Задача о равновесии вязкоупругого тела с трещиной и тонким жестким включением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2014. Том 21, №2

УДК 517.9

ЗАДАЧА О РАВНОВЕСИИ ВЯЗКОУПРУГОГО ТЕЛА С ТРЕЩИНОЙ И ТОНКИМ ЖЕСТКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ Т. С. Попова

Аннотация. Рассматривается задача о равновесии двумерного вязкоупругого тела, имеющего трещину и тонкое жесткое включение. Дифференциальная постановка задачи содержит краевые условия типа неравенств, а также интегральное условие, описывающее равновесие жесткого включения. Приводится эквивалентная вариационная постановка, с помощью которой доказана однозначная разрешимость исходной задачи. Получены дополнительные свойства гладкости решений, а именно существование производной по временной переменной.

Ключевые слова: вязкоупругость, трещина, тонкое включение, материалы с памятью, вариационное неравенство, краевые условия типа неравенств, условия непроникания.

Пусть вязкоупругое двумерное тело занимает в естественном недеформи-рованном состоянии область О С М2 с гладкой границей Г и вектор п = (пх, П2) задает перемещения точек этого тела.

Введем соотношения для компонент тензоров малых деформаций и напряжений по формулам:

= + и=и{хл *е(0'т)'

<

(Ь,х) = о,цы (х)еы (п(г,х))+! (х)ек1 (п(т, х)) ¿т, г,] = 1, 2. (1)

о

Здесь и далее предполагается, что по повторяющимся индексам производится суммирование. Коэффициенты оцкг (х),Ьцы (х) € = 1, 2, — ком-

поненты тензоров А и В, обладающих свойствами симметрии и положительной определенности:

оijkl оjikl ок1щ >

Оцк1 Ы > Со|£|2, ^ = Со = СО^ > 0.

Аналогичные соотношения выполнены для компонент тензора В.

Введенные уравнения соответствуют закону, характеризующему вязкоупру-гое состояние тела:

( = Ае + Ве,

где V обозначает дифференцирование по временной переменной.

Отметим, что в отличие от упругого случая в рассматриваемой задаче величины компонент тензоров напряжений не могут быть вычислены локально по Ь, а зависят от полной истории нагружения.

© 2014 Попова Т. С.

Квазистационарные краевые задачи, в уравнениях которых использованы соотношения, аналогичные (1), исследованы в работах [1—4].

Рассматриваемое вязкоупругое тело имеет трещину, форма которой задается кривой y С О. Кривая y гладкая, незамкнутая, без самопересечений. Обозначим через v = (vi, v2) единичный вектор нормали к 7. Обозначим 0Y = О \ 7 и Q7 = О7 х (0,T).

Пусть кривую y можно продолжить до пересечения с Г так, что область 0Y разбита на две подобласти О+ и О- с липшицевыми границами и при этом mes(r П дО±) = 0. Трещина имеет два берега 7 + и 7 , определяемых в соответствии с направлением нормали v так, что v- — нормаль к y- — совпадает с v, тогда v+ = —v. Будем считать, что области О± обозначены так, что 7+ С дО+ и y- С дО-.

Понятие «жесткое включение» в рамках данной модели описывается следующим образом. Введем так называемое пространство жестких инфинитези-мальных перемещений R(y) вида [5]:

R(y) = {р = (pi, Р2) | p(x) = Dx + G, x е y},

где

D = ( —0d 0) , G = (g1,g2), d,g\g2 = const. Введем пространство

Ry = {p = (pi,p2) | p(t,x) = D(t)x + G(t) на 7 х (0,T)},

где

D(t) = ^ —d0(t) ' G(i) = (g1(i),g2(i)), d,g\g2 е L2(0,T).

Функция u(x,t) — одно из неизвестных в задаче и в текущий момент времени может принимать различные значения на берегах трещины. Используя обозначения u+ и u- для значений функции u на 7 + и y- соответственно, введем следующее обозначение для скачка функции на 7 [1]:

[u] = u+ — u-.

