CC BY
21Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2018. Том 25, № 3
УДК 517.97+517.946
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛИНОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ ТРЕЩИНЫ В МОДЕЛИ РАВНОВЕСИЯ ДВУМЕРНОГО ТЕЛА С ДВУМЯ
ПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ ТРЕЩИНАМИ Н. П. Лазарев, Е. М. Рудой, Т. С. Попова
Аннотация. Изучена математическая модель равновесия двумерного упругого тела с двумя взаимно пересекающимися трещинами. Одна из трещин предполагается прямолинейной, а вторая — криволинейной. На обеих кривых, задающих трещины, ставятся условия непроникания в виде неравенств. Проводится анализ зависимости решений семейства вариационных задач от параметра, характеризующего вариацию длины прямолинейной трещины. Доказано существование решения задачи оптимального управления. Для этой задачи функционал качества определен с помощью функционала Гриффитса, характеризующего возможность развития трещины вдоль заданной кривой. Параметр управления задает изменение длины прямолинейной трещины.
Б01: 10.25587/8УРи.2018.99.16950 Ключевые слова: вариационное неравенство, задача оптимального управления, условие непроникания, нелинейные граничные условия, трещина.
Введение
В настоящее время при описании деформирования твердых тел с трещинами используются как классические модели с классическими линейными краевыми условиями в виде равенств [1—4], так и те, которые предполагают задание условий непроникания в виде неравенств.
Научные методы в изучении нелинейных задач теории трещин, основанные на вариационном исчислении, активно развиваются с 1990-х гг. [5-24].
Среди задач оптимального управления в рамках моделей, описывающих деформирование твердых тел с применением нелинейных условий непроникания на берегах трещины, были исследованы постановки, в которых управляющие функции задавались с помощью функций и параметров, характеризующих, например: внешние нагрузки, форму трещины, коэффициенты упругости, форму штампов (препятствий), форму и размер включений [6-8,11,15-18, 25]. В частности, в статье [25] с помощью функционала Гриффитса проводится анализ развития трещины в связи с формой и расположением малых включений; задача
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Республики Саха (Якутия) в рамках научного проекта № 18—41—140003.
© 2018 Лазарев Н. П., Рудой Е. М., Попова Т. С.
управления формой для композитного тела с включением и трещиной изучена В [17].
В работе [3] для линейной модели, описывающей ортотропную пластину с двумя взаимно перпендикулярными прямолинейными трещинами, установлена возможность влияния на развитие длины одной из трещин путем варьирования длины другой, перпендикулярной ей трещины.
В настоящей статье исследуется модель равновесия двумерного упругого тела с двумя трещинами. Рассматривается семейство задач, в которых одна из трещин фиксирована, а длина другой, прямолинейной, зависит от параметра. Исследована зависимость модели от вариации длины трещины, а именно, доказана разрешимость задачи оптимального управления, в которой параметр управления задает величину изменения длины трещины. Функционал качества задается с помощью формулы Гриффитса, характеризующей возможность развития трещины. Найдены достаточные для разрешимости задачи оптимального управления геометрические свойства объектов задачи.
Формулировка математической модели. Пусть О С К2 — ограниченная область с гладкой границей Г € С1'1. Рассмотрим гладкую кривую 7, целиком лежащую в области О и определенную соотношением
7 = {(Ж1, Ж2) | -1 < Х1 < 1, Х2 = -0(Ж1)|,
где ф € Н3(-1, 2). Предположим также, что прямолинейные отрезки Г4, определенные равенствами
Г = {(Ж1,Ж2) | Х1 = 0, -1 < Х2 < 1 +
лежат строго внутри области О (т. е. Г* С для всех I £ [0,Т]. Будем предполагать, что кривые Г и 7 пересекаются в точке ж0 = (0, 0).
