Задача о равновесии пластины Тимошенко, контактирующей с наклонным препятствием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2014. Том 21, № 3

УДК 539.311

ЗАДАЧА О РАВНОВЕСИИ ПЛАСТИНЫ ТИМОШЕНКО, КОНТАКТИРУЮЩЕЙ С НАКЛОННЫМ ПРЕПЯТСТВИЕМ Н. П. Лазарев

Аннотация. Рассматривается задача о равновесии пластины, контактирующей с жестким неподвижным препятствием на части внешней кромки. На границе контакта предложено условие, описывающее непроникание точек пластины и препятствия. Предполагается, что нормаль к поверхности возможного контакта пластины с препятствием образует малый угол со срединной плоскостью пластины. Доказана однозначная разрешимость вариационной задачи о равновесии пластины с условиями типа Синьорини. Найдена дифференциальная формулировка, эквивалентная исходной при достаточной гладкости решения.

Ключевые слова: пластина, трещина, условие непроникания, вариационная задача.

Введение

Изучению пластин и оболочек посвящено большое число работ (см., например, [1-13]). При этом, как правило, рассматриваются вертикальные края пластины — они задаются цилиндрическими поверхностями, нормали к которым (в каждой точке поверхности) параллельны срединной плоскости пластины. С помощью вариационных методов изучен широкий круг модельных задач механики деформируемого твердого тела с нелинейными условиями непроникания (вида системы равенств и неравенств), заданными на кривой (поверхности), соответствующей зоне возможного контакта или трещине в твердом теле [6-13].

В работах [7, 8] исследованы нелинейные задачи о равновесии пластины модели Кирхгофа — Лява с условиями непроникания для наклонной трещины. При этом в [7] условие непроникания приведено для трещин, заданных гладкой поверхностью г = Е(ж1;ж2), где Е(ж1;ж2) — функция, определенная в (срединной) плоскости (ж1 ,ж2). В [8] приводится вывод условия непроникания для трещины, которая мало отличается от вертикальной. Кроме того, в обеих работах используются дополнительные (относительно модели Кирхгофа — Лява) предположения о том, что перемещения во всех точках берегов трещины можно задать с помощью перемещений точек, лежащих в срединной плоскости пластины. В [12] изучена задача о равновесии пластины Тимошенко с нелинейным краевым условием непроникания, моделирующим взаимное непроникание

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 13-01—00017А).

© 2014 Лазарев Н. П.

противоположных берегов наклонной трещины, при этом условие непроникания, по аналогии с [8], было выведено в рамках предположения о малом угле наклона поверхности трещины.

В настоящей работе предложена математическая модель с нелинейным условием непроникания для контактной задачи о равновесии пластины. Вывод краевого условия приведен в рамках предположения о том, что нормаль к поверхности контакта образует малый угол со срединной плоскостью. Вариационная задача о равновесии пластины формулируется в виде задачи минимизации функционала энергии над множеством допустимых функций, которые удовлетворяют условию непроникания. Доказана однозначная разрешимость задачи. Получены соотношения, описывающие контакт пластины с жестким неподвижным препятствием. При условии достаточной гладкости решения задачи минимизации для исходной вариационной постановки получена эквивалентная формулировка в виде краевой задачи.

1. Постановка задачи

Пусть О С R2 — ограниченная односвязная область с гладкой границей Г = y U Го, y П Го = 0, mes Го > 0 (рис. 1). Считаем, что кривая y не содержит концевых точек. Обозначим через v = (v1;v2) вектор внешней нормали к Г. Трехмерное декартово пространство {x1;x2,z} определим так, чтобы множество О х {0} С R3 соответствовало срединной плоскости пластины.

Г

Рис. 1.

Как и в [8,12], определим поверхность S = {(¿i, z) | |z| < h, (ж1; ¿2) = x, x = x — zv(x) tg a(x), x £ 7}, (1) где a(x) £ C(7), |a(x)| < n/2, x £ 7. Предположим, что нормаль n(x, z) к поверхности S при фиксированном x £ 7 остается неизменной, т. е.

n(x, z) = n(x, 0) = (v(x) cos a(x), sin a(x)), x = x — zv(x) tg a(x), |z|< h. Заметим, что этим свойством обладают, например, поверхности S, образованные с помощью плоскости или конической поверхности.