Будем говорить, что вязкоупругое тело содержит тонкое жесткое включение на одной из сторон трещины, если функции u на 7- х (0,T) совпадают с некоторым элементом пространства RY:

u = р0 на y- х (0,T), р0 е R7.

При этом на перемещения точек обоих берегов накладываются условия непроникания вида

[u]v > 0 на y х (0,T).

Данное условие исключает проникание точек противоположных берегов трещины друг в друга. Задачи с условиями непроникания носят нелинейный характер, общие подходы к исследованию этих проблем можно найти в [2,5]. Для случаев упругих тел с отслоившимся тонким жестким включением рассмотрены задачи равновесия, исследованы качественные свойства решений, а также задачи оптимального управления формой трещины [5—11].

Дифференциальную постановку задачи будем рассматривать в следующем виде.

В цилиндре найти функцию и, и = р0 на 7- х (0, Т), р0 € Д7, и функции агз, г,. = 1, 2, для которых выполняются условия:

дСТ%{*'Х) = МЬх), г = 1,2, вС?7, (2)

т

Ж))+ У Ьцы{Х)£ы{и( 0

и(4,ж) = 0 на Г х (0,Т), (4)

Т

ау- (4,ж) = а^ы (ж)ек| (и(4,ж))^У Ь^ы (ж)еыг (и(т,ж)) ¿т, г,. = 1, 2, (3)

[и(г,ж)Иж) > 0, и-(4, ж) = ро(4,ж), а+(4,ж) < 0, а+ (4, ж) = 0 на 7х (0,Т), (5) а+ (£,ж)[и(£,ж)^(ж)=0 на 7 х (0,Т), (6)

J[а^ij (4, ж)^ (ж)^ (ж) = 0, р € Д(7) для п. в. 4 € (0,Т). (7)

7

Здесь а^-(4, ж)^ (ж) = а^(4, ж)^(ж) + ж), а^(4, ж) = Сту (4, ж)^ (ж)^(ж). Уравнения (2) — уравнения равновесия при заданных внешних нагрузках / = (/1, /2), соотношения (3) — уравнения, описывающие вязкоупругое состояние. Краевое условие (4) задает закрепление тела на границе. Условие (7) — уравнение равновесия тонкого жесткого включения в каждый момент времени. Рассмотрим функциональное пространство

Н (О7) = {V € Н 1(07) | V = 0 на Г, V = р на 7-, р € Д(т)},

Н7 = {V = ^1^2) € Ь2(0,Т; Н1(О7)) | V = 0 на Г х (0,Т)

= р на 7 х (0, Т), р € Д7}.

л*

нейный оператор Л : Н7 ^ V*, имеющий вид

Обозначим через V* пространство, сопряженное к Н7. Введем также ли-

7

Т

...... ,ж)еыг (и(4, ж))£у(и(4, ж))

о о,,

т т

+

о о^ о

(Ли, и) ^ У У ауыг (ж)еыг (и^ж^е^- (и(4,ж)) < т т

У У У Ь^ы(ж)еыг (и(т, ж^е^-(и(4, ж)) ¿т^ж^, и € Н7.

Рассмотрим выпуклое замкнутое множество в Нр (О7) К7 = {V € Н1 (О7) | [V]V > 0 на 7} и введем множество допустимых перемещений в следующем виде: К7 = {V € Н7 | V(4) € К7 для п. в. 4 € (0,Т)}.

V

Теорема. Пусть /(Ь, х) € Н 1(0, Т; Ь2(И)). Тогда задача (2)-(7) имеет единственное решение и(Ь,х) € Н7, (Ь,х) € Ь2((7) такое, что иъ(Ь,х) принадлежит

Ь\0, Т; Н1(П7)).

Для доказательства теоремы сначала докажем лемму о существовании единственного решения вариационного неравенства для оператора Л. Далее покажем, что указанное вариационное неравенство является эквивалентной формулировкой задачи (2)—(7). Тем самым будет доказана однозначная разрешимость поставленной краевой задачи. Отметим, что в работах [2, 5,12-17] можно найти описание вариационных методов и их применение в теории упругости и вязкоупругости.

