1.10). Требуется найти поле перемещений и = (и1, и2) и тензор напряжений о = {ст,}, г,^ = 1, 2, определенные 07, и перемещения тонкого включения 1о е ^(7), до е М, определенные на 7, такие, что
- о = / в 07, (1.11)
о - Ае(и) = 0 в 07, (1.12)
и = 0 на Г, (1.13)
и] > 0, 1о = и-, до = и- на 7, (1.14)
У^ • и] = 0, (1.15)
7
^У[о^ • и] > 0, и е кг. (1.16)
7
Можно доказать эквивалентность формулировок (1.9), (1.10) и (1.11)—(1.16) на классе гладких решений.
(И) Вторая дифференциальная формулировка задачи (1.9), (1.10). В дополнение к (1.11)—(1.16) приведем еще одну дифференциальную формулировку задачи (1.9), (1.10). Она имеет следующий вид. Требуется найти поле перемещений и = (их, и2) и тензор напряжений о = {о^}, г,] = 1, 2, определенные на О7, и перемещения тонкого включения ?о € Дв(7), до € К, определенные на 7, такие, что
— ^у о = / в О7,
о — Ае(и) =0 в О
7>
и = 0 на Г, [и^] > 0, 1о = и-, до = и- на 7, о+ = 0, о+ < 0, о+ [и„] =0 на 7,
1.17)
1.18)
1.19)
1.20) 1.21)
1.22)
у о- = 0, у [о„]1 = 0, I € Дя(7).
7 7
Условия (1.22) гарантируют, что главный вектор сил и главный момент сил, действующие на 7, равны нулю. Приведенная формулировка (1.17)—(1.22) также эквивалентна (1.9), (1.10) на классе гладких решений и, следовательно, эквивалентна (1.11)—(1.16).
Сходимость решений при 6 ^ 0 в задаче (1.7), (1.8). Рассмотрим теперь ситуацию, при которой 6 ^ 0 в задаче (1.7), (1.8). Оказывается, возможен переход к пределу и в этом случае. Определим множество допустимых перемещений для предельной задачи
Ко = {и € Я!(О7)2 | [и V] > 0 на 7}.
Можно доказать, что решения и задачи (1.7), (1.8) сходятся к функции и, которая является решением следующего вариационного неравенства [17]:
и € Ко, (1.23)
У о(и)е(и — и) — У /(и — и) > 0, и € Ко. (1.24)
Таким образом, предельная задача для семейства (1.7), (1.8) при 6 ^ 0 в точности совпадает с хорошо известной задачей о равновесии упругого тела с трещиной 7 (включением нулевой жесткости) (см. [2]). В полученной модели (1.23), (1.24) о равновесии упругого тела с трещиной также выполнено условие взаимного непроникания противоположных берегов. Приведем дифференциальную формулировку задачи (1.23), (1.24). Требуется найти поле перемещений и = (их, и2) и тензор напряжений о = {о^}, г,] = 1, 2, определенные О7, такие, что
— о = / в О7, (1.25)
о — Ае(и)=0 в О7, (1.26)
и = 0 на Г, (1.27)
К] > 0, < 0, [^] = 0, = 0, ^К] = 0 на 7. (1.28)
Формулировки (1.25)—(1.28) и (1.23), (1.24) эквивалентны на классе достаточно гладких решений.
Анизотропное включение Бернулли — Эйлера. Рассмотренная выше модель (1.1)—(1.6) соответствует случаю, когда жесткость тонкого включения в направлении осей х!,х2 одинакова (и пропорциональна параметру 5). Рассмотрим случай, когда жесткость включения в направлении осей х! , х2 различна. Будем фиксировать параметр жесткости включения вдоль одной оси и одновременно менять параметр жесткости вдоль другой оси. Формулировка соответствующей задачи равновесия при заданном параметре жесткости 5 > 0 состоит в следующем. Требуется найти функции (и5, V5,ад5) такие, что
(и5,у 5,ад 5) е Кь, (1.29)
У о(и5)е(и - и5) - у /(и - и5)
+ У V5!! («,11 - V5!!) + ¿У ^(адд - ад5!) > 0, (и,у>) е Кь. (1.30)
7 7
В данном случае жесткость включения вдоль оси х! пропорциональна 5, а вдоль оси х2 фиксирована (и для простоты считается равной единице). Цель дальнейших рассуждений — анализ перехода к пределу в (1.29), (1.30) при 5 ^
5 ^ 0. Сформулируем полученные при этом результаты.
Переход к пределу при 5 ^ в задаче (1.29), (1.30). Как оказывается, можно осуществить предельный переход в подходящем смысле в задаче (1.29), (1.30) при 5 ^ Формулировка предельной задачи состоит в следующем. Найти перемещения и = (и!, и2), тензор напряжений о = {<Гу }, г,] = 1, 2, определенные в 07, и перемещения тонкого включения до е М, V, определенные на 7, такие, что
- ^у о = / в 07, о - Ае(и) =0 в 07, V,!!!! = [о^] на 7, и =0 на Г, V,!! = V,!!! = 0 при х! = 0, 1, и] > 0, V = и-, до = V- на 7, < 0, и] = 0, =0 на 7,
0.
1.31)
1.32)
1.33)
1.34)
1.35)
1.36)
1.37)
от
Полученная модель (1.31)—(1.37) соответствует так называемому полужесткому включению 7. Это означает, что в направлении одной из координатных осей (в данном случае оси ж2) для включения необходимо решать уравнение равновесия (1.33), а в направлении другой оси поле перемещений имеет заданную структуру.