Предполагаем, что кривые 7, Гт можно продолжить до пересечения с границей Г так, чтобы область О разбивалась на четыре односвязные области О^, г = 1,..., 4, с липшицевыми границами так, чтобы шеав(дО^ ПГ) > 0, г = 1,..., 4 (рис. 1). Это условие обеспечивает выполнение неравенства Корна в нелипши-цевых областях Щ = 0\(7 и Г4), I € [0, Т].
Обозначим через Ш Соболева
Рис. 1. Разбиение области
= (ад1, ) вектор перемещений. Введем пространства
Н 1'%О*7) = {V € НЧО^) | V = 0 на Г}, Н(О^) = Н 1'%О*7)2
Введем тензоры, описывающие деформации и напряжения:
1 ( dWi \ £ij(W) = -(whj +wj¡l), i,j = 1,2 [Wij = -g^-J '
<Tij(W) = cljki£ki(W), i, j = 1, 2,
где cijki — заданный тензор коэффициентов упругости, удовлетворяющий стандартным соотношениям симметрии и положительной определенности:
Cjki = Ckiij = Cjjki, i, j, k, l =1, 2, Cjki = const, cljki£ki > co|^|2 V£, = j, i, j = 1, 2, co = const, co > 0. В дальнейших рассуждениях нам понадобится следующее неравенство Корна:
Ja ij (W )£ij (W) dx > c*||W ||H(nt) VW e H (Ц), (1)
где постоянная ct > 0 не зависит от функции W [7].
Сформулируем вариационную задачу о равновесии. Зафиксируем параметр t e [0,T]. Будем считать, что упругое тело с двумя взаимно пересекающимися трещинами занимает область . На внешней границе Г потребуем выполнения однородных условий Дирихле, а на кривых rt, Y, задающих трещины, зададим следующие условия непроникания [7]:
[W]v > 0 на y, [W]n > 0 на Г*,
где v = (vi, v2) — единичная нормаль к y, а n = (ni, n2) — единичная нормаль к Гт, квадратными скобками обозначен скачок соответствующих следов функции. В частности, [W] = W|7+ — W|7- — скачок W на y, берега y +,Y- разреза y выбираются в соответствии с направлением нормали V. Функционал энергии тела с трещиной имеет вид
П(Ц; W) = i J (Jij{W)eij{W) dx - J FW dx, (2)
где F = (/i, /2) G C1^)2 — функция, описывающая воздействие заданных внешних нагрузок [5]. Задача о равновесии двумерного тела формулируется в виде минимизации функционала энергии (2): требуется найти функцию U* e K* такую, что
;Ut) = Wft П(Ц;(3)
где
К* = {W e Н(Ц) I [W]v > 0 на y, [W]v > 0 на Г*}.
Нетрудно показать, что задача (3) имеет единственное решение U* e Kt и эквивалентна вариационному неравенству [5]
U* e Kt, J aij(U*)£ij(W — U*) dx > J F(W — U*) dx V W e K*. (4)
Задача оптимального управления. С целью формулировки задачи об оптимальном управлении рассмотрим следующий функционал = 4),
4 £ [0, Т], характеризующий возможность развития трещины 7 в концевой точке хг = (1,ф(1)) вдоль графика функции ф (см. [21]):
Gt(U*) = J (Ui)eij-(Q4) nY
+ ^ i&(Ut,Ut)-2(alJ(Ut)ElJ(e-,Ut) + (eF)TUt+FQt)\, (5)
nY
где
+ eM».«*"«!).
1 / du4 duj du4 duj
d(xi; x2) = ф'(xi).
В качестве функции в £ C^ (О) в (5) можно взять функцию с носителем supp в С B£(xr), где В£ (xr) — шар с радиусом е > 0 в точке xr, такую, что в = 1 в шаре B6/2(xr), dist(r4, В£(xr)) > 0, dist(O,B£(xr)) > 0 [21]. Заметим, что в силу свойств функции в в формуле (5) интегрирование происходит по области «Y П supp в С OY П B£(xr), где область OY = не зависит от t.