Лемма 1. Существует единственное решение и(Ь,х) вариационного неравенства

т

(Ли, V - и) >! J /(у - и) ¿Ы-у<И, и € К7, V € К7. (8)

о п

Доказательство. Здесь и далее для краткости не будем указывать зависимость функций от пространственной переменной х, т. е. введем следующие обозначения для рассматриваемого оператора:

т т ъ

(Ли, и) = У У Ае(и(Ь))е(и(Ь)) йхйЬ + JJ ^ Ве(и(т))е(и(Ь)) <т<х<Ь, и € Н7. о п, о п, о

Прежде всего заметим, что в силу неравенства Корна [18] справедлива оцен-/ е(у)е(у) <х > С1||у||Н-1 ), V € Н1 (П7), (9)

с постоянной с1, не зависящей от у. Отсюда т т ъ

\и,и) = ! J Ае(и(Ь))е(и(

о п, о п, о

1 т ъ

(Ли,и) = ! J Ае(и(Ь))е(и(Ь)) йхйЬ + J J ^ Ве(и(т))е(и(Ь)) <т<х<Ь

J У Ае(и(г))е(и(1))(1хМ + ^ Ве | J и{Ь) М | е | J и{Ь) М | ¿х > с2\\и\\2щ.

(10)

Следовательно,

(Ли, и)

^ ЦиЦк ^

т. е. Л — коэрцитивный оператор. Учитывая его монотонность и непрерывность, можно сделать вывод, что Л псевдомонотонен. Отсюда следует [17, гл. 2, п. 8.2, теорема 8.2], что решение задачи (8) существует. В силу строгой монотонности оператора решение единственно. Лемма доказана.

Далее выведем дополнительное свойство решений задачи (8), а именно, существование производной иъ(Ь,х) в (.

Лемма 2. Пусть / € Н 1(0,Т; Ь2(О)). Тогда существует производная иТ € £2(0,Т; Нр(О7)) решения задачи (8).

Доказательство. Запишем уравнение (8) в виде т т т

/ /лг(иМ№М - ф» ** +/ / ¡тФ))*«) - иМ) ***

о о^ о о^ о

т

> / / / ( 4)( V ( 4) - и ( 4)) ¿ж^, V € К. (11)

о о^

Пусть а > 0. Рассмотрим функцию

Г V, 0 € (4 - а, 4 + а),

V (^) = <

I и(4), 0 € (4 - а, 4 + а),

где V € К7 — некоторый фиксированный элемент. Подставим v(0) в (11), разделим полученное равенство на 2а и получим

г+а Т+а Т

J J — ¿хМ + J J J Ве(и(т))е(у — йтйхеИ

Т—а о^ Т—а о^ о

Т+а Т —а о^

Отсюда при а ^ 0 имеем

/ л^ММ?- „(О) * + // ад,- „И)....

о^ о

>У / (*)(? - и(4)) ¿ж дляп.в. 4 € (0,Т). (12)

о^

Пусть V = и(4 + Л). Тогда

Т

/ Л^МИФ + ч- „И) * + /1 в,«, (Иф + Ч- иМ)^

>У /(4)(и(4 + Л) - и(4)) ¿ж. (13)

о, о, о

„ ч /(и(4 + Л) - и(

о^

Теперь запишем (12) в точке 4 + Л, а в качестве V возьмем и(4). В результате получим

т+ь

+ П))£{Щ1) - щг + п)) ах + J ! Ье(и(т))£(и(1) - щ о^ о^ о

У Ле(и(4 + Л))е(и(г) - и(4 + Л)) ¿ж + J Ве(и(т))е(и(4) - и(4 + Л)) ¿.¿ж

о

>У /(4 + Л)(и(4) - и(4 + Л)) ¿ж. (14)

Введем обозначения:

<ну(г)

к :

ъ+к

<Гну{г) = j¿f У{т)(1Т, к> 0.