Переход к пределу при 6 ^ 0 в задаче (1.29), (1.30). Как выясняется, в задаче (1.29), (1.30) можно осуществить предельный переход в подходящем смысле и при 6 ^ 0. В этом случае формулировка предельной задачи будет следующая. Найти перемещения и = (и1,и2), тензор напряжений а = |<Гу}, = 1, 2, определенные в О7, и перемещение тонкого включения V, определенное на 7, такие, что
— а = / в О7, а — Ае(и) =0 в О
7>
1.38)
1.39)
1.40)
1.41)
1.42)
1.43)
«1111 = [а„] на 7,
и = 0 на Г; = г>ди = 0 при х1 = 0,1,
[и„] > 0, V = и- на 7,
а+ < 0, а± = 0, а+[и „] =0 на 7.
Заметим, что в данной модели (1.38)-(1.43) для тонкого включения решается лишь уравнение равновесия (1.40), позволяющее определять вертикальные перемещения.
Случай другой анизотропии включения Бернулли — Эйлера. Предположим, что в модели вида (1.1)—(1.6) меняется параметр жесткости упругого включения на изгиб, а параметр жесткости тонкого включения на растяжение постоянен (и равен для простоты единице). В этом случае при заданном параметре 6 вариационное неравенство будет иметь вид
(и5У ) е Къ, (1.44)
У а(и5)е(и — и5) — У /(и — и5)
+ 6У «п^ц — v511) +У ад51(г^,1 — ад51) > 0, (и,й,гй) е Къ. (1.45)
7 7
Предельный переход в задаче (1.44), (1.45) при 6 ^ то. Сформулируем предельную задачу, соответствующую 6 ^ то в модели (1.44), (1.45). Формулировка предельной задачи состоит в следующем. Требуется найти функции и = (и1,и2), а = {а^}, = 1, 2, определенные в О7, и функции ?о е ^(7), г, определенные на 7, такие, что
— а = / в О7, (1.46)
О - Ае(и)=0 в О7, (1.47)
-^п = д + [от] на 7, (1.48)
и = 0 на Г, адд = 0 при х! = 0,1, (1.49)
и- = 10, и- = ад на 7, (1.50)
[и*] > 0, О+ < 0, О+ =0, о+к] = 0 на 7, (1.51)
J[ov]1 = 0, 1 е Дя(7). (1.52)
7
Как видно, в модели (1.46)—(1.52) включение 7 является полужестким. При этом задана структура поля перемещений вдоль оси х2, и в то же время требуется решать уравнение равновесия (1.48) вдоль оси х!.
Предельный переход в задаче (1.44), (1.45) при 5 ^ 0. Формулировка предельной задачи, соответствующей 5 ^ 0, состоит в следующем. Требуется найти функции и = (и!, и2), о = {<Гу }, г,] = 1, 2, определенные в О7, и функцию
ад, определенную в 7, такие, что
- о = / в О7, (1.53)
о - Ае(и)=0 в О7, (1.54)
-^и = д + [от] на 7, (1.55)
и = 0 на Г; адд = 0 при х! = 0,1, (1.56)
[и^] > 0, ад = и-, [и^] =0 на 7, (1.57)
О] = 0, < 0, = 0 на 7. (1.58)
2. Тонкое включение Тимошенко
Изотропное включение Тимошенко. В этом разделе тонкое упругое включение 7 будет описываться в рамках модели балки Тимошенко. Пусть О С М2 — ограниченная область с гладкой границей Г такая, что 7 С О, 7 = (0,1) х {0}. Обозначим через V = (0,1) единичную нормаль к 7 и положим О7 = О \ 7, т = (1,0) (см. рис. 1). Для заданных внешних нагрузок / е Ь2(О)2, действующих на упругое тело, требуется найти поле перемещений и = (и!,и2) и тензор напряжений о = {<г^}, = 1, 2, определенные в О7, а также перемещения тонкого включения V, ад и угол поворота определенные на 7, такие, что
- О = /, О - Ае(и) = 0 в О7, (2.1)
-ода,и = [от] на 7, (2.2)
-а^п + оуд + = 0 на 7, (2.3)
-о^и - а<^д = [<г^] на 7, (2.4)
и = 0 на Г, (2.5)
ф + -Уд = адд = фд = 0 при Ж1 = 0,1, (2-6)
[и „] > 0, у = и-, г = и- на 7, (2-7)
< 0, = 0, [и ^ ]=0 на 7. (2-8)
Соотношения (2-1) суть уравнения равновесия и закон Гука; соотношения (2-2)— (2-4) соответствуют уравнениям Тимошенко для упругой балки 7- Как и ранее, правые части [<гт], [<г„] в (2-2), (2-4) описывают влияние окружающей упругой среды на балку 7- Неравенство в (2-7) обеспечивает взаимное непроникание берегов трещины- Второе и третье соотношения в (2-7) обеспечивают совпадение вертикальных (вдоль оси ж2) и горизонтальных (вдоль оси ж1) перемещений упругого тела с перемещениями включения на 7-. Краевые условия (2-6) соответствуют нулевому моменту, нулевой перерезающей силе и нулевой силе вдоль оси х1 в концевых точках включения- Как и в модели (1-1)—(1-6), краевые условия (2-8) являются обычными для проблем с неизвестной областью контакта-Параметр а характеризует жесткость включения 7.
Сначала приведем вариационную формулировку задачи (2-1)—(2-8)- Введем множество допустимых перемещений
К = {(и,у,г,ф) | и € Н(07)2, (у,г,ф) € Н 1(7)3,
[и „] > 0, у = и-, г = и- на 7}
и функционал энергии
Са{и,у,и],(р) = ^ J <т{и)е{и) - ! + </>21 + («1 + </>)2}-
Здесь а(и) = а определяются из (2-1), т- е- а(и) = Ае(и)- Решение задачи минимизации функционала на множестве К существует и удовлетворяет вариационному неравенству [19]
(иа,уа,га,фа) € К*, (2-9)
У а(иа)е(и - иа) -I /(и - иа) + ^ {<!(ггд - ^) + ф^фд -
+ (уа + фа)(-,1 + ф - у^! - фа)} > 0, (и, у, гг, ф) € К4. (2-10)
Можно доказать, что задачи (2-1)—(2-8) и (2-9), (2-10) эквивалентны на классе гладких решений-
Сходимость параметра а к бесконечности в задаче (2.9), (2.10). В этом подразделе исследуем предельный переход при стремлении параметра а к бесконечности в задаче (2-9), (2-10)-
Определим пространство допустимых перемещений на 7 для предельной задачи
Д(7) = {(у, г) | г = с1, у(ж1) = -с2х1 + с3 на 7, с € М, г = 1, 2, 3}
и множество допустимых перемещений для упругого тела
К = {и е Н1 (07)2 | [и„] > 0 на 7, й|7- е Д(7)}-
В задаче (2.9), (2.10) возможен предельный переход при а ^ то. Предельные соотношения для предельной функции и имеют вид вариационного неравенства
и е кг, (2.11)
У а(и)е(й - и) ^У /(и - и) > 0, и е Кг. (2.12)
Таким образом, предельная задача для (2.9), (2.10) при а ^ то совпадает с задачей (2.11), (2.12), описывающей равновесие упругого тела с тонким жестким включением при наличии отслоения. Заметим, что задача (2.11), (2.12) в точности совпадает с задачей (1.9), (1.10), полученной предельным переходом к бесконечности по параметру жесткости в модели (1.7), (1.8) с включением Бернулли — Эйлера.
Наряду с вариационной формулировкой задачи (2.11), (2.12) приведем ее
дифференциальную формулировку: найти функции и = (их,и2), а = }, г,] = 1, 2, и постоянные сх, с2, сз такие, что
- а = / в 07, (2.13)
а - Ае(и)=0 в 07, (2.14)
и = 0 на Г, (2.15)
[и^] > 0, и- = сх,и- = -с2ж + с3 на 7, (2.16)
а+ < 0, а+ = 0, а+[и„ ]=0 на 7, (2.17)
У{[а^]й + [ат]Й} = 0, (V» е Д(т). (2.18)
7
Можно проверить, что формулировки (2.11), (2.12) и (2.13)-(2.18) эквивалентны на классе гладких решений.
Сходимость параметра а к нулю в задаче (2.9), (2.10). Предположим, что параметр жесткости а стремится к нулю в задаче (2.9), (2.10). Оказывается, в этом случае также можно обосновать возможность перехода к пределу.
Введем множество допустимых перемещений для предельной задачи
Ко = {ф е Н1 (П7)2 | ф] > 0 на 7}. Тогда предельная функция и удовлетворяет вариационному неравенству
и е Ко, (2.19)
У а(и)е(и - и)-У / (и - и) > 0, и е К0. (2.20)
Таким образом, предельная для (2.9), (2.10) при а ^ 0 задача в точности соответствует задаче равновесия упругого тела, содержащего трещину 7 при краевых условиях взаимного непроникания берегов. Эквивалентная дифференциальная формулировка задачи (2.19), (2.20) имеет вид (1.25)—(1.28). Здесь также следует подчеркнуть, что задача (2.19), (2.20) в точности совпадает с задачей, полученной предельным переходом к нулю по параметру жесткости в модели (1.7), (1.8) с включением Бернулли — Эйлера.
Анизотропное включение Тимошенко. Рассмотрим случай анизотропного включения Тимошенко в упругом теле. В этом случае модель (2.1)—(2.8) будет содержать два положительных параметра а, 5.
Формулировка задачи равновесия для упругого тела, содержащего анизотропное включение Тимошенко, следующая. Найти вектор перемещений и = (и1,и2) и тензор напряжений а = |<Гу }, г,^ = 1, 2, определенные в 07, а также перемещения тонкого включения «, ад и угол поворота ф, определенные на 7, такие, что
- а = /, а — Ае(и) = 0 в , (2.21)
—аад,п = [ат] на 7, (2.22)
—а^и + 5«д + 5ф =0 на 7, (2.23)
—5«,п — 5фд = [ст^] на 7, (2.24)
и = 0 на Г, (2.25)
Ф + «д = адд = фд = 0 при х1 = 0,1, (2.26)
и] > 0, г = и-, ад = и- на 7, (2.27)
а+ < 0, а+ = 0, ст+К ]=0 на 7. (2.28)
Для фиксированных а > 0, 5 > 0 решение задачи (2.21)—(2.28) существует. Интересно обосновать предельные переходы при а ^ то для фиксированного 5 и 5 ^ то для фиксированного а.
