Оптимальное управление внешними нагрузками в задаче о равновесии упругой пластины Тимошенко с условием непроникания на трещине Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.311

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВНЕШНИМИ НАГРУЗКАМИ В ЗАДАЧЕ О РАВНОВЕСИИ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ ТИМОШЕНКО С УСЛОВИЕМ НЕПРОНИКАНИЯ НА ТРЕЩИНЕ Н, П. Лазарев

Введение

В математической теории трещин классический подход характеризуется линейными краевыми условиями [1-6]. При этом на кривой, соответствующей трещине, задаются условия в виде равенств. В настоящее время имеется ряд результатов [7-9], посвященных задачам теории трещин, в которых краевые условия имеют вид системы равенств и неравенств. Эти условия налагаются на кривой, соответствующей трещине, и имеют ясную физическую интерпретацию. В работах [10-13] исследуются краевые задачи с условиями типа неравенств, описывающие равновесие пластин и оболочек модели Кирхгофа — Лява.

В данной работе рассматривается вариационная задача о равновесии упругой изотропной пластины модели Тимошенко (см., например, [14]), содержащей трещину. При этом на кривой, описывающей трещину, задано нелинейное условие в виде неравