Задача о контакте двух вязкоупругих пластин, одна из которых имеет трещину Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ЗАДАЧА О КОНТАКТЕ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН, ОДНА ИЗ КОТОРЫХ ИМЕЕТ ТРЕЩИНУ

Т. С, Попова

В работе рассматривается задача о равновесии двух вязкоуиругих пластин, расположенных одна над другой и контактирующих ввиду наличия внешних нагрузок. Область контакта при этом заранее неизвестна. Одна из пластин имеет трещину (вертикальный разрез), поэтому задача равновесия рассматривается в области с нерегулярной границей. Неизвестными в задаче являются функции перемещений точек срединных плоскостей обеих пластин. На берегах трещины как на части границы задаются краевые условия типа неравенств, описывающие взаимное непроникание берегов трещины. Задача равновесия ставится в виде вариационного неравенства, и методом монотонности доказывается теорема существования. Выводится полная система краевых условий, выполняющихся на берегах трещины; обосновывается эквивалентность вариационного неравенства краевой задаче с полученными граничными условиями; исследована задача оптимального управления, а также доказана теорема о бесконечной дифференцируемости решения задачи равновесия в случае нулевого раскрытия трещины и заданных функций внешних нагрузок класса С

Задачи теории трещин с краевыми условиями в виде равенств на берегах широко изучены в механике (см., например, [1]). Для их иссле-

Работа выполнена при финансовой поддержке Ведомственной научной программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (разд. 3.3, г/б тема 8409 ВНП РФ).

© 2008 Попова Т. С.

дования и решения разработаны различные методы такие, как методы теории функций комплексного переменного [2-4] и интегральных уравнений [5,6]; для плоской задачи в [7] рассмотрен метод потенциала, в работе [8] отражено применение метода конечных элементов к теории разрушения; также отметим вариационный подход к теории трещин для вязкоупругого случая [9]. Кроме перечисленных рассматривалась и обратная задача об определении формы криволинейной трещины [10]. Вариационная постановка задач теории упругости с условиями непроникания для пластин и оболочек изучалась в [11-16].

Примеры вариационных задач, эквивалентных краевым, и их физическую интерпретацию можно найти, например, в [17-20]. В частности, для задачи Синьорини в [17] найдена система краевых условий, представляющих собой совокупность уравнений и неравенств, а также доказана эквивалентность вариационного неравенства краевой задаче. Исследование этой задачи, необходимое и достаточное условие существования ее решения даны также в [21]. Свойства решений краевых задач для эллиптических операторов и регулярность вблизи границы рассматриваются в [22,23]. Результаты о гладкости решений некоторых вариационных неравенств приведены в работах [24,25]. Вопросы численного исследования вариационных неравенств и задач, приводящих к ним, можно найти в [26-29].

1. Постановка задачи. Существование решения

Рассмотрим однородную пластину, срединная плоскость которой в естественном состоянии занимает область П С К2. Будем считать, что П ограничена и ее граница Г бесконечно дифференцируема. Пластина имеет трещину, которая представляет собой вертикальный разрез

К

шениями:

Гх = х(/), у = у{1), а < I < Ь, а,Ь € К,

[ — £ ^ г ^ £,

где плоская кривая, описываемая уравнениями (1), не имеет самопересечений и незамкнута. Функции x(/), у(/) определены и непрерывно дифференцируемы при / G [a,b], x/2(/) + у'(/) > 0 при всех / G [a,b], 2е — толщина пластины. Пусть Гс — след трещины в плоскости (x, у), Гс С О, причем Гс пересекает границу Г в одной точке x° и угол между Гс и Г в этой точке положителен. Определим также нормаль к Гс по формуле

(у'i, —x'i)

\J У'1 + x'l

Таким образом, область fic = fi \ Г^и z = О соответствует срединной плоскости пластины с трещиной.

Вторая пластина совпадает с первой по форме и толщине, но не имеет трещин и расположена ниже первой по оси z та расстоянии 6 ^0. В дальнейшем будем называть первую пластину (с трещиной) верхней, а вторую — нижней.

Обозначим через х = (W w) и £ = (U, и) векторы перемещений точек срединных поверхностей верхней и нижней пластин соответственно, где W = (w1, w2), U = (u1,-2) — горизонтальные, a w, u — вертикальные перемещения пластин. Введем обозначения для компонент тензоров деформаций и напряжений срединной плоскости верхней пластины по формулам

„1Л If dwi dw" \ £"(W) = 2 ^dX" + ~0x~)' 1,3 = ' X = x' X = У>

aij = aij( W, all = £11 + K&22, &22 = £22 + К£ц, CT12 = (1 — к)£12,

к = const, 0 < K <

Соотношения, связывающие £"• (U) и <7" (U), для нижней пластины аналогичны.

Далее, обозначим

t

Х*(t,x,y) = x(t,x,y) + J x{T,x,y)dT, (2)

о

t

С(t,x,y) = ф,х,у) + J £(T,x,y)dT, (3)

о

met е [О,T}.

В цилиндре Qc = Пс х (О, T) рассмотрим задачу о равновесии двух пластин. Неизвестные в задаче составляют шестикомпонентный вектор п = (х,0 перемещений точек срединных плоскостей пластин, где X{t,x,y), ф, х, у) связаны с \*{t,x,y), £*(t,x,y) формулами (2), (3). На решения накладываются ограничения, часть которых выпишем здесь, а полная система краевых условий будет выведена позже.

На внешней границе пластин задаются краевые условия жесткого защемления

о о

W = w=-W=0, U = u=^ = 0 наГх(0,Т), (4) dn dn

где n — внешняя нормаль к границе Г.

Пластины могут взаимодействовать ввиду наличия внешних нагрузок, заданных функциями f(t,x,y) и g(t,x,y) для верхней и нижней пластин соответственно, f = (/ь/2,/3) е Нг(0, Т L2(fíc)), g = (gi, g2, дз) е ff1 (О, Т; L2(íl)). Однако вектор перемещений должен быть таким, чтобы исключить взаимное проникание точек пластин. Выведем соответствующее условие непроникания. Рассмотрим точку M па нижней поверхности верхней пластины и точку N па верхней поверхности нижней. Координаты z этих точек соответственно равны zm = —e, zn = —e — ó. При прогибах w, u пластин новые координаты этих точек будут zm = —e + w, zn = —e — ó + u. Тогда условие непроникания можно записать в виде — e + w ^ — e — ó + u или в силу произвольности MN

w ^ u — ó в Qc. (5)

Продолжим кривую Гс гладким образом до пересечения с внешней

c

различных точках под ненулевым углом и не имела самопересечений.

Тогда область Qc разобьется та две подобласти Q+ и Q- с липшице-выми границами dQ+ и dd- соответственно, причем почти в каждой точке 8Q± можно определить внешнюю нормаль vПусть 0± расположены так, что v- совпадавт с v. Обозначим Г± = Гс П 3ÏÏ

Заметим, что па берегах Г± трещины Гс значения вектора перемещений x, y), вообще говоря, не совпадают. На Гс, как на части границы области Qc, задаются условия, обеспечивающие взаимное непроникание берегов трещины [11—15]:

dw

[W]V > £

на Гс х(0,Т). (6)

дv

Здесь квадратные скобки обозначают скачок функции на берегах Гс, т. е. разность между ее значениями на Г+ и Г-. В дальнейшем для простоты будем полагать £ = 1.

Для приведенной модели вязкоупругого тела характерна зависимость компонент , (г^ тензоров деформаций и напряжений от функций х*(х, у), £*(х, у). Это подразумевает наличие интегралов по временной переменной от начального момента до текущего. Таким образом, как уравнения равновесия, так и краевые условия, рассматриваемые в данной работе, не могут быть выписаны локально по £ для некоторого фиксированного значения £ (О, Т) вне связи с соотношениями для £ < Отметим здесь, что различные задачи с интегральными операторами «наследственного типа» для вязкоупругой среды исследованы в [14,18,30].

Далее в этом пункте для поставленной задачи равновесия будет приведена вариационная формулировка и доказано существование решения. Доказательство теоремы существования основано на неравенстве Корна, справедливость которого для областей с гладкими границами показана в [21], для областей с более сложным контуром границы — в [26].

Введем обозначения функциональных пространств. Символом Н'0(Пс) будем обозначать подпространство пространства Соболева

Пс), элементы которого обращаются в нуль на внешней границе

Г. Аналогично элементами H'°(fic) являются все функции из Н2(fic), обращающиеся в нуль на Г вместе с первыми производными. Через hq(q), s = 1,2, обозначим замыкание пространства (о) в норме Нs(0). Пусть также

Н(Пс) = H'0(ПС) х H'0(fic) х H^П^, Н0(П) = Н(П) х Н(П) х Н(П), H = Н(Пc) х Н0(П). Для W, W £ Н'O(0c) рассмотрим следующую билинейную форму:

ЪсХ W,W) = (a ij( W),£j{ W) )c,

где скобки (•, ^)c обозначают интегрирование по области Лс. Для функций U,U £ Н (П) аналогичная билинейная форма имеет вид

Ъ{и,й) = (aj U), £ij( U)),

здесь скобками (•, •) обозначено интегрирование по П. Кроме того, из-гнбные свойства пластин характеризуются билинейными формами

Bc( W,W) = J (Wxx Wxx + Wyy Wyy

fic

""f" KWxxWyy KWyy Wxx + 2(1 - K)WxyWxy) dQc,

B(u,U) = J An Audi}

Q

для верхней и нижней пластин соответственно, w,W £ Н'°(fic), u,U £ Н2(П). Пусть

K = {п £ Н | п удовлетворяет (5), (6)}.

Определим множество допустимых перемещений:

Ж = {n(t,x,y) £ Ь2(0,Т;Н) | n(t) £ K для п. в. t £ (О, Т)}.

Заметим, что элемент n(t, x, y) множества Ж удовлетворяет не только условиям (5), (6), но и условию (4) — оно входит в определение пространств Н'0({lc), Н>Q{ttc).

Множество Ж выпукло. Действительно, если элементы щ, щ принадлежат Ж, то функция ащ + (1 — а)щ, очевидно, принадлежит пространству Ь2(0, Т; И), а £ [О,1] и выполнено неравенство

[аШ1 + ( 1 — > а

Кроме того,

дтл

дv

—

ди>2 дv д

дv

(а^1 + (1 — а)ш2)

ат\ + (1 — ^ ащ + (1 — а)и2 — аб — (1 — а)б,

т. е. ащ + (1 — а)п2 £

Покажем замкнутость Ж. Пусть цп ^ ц в Ь2(0, Т;И),пп £ Ж. Тогда

^ ^ вЬ2(0,Т;Ь2(Гс)),

д®п дт т- 2 /п т Г2/-Г \\

_ ^ _ вМ0,^мгс)).

Из Пп £ ^ можно выделить подпоследовательность ^т, сходящуюся п. в. на Гс х (0, Т). Имеем

[^т] V >

дv

п. в. на Гс х (0, Т), тт ^ ит — б в Пс.

Отсюда при т ^ ж получим дт

дv

Значит,

п. в. на Гс х (0, Т), т ^ и — б в Пс.

ц = Ит £ Ж.

Теперь докажем теорему о существовании единственного решения вариационного неравенства, которое, как будет показано далее, является постановкой задачи о равновесии пластин.

Теорема 1. Существует единственная функция ^ = (х,0> УД0' влетворяющая вариационному неравенству T т

ц G Ж, j Bc(w*,w — w) dt + j B(u*,u — u) dt

о о

т т

+ J (j W *) ,£ij( W — W) )c dt + J (j U *) ,£ij( U — U) ) dt

о 0

T T

>J (f,X — x)cdt + J (g,i — £) dt Vv=(X,0 GJT. (7) о 0

Доказательство. Пусть H * — пространство, сопряж енное к H. Рассмотрим оператор

А : L2(0,T;H) ^ L2(0,T;H*),

который задается формулой т

{Ап,п) = J {BcXw* ,w) + B(u* ,U)+ (<Jj{ W*) W) )c о

+ (jU*), jU))) dt, n G L2(0, T H).

А

депие в пространстве L2(0, T; H), значит, он непрерывен. Для доказательства теоремы нам потребуется оценка снизу слагаемых, входящих в формулу для (А-ц, rj). Поскольку

mes (Г П Ш± > 0,

то для каждой из областей П± выполнено первое неравенство Корна и имеем

(<jW),Eij{W))n+ > d\\W\\2>n+ VW G H'0(Q+ ), (<jW),£ij(W))n- > d'\\W\\2>n- VW G H'0(fi-.