Задачу оптимального управления сформулируем в следующем виде. Требуется найти t* £ [0,T] такое, что
Gt* (U4* )= sup Gt(U4), (6)
4 е[о,т ]
где U4 является решением задачи (3).
Для того чтобы иметь возможность сравнивать решения, соответствующие областям ^Y при разных значениях t £ [0,T], воспользуемся подходящим отображением. Для того чтобы определить его, зафиксируем параметр t* £ [0,T]. Выберем функцию С £ C^(fi), удовлетворяющую свойствам: С = 0 вне шара У\(ж*) радиуса А с центром в точке x* = (0, t*); С = 1 в шаре У\/2(x*). Будем считать, что Л > 0 достаточно мало, так что V\(х*) С О и dist(V3\(ж*), 7)>0, dist(V\(x*),Вб(xr))>0. Введем обозначение S = t — t* и рассмотрим отображение для параметров t £ [0,T], удовлетворяющих |5| < А/2, между областями «Y , Ц аналогично тому, как это сделано в [20]:
yi = xi, У2 = x2 — ¿С (xi ,x2), (7)
где (yi;y2) £ «Y , (x1;x2) £ ^Y. Якобиан этого отображения равен
J = 1 — ¿С,2.
Известно, что отображение при t, достаточно близких к t*, взаимно однозначно. Обозначим соответствующие отображения следующим образом: y = y(x,i), x = x(y, ¿), (yi, У2) £ Ц*, (xi,x2) £ Ц.
Лемма 1. Пусть Ъ* € [0,Т] —фиксированный параметр, ии* —решения задач, соответствующие параметрам Ъ, Ъ* € [0, Т], где Ъ = Ъ* + 5. Тогда функции, определенные в Н(О^ ) равенством II5(у) = и*(ж(у,5)), сходятся к и* сильно в Н(О!*) при 5 ^ 0.
Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию д(ж) € Н 1,0(О^), ж € О^, определим в области О^ с помощью преобразования (7) функцию 7(у) следующим равенством: 7(у) = д(ж). Запишем формулы для частных производных в новых переменных:
д,1 = <7,1 - 5С,1^,2, д,2 = д,2 - 5С,2<7,2- (8)
На основании формул преобразования (8), следуя схеме рассуждений, разработанной в [20, 21], можно выписать
(Ш) = ^(Ш) - ¿4(С; Ш), (Ш) = с^ (£ы(Ш) - 5Е&(С; Ш)), (9) где в (9) использовано обозначение
с функцией С^Ы = ОИ5^^ 2 = 1 2.
Используя заданную регулярность функций -Р = (/1,/2), можно выписать следующие разложения по 5 [21]:
^-1(ж(5, у)) = 1 + 5С,2 (у) + Г1(5, у), (10)
С» (ж(5,у))= С,а (у)+ 5С,г2 С(у) + г2(5,у), 2 =1, 2, (11)
//(Д;(г,г/))= =Л-Ы + ^(Л-0,2(у)+г|(г,у), .7 = 1,2, (12)
где
<5 '6 '6
в Ьто(О) при 5 ^ 0, = 1, 2. Осуществляя замену координат в интегралах (4) с учетом (9)-(12) и оценивая слагаемые с множителем 5, находим
15 € К**, / (и5)£у (Ш - и5) Ах
>у ^(Ш - I5) Ах - с|5|(|И| + ||Ш||)(|И| + 1) (13)
для всех Ш(у) = Ш(ж), Ш € К*. Постоянная с > 0 в (13) не зависит от 5. Здесь и далее используется обозначение || • || = || • ||н(о'*) для нормы в
Н(О^).