Сложив (13) и (14), в новых обозначениях можем записать

J Ае(<ки(Ь))е(<ки(Ь)) <х + J Ве(<ки(Ь))е(<ки(Ь)) <х < J (Ь)<ки(Ь) <х,

откуда

J Ае(<ки(Ь))е(<ки(Ь)) <х <У <к/(Ь)<ки(Ь) <х — J Ве(<ки(Ь))е(<ки(Ь)) <х. (15) Отметим, что

Ае(<ни(Ь))е(<ни(Ь)) <х > сзЦ<ни(Ь)Ц2н^).

(16)

Значит, из (15) следует, что

1

При достаточно малых Л > 0 существует постоянная С4 > 0 такая, что

ЫиММНнт) < СЛЫи/(Ь)||Ь(п) + \\<тни(Ь)\\2ь2{п^^.

Проинтегрируем последнее неравенство по Ь от 0 до Т — к: т-к / Т-к Т-к

I Н<ки(Ь)||Н1 ) ¿Ь < С4^ I Цйк! ШЦцп) + У Ки^^п,) ¿А. (17)

Заметим, что для любых гладких функций у(Ь,х) выполняется

тт и

У \<ТкУ(Ь)\Ь2(п_1) < ¡ЬШЪ(^)

(18)

Действительно, т-к

I 2

Ку(Ь)|| Ь2(п^)

Т-к

Т-к г+к

[ 1

У к 1

о ъ

2

Ь2(п^)

Т-к

1

2

2

1

V

V

Т-к / 4+к

/ *т'"т Л /12 "т]~

Т-к/4+к 4 \

\111 у2(Т)<1Т<1ХМ = ^ I (У МтПЪ^^т-1 НтЩ^^^т

Т-к / 4 \

/ ^кП ) ¿т I ^ (19)

о \о /

Т-к 4+к

0 О^ 4

0 О^ \ 4

Т-к/4+к

1 к

о \ о

Докажем, что

т-к / 4

У ¿к N д(т) ¿т I ^ < У д(4) ^

оо

для любых гладких функций д(4) > 0, тем самым получим справедливость (18). Для доказательства выведем следующее неравенство:

1

Т-к /4+к N Т-к/ к ^

I и I д(т)с1т\са= У [{¡9^ + *)^

о V 4 / о \ о У

Т-к / к \ /Т-к \ Т-к

У Пд(£ + Ъ<%\<а = и у + I -л= у +

ТТ-к С+Т-к Т

< тах / а(£ + 4) = тах / о(т) ¿т < / а(£) " Се[о,к] У £е[о,к] У " У

оо

Используя полученное неравенство в (19), делаем вывод, что имеет место (18). Тогда из (17) с учетом (18) получим

т-к

Т-к

У И^ки(4)УН1 (Пт) < Н^к/(4)||2(о) + У Н^НЬ^) I . (20)

о \ о о

Далее преобразуем первое слагаемое в правой части (20): Т-к

к/(4)Н|2(о)

Т- к

= = о

Т-к

[ 1

1

о

/ (4 + Л) - / (4)

к

<И

Ь2(О)

4+к

Т-к

:

Ь2(О) о

У К/^)|И2(о) (21)

Поскольку /4(4) € Ь2(^), то (18) можно записать для V = /4:

т-к

У к/*(4)|^2(о) ^ <У НШН^о)

2

т

Тогда из (21) получим оценку

Т-к

и< !(Ь)|2 2(п) < I иъ(Ь)!ь2(п)

Ш(ь)Нкп) < / ЦМтЪп)

оо Следовательно, в силу (20) имеем

Т-к / т т

I ||<ки(ь)||Н1 (^) & < С4| / имтЪп) +у ыт^п)

0 \о о Возьмем некоторое достаточно малое ко, но такое, что ко > к. Тогда

Т-ко / т т

1 Киаднн!(^) & < С4 и имтЪп) ¿Ь+у ыт^п) &

0 \ о о Перейдем к пределу при к ^ 0:

Т-к о / т т

1 ЦиъШН(п,) ¿Ь < С4 П штъ(п) ¿Ь + / ||и(Ь)||Н1 (п) ¿Ь о \ о о )

Из произвольности ко > 0 следует оценка

||иЪ(Ь)| Ь2(о,т ;Н] (п.,)) < С4( И/ъШ Ь2(Я) + ||и(Ь)||Ь2(о,т;Н] (п т)) ). (22)

Таким образом, производная иъ(Ь,х) существует, более того, взяв в (11) V = 0, получим

(Аи(Ь),и(Ь)) <У У /(Ь)и(Ь) йхйЬ.