Сходимость решений в задаче (2.21)-(2.28) при а ^ то. Пусть 5 фиксировано. Для простоты полагаем 5 = 1. Тогда соответствующие решения задачи (2.21)—(2.28) удовлетворяют для выбранного а следующему вариационному неравенству:
(иа,га,»а,^а) е К*, (2.29)
У а(иа)е(и — иа) — у /(и — иа) + У {аад^ (адд — ад") + а^ (<фд — ф^)
+ («,1 + фа)(«,1 + Ф — «д — фа)} > 0, (и,З>,ф) е Кг. (2.30)
Введем в рассмотрение множество допустимых перемещений для предельной задачи
к1 = {(и,г,ф) е я1 (о7)2 х я 1(7) х м
| [и^] > 0, и- = г, и- = с1, ф = с2 на 7, с1, с2 е М}.
В задаче (2.29), (2.30) можно обосновать предельный переход при а ^ то (см. [19]). Предельное вариационное неравенство имеет вид
(и, V, ф) е Кх,
J а(и)е(и — и) — J /(и — и)
+ У^д + ф)(г,х + ф — -Уд — ф) > 0, (и, V, (ф) е Кх. (2.31)
7
Таким образом, при а ^ то решения задачи (2.29), (2.30) сходятся в подходящем смысле к решению вариационного неравенства (2.31).
Приведем эквивалентную дифференциальную формулировку задачи (2.31): найти функции и = (их,и2), а = {<Гу}, = 1, 2, определенные в 07, а также функции у, ф, определенные на 7, и постоянные сх, с2 такие, что ф = с2 и
— а = /, а — Ае(и) = 0 в 07, (2.32)
—-,хх = [а„] на 7, (2.33)
и = 0 на Г, у,х + с2 = 0 при хх = 0,1, (2.34)
[и„] > 0, и- = у, и- = сх на 7, (2.35)
а+ < 0, а+ = 0, а+[и „ ]=0 на 7, (2.36)
У а- =0, У (у,х + С2) = 0. (2.37)
'г , (-,х
7 7
Полученная задача (2.32)-(2.37) соответствует полужесткому тонкому включению в упругом теле. Это означает, что включение является жестким лишь в направлении оси жх ив смысле углов поворота. Следует отметить также, что постоянную с2 можно исключить из модели (2.32)-(2.37).
Сходимость решений в задаче (2.21)-(2.28) при 6 ^ то. Рассмотрим случай, когда а фиксировано в задаче (2.21)-(2.28). Полагаем для простоты а = 1. В этом случае решение задачи (2.21)-(2.28) для заданного 6 удовлетворяет вариационному неравенству
(и5 У, ад5 ,ф5) е К, У а(и5)е(и — и5) — У /(и — и5) ^ (гид — У) + ф5х (ф,х — ф5х)
+ б(-5х + ф5)(гд + ф — У5х — ф5)} > 0, (и, и, гг, <и) е к*. (2.38)
Оказывается, что решения задачи (2.38) сходятся при 6 ^ то в подходящем смысле, и при этом предельные функции и, а, у, г являются решением следующей краевой задачи:
— (¿1у а = / в 07,
а — Ае(и) =0 в О7, «,1111 = а], — ад 11 = [ат] на 7, и = 0 на Г, «,11 = «,111 = = 0 при х1 = 0,1, [и^] > 0, « = и-, ад = и-, а+и] = 0 на 7,
а+ < 0, а+ = 0 на 7.
Таким образом, предельная задача для (2.38) при 5 ^ то описывает равновесие упругого тела с тонким упругим включением Бернулли — Эйлера при наличии отслоения, см. задачу (1.1)—(1.6). Говоря другими словами, задача (2.38) о равновесии упругого тела с включением Тимошенко переходит в задачу о равновесии упругого тела с включением Бернулли — Эйлера при стремлении параметра 5 к бесконечности.
3. Слабо искривленное тонкое включение
Формулировка задачи равновесия. В этом разделе будут рассмотрены задачи равновесия упругого тела с тонкими упругими слабо искривленными включениями при наличии отслоений. Сформулируем соответствующую краевую задачу. Пусть О С М2 — ограниченная область с гладкой границей Г,
7 С О, О7 = О \ 7, где
7 = |(ж1, Ж2) | Х2 = С(ж1), Х1 е (0,1)},
а £ — заданная гладкая функция. Считаем, что срединная линия тонкого упругого включения совпадает с 7. Упругое тело при этом занимает область О7 (рис. 2). Для описания слабо искривленного включения используется модель Кирхгофа — Лява (см., например, [36, с. 27]). Термин «слабо искривленное включение» означает, что функционал энергии для этого включения, с одной стороны, будет содержать кривизну, а с другой, метрика на кривой 7 при этом выбирается такая же, как на отрезке (0,1) х {0}. Пусть V = (^1,^2) — единичный вектор нормали к 7, а т = —V!), А = {а^и}, к,1 = 1,2, — заданный положительно определенный тензор коэффициентов упругости; / = (/1, /2) е Ь2(О)2 — заданный вектор внешних сил, действующих на упругое тело, а к е Ьто(0,1) — заданная кривизна срединной линии тонкого включения, равная £''(1 + (£')2)-3/2.