Просуммировав эти неравенства, получим

W))с > С!II2>пс е Н'0(Пс). (8)

Аналогично в каждой из областей П± выполнено неравенство Пуанкаре. Тогда

Бс(т,т) > с2\М\1^ Ут е Н'0(Пс). (9)

Для области Л справедливы неравенства

И),е^{и)) > с3\\и\\2>п Уи е Н№), Щи,и) > с4\\и\\\(г Уи е Н$(П).

(10) (11)

Обозначим

а{п,п) = Бс( + Б(и,и) + W) )с + и),е^(й)).

Суммируя неравенства (8)—(11), в новых обозначениях запишем

а{п,п) > сЫЪ. (12)

Вычислим

1 1 (Лц, п) = J а(п, п) йг + !

о о

Б I J и йт, и

чО

^ Ц Wdт^

+ (агз II и йт^ и)^ йг.

Рассмотрим интеграл

Бс

' йт,

йг

Бс т йт, т

г

и найдем выражение для первого слагаемого в этом интеграле, а именно для

т / г

= ™х

1= ^ ™хх{г) |у тхх(т)3,т I ¿г

о \о /

т г т т

=! ¡^^(г) ¿г ¡^^(г)^

0 0 От

т т т т

0 0 0 0

т т т т

= /^х( т)*!^ т -Ц -хх( гКх( №.

О О 0 0

Переобозначив переменные в последней строке, получим

т т

I = J адхх(^ Юхх(г)М - I, о о

тогда

т т

I= \Уг)¿г 'Уадхх(г)¿г.

о о

Для остальных слагаемых, а также для трех других билинейных форм можно вывести представления аналогичным путем. Следовательно, (А'п, п) запишется в виде

т / т т \

(Ап, п) = У а(п, + I У П^, JI .

о \о о /

Теперь, используя неравенство (12), легко заключаем, что

(Ац,ц) и и —--► \\п\\татн)

\\п\\ьцо ,т;Я)

А

С помощью (12) можно также показать монотонность оператора Л:

(Ап - Лп,п - ф = (Л(п - - Ф > с\\п - п\\Ь(о,т-щ ■

ЛЛ нотонен. Тогда существует решение задачи [31]:

т т

п еХ, (Лп,п - п) </,х - х)с + - 0 ¿г Уп е лг (13) о о

Единственность решения вытекает из строгой монотонности опе-Л

(Лп — Лп,п — п) > о при п Ф п, п,п е Ж■

2. Существование производной по времени

В этом пункте доказывается существование производной г, х, у). Гладкость решений по переменной г позволяет определить след этих функций па каждом сечении цилиндра ^с при фиксированном значении г. Исследование проводится методом конечных разностей.

Выберем произвольное а > 0 и в качестве пробной функции в (13) возьмем

_ / п в е (г - а,г + а)> I п(0), в е - а,г+а),

где п е К — некоторый фиксированный элемент. После подстановки п(в) в (13) разделим полученное соотношение на 2а. Тогда

(4+а 4+а

J Бс(т*- т) ¿г + J Б(и*,й - и) &

— а t—а

4+а 4+ а

+ ж*)Ж - Ж))с + I <а.у(и*)и - и)) ¿г

t —а ^ а

(4+ а 4+ а

У </,Х - х)с У <д,е - е) ¿4 ■

— а t—а

Переходя к пределу при a ^ 0, для п. в. t £ (О, T) получим

Bc(w*(t),w - w(t)) + B(u*(t),U - u(t))

+ Ы W * (t)), £ij( W - W(t)) )c + м и * ( t)), £ij( и - U(t))) > (№,x - x(t) )c+ ШЛ - m) дляп. B. t £( 0,T) Уц £ K. (14)

Перепишем (14) в виде

a(ri*(t),n - n(t)) > (f(t),x - x(t))c + Ш,£ - Ш), t £(0,T), УП £ K.

(14')

Возьмем П = n(t + h) в (14'). Получим

a(v*(t),v(t + h) - n(t)) > fm,x(t + h) - x(t))c + + ^ - at)),

затем рассмотрим (14') в точке t + h, а в качестве пробной функции выберем ц = n{t)- Тогда

a{rf{t + h),n(t) - n{t + h))

> (f(t + h), x(t) - x(t+h )c + {g(t+h), at) - at + h).

Сложив полученные неравенства, выведем

a(V*( t + h) - n*{ t), v(t + h) - n(t)) < (f(t+h) - f(t), x(t+h) - x(t) )c

+ (g(t + h) - g(t),&t+h) - at)).

h

t+h

dhv(t)= v(t+hh - , d*hv(t) = b J v(t) dT, h > 0.

t

Тогда имеем

a(dh n(t) + dhn{t), dh n(t)) < fdhf(t), dh x{t) )c + fdh g(t), dhat)). Преобразуем это неравенство к виду

a(dh'n(t),dhф)) < fdhf(t),dhx(t)fdhg(t),dhat)) - a{d*hv{t),dhn(t))-

Отсюда ввиду (12) можем записать

11«)Гн < J Wit)\\g

+ A\\dhx{t)\\g + J\\dhg{t)\\2 + Л\\dhat)IIS + J\\d*hmГн + A\\dhV(t)Гн.

Здесь \\ • \\q — норма в L2(fic). При достаточно малых Л > 0 существует c = const такое, что

\\dhv(t)Гн < c(\dh№\\о+ \\dhg(t)ro + \\d*hV(t)Гн)• (15)

Постоянная c те зависит от t и h.

Заметим, что для любой гладкой функции v(t, x, y) выполнено следующее неравенство:

T-h T

J \\dhv{t)\\g dt \\v(t)\\2 dt. о 0

Действительно, по неравенству Коши имеем i+h

(16)

1

;(r)d"7

Ti h

< ^ • hf [j v2(r) dr i ш c = dh [j \\v(t) \\g dr i .