Подставляя в (13) Ш = 0, находим
(Ц/5)£у(Ц/5) ¿ж < / ТО5¿ж + с|5|у15|(уи5|| + 1). (14)
*
Применяя в (14) неравенство Корна, для достаточно малых 5: |5|с < с**/2 (где с** — постоянная в неравенстве Корна для области О^ ), получаем соотношение
2
< I FUsdx + c\S\\\Us\\<\\Us\\[\\F\\L2(K)2 + —j.
ct
o'*
Отсюда нетрудно получить равномерную оценку
1|и5 11< с
с некоторой другой постоянной С > 0, не зависящей от достаточно малых параметров 5: |5| < с**/2с. Поэтому для любой последовательности чисел 5П ^ 0 существует подпоследовательность (с прежним обозначением) и5п, сходящаяся к и слабо в Н(О^ ) при п ^ то. Заметим взаимно однозначное соответствие множеств К* и К** при отображении (7), т. е. если Ш € К*, то Ш € К** и, обратно, если Ь € К**, то Ь(х) = Ь(у(х, 5)) € К*. Этот факт позволяет переписать неравенство (13) в виде
I ч (и5 (Ш - ^) Ах > | ^(Ш - ^) Ах-|5|С(|Ц/5|| + ||Ш ||)(||и5|| + 1) (15)
для всех Ш(у) € К**. Переходя к пределу по параметрам 5П, п = 1, 2,..., в последнем неравенстве, находим
[ <Ггз (и(Ш - и) ¿х > [ F(Ш - и) ¿х УШ € К**.
Это означает, что предельная функция и совпадает с и* .
Выпишем цепочку неравенств, полученную из (15) подстановкой Ш = 0 и Ш = 2и 5":
Жил/ ^..(и5^^..(и5^^
ФпМ!^"II + 1) > J (Uön(Uön) dx - J FUän dx
oy* oY*
>-3c|<UIU5n y(IUÄ" I + 1). (16)
Ограниченность USn позволяет перейти к пределу при n ^ то в (16) и на основе слабой сходимости U^ Ut получить, что
lim J CTij (fjSn )eij (U<5n) dx = J FUt* dx = J CTij(Ut* )еу- (Ut*) dx. (17) o'* o'* o'*
Y Y Y
Последнее равенство в (17) получается подстановкой W = 0, W = 2Ut в вариационном неравенстве (4), соответствующем t*. Соотношение (17) означает сходимость норм
lim || U||h(oY* ) -|Ut* ||h(oY* ),
yy
*
oY
*
y
y
которая вместе со слабой сходимостью доставляет сильную сходимость и^ и* в Н(О^ ). Заметим, что методом «от противного» (см., например, [11]) можно показать, что сильная сходимость есть не только для некоторой последовательности, но и, более того, имеет место сходимость ?7г ^ и* сильно в Н(О^*) при 5 ^ 0.
Теорема. Задача оптимального управления (6) имеет по крайней мере одно решение.
Доказательство. Пусть {Ьп} — максимизирующая последовательность. Ввиду ограниченности сегмента [0,Т] можно выделить сходящуюся подпоследовательность (с прежним обозначением) такую, что
^ Ь* при к ^го, Ь* € [0,Т].
Не нарушая общности, предположим, что = Ь* для всех достаточно больших п. В противном случае найдется подпоследовательность {ЬПк} такая, что = Ь*, и, следовательно, С(Ь*) является решением задачи (6). Итак, рассмотрим случай {Ьп}, удовлетворяющей ^ Ь*, = Ь* для достаточно больших п.
Принимая во внимание доказанную выше лемму, находим, что функции ип = и= и* (ж(у, 5)), соответствующие параметрам сходятся к решению и * сильно в Н (О^ ) при п ^ го. Поскольку в области О7 П В£(жг) имеет место равенство ж(у, 5) = у, выполняется и соотношение и(у) = и*"(у). Поэтому и*п ^ и4* сильно в Н 1(О7 П В£(жг))2 при п ^ го. В таком случае значения функционала качества (5), соответствующие параметрам Ьп:
- 2(^- (и)£у (0; и) + (0^)ти+ ) сходятся к С** (и* ) при п ^ го. Итак, получена сходимость
из которой следует, что
С(0 = 8пр С(Ь). *е[о,т ]
Теорема доказана.