Предположим, что в исходном недеформированном состоянии пластина соприкасается с жестким препятствием по поверхности £ (рис. 2) и закреплена на оставшейся части внешней кромки.

Рис. 2.

Обозначим через х = х(х) = ), х € О, вектор перемещений точек

срединной поверхности, где = и ад — горизонтальные (вдоль плос-

кости (ж1,ж2)) и вертикальные перемещения соответственно. Углы поворота нормальных сечений обозначим через ф = ф(х) = ф2), х € О.

Приведем известные тензорные соотношения теории упругости, справедливые для упругих трансверсально-изотропных пластин [14]. Тензоры, описывающие деформацию пластины, определяются по формулам

+ Щ + ¿7-12

2\дх, + дхг)' £гз[ )~2\дх] + дхг)'

Тензоры моментов и усилий вычисляются по формулам

ту(ф) = суы£ы(ф), (^) = 3Н-2сук1еы(№) (2)

(по повторяющимся индексам проводится суммирование), где ненулевые постоянные коэффициенты тензора суыг определяются соотношениями

смм = О, СИЦ = Оя, СУу = с1]]1 = О(1 — к)/2, Ъ,3 = 1> 21 ^ = 3-,

О — цилиндрическая жесткость пластины, к — коэффициент Пуассона. Для вектора поперечных сил д = (д1 ,д2) выполняются следующие равенства [14]:

( ду \

41{'ш,ф) = к{'шп+ф1), ¿ = 1,2, (",¿=^-1 (3)

где Л = 2к'О, к' — коэффициент сдвига, О — модуль сдвига в площадках, перпендикулярных срединной плоскости пластины, Л, к', О — постоянные.

Пусть Н 1(О) — пространство Соболева, Н-^^О) — его подпространство, состоящее из всех функций, которые обращаются в нуль на части внешней границы Го. Введем следующие обозначения:

Н = Н^(О) , у •у = II • Нн. Пусть г/ = (\¥, ъи,ф) £ Н, г/ = (\¥, ад, ч/>) (Е Н. Определим билинейную форму

£(77,77) = J +т^(ф)е^(ф) +А(ъи,1 +ф1)(и!,1 +фг)).

о

Функционал потенциальной энергии деформированной пластины имеет вид

п(*7) = 77) ~ f Рг1, V = & Н, (4)

о

где ¥ = (/1, /2, /э, Мъ М2) € Ь2(О)5 — вектор заданных внешних нагрузок [14].

На части Го внешней границы Г зададим краевые условия жесткого защемления:

П = 0 на Го, где 0 = (0, 0, 0, 0, 0), п = (^,', ф). (5)

Как известно, в модели Тимошенко перемещения

х(х, г) = (х, ^), '(х, г))

для точек пластины, отстоящих от срединной поверхности на расстояние | z| < h, выражаются с помощью перемещений в срединной поверхности x(x, 0) = x(x) = (W, w) и углов поворота нормальных сечений ф = "(x). При этом справедливы следующие формулы [14]:

W(x, z) = W(x) + z"(x), w(x, z) = w(x), |z| < h, x £ Q.

Вывод условия непроникания будем проводить по аналогии с предположениями и рассуждениями из [8,12]. Пусть угол a(x) достаточно мал при всех x £ 7. Предположим, что перемещения в точках (x, z) £ S (на поверхности возможного контакта) можно выразить с помощью следов функций W (x), w(x), "(x) на кривой 7 следующими равенствами:

w±(x,z) = w± (x), W±(x,z) = W±(x)+ z"±(x), |z| < h, x £ 7, (6)

где x = x — zv(x) tg a(x).

Условие непроникания заключается в том, что проекция вектора перемещений x(x, z) (при x £ S) на нормаль n(x, z) должна быть неположительной:

x(x, z) • (v(x) cos a(x), sin a(x)) < 0, (x, z) £ S.

С учетом (6), подставляя экстремальные значения z = h, z = —h, находим

Wv cos a + h|"v | cos a + w sin a < 0, x £ 7,

где = фivi, Wv = WiVi. Поделив последнее соотношение на cos a, выведем условие непроникания для наклонной трещины:

Wv + w tg a < —h|"v|, x £ 7. (7)

Заметим, что при a = 0 неравенство (7) обращается в известное условие непроникания для контактной задачи с вертикальной кромкой [13].