Vt / Vo )

Проинтегрируем полученное неравенство от 0 до T — h. Это дает

T-h T-h /i+h

f \\dhv{t) \\2 dt W h [ f \Кт) \\o dT | dt

T-h / h 1 f

)h / T-h

dt = J [ h У \\v(e + t) \\o dt I de 0 \ 0

TT h

TT h

hi \\v(e + t)\\2 dt j • h < max / \\v(e + t) \\2 dt

= max

eefo ,hl

e+T-h T

J \\o dt < J \\v(t)\\g dt,

в 0

где e e [0, h].

Интегрируя (15) no t от 0 до T — he помощью выведенного неравенства (16), получим

T-h

J \\dhv(t)\\н dt 0

TT h

TT h

< с [ J (\\&н!(ь) \\§ ¿ь + I \\&нд(Ь)\\§ &Ь + ¡МЬ) \\Н ¿г) ■ V о о о /

Поскольку ft{Ь) е Ь2(<с), дДЬ) е Ь2(<^с), то (16) можно записать для V = и V = д1,. Будем иметь следующие оценки:

TT h

TT h

\\dh№\\2 dt =

о

f(t+h) — f(t)

T-h t+h

dt

О

TT h

J hj f ^dT dt = J Kft\\o dt \\ft\\l dt;

0 t о 0 0

T-h T

f \\dhg(t)\\g dt ^ f \\gt\\2 dt.

о

о

Тогда

T-h / T T T

J \\dh^t)\\н dt < c [J \\ft\\2 dt + J \\gt\\2 dt + J \\V(t)\\н dt], 0 \o о 0

Отсюда при малом ho, то таком, что h ^ h, можно записать

T-h0 , T T T ч

У \\dh v(t)\\н dt < clj \\ft\\l dt + У \\gt\\l dt + У \\V(t)\\2н dt\.

О ^000^

Переходя к пределу при h имеем [2]

T-hо / Т Т т

II2 7-1 I / II /J-MI2

J \Ы\Н dt < c U WftM dt+ J \\gtU dt+ J ||n(t)IIH dt

о \o о о

h

< c( \\fi\\L(Qc) + \Ы?Ь?($С) + hW\\L(0,T;H)) '

Таким образом, производная no t решения n(t, x, y) задачи (7) существует.

Более того, взяв в (13) п = 0, придем к неравенству

т т

(¿П,п) (f,x)c dt + J <g,e> dt.

о о

Учитывая (12), перейдем к соотношению

\\n\\L(o,T;ff) < X\\f\\I2(Q0) + Л\п\^о,тн + X\\g\\L(Qc)

или

\\n\\L(o,T;tf) < c(\\f \\i2(Q0) + \|g\^CQ^)•

Окончательно получаем

\Ы\|2(0,Т;Я) < c(\\f \\L(QC) + \\g\\L(Qc) + \\fi\\L(Qc) + \\gt\\L(Qc)) • 3. Вывод полной системы краевых условий

В п. 1 была сформулирована вариационная постановка задачи о равновесии. Покажем, что вариационное неравенство (7) содержит полную информацию о краевых условиях, выполненных на берегах трещины. Это означает, что в предположении достаточной гладкости решения (7) можно вывести полную систему условий па границе Гс.

Пусть D С М2 — ограниченная область, имеющая гладкую границу y с внешней нормалью n = (n^n). Введем следующие операторы на границе y:

д . ч д3

m(w) = kAw + (1 — к) 9, t(w) = — Aw + (1 — к

w

dn2' dn dnds

где в = (-П2,п) — единичный вектор касательной к 7. Кроме того, будем использовать формулы Грина, справедливые для любых гладких функций гш,7ш, Ш, Ш, здесь Ш = (т1 ,т2), Ш = (т1,7^2):

! дт \

Бв(т,Щ = -{Ь(т),т),у + {А2т,т)в, (17)

)п = - )0' (18)

Индексы Б и 7 обозначают интегрирование по области Оипо границе 7 соответственно.

Введем обозначения т*, Ш % и*, и * и т. д. для фун кций Ь), Ш*(Ь), и*(Ь), и*(Ь) соответственно, т. е. зафиксируем некоторое значение Ь £ (О, Т) и для выбранного Ь будем рассматривать вариационное неравенство (14'). Оно примет вид

Бс( т* - т) +Б {и*, и - и) + Ш *), ец{ Ш - Ш) )с

+ {слз(и*)и - и)) > {/,х - х)с + {яЛ - О Щ £ к. (19)

Прежде всего отметим, что в обобщенном смысле справедливы уравнения равновесия

-°чАШ*) = г = 1, 2, в Пс. (20)

Для доказательства этого факта возьмем произвольную бесконечно

с

в = (6\, в2). Тогда элемент ц= (Ш + в, т, и, и) £ К можно подставлять в (19) в качестве пробного. Получим

{сПэ{ Ш *), в) )с > {Г, в) с,

где Г = (/, /2). Учитывая финитность функции в в Пс, проинтегрируем полученное неравенство по частям:

-{?чА Ш *) ,вг )с > Г ,в< )с.

Взяв п = (Ш - в,т,и,и) £ К в (19), запишем

-{\°чА Ш *) ,вг )с < Г ,в4 )с.

Из произвольности функции в следует (20).

Отметим, что в области П в обобщенном смысле справедливы уравнения

и *) = Л, ¿=1,2, (21)

которые выводятся из (19) подстановкой пробных функций вида п =

(Ш, ■ш,и + в,и) е К, где в е С0ТО(П).

Сделаем теперь дополнительное предположение. Выберем произвольную точку х е Гс \ 9Гс и в некоторой окрестности V этой точки будем считать выполненным условие

т > и — 6. (22)

Это условие интерпретируется как отсутствие контакта между пластинами в рассматриваемой окрестности.

При сделанном предположении для любой функции у е СVc), Ус = V\Гс, найдется такое Л > 0, что будут верны неравенства т±Лу > и — 6 в V, и тогда функцию п = т±Лу, и, и) е К можно подставлять в (19). В результате мы придем к равенству

БсХ т* , Лу) = (/,Лу)с.

В силу финитности функции у в области Vc интегрирование в последнем равенстве производится по Ус. Проинтегрировав по частям, получим

(Д 2ы* ,у)ус = (/,У)ус •

Отсюда произвольность у позволяет заключить, что в области Ус при условии (22) выполнено уравнение равновесия

Д2т* = / (23)

в смысле распределений.