С учетом (9) имеем

оп

\Нт2щ < \\\т\\1ЧЯ) + А|К*)11£>(о,т;яМп,))>

или при малых Л > 0

||и(ь)|Н < С5|/шью.

Тогда из (22) вытекает оценка

циъ(ь)Гщ < ^имть^) + ц/(ь)ГЬ2(Я)),

откуда следует утверждение леммы. Лемма 2 доказана.

Доказательство теоремы. Для завершения доказательства теоремы покажем, что при условии достаточной гладкости решений задача (2)-(7) эквивалентна задаче (8).

Пусть задача (8) имеет гладкое решение. Сначала выведем из вариационного неравенства (8) уравнения и краевые условия (2)-(7). Из доказательства

леммы 2 (см. (12)) следует, что можно рассматривать задачу (8) при фиксированном 4 € (0, Т):

/ лг(»ММ,1 - „М) Л + // Ве(»(т )№ - „М) **

0

>У /- »(4)) ¿Ж, й € К7€ (0,Т). (23)

(»

П, 0

Последнее неравенство можно записать в виде

У оу (г)е^ (й - „(4)) ¿Ж >У /г(4)(^г - мг(£)) ¿Ж. (24)

Здесь, как и ранее, оу (4) находится по формулам (1), т. е. содержит интегрирование от 0 до

Подставим V = „(4) + V, V € СО^^), в (24) и проинтегрируем по частям. Тогда получим, что при данном 4 € (0,Т) в 07 выполнены уравнения (2) в смысле распределений.

Выведем два последних условия из (5). Пусть жо — произвольная точка на кривой 7. Обозначим через -О(жо) некоторую окрестность этой точки и £+(Жо) = 0+ П £(Жо).

Возьмем гладкую функцию ф такую, что вирр ф

С В , ф„ > О на 7+.

Тогда, подставляя в (24) пробный элемент вида г> = „ + ф и интегрируя по частям, получим

У оу (4)^7 фг < 0.

■у1

Используем для вектор-функций {оу } и ф представления вида

Оу (^ = (^ + ф = ф^ V + фв.

Отсюда в силу произвольности ф заключаем, что (4) = 0 на 7+. Тогда можем записать

У ^(4) • ф^ < 0,

откуда при условиях на функцию ф следует, что (4) < 0 на 7+.

Выведем условие (7). Для этого возьмем функцию » € Нх(0), » = 0 на Г, » = р на 7±, р € й(т), и подставим в качестве пробного элемента в (24) функцию V = „ ± ». Получим

У Оу (фу (») ¿Ж = У /г(4)»г ¿Ж,

откуда с учетом выведенных соотношений и условий на функцию » можно записать

У [оу (^у]рг = 0,

4

где и = р на 7, р € ). Ввиду произвольности функции и последнее соотношение совпадает с (7).

Докажем справедливость условия (6). Сначала предположим, что в некоторой точке хо € 7 выполнено строгое неравенство [и(Ь)]^ > 0, которое означает отсутствие контакта между берегами трещины в момент времени Ь. Тогда это неравенство выполнено и в некоторой окрестности Б точки хо. Обозначим Б+ = Б П П+.

Выберем V = и(Ь) ± Лф, где ф — произвольная гладкая функция такая, что эирр^ С , Л > 0. Тогда при достаточно малых Л элемент V принадлежит множеству К7. Подставим его в (24) и получим

У <?гз (Ь)е^ (ф) ¿х = / /(Ь)фйх. о+ о+

Применяя интегрирование по частям и полученные ранее соотношения, можем вывести

У ^(г)фи ¿Б = 0.

7П9Д+

Отсюда следует, что а+ (Ь) = 0 в окрестности точки хо.