Задачу о равновесии пластины, контактирующей с наклонным жестким препятствием, сформулируем в виде минимизации функционала энергии

inf П(п), (8)

пек

где K = {п £ H | п = (W, w, ф) удовлетворяет (7)} — множество допустимых функций. Функционал П(п) является коэрцитивным, выпуклым и слабо полунепрерывным снизу в пространстве H [13]. Кроме того, функционал П(п) дифференцируем. Можно показать, что множество K выпукло и замкнуто и, следовательно, слабо замкнуто в рефлексивном пространстве H. Указанные свойства функционала П(п) и множества K гарантируют существование единственного решения £ = (U,u, ф), удовлетворяющего вариационному неравенству

B(£, п — £) >У F(n — £), £,П £ K. (9)

о

Свойства функционала энергии и множества допустимых функций гарантируют эквивалентность вариационного неравенства (9) и задачи минимизации (8)

[13].

2. Формулировка в виде краевой задачи

В этом разделе получим формально эквивалентную дифференциальную постановку задачи (8). Для этого, исходя из вариационного неравенства (9), с помощью подходящего выбора пробных функций выведем полный набор краевых условий на кривой 7. Чтобы извлечь из неравенства (9) соотношения на границе 7, будем использовать формулы Грина. Предположим, что решение £ задачи (8) достаточно гладкое.

Сравним два неравенства, полученных после подстановки в (9) пробных функций п = £ + Щи П = £ — П, где п = (^ , ад, ф) € С0°(О)5. В результате получим равенство, которое запишем в виде

У (^) + Тоу (ф) + 9г(Й,г +Фг)) = J (/г ^г + /з™ + МгФг), П € С~(О)5.

О О

Здесь и далее

Тогу = Тоу (ф), Огу = Огу(и), дг = дг(и, ф), г,^ = 1, 2.

Отсюда, учитывая независимость ад^ ад2, Фъ , выводим уравнения равновесия

Оум = —/г, — 9г = — Мг, г =1, 2, = —/з в О. (10)

Справедлива следующая формула Грина [9]:

У Оу (^) = — У у+1 (^+ г), ^ € ^^(О)2, (11)

О О 7

где V и <гт = (от 1,ат2) — нормальная и касательная составляющие вектора

(оу V,-, СТ2у ^ ), Стгу ^ = V + оу г, = Огу V, Т = ( — ^2,^1), ад„ = ^г — V,

г =1, 2. Справедливы также следующие формулы (см. [9]):

У Тог, £гу (ф) = — J Тогу,, фг ^ (то„ фи + ТО-т г Фтг), Ф € Я^°(О)2 , (12)

О О 7

(13)

У УиУад = У |^ад - У адДи, ад €

О 7 О

У фУад = 1 ф^ад — У адф, ад € Я^О). (14)

О 7 О

где величины то^, ттг, г = 1, 2, определяются аналогично предыдущим формулам, записанным для , отг, г = 1, 2 (см. формулу (11)).

Подставляя в (9) п = 0, п = 2£, можно вывести два соотношения

В(£, £) ^ У Р£, В(£, п) >1 Рп, п € К. (15)

ОО

Применяя во втором соотношении (15) формулы интегрирования по частям (11)—(14), с учетом уравнений равновесия (10) выводим

У^^+ст„ад„) + (то^ф^+то„ф„)+ф^ад > 0, г/£ К. (16)

7

Выберем тестовые функции такие, что = 0, фи = 0, ад = 0 на 7. Тогда, варьируя в (16) произвольным образом значения адт¿, г =1, 2, получим

от 1 = тт 1 = 0, г = 1, 2, на 7. (17)

Введем обозначение для вспомогательной вектор-функции р = (рър2,рз), состоящей из достаточно гладких функций рг, г = 1, 2, 3, определенных на 7 и таких, что вирррг С 7, г =1, 2, 3. Как известно, существует функция п € Н(О) такая, что (см., например, [6])

(р1^1,р1^2) = р2 = [г?], (рз^1,рз^2) = на 7. (18)

При этом на 7, очевидно, выполнены равенства ] = р1, [ф„] = рз.