Аналогичным образом доказывается, что в области V при условии (22) имеет место уравнение

Д2и* = д3. (24)

Для вывода (24) достаточно взять функции ^ = (W,w,U,u ± Xtp), G CV), X > 0, в качестве пробных элементов в (19) и провести интегрирование по частям.

Приступим теперь непосредственно к выводу краевых условий на внутренней границе. Будем предполагать в этом пункте существование производных по x, y решения x, y) любого требуемого порядка. Это предположение о дополнительной гладкости необходимо только для определения вида граничных условий на Гс и доказательства эквивалентности вариационного неравенства краевой задаче. При этом вариационная формулировка задачи о равновесии является точной, для ее постановки не требуется повышения гладкости решений. Пусть

W G H{VC), W = 0na<9V, [W}v >0па Гс n V.

Будем считать, что W = 0 вне V. Тогда элемент 'q = (W + W, w, U, u) принадлежит множеству K и его можно брать в (19) в качестве пробного. В этом случае имеем

W*),£ij(W))vc > {F, W)Vc.

Применим здесь первую формулу Грина (18)

ЫW*)j,ЩГcЫW*)v-,ЩГ-nv

- j W *) ,Wi)vc > {F,W )vc ■

Поскольку v = v- = —v+ и из (20) следует справедливость уравнений Vc

W*)Vj,Wi)T+п^ {<ij(W*)Vj,Wi)T-nv >0■ (25)

Разложим <jij{W*)Vj и Wi he Г± П V he нормальную и касательную составляющие:

i<ij( W *) Vj } = au( W*) v + as( W*), ¿=1,2,3, ~ ~ ~ (26) W = WV v+Ws.

Если сделать предположение, что Ш = 0 в = П+ П V и на Г+ П V, то из (25) следует

(*„(Ш*)^аДШ*)^ Ш)г- пу >0• (27)

Так как произвольно то определению, то при ст8(Ш*) ф 0 па Г- П V можно подобрать такое что неравенство (27) будет нарушено. Таким образом,

стя(Ш*) = 0 на Г- П V.

Тогда (27) примет вид

ыШ*))г-пу .

Из условий [Ш] V ^ 0 па Гс П V и Ш = 0 па Г+ П V вытекает, что ^ О па Г- П V. Следовательно,

МШ*) <0 на Г- П V.

Предполагая теперь, что Ш = 0 в V- = П- П V и па Г- П V, аналогично можно получить из (25) неравенство

ыШ*))г + пу <0, стя(Ш*) = 0 на Гс П V.

Тогда значит,

МШ*) <0 на ^ П V.

Итак,

стя(Ш*) = 0, Ш*) <0 на Гс П V. (28)

Пусть теперь = 0. Из (25) получим

— (Ш*) V;] )г0 пу >0.

Из произвольности Ш, а также принимая во внимание (26), (28), имеем

Ш*)] = 0 наГс П V. (29)

Возьмем теперь произвольную гладкую в V функци ю у (ж, у), равную нулю на границе области V, продолженную нулем вне V и такую, что = 0 на Гс П V. При этих предположениях элемент П = (Ш, т + Лу, и, и) благодаря условию (22) принадлежит множеству

Кп

Бс(т*,Лу) > (/,лу)у0.

С помощью формулы (17) преобразуем это неравенство к виду

— (Мт*)],ду)г пу ±(*Ю,у)г±пу >0.

Из условия (22) также следует, что п = (Ш, т — Лу, и, и е К. Подстановка этого элемента в (19) дает вместе с предыдущим неравенством следующее соотношение:

-< |т(т*)]у ±(*Ю,у)г±пу = 0. Пусть IV =0 на Гс П V и у = 0 на Г+ П V. Тогда

(30)

-<*(т*), у)

г-п V

,

т. е. ¿(т*) = 0 на Гс П V. Аналогично рассуждая, получим, что ¿(т*) = 0 и па Г+ П V. В наших обозначениях эти условия запишутся как

¿(т*) = 0 па Гс П V. (31)

Вернемся к (30). Справедливость (31) приводит к граничному условию

[м(т*)] = 0 на Гс П V. (32)

Рассмотрим произвольную функцию х = (Ш, т) е [Н(К)]2 х Н2(^), которая имеет носитель в V и удовлетворяет условию

на Гс П V.

Подставим функцию п = (Ш + ХШ, т + Хй, и, и) как элемент множества К при малых Х > 0 и при ограничении (22) в вариационное неравенство (19). Получим соотношения

Бс(т*,Хт) + {а^(Ш*),е^{ХШ))ус > {1,хх)ус.

С помощью формул (17), (18), а также с учетом выведенных краевых условий (28), (29), (31), (32), получаем

дт

г(г

ди

{а„( Ш *) ) с

ПУ

^ 0.

Гс ПУ

Если выполнено [Ц^] = т0 отсюда следует, что

т{т*) < -аи{Ш*) на Гс П V, а для случая = - справедливо

-т{т*) < -ои{Ш*) на Гс П V. Таким образом, имеет место неравенство

1т(т*)I < -а„(Ш*) на Гс П V.

(33)

Пусть функция у(х,у) £ СV) произвольна, но удовлетворяет следующим условиям: у{х, у) ^ 0 в V, ^ = 0 па Гс П V. Будем считать, что у продолжена нулем вне V. Так как у{х, у) ограничена, то найдется такое Х > 0, что при условии (22), справедливом в V, имеют место неравенства

т ± Хут > и - 6.

Возьмем функции вида п = (Ш ± ХуШ, т ± Хут, и, и) и проверим условие (6) для выбранных функций п = (Ш,и>):

дт

± ХуШ}^=( 1 ± Ху)[Ш> (1 ± Ху)

(1 ± Ху)

дт ду

дт ду

± Ху

дV

дт дv

дт

±Л у

дт

д^г дv[

дт

Л

д(ут)

дv

д(т ± Лут дv

дv

дт дv

Так как условие (6) для п = (Ш, ю) справедливо, то п е К. Подставим П = (Ш ± ЛуШ, т ± Лут, и, и) в качестве пробных элементов в (19). Имеем

Бс(т*,Лут)+ (ау(Ш*), £у(ЛуШ))с = (/,Лух)с. Функция уж, у) финитна, поэтому интегрирование здесь на самом деле производится по области Применяя уравнения равновесия (20), (21), (23), (24), проинтегрируем это равенство, используя формулы Грина. Будем иметь

м(т*

д(ут)

Цю*)

Из (6) следует, что

— (¿(т*),ут)г±пу + (ау(Ш*)^,уШ)г±пу = 0.