Предположим, что положительный (по отношению к нормали V) берег включения 7 отслаивается, образуя тем самым трещину между матрицей и включением. На берегах трещины будем задавать краевые условия вида неравенств, обеспечивающие взаимное непроникание берегов. Постановка задачи равновесия упругого тела с включением 7 состоит в следующем. Найти вектор перемещений и = (и1,и2) и тензор напряжений а = {а^}, г, = 1, 2, определенные в
07, и перемещения точек тонкого включения V, ад, определенные для € (0,1), такие, что
— (¿гу а = / в 07, (3-1)
а — Ае(и) = 0 в 07, (3-2)
5гдш + 5к(адд + кг) = [<г„]р при Ж1 € (0, 1), (3-3)
—5ад,п — 5(кг)д = [<гт]р при х1 € (0,1), (3-4)
и = 0 на Г, (3-5)
г^п = -ди = адд + ¿у = 0 при х1 = 0,1, (3-6)
[и„] > 0, г = и-, ад = и- на 7, (3-7)
< 0, = 0, [и „ ]=0 на 7. (3-8)
Здесь 5 — положительный параметр, характеризующий свойства материала включения; [Н] = Н+ — Н- — скачок функции Н на 7, где Н± — значения функции Н на положительном и отрицательном берегах разреза в соответствии с выбранным направлением нормали V, <г„ = ^ат = (<г^)т, и „ = , ит = ит, р = уГТа. Второе и третье равенства (3.7) следует понимать так: г(ж1) = и-(ж1,^(ж1)), х1 € (0,1)- При этом (3-1), (3-2) — уравнения равновесия упругого тела и уравнение состояния (закон Гука), а (3-3), (3-4) представляют уравнения равновесия тонкого слабо искривленного включения- Правые части уравнений равновесия тонкого включения (3-3), (3-4) описывают силы, действующие на включение со стороны упругого тела- Первое краевое условие из (3-7) обеспечивает взаимное непроникание берегов трещины, а второе и третье условия гарантируют равенство перемещений точек упругого тела и тонкого включения на 7-. Краевые условия (3-6) соответствуют нулевому моменту, нулевой перерезающей силе и нулевой деформации растяжения (сжатия)- Что касается краевых условий (3-8), то, как уже отмечено, они типичны при формулировке краевых задач с неизвестной областью контакта (см- [2])- Следует заметить, что при £ = 0 на (0,1) будем иметь к = 0 и, следовательно, задача (3-1)—(3-8) будет в точности совпадать с задачей (1-1)—(1-6), которая описывает равновесие упругого тела с включением Бернулли — Эйлера-
Рис. 2. Слабо искривленное включение в упругом теле
Соотношения (3.1)—(3.8) в точности эквивалентны вариационной формулировке задачи минимизации функционала энергии на подходящем пространстве функций. При этом функционал энергии содержит слагаемые, соответствующие энергии деформирования упругого тела, работе внешних сил, энергии изгиба и растяжения тонкого включения. Приведем вариационную формулировку задачи (3.1)—(3.8). Введем для этого множество допустимых перемещений
Кс = {(и^,ад) е Н (07)2 х Н2(0,1) х Нх(0,1) | К] > 0, V = и-, ад = и- на 7}
и рассмотрим функционал энергии
1 1
тг¿{и, V, ад) = ^ J гт{и)е(и) - J /и + - ^ «2и + - J(адд + Ь)2.
О^ О^ 0 0
Тогда задача минимизации имеет следующий вид: найти (и, V, ад) е Кс так, что П5(и^,ад) = П5 имеет решение, удовлетворяющее вариационному неравенству
(и5, Vй, ад5) е Кс, (3.9)
1
У ст(и5)е(й - и5) - У /(и - и5) + $ у (адд + Ь 5) (г«д - адг1)
+ ^ Ки^.и - «511) + ¿(адд + ¿V5)(V - V5)} > 0, (и,«,гг) е Кс. (3.10) 0
Разрешимость задачи (3.9), (3.10) при фиксированном значении параметра $ известна [37].
Можно также доказать, что на классе гладких решений задачи (3.1 )—(3.8) и (3.9), (3.10) эквивалентны. Это означает, что все соотношения (3.1)-(3.8) вытекают из (3.9), (3.10) и, наоборот, неравенство (3.9), (3.10) можно вывести из (3.1)-(3.8).
Переход к пределу при $ ^ 0 в задаче (3.9), (3.10). Рассмотрим поведение решения задачи (3.9), (3.10) при стремлении параметра жесткости $ к нулю.
Введем обозначение для множества допустимых перемещений, соответствующих предельной задаче
Ко = {и е Н1 (П7)2 | К] > 0 на 7}.
Возьмем далее такую функцию и е Ко, которая является гладкой на 7-. Тогда (и, г>,ад) е Кс, где V = и-, г« = и—. Подставляя (и^,ад) в качестве тестовой функции в (3.10), получаем, что можно перейти к пределу при $ ^ 0. В пределе получим
У ст(и)е(и - и) -у / (и - и) > 0. (3.11)
1
Неравенство (3.11) выполняется для всех функций и € Ко, гладких на 7-. В силу леммы о плотности, доказанной в [13], можно показать, что оно будет выполнено для всех функций из Ко. Таким образом, предельная функция и будет решением следующего вариационного неравенства:
и € Ко, (3.12)
У о-(и)е(и - и) ^У /(и - и) > 0, и € Ко. (3.13)
Задача (3.12), (3.13) описывает равновесие упругого тела с трещиной 7 и краевыми условиями взаимного непроникания берегов 7±. Эквивалентная дифференциальная формулировка задачи (3.12), (3.13) будет такая. Найти функции и = (их, и2), а = {<г^}, г,^ = 1, 2, определенные в 07, такие, что
- а = / в , (3.14)
а - Ае(и) = 0 в 07, (3.15)
и = 0 на Г, (3.16)
к] > 0, а± < 0, [<т„] =0, а± = 0, ст„[и„] = 0 на 7. (3.17)
Таким образом, при стремлении параметра жесткости к нулю в задаче (3.9), (3.10) предельная модель (3.14)—(3.17) описывает равновесие упругого тела с включением нулевой жесткости (трещиной). Ранее в разд. 1, 2 отмечалось, что предельные модели для случая включений Бернулли — Эйлера и Тимошенко обладают таким же свойством.