Пусть а+(Ь,хо) < 0. В этом случае, подставляя в (24) пробные элементы вида V = 0 и V = 2и(Ь), имеем

(Угз (Ь)ец (и(Ь)) ¿х = У /.(Ь)щ(Ь) ¿х.

п п

После интегрирования по частям получим

Ро

¡а13 ро(ь) — У ^(^Щ(Ь) = 0,

7 7+

^^ т ¿з—у ^^ щ(ь) ¿Б—у ^^ т ¿з+у ^^ рт ¿б=

'у 'у+ ^+ ^ +

откуда

— /К" (^ ]ро (Ь) ¿Б — У а13 (Ь)ч (щ(Ь) — р0°(1)) ¿Б = 0.

7 7+

Учитывая (7), запишем

У а13 (г)ъ (щ(г) — ро(Ь)) ¿Б = 0,

7+

т. е. справедливо

У (+(г)и[и(г)] ¿Б = 0

7

Поскольку подынтегральное выражение имеет постоянный знак на 7, в точках 7 выполняется

а+(ЬМи(Ь)]=0.

Следовательно, в предположении, что о+(£,жо) < 0, получаем

[и(г,жо)]^(жо) = 0.

Таким образом, при фиксированном 4 из вариационного неравенства (24) выведены все уравнения и условия (2)—(7).

Обратно, умножая уравнение (2) на V — «.(£), V € К7, и интегрируя по частям, получим уравнение

J оу(£)еу (V — «.(£)) ¿ж — У /(^ — и(4)) ¿ж

= У Оу (VI — иг(£)) — У оу (VI — иг(£))

7- 7+

Обозначим

Ь = У оу (VI — иг(£)) — У оу (VI — иг(£))

7- 7+

Очевидно, что для вывода вариационного неравенства (24) достаточно показать, что Ь > 0. Действительно,

Ь = У — и(4)) — У — и(4) — р — ро(4) + Р + Ро(4))

7- 7+

= / Оу (V» —иг(£)) ^У Оу (р—Ро(4)) ^У и(4)— р+ро(4))

^ Т+

= — IИ^](р — ро(4)) — I оф^ — и(4) — Р + ро(4))

7 7+

= —У фф] + I о+(^[и(*)] > 0.

Таким образом, мы показали, что решения задачи (2)—(7) удовлетворяют вариационному неравенству (24). Неравенство (8) совпадает с (24) при почти всех 4 € (0,Т). Тем самым обосновано, что ввиду эквивалентности задачи (2)—(7) вариационному неравенству (8) исходная задача однозначно разрешима. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Khludnev A. M. On equilibrium problem for a plate having a crack under the creep condition // Control Cybern. 1996. V. 25, N 5. P. 1015-1030.

2. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.

3. Попова T. С. Метод фиктивных областей в задаче Синьорини для вязкоупругих тел // Мат. заметки ЯГУ. 2006. Т. 13, № 1. С. 105-120.

4. Попова Т. С. Жесткое включение в задаче о вязкоупругом теле с трещиной // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, № 1. С. 87-106.

5. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

6. Khludnev A. M., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Math. Methods Appl. Sci. 2010. V. 33, N 16. P. 1955-1967.

7. Хлуднев А. М. Об изгибе упругой пластины с отслоившимся тонким жестким включением // Сиб. журн. индустр. математики. 2011. Т. 14, № 1. С. 114—126.

8. Khludnev A. M. Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates // Eur. J. Mech., A, Solids. 2012. V. 32. P. 69-75.

9. Lazarev N. P. An equilibrium problem for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion // J. Sib. Federal Univ., Math. Phys. 2013. V. 6, N 1. P. 53-62.

10. Неустроева Н. В. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 4. С. 92-105.

11. Неустроева Н. В. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, № 4. С. 51-64.

12. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988.

13. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.

14. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

15. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983.

16. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: Изд-во Моск. гос. акад. приборостроения и информатики, 1997.

17. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

18. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

Статья поступила 20 мая 2014 г. Попова Татьяна Семеновна

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, кафедра математического анализа

ул. Белинского, 58, Якутск 677000, Республика Саха (Якутия) ptsoktSmail.ru