ловий (28), (29), (31), (32) получим (а„( Ш *) ,у[Ш^)г с пу = 0. (34)

/ гс± пу

С помощью выведенных краевых условий (28), (29), (31), (32) получим д(ушУ1 \

Гс пу

> у

дv дт

дv

дт

ду

у^ +

д(ут

дv

Принимая во внимание (33), можно сделать вывод, что д(ут)

дv

< а^(Ш*) на Гс П V,

т. е. м(т*) [^д^] + а^(Ш*)> 0. Учитывая, что интеграл от этой функции в (34) по кривой ненулевой длины равен нулю, получаем д(ут)

г(г

дv

а^(Ш*)у[Щ^ = 0 наГс П V.

Пусть уж, у) = 1 на Гс П V', где V' — некоторая внутренняя подобласть V. Условия, которым по определению удовлетворяет уж, у) позволяют сделать такое предположение. Тогда имеет место дт

Цт*

дv

а^( Ш *) [Ш> = 0 наГс П V'.

(35)

4. Дифференциальная постановка задачи

Покажем теперь, что краевая задача (20), (21), (23), (24), (27), (29)-(31), (33) эквивалентна вариационному неравенству (19). Как только что было доказано, из неравенства (19), предполагая достаточную гладкость решений п(£, х, у) и справедливость условия (22), можно вывести краевые условия, выполненные на Гс х (0, Т). При этом мы использовали уравнения равновесия. Таким образом, для завершения доказательства эквивалентности постановок задач нам необходимо из уравнений (20), (21), (23), (24) с учетом всех краевых условий, включая (6), получить вариационное неравенство. При этом, как и ранее,

ху

порядка у функций п^,х,у). Считаем также, что условие (22) выпол-

с

Пусть п — гладкая функция, п £ К. Значение £ £ (0, Т) будем по-прежнему считать фиксированным. Рассмотрим уравнения равновесия

п- п

с

- Ш*)- Ш)с+ {&2т*,т - т)с - {оцАи*)^^(П - и))

+ {Д2У*,и - и) = {/,х - х)с+ - 0.

с

и провести преобразование по формулам (17), (18):

- Ш*)- УТ)Г± + {ац{Ш*), ец{Ш - Ш)Бс{т*,т - т)

-(т{т*), ± + {Чт*)^ - т)г± + и*)- и))

\ / гс

+ Б(и*,и - и) = {/,х - х)с + - 0. Учитывая направление нормали V, можно записать

± {а^Л Ш *) vj - И0Г ± + {ъэ( Ш *) - Ш) )с + Бс{ т* ,т - т)

±1^ т{т*), д{тд- ^ ± Т {Цт*) ,т - т)г ± + и *), Е^й - и))

+ Б(и*,и - и) = {/,х - х)с + - 0.

Используем представления вида (26) для {а^(Ш*)^} и функций Ш, Ш, а также краевое условие (31). Получим

± (а„ V + ая, Ш^ V + )г ± ^ (а„ V + а8, V + )г ± + (ау(Ш*), £у(Ш — Ш) )с + БХт*, ю — т) ± / Цш^,

д(т — « дv

+ (а и *), £й — и) К Б (и*, и — и) = (/, х — х) с + (5,1 — С). Из (28), (29) и (32) следует

(а„(Ш*), )го — (а„(Ш*)с + (ау(Ш*),£^("Ш — Ш))с

Бс

ш , ш — ю

г(г

дт

дv

— ( м ю

дт дv

+ (а и*), £ и — и)К Би*, и — и) = (/, х — х)с + (5, С — С). С помощью (35) полученное равенство переписывается в виде

(а«( Ш *) ,£у( Ш — Ш) )с

+ Бс(т*, ш — т) + (ау(и*), £ у (и — и)) +Б(и*, и — и) — (/, х — Xс — (д, С — С)

= —(а„(Ш*),[W]v)Гс — ( м{

дт

дv

.

пК

дт

дv

с.

W]v >

С другой стороны, по условию (33) имеем

—аЛШ*) > ЦК)| на Гс.

Поэтому правая часть в (36) неотрицательна. Отсюда сразу следует вариационное неравенство (19).

5. Задача о минимизации объема трещины

Как было доказано в п. 1, для каждой функции у = (/, д) е Н(0, Т; Ь2(П)), задающей внешние нагрузки, можно найти единственное решение п е ^ задачи (7). Таким образом, на множестве Ф С

Я1 (О, Т; Ь2(П)), у £ Ф, можно определить функционал

т

М(у) = I 11 [х] с

с

где х — решение вариационного неравенства (7) при заданном у £ Ф. Данный функционал характеризует объем трещины [5]. Целью нашего исследования является разрешимость задачи

Ы1(у). (37)

фЕФ

Обозначим

d = ш£ Му)

фЕФ

и докажем следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть Ф — ограниченное, выпуклое, замкнутое множество. Тогда существует хотя бы одно решение задачи (37).

Доказательство. Возьмем минимизирующую последовательность уп £ Ф, т. е. последовательность, обеспечивающую сходимость

Муп) ^ а.

уп

странстве Я^О, Т; Ь2(П)). Это значит, что из уп можно выделить подпоследовательность ут такую, что

ут ^ у слабо в Я^О, Т;Ь2(П)).

Каждому ут соответствует единственная функция пт = яв~

ляющаяся решением задачи (7). Последовательность пт также ограничена. Действительно,

\\пт\\1Чо,Т;Щ < Ат,пП < с\\ут\\нг(ат.,ьЧЩ)\\пт\\що,Т;Н)

или

\\пт\\ь2(о,ТН) ^ С1 равномерно по 'т.

По доказанному в п. 2 имеем п— е Ь2(0,Т;Н). Кроме того,

11пГ |Ц*(0,т;Я) < ^ (11ут|Ц^) + II уГ\\ЬШ ) = ^ 11ут 11Н(0,т;^(П)).