Переход к пределу при 5 ^ то в задаче (3.9), (3.10). Здесь исследуется переход к пределу по параметру жесткости при 5 ^ то в задаче (3.9), (3.10). Стремление параметра 5 к бесконечности означает, что тонкое включение становится жестким. Введем в рассмотрение множество допустимых перемещений
Кг = {и € Щ (07)2 | [и v] > 0 на 7, (и-,и-)|7 € £(0,1)},
где
£(0, 1)={(-у, ад) | и(жх) = а0 + ахЖ1, адд(хх) + к(жх)^(ж1) = 0
при хх € (0, 1), а0, ах € М}.
Введенное множество £(0,1) определяет пространство жестких перемещений включения 7 в предельной задаче, соответствующей 5 ^ то. Следует отметить, что в определении множества Кг величину (и-,и-)|7 рассматриваем как функцию одного переменного хх в силу условия х2 = ф(хх) на 7.
Возьмем и € Кг, тогда (и, 7, ад) € Кс, V = и-, «7 = и-, и эту функцию можно подставить в (3.10) в качестве тестовой функции. После перехода к пределу в (3.9), (3.10) при 5 ^ то для предельной функции и получим
и € Кг, (3.18)
У 0-(и)е(и - и) ^У /(и - и) > 0, и е Кг. (3.19)
Предельную задачу (3.18), (3.19) можно записать в следующем эквивалентном виде: найти вектор перемещений и = (и1;и2) и тензор напряжений <г = {<Гу}, г,] = 1, 2, определенные в , такие, что
— div o = f в Qy , (3.20)
o — Ae(u) =0 в Qy , (3.21)
u = 0 на Г, (3.22)
u„] > 0 на y, (u-,u-)|y G L(0,1), (3.23)
/ [ov • u] = 0, (3.24)
~У [ov • u] > 0, u G Kr. (3.25)
y
Наряду с (3.20)—(3.25) можно предложить еще одну эквивалентную формулировку задачи (3.18), (3.19). Именно, требуется найти вектор перемещений u = (ui,u2) и тензор напряжений o = {oj}, = 1, 2, определенные в QY, и функции (v, w) G L(0,1) такие, что
- div o = f в , (3.26)
o - Ae(u) =0 в , (3.27)
u = 0 на Г, (3.28)
[uv] > 0, v = u-, w = u- на y, (3.29)
< 0, = 0, o+[uv ] =0 на y, (3.30)
У [ov]v ^ У [oT= 0, (V,W) G L(0,1). (3.31)
y y
На классе гладких решений формулировки (3.18), (3.19), (3.20)—(3.25) и (3.26)—(3.31) эквивалентны.
ЛИТЕРАТУРА
1. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.
2. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.
3. Ковтуненко В. А. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67, № 1. С. 109-123.
4. Kovtunenko V. A. Primal-dual methods of shape sensitivity analysis for curvilinear cracks with nonpenetration // IMA J. Appl. Math. 2006. V. 71, N 5. P. 635-657.
5. Knees D., Mielke A. Energy release rate for cracks in finite-strain elasticity // Math. Methods Appl. Sci. 2008. V. 31, N 5. P. 501-518.
6. Knees D., Schroder A. Global spatial regularity for elasticity models with cracks, contact and other nonsmooth constraints // Math. Methods Appl. Sci. 2012. V. 35, N 15. P. 1859-1884.
7. Рудой Е. М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова — Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, № 2. С. 98-117.
8. Рудой Е. М. Асимптотика функционала энергии для трехмерного тела с жестким включением и трещиной // Прикл. механика и техн. физика. 2011. Т. 52, № 2. С. 114-127.
9. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пологой оболочки Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 3. С. 58-69.
10. Lazarev N. P., Rudoy E. M. Shape sensitivity analysis of Timoshenko's plate with a crack under the nonpenetration condition // Z. Angew. Math. Mech. 2014. V. 94. P. 730-739.
11. Соколовский Я., Хлуднев А. М. О производной функционала энергии по длине трещины в задачах теории упругости // Прикл. математика и механика. 2000. Т. 64, № 3. С. 464-475.
12. Хлуднев А. М. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 5. С. 98-110.
13. Khludnev A. M., Negri M. Crack on the boundary of a thin elastic inclusion inside an elastic body // Z. Angew. Math. Mech. 2012. V. 92, N 5. P. 341-354.
14. Khludnev A. M. Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates // Eur. J. Mech., A, Solids. 2012. V. 32. P. 69-75.
15. Itou H., Khludnev A. M., Rudoy E. M., Tani A. Asymptotic behaviour at a tip of a rigid line inclusion in linearized elasticity // Z. Angew. Math. Mech. 2012. V. 92, N 9. P. 716-730.
16. Khludnev A. M., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Math. Methods Appl. Sci. 2010. V. 33, N 16. P. 1955-1967.
17. Khludnev A. M., Leugering G. R. Delaminated thin elastic inclusion inside elastic bodies // Math. Mech. Complex Systems. 2014. V. 2, N 1. P. 1-21.
18. Khludnev A. M., Leugering G. R. On Timoshenko thin elastic inclusions inside elastic bodies // Math. Mech. Solids. 2015. V. 20, N 5. P. 495-511.