Заключение. Лемма 1 устанавливает непрерывную зависимость решений задач о равновесии тел от параметра, характеризующего величину изменения длины прямолинейной трещины. Найдены достаточные для разрешимости задачи оптимального управления (6) геометрические свойства кривых 7, Г* и области О^, Ь € [0, Т]. Установлена разрешимость задачи оптимального управления (6) для функционала качества С(Ь), определенного формулой (5), и параметра Ь, Ь € [0,Т], задающего вариацию длины трещины Г*.
ЛИТЕРАТУРА
1. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.
2. Слепян Л. И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981.
3. Mishra P. K., Singh P., Das S. Study of thermo-elastic cruciform crack with unequal arms in an orthotropic elastic plane // Z. Angew. Math. Mech. 2017. V. 97, N 8. P. 886-894.
4. Mishra P. K., Das S., Gupta M. Interaction between interfacial and sub-interfacial cracks in a composite media-revisited // Z. Angew. Math. Mech. 2016. V. 96, N 9. P. 1129-1136.
5. Хлуднев A. M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.
6. Khludnev A. M., Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser-Verl., 1997.
7. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT-Press, 2000.
8. Khludnev A. M., Leugering G. R. Optimal control of cracks in elastic bodies with thin rigid inclusions // Z. Angew. Math. Mech. 2011. V. 91, N 2. P. 125-137.
9. Kovtunenko V. A. Shape sensitivity of curvilinear cracks on interface to non-linear perturbations // Z. Angew. Math. Phys. 2003. V. 54, N 3. P. 410-423.
10 Lazarev N. P. Itou H., Neustroeva N. V. Fictitious domain method for an equilibrium problem of the Timoshenko-type plate with a crack crossing the external boundary at zero angle // Jpn. J. Ind. Appl. Math. 2016. V. 33, N 1. P. 63-80.
11. Lazarev N. P. Optimal control of the thickness of a rigid inclusion in equilibrium problems for inhomogeneous two-dimensional bodies with a crack // Z. Angew. Math. Mech. 2016. V. 96, N 4. P. 509-518.
12. Khludnev A., Popova T. Junction problem for rigid and semirigid inclusions in elastic bodies // Arch. Appl. Mech. 2016. V. 86, N 9. P. 1565-1577.
13. Khludnev A. M., Popova T. S. On the mechanical interplay between Timoshenko and semirigid inclusions embedded in elastic bodies // Z. Angew. Math. Mech. 2017. V. 97, N 11. P. 14061417.
14. Khludnev A. M., Shcherbakov V. V. A note on crack propagation paths inside elastic bodies // Appl. Math. Let. 2018. V. 79. P. 80-84.
15. Shcherbakov V. Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2016. V. 67, N 3. 71.
16. Pyatkina E. V. Optimal control of the shape of a layer shape in the equilibrium problem of elastic bodies with overlapping domains //J. Appl. Indust. Math. 2016. V. 10, N 3. P. 435443.
17. Kovtunenko V. A., Leugering G. A shape-topological control problem for nonlinear crack-defect interaction: The antiplane variational model // Siam. J. Control Optim. 2016. V. 54, N 3. P. 1329-1351.
18. Khludnev A., Negri M. Optimal rigid inclusion shapes in elastic bodies with cracks // Z. Angew. Math. und Phys. 2013. V. 64, N 1. P. 179-191.
19. Rudoy E. M. Numerical solution of an equilibrium problem for an elastic body with a thin delaminated rigid inclusion //J. Appl. Indust. Math. 2016. V. 10, N 2. P. 264-276.
20. Khludnev A. M., Sokolowski J. Griffith's formulae for elasticity systems with unilateral conditions in domains with cracks // Eur. J. Mech. A Solids. 2000. V. 19, P. 105-119.