Таким образом, при условии выполнения соотношения р1 + р2 tg а < — /г|рз | на 7, подставляя в (16) функцию п € Н(О), удовлетворяющую (18), с учетом (17) имеем

J (о„Р1 + т„рз + д^) > 0. (19)

7

Рассмотрим следующее представление:

<т„р1 + то„р3 + qvp2 = ^ + ^«г^ (р 1 + Р2 tg а + /гр3)

+ ^ ^ - +Р2^а - /гр3) + (-<т„ tga + Я„)р2- (20)

Выбирая функции р1, р2 рз, удовлетворяющие равенствам р1 = —р2 tg а, рз = 0 из (19), с учетом (20) находим

tg а = на 7. (21)

С помощью (20), (21) преобразуем (19) к виду

J (J^u + ^rnv^(p1+p2tga + hp3)+^av-^mv^(p1+p2tga-hp3)j >0 (22)

7

при условии, что р1+р2 tg а < — Л,|рз | на 7. Из (22) следует, что на 7 справедливы соотношения Ло^ + т„ < 0, Ло^ — т„ < 0 или —Ло^ > |т^ |. Из первого соотношения (15), интегрируя по частям и принимая во внимание (17) и (21), находим

/ ^а+к[ф„]) + + М — =0.

7

Следовательно, в силу неотрицательности каждого из слагаемых в подынтегральной сумме последнего равенства на 7 выполняются равенства

(Ло^ + т„) ([и»] + [и^ а + Н[ф„]) = (Ло^ — т„) ([и»] + [и] tg а — Н[ф„]) = 0.

Таким образом, доказана

Теорема 1. Пусть решение £ = (и, и, ф) вариационной задачи (8) достаточно гладкое. Тогда £ = (и, и, ф) также доставляет решение для краевой задачи (2), (3), (10) и краевых условий:

и = ф = (0,0), и = 0 на Го, (23)

от = тот = (0, 0), tg а = на 7, (24)

оу = тот = (0, 0), и] + а < й|[ф„]|, > |т| на 7, (25)

1

+ -то„^ ([[/„] + [г/^а + ^ф,,]]) = 0 на 7, (26)

- ([[/„] + \u\tga -к[ф„]) = 0 на 7. (27)

Замечание 1. Справедливо также и обратное утверждение: гладкая функция £ € К, удовлетворяющая уравнениям равновесия (10) и соотношениям (2), (3), (24)—(27), является решением задачи (8). Это утверждение можно доказать по аналогии с рассуждениями, использованными в [9,12].

Замечание 2. При а = 0 в условиях (24)-(27) получаем известные граничные соотношения, соответствующие краевой задаче о пластине с вертикальными краями, которая контактирует с жестким препятствием [13].

ЛИТЕРАТУРА

1. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1987.

2. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наук. думка, 1976.

3. Осадчук В. А. Напряженно-деформированное состояние и предельное равновесие оболочек с разрезами. Киев: Наук. думка, 1985.

4. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

5. Шацкий И. П., Маковийчук Н. В. Влияние закрытия коллинеарных трещин на напряженно-деформированное состояние и предельное равновесие изгибаемых пологих оболочек // Прикл. механика и техн. физика. 2011. Т. 52, № 3. С. 159—166.

6. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

7. Хлуднев А. М. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину // Прикл. механика и техн. физика. 1997. Т. 38, № 5. С. 117—121.

8. Ковтуненко В. А., Леонтьев А. Н., Хлуднев А. М. Задача о равновесии пластины с наклонным разрезом // Прикл. механика и техн. физика. 1998. Т. 39, № 2. С. 164—174.

9. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пологой оболочки Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 3. С. 58—69.

10. Лазарев Н. П. Итерационный метод штрафа для нелинейной задачи о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину // Сиб. журн. вычисл. математики. 2011. Т. 14, № 4. С. 381-392.

11. Рудой Е. Ы. Инвариантные интегралы в плоской задаче теории упругости для тел с жесткими включениями и трещинами // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 1. С. 99-109.

12. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину на границе упругого включения с бесконечной жесткостью поперечного сдвига // Прикл. механика и техн. физика. 2013. Т. 54, № 2. С. 179-189.

13. Лазарев Н. П. Метод фиктивных областей в задаче о равновесии пластины Тимошенко, контактирующей с жестким препятствием // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2013. Т. 13, № 1. С. 91-104.

14. Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наук. думка, 1973.

Статья поступила 24 ноября 2014 г. Лазарев Нюргун Петрович

Научно-исследовательский институт математики

Северо-Восточного федерального университета им. М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000, Республика Саха (Якутия) пуи^ипФ^Б. ги