19. Itou H., Khludnev A. M. On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies // Math. Methods Appl. Sci. doi 10.1002/mma.3279.
20. Щербаков В. В. Существование оптимальной формы тонких жестких включений в пластине Кирхгофа — Лява // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 4. С. 142-151.
21. Khludnev A. M. Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates // Eur. J. Mech., A, Solids. 2012. V. 32. P. 69-75.
22. Khludnev A. M., Leugering G. Optimal control of cracks in elastic bodies with thin rigid inclusions // Z. Angew. Math. Mech. 2011. V. 91, N 2. P. 125-137.
23. Khludnev A. M. Singular invariant integrals for elastic body with delaminated thin elastic inclusion // Quart. Appl. Math. 2014. V. 72, N 4. P. 719-730.
24. Lazarev N. P. Shape sensitivity analysis of the energy integrals for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion // Z. Angew. Math. Phys. 2015. V. 66 N 4. P. 2025-2040.
25. Khludnev A. M. Thin inclusions in elastic bodies crossing an external boundary // Z. Angew. Math. Mech. 2015. V. 95, N 11. P. 1256-1267.
26. Grisvard P. Singularities in boundary value problems. Masson: Springer-Verl., 1992.
27. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.
28. Bessoud A.-L., Krasucki F., Serpilli M. Plate-like and shell-like inclusions with high rigidity // C. R. Math., Acad. Sci. Paris. 2008. V. 346, Special Issue. P. 697-702.
29. Bessoud A.-L., Krasucki F., Michaille G. Multi-materials with strong interface: Variational modelings // Asymptotic Anal. 2009. V. 61, N 1. P. 1-19.
30. Pasternak I. M. Plane problem of elasticity theory for anisotropic bodies with thin elastic inclusions // J. Math. Sci. 2012. V. 186, N 1. P. 31-47.
31. Kozlov V. A., Maz'ya V. G., Movchan A. B. Asymptotic analysis of fields in a multi-structure. New York: Oxford Univ. Press, 1999. (Oxford Math. Monogr.).
32. Vynnytska L., Savula Y. Mathematical modeling and numerical analysis of elastic body with thin inclusion // Comput. Mech. 2004. V. 50, N 5. P. 533-542.
33. Неустроева Н. В. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 4. С. 92—105.
34. Неустроева Н. В. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, № 4. С. 51—64.
35. Ротанова Т. А. О постановках и разрешимости задач о контакте двух пластин, содержащих жесткие включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 2. С. 107—118.
36. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.. М.: Наука, 1972.
37. Хлуднев А. М. Слабо искривленное включение в упругом теле при наличии отслоения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2015. № 5. С. 131-144.
Статья поступила 19 февраля 2016 г. Хлуднев Александр Михайлович
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН,
пр. Акад. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090;
Новосибирский гос. университет,
ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090
кЬ1ид@Ьудго.пбо.ги
Попова Татьяна Семеновна
Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, ул. Белинского, 58, Якутск 677000 ptsokt@mai1.ги
Математические заметки СВФУ Январь—март, 2016. Том 23, № 1
UDC 539.3+517.958
ON THE HIERARCHY OF THIN DELAMINATED INCLUSIONS IN ELASTIC BODIES A. M. Khludnev and T. S. Popova
Abstract: We consider models of thin delaminated inclusions in elastic bodies. The delamination means a presence of a crack between the inclusion and the matrix. Inequality type boundary conditions are imposed at the crack faces to prevent a mutual penetration. This approach leads to free boundary problem formulations. Connections between different mathematical models are discussed. Passages to limits with respect to inclusion rigidity parameters are analyzed.
Keywords: thin inclusion, elastic body, crack, non-linear boundary conditions, rigidity parameter, limiting models.
REFERENCES
1. Khludnev A. M. and Kovtunenko V. A., Analysis of Cracks in Solids, WIT Press, Southampton; Boston (2000).
2. Khludnev A. M., Problems of Elasticity Theory in Nonsmooth Domains, [in Russian] Fizmatlit, Moscow (2010).
3. Kovtunenko V. A. "Invariant energy integrals for the nonlinear crack problem with possible contact of coasts," Appl. Math. Mech., 67, No. 1, 109-123 (2003).
4. Kovtunenko V. A. "Primal-dual methods of shape sensitivity analysis for curvilinear cracks with nonpenetration," IMA J. Appl. Math. 71, No. 5, 635-657 (2006).
5. Knees D. and Mielke A. "Energy release rate for cracks in finite-strain elasticity," Math. Methods Appl. Sci., 31, No. 5, 501-518 (2008).
6. Knees D., Schroder A. "Global spatial regularity for elasticity models with cracks, contact and other nonsmooth constraints ," Math. Methods Appl. Sci. 35, No. 15, 1859-1884 (2012).
7. Rudoyi E. M. "The Griffits formula and Cherepanov-Rise integral for pPlate with a rigid inclision and crack," Vestn. Novosib. Gos. Univ., Ser. Mat., Mekh., and Inform. 10, No. 2, 98-117 (2010).
8. Rudoyi E. M. "Asymptotics of Energy Functional for Three-dimentional Body with a Rigid Inclusion and Crack," Appl. Mech. and Techn. Phys. 52, No. 2, 114-127 (2011).
9. Lazarev N. P. "The Problem of Equilibrium of a Shallow Timopshenko Shell Cjntaining a Solid Crack," Sib. J. Industr. Math. 15, No. 3, 58-69 (2012).