21. Рудой Е. М. Дифференцирование функционалов энергии в двумерной теории упругости для тел, содержащих криволинейные трещины// Прикл. механика и техн. физика. 2004. T. 45, № 6. C. 83-94.
22. Khludnev A. M., Faella L., Popova T. S. Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 4. P. 1-14.
23. Неустроева Н. В. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину на границе жесткого включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. T. 18, № 2. C. 74-84.
24. Rudoy E. M. On numerical solving a rigid inclusions problem in 2D elasticity // Z. Angew. Math. Phys. 2017. V. 68, N 1. 19.
25. Leugering G., Sokolowski J., Zochowski A. Control of crack propagation by shape-topological optimization // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Ser. A (DCDS-A). 2015. V. 35,
N 6. Р. 2625-2657.
Статья поступила 24 мая 2018 г. Лазарев Нюргун Петрович
Научно-исследовательский институт математики СВФУ, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000;
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, пр. Академика М. А. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090 пуш^ипЭ^Б . ги Рудой Евгений Михайлович
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, пр. Академика М. А. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090 геш@Ьудго .nsc.ru
Попова Татьяна Семеновна Институт математики и информатики СВФУ, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 ptsoktЭmail.ги
Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2018. Том 25, № 3
UDC 517.97+517.946
OPTIMAL CONTROL OF THE LENGTH OF A STRAIGHT CRACK FOR A MODEL DESCRIBING AN EQUILIBRIUM OF A TWO-DIMENSIONAL BODY WITH TWO INTERSECTING CRACKS N. P. Lazarev, E. M. Rudoy, and T. S. Popova
Abstract: A mathematical model describing an equilibrium of cracked two-dimensional bodies with two mutually intersecting cracks is considered. One of these cracks is assumed to be straight, and the second one is described with the use of a smooth curve. Inequality type boundary conditions are imposed at the both cracks faces providing mutual non-penetration between crack faces. On the external boundary, homogeneous Dirichlet boundary conditions are imposed. We study a family of corresponding varia-tional problems which depends on the parameter describing the length of the straight crack and analyze the dependence of solutions on this parameter. Existence of the solution to the optimal control problem is proved. For this problem, the cost functional is defined by a Griffith-type functional, which characterizes a possibility of curvilinear crack propagation along the prescribed path. Meanwhile, the length parameter of the straight crack is chosen as a control parameter.
DOI: 10.25587/SVFU.2018.99.16950
Keywords: variational inequality, optimal control problem, nonpenetration, non-linear boundary conditions, crack.
REFERENCES
1. Morozov N. F., Mathematical Problems of the Theory of Cracks [in Russian], Nauka, Moscow (1984).
2. Slepyan L. I., Mechanics of Cracks [in Russian], Sudostroenie, Leningrad (1981).
3. Mishra P. K., Singh P., and Das S., "Study of thermo-elastic cruciform crack with unequal arms in an orthotropic elastic plane," Z. Angew. Math. Mech., 97, No. 8, 886-894 (2017).
4. Mishra P. K., Das S., and Gupta M., "Interaction between interfacial and sub-interfacial cracks in a composite media - Revisited," Z. Angew. Math. Mech., 96, No. 9, 1129-1136 (2016).
5. Khludnev A. M., Elasticity Problems in Nonsmooth Domains [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2010).
6. Khludnev A. M. and Kovtunenko V. A., Analysis of Cracks in Solids, WIT-Press, Southampton; Boston (2000).
7. Khludnev A. M. and Sokolowski J., Modelling and Control in Solid Mechanics, Birkhauser, Basel; Boston; Berlin (1997).
8. Khludnev A. M. and Leugering G. R., "Optimal control of cracks in elastic bodies with thin rigid inclusions," Z. Angew. Math. Mech., 91, No. 2, 125-137 (2011).
9. Kovtunenko V. A., "Shape sensitivity of curvilinear cracks on interface to non-linear perturbations," Z. Angew. Math. Phys., 54, No. 3, 410-423 (2003).