Тогда из ограниченности уг в Н (О, Т; Ь2(П)) следует ЦпГИь2(о т-я) ^ Сз равномерно по м.

Значит, справедливы следующие результаты о сходимости:

г г

пг ^ п, пг ^ пг, у пГ^т ^ у п ¿т слабо в Ь2(0, Т; Н, (38) о о

пг ^ п сильно в Ь2(0,Т;Ь2(П)). (39)

Ц

неравенства

т т

(Апг, п — пГ > У(/Г, х — хг)с ^ + I (дг, С — СГ)

о о

Запишем это неравенство в виде

/ Н" (/п-'"') — апг — • (/ ' .......)) '

т

> У((/г,х)с — (/г,хг)с + (дГ,С) — (дГ,СГ))

о

Ввиду (38), (39) в этом неравенстве можно перейти к пределу при м ^ то, что дает

т т

(Ап,п — п) >У (/,х — х)с + ¡ы — С) о о

Мы доказали, что функция п = Ит п- является решением (7) для

г—

у = Ит уг. Покажем теперь, что найденный элемент п е Ж дог—

ставляет минимум функционалу ^(у). Заметим, что из непрерывности вложения Ь2(0, Т; Пс)) С Ь2(0, Т; Ь2(Гс)) следует сходимость

[Х- ^ [х] слабовЬ^Т;^Гс)).

С другой стороны, функционал 1(у) задает норму в Гс)), а

норма есть слабо полунепрерывный снизу функционал [32]. Следовательно, можем записать

а = ш£ М(у) = Нтш£ М{ут) > у) М(у) = а.

фЕФ т—фЕФ

Отсюда видно, что всюду здесь выполнено равенство и тогда

Теорема доказана.

6. Исследование гладкости решений

Основной целью этого пункта является исследование вопроса о регулярности решений. Доказывается теорема, смысл которой состоит в следующем. При нулевом раскрытии трещины и отсутствии контакта между пластинами для дифференциальных свойств функции ц= (х,0 наличие трещины несущественно. Причем свойства эти носят локальный характер, т. е. они справедливы для некоторой окрестности про-

с

Рассмотрим в первую очередь точку х°, являющуюся точкой пересечения Гс и Г. Пусть V — некоторая окрестность точки х°. Зафиксируем некоторое ¿0 £ (О, Т) и введем следующие обозначения:

Q0 = V х(0,^), д = п х(0,^), ( = П х(0,^).

Теорема 3. Пусть д > 0, [х] = 0 на Гс П V при всех £ £ (0,£о), /,д £ Ъ2{(с) П С( П (0). Тогда существует область V' с V такая, что ц= (х,0 £ С( П ('0), где ('0 = V' х (0,1°).

д>

окрестности точки х° выполняется неравенство ш > и — д. Пусть это окрестность V. Если окрестность, в которой отсутствует контакт между пластинами (т. е. имеет место неравенство ш > и — д), не совпадает с V, то рассуждения можно проводить в меньшей из этих окрестностей.

Кривая Гс делит V та две подобласти V+ и V — где V± = П± П V. В областях V±, как уже было показано, справедливы уравнения равновесия (20) и (23). Благодаря существованию производной пг(ж, у), доказанному в п. 2, эти уравнения выполнены как в цилиндрах V± х (0, так и на каждом сечении цилиндра при фиксированном значении

Пусть© е С0ТО( V ПП), в = 0вне V ПП. Тогда п = (Ш + 0,т,и,и) е Кп

(ау(Ш*),£У(0))у± > (/,©)у.

Поскольку Ш* е [Я1'0(Пс)]2, то а^(Ш*) е Ь2(Пс), аиз (20) следует, что аШ*) е Ь2(Пс). Тогда в областях V± применима формула Грина (18). Имеем

ЫШ*),0г)г±пу — (^^р^¿)у± > (/^)у.

Учитывая направление нормали V и уравнение (20), запишем

— ([ау(Ш*)*,•] ,0¿)гспу >0.

Так как п = (Ш — 0, ю, и, и е К, то имеет место равенство

([ау(Ш*)*,•],0¿)гспу = 0. (40)

Отсюда в силу произвольности О получим

[ау(Ш*) ^]=0 паГс П V.

Возьмем теперь уж, у) е СV П П) и предположим, что у = 0 вне V П П. Получаем, что щи достаточно малых Л > 0 элемент п = (Ш, ю + Лу, и, и) принадлежит множеству К. Подстановка п в (19) дает

Б±(ю*> (/,у)у,

где Б± обозначает билинейные формы, аналогичные Бс, интеграл в которых берется по областям V±. Благодаря справедливости включений ю* е Н2(Пс) и А2ю* е Ь2(Пс), мы можем в областях V ± применить

формулу Грина (17). Угловые точки в V±, как и в случае с (18), не

у

т(ш*)±(Чш*),у)тспу + (Д2ш>*,у)у± > {Ь,у)у. \ /г±пу

В V± имеют место уравнения (23), поэтому

АНЮ]±(г(ш*),у)г±пу >0.

\ / г0 пУ

Рассуждая здесь, как и при выводе (31), (32), запишем

(г(ш*) ,у)г ± п^ о, ^[шю] = 0. (41)

у

г{ш*) = 0, [ш(ш*)] = 0 паГс П V.

Отметим, что здесь выведен точный вид (40), (41) краевых условий (28), (29) и (31), (32), так как мы не требовали при этом дополнительной гладкости х, у) то переменным х, у.

По условию теоремы [х] = 0, т. е. [Ш] = [ш] = 0, то тогда [Ш*] = [ш^] = 0 для почти всех £ £ [0; Т] и, кроме того, из (6) получаем

дш

.

ду

Следовательно, в окрестности V справедливы включения [33]

Ш*(г,х,у) £ И1 (0, И1 (V ПП)), ш*(Ь,х,у) £ И^О,^; И2^ ПП)), Ш*) £ И1 (0, Ь (V П П)).