10. Lazarev N. P., Rudoy E. M. "Shape sensitivity analysis of Timoshenko's plate with a crack under the nonpenetration condition," Z. Angew. Math. Mech. 94, 730-739 (2014).
11. Sokolowski Y. and Khludnev A. M. "On Derivative of Energy Functional on the Crack Length in Problems of Theory of Elasticity," Appl. Math. and Mech., 64, No. 3, 464-475 (2000).
12. Khludnev A. M. A Problem on a Crack on the Boundary of a Rigid Inclusion in the Elastic Plate Izv. Akad. Nauk, Solid Mechanics, No. 5, 98-110 (2010).
13. Khludnev A. M., Negri M. "Crack on the boundary of a thin elastic inclusion inside an elastic body," Z. Angew. Math. Mech. 92, No. 5, 341-354 (2012)
14. Khludnev A. M. "Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates," Eur. J. Mech., A, Solids, 32, 69-75 (2012).
15. Itou H., Khludnev A. M., Rudoy E. M., Tani A. "Asymptotic behaviour at a tip of a rigid line inclusion in linearized elasticity," Z. Angew. Math. Mech., 92, No. 9, 716-730 (2012).
© 2016 A. M. Khludnev and T. S. Popova
16. Khludnev A. M., Leugering G. "On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks," Math. Methods Appl. Sci., 33, No. 16, 1955-1967 (2010).
17. Khludnev A. M., Leugering G. R. "Delaminated thin elastic inclusion inside elastic bodies," Math. Mech. Complex Systems, 2, No. 1 (2014).
18. Khludnev A. M., Leugering G. R. "On Timoshenko thin elastic inclusions inside elastic bodies," Math. Mech. Solids, 20, No. 5, 495-511 (2015).
19. Itou H., Khludnev A. M. On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies // Math. Methods Appl. Sci. doi 10.1002/mma.3279.
20. Shcherbakov V. V. "Ecistence of the Optimal Form of Thin Rigid Inclusions in a Kiekhgoff-Lyav Plate," Щербаков В. В. Sib. J. Industr. Math., 16, No. 4, 142-151 (2013).
21. Khludnev A. M. "Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates," Eur. J. Mech., A, Solids, 32, 69-75 (2012).
22. Khludnev A. M., Leugering G. "Optimal control of cracks in elastic bodies with thin rigid inclusions," Z. Angew. Math. Mech., 91, No. 2, 125-137 (2011).
23. Khludnev A. M. "Singular invariant integrals for elastic body with delaminated thin elastic inclusion," Quart. Appl. Math., 72, No. 4, 719-730 (2014).
24. Lazarev N. P. "Shape sensitivity analysis of the energy integrals for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion," Z. Angew. Math. Phys. 66, No. 4, 2025-2040 (2015).
25. Khludnev A. M. "Thin inclusions in elastic bodies crossing an external boundary," Z. Angew. Math. Mech., 95, No. 11, 1256-1267 (2015).
26. Grisvard P., Singularities in boundary value problems, Springer-Verl., Masson (1992).
27. Morozov N. F., Mathamatical Theory of Cracks, Tauka, Moskow (1984).
28. Bessoud A.-L., Krasucki F., and Serpilli M. "Plate-like and shell-like inclusions with high rigidity," C. R. Math., Acad. Sci. Paris, 346, 697-702 (2008).
29. Bessoud A.-L., Krasucki F., Michaille G. "Multi-materials with strong interface: Variational modelings," Asymptotic Anal., 61, No. 1, 1-19 (2009).
30. Pasternak I. M. "Plane problem of elasticity theory for anisotropic bodies with thin elastic inclusions," J. Math. Sci., 186, No. 1, 31-47 (2012).
31. Kozlov V. A., Maz'ya V. G., and Movchan A. B., Asymptotic analysis of fields in a multi-structure, Oxford Univ. Press, New York (1999) (Oxford Math. Monogr.).
32. Vynnytska L., Savula Y. "Mathematical modeling and numerical analysis of elastic body with thin inclusion," Comput. Mech., 50, No. 5, 533-542 (2004).
33. Neustroeva N. V. "A Rigid Inclusion in the Contact Problems for Elastic Plates," Sib. J. Industr. Math., 12, No. 4, 92-105 (2009).
34. Neustroeva N. V. Unilateral Contact of Elastic plates with a Rigid Indlusion Vestn. Novosib. State Univ., Ser. Math., Mech., and Inform., 9 No. 4, 51-64 (2009).
35. Rotanova T. A. "On Statements and the Solvability of Problems on the Contact of Two Plates Containing Rigid Inclusions," Sib. J. Industr. Math., 15, No. 2, 107-118 (2012).
36. Vol'mir A. S., Nonlinear Dynamics of Plates and Shells, Nauka, Moskow (1972).
37. Khlufnev A. M. "Weakly Curved Inclusion in an Elastic Body in the Presence of Delamination," Izv. Akad. Nauk, Solid Mechanics, No. 5, 131-144 (2015).
Submitted February 19, 2016
Khludnev Aleksandr Mikhayilovich
Lavrentiev Institute of Hydrodynamics SBRAS,
Acad. Lavrentiev ave, 15, Novosibirsk 630090, Russia;
Novosibirsk State University,
Pirogova st., 2, Novosibirsk 630090, Russia
khlud@hydro .nsc.ru
Popova Tatiana Sergeevna
Nord-East Federal University,
Belinskogo st., 58, Yakutsk 677000, Russia
ptsoktSmail.ru