© 2018 N. P. Lazarev, E. M. Rudoy, and T. S. Popova
10. Lazarev N. P., Itou H., and Neustroeva N. V., "Fictitious domain method for an equilibrium problem of the Timoshenko-type plate with a crack crossing the external boundary at zero angle," Jap. J. Ind. Appl. Math., 33, No. 1, 63-80 (2016).
11. Lazarev N. P., "Optimal control of the thickness of a rigid inclusion in equilibrium problems for inhomogeneous two-dimensional bodies with a crack," Z. Angew. Math. Mech., 96, No. 4, 509-518 (2016).
12. Khludnev A. and Popova T., "Junction problem for rigid and semirigid inclusions in elastic bodies," Arch. Appl. Mech., 86, No. 9, 1565-1577 (2016).
13. Khludnev A. M. and Popova T. S., "On the mechanical interplay between Timoshenko and semirigid inclusions embedded in elastic bodies," Z. Angew. Math. Mech., 97, No. 11, 14061417 (2017).
14. Khludnev A. M. and Shcherbakov V. V., "A note on crack propagation paths inside elastic bodies," Appl. Math. Lett., 79, 80-84 (2018).
15. Shcherbakov V., "Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks," Z. Angew. Math. Phys., 67, No. 3, 71 (2016).
16. Pyatkina E. V., "Optimal control of the shape of a layer shape in the equilibrium problem of elastic bodies with overlapping domains," J. Appl. Ind. Math., 10, No. 3, 435-443 (2016).
17. Kovtunenko V. A. and Leugering G., "A shape-topological control problem for nonlinear crack-defect interaction: The antiplane variational model," SIAM J. Control Optim., 54, No. 3, 1329-1351 (2016).
18. Khludnev A. and Negri M., "Optimal rigid inclusion shapes in elastic bodies with cracks," Z. Angew. Math. Phys., 64, No. 1, 179-191 (2013).
19. Rudoy E. M., "Numerical solution of an equilibrium problem for an elastic body with a thin delaminated rigid inclusion," J. Appl. Ind. Math., 10, No. 2, 264-276 (2016).
20. Khludnev A. M. and Sokolowski J., "Griffith's formulae for elasticity systems with unilateral conditions in domains with cracks," Eur. J. Mech., A Solids, 19, 105-119 (2000).
21. Rudoy E. M., "Differentiation of energy functionals in two-dimensional elasticity theory for solids with curvilinear cracks," J. Appl. Mech. Tech. Phys., 45, No. 6, 843-852 (2004).
22. Khludnev A. M., Faella L., and Popova T. S., "Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies," Math. Mech. Solids, 22, No. 4, 1-14 (2017).
23. Neustroeva N. V., "An equilibrium problem for an elastic plate with an inclined crack on the boundary of a rigid inclusion," J. Appl. Ind. Math., 9, No. 3, 402-411 (2015).
24. Rudoy E. M., "On numerical solving a rigid inclusions problem in 2D elasticity," Z. Angew. Math. Phys., 68, No. 1, 19 (2017).
25. Leugering G., Sokolowski J., and Zochowski A., "Control of crack propagation by shape-topological optimization," Discrete Continuous Dyn. Syst., Ser. A (DCDS-A), 35, No. 6, 2625-2657 (2015).
Submitted May 24, 2018 Nyurgun P. Lazarev
M. K. Ammosov North-Eastern Federal University,
48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia;
Lavrentyev Institute of Hydrodynamics,
15 Akad. Lavrentyev Avenue, Novosibirsk 630090, Russia
nyurgunSngs.ru
Evgeny M. Rudoy
Lavrentyev Institute of Hydrodynamics,
15 Akad. Lavrentyev Avenue, Novosibirsk 630090, Russia
rem@hydro.nsc.ru
Tatiana S. Popova
M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia ptsoktSmail.ru