Обозначая через (•, у) действие распределения па элемент у = (уь уг) £ ( П (о), найдем

— ш *) + и, у)

= — (а^(Ш*), у>) — (/, у) = Ш*), ^ — (/, у)

г0 г0

= I(а¿ЫШ*), у)у± Л т!ЫШ*)^, у)г±пу ^ — (/, у) о о

г0 г0

= — У"(а Ш*) + /¿, у4)у± Л + У ([ау(Ш*)VI, у)Гспп Л. (42) о о

Из справедливости уравнений равновесия в V±, а также из (40) следует, что правая часть в (42) равна нулю. Таким образом, уравнения (20) в обобщенном смысле выполнены во всей области Q П ^о-Далее,

г0

(А2ю* — /3, у) = (А2ю*,у) — (/3,у) = У Бс(ю*,у)Л — (/3,у)

о

г0 г0 г0

= У Б± ю* ,у)Л — (/з,у) = У^ 2ю* ,у)у ^м(ю*), ±

о о о Гс пП

г0 г0

± У, у^±пп ^ — у) = У(А2ю* — h, у)у± ^

о

г0

т(ю*)] А ± У^(т*) ,у)т ± ^

о Гс пП о

Здесь у(£, ж, у) е С^(Q П Qo). В силу (23) и (41) правая часть этого соотношения также обращается в нуль, т. е. уравнение (23) также выполнено в Q П Qo в смысле распределений.

Объединяя полученные результаты, можем записать, что в Q П Qo имеют место уравнения

—'ацАШ*) = /¿, А2ю* = —а^(и*) = А2и* = д3, г = 1, 2.

о о

г0 ги

Поскольку по условию имеем ¡, д £ Ь2((с) П(П(о), то, принимая во внимание жесткое защемление пластин по краю, т. е. (4), делаем вывод о бесконечной дифференцируемости функций г/* = (х* ,£*) вплоть до границы Г:

(х*,П £ И1 (0, г°; СV ПП)).

Замечая, что из соотношений (2), (3) можно вывести выражение для х, £ через х% £* соответственно, получаем

(х, О £ Сто(V П П) при каждом г £ (о, г0).

Отсюда следует, что

(х,0 £ С( П Теорема полностью доказана.

х

сП

с

дующее утверждение. Примем те же обозначения, что и в теореме 3.

Теорема 4. Пусть 6 >0, х — внутренняя точка Гс н в некоторой окрестности V точки х выполнены условия:

Ы = 0 на Гс П V при всех г £ (0, г0),

ш>и — 6 в Vc, г £ (о,г0),

¡,д £ И(0, Т; Ь2(П)) П С((о). Тогда существует область V' С V такая, чтоп=(х,0 £ С™(('0).

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 3 с той лишь разницей, что наличие условия отсутствия контакта (43) в Ус позволяет включить сюда и случай 6 = 0. Однако тот факт, что

хс

V, тогда как в теореме 3 показана бесконечная дифференцируемость функций п(г, х, у) вплоть до границы Г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Черепанов Г. П., Ершов Л. В. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977.

2. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

3. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

4. Andersson Н. Stress-intensity factors at the tips of a star-shaped contour in a infinite tensile sheet 11 J. Mech. Phys. Solids. 1969. V. 17, N 5. P. 405-417.

5. Гольдштейн P. В., Ентов В. M. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989.

6. Bui Н. D. An integral equation method for solving the problem of a plane crack of arbitrarily shape //J. Mech. Phys. Solids. 1977. V. 25. P. 29.

7. Гольдштейн P. В., Салганик P. Л. Плоская задача о криволинейных трещинах в упругом теле // Механика твердого тела. 1970. № 3. С. 69-82.

8. Морозов Е. М. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980.

9. Морозов Е. М., Сапунов В. Т. Применение вариационного принципа к решению задач теории трещин в упруго-вязких средах // Прикл. механика. 1972. Т. 8, № 6. С. 33-38.

10. Ваничук Н. В. Определение формы криволинейной трещины методом малого параметра // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. № 2. 1970. С. 130.

11. Kbludnev А. М., Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1997.

12. Хлуднев A. M. О контакте двух пластин, одна из которых содержит трещину // ПММ. 1997. Т. 61, вып. 5. С. 882-894.

13. Хлуднев А. М. Задача о равновесии термоупругой пластины, содержащей трещину // Сиб. мат. жури. 1996. Т. 37, № 2. С. 452-463.

14. Kbludnev А. М. On equilibrium problem for a plate having a crack under the creep condition // Control and Cybernetics. 1996. V. 25, N 5. P. 1015-1029.

15. Хлуднев A. M. Об экстремальных формах разрезов в пластине // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1992. № 1. С. 170-176.

16. Kbludnev А. М., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.

17. Вайокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988.

18. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

19. Кравчук А. С. К задаче Герца для линейно и нелинейно упругих тел конечных размеров // Докл. АН СССР. 1976. Т. 230, № 2. С. 308-ЗШ

20. Obtsuka К. Mathematics of brittle fracture // Theoretical studies on fracture mechanics in Japan. Hiroshima, 1995. P. 99-172.

21. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

22. Кондратьев В. А., Копачек И., Олейник О. А. О поведении обобщенных решений эллиптических уравнений второго порядка и системы теории упругости в окрестности граничной точки // Тр. семинаров им. И. Г. Петровского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. Вып. 8. С. 135-152.

23. Мазья В. Г. о поведении вблизи границы решений задачи Дирихле для бигар-моиического оператора // Докл. АН СССР. 1977. Т. 235, № 6. С. 1263-1266.

24. Архипова А. А. О гладкости решений одной системы вариационных неравенств // Вести. ЛГУ. 1982. № 7. С. 48-52.

25. Lewv Н., Stampaccbia G. On the regularity of the solution of a variational inequality 11 Comm. Pure Appl. Math. 1969. V. 22, N 2. P. 153-188.

26. Гловински P., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979.

27. Ковтуненко В. А. Решение задачи о балке с разрезом // Прикл. механика и техн. физика. 1996. Т. 37, № 4. С. 160-166.

28. Ковтуненко В. А. Итерационный метод штрафа для задачи с ограничениями на внутренней границе // Сиб. мат. жури. 1996. Т. 37, № 3. С. 587-591.

29. Назаров С. А. Вывод вариационного неравенства для формы малого приращения трещины отрыва // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1989. № 2. С. 152-160.

30. Партон В. 3., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. м.: Наука, 1981.

31. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

32. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных задач. М.: Наука, 1972.

33. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. м.: Наука, 1983.

г. Якутск

23 мая 2005 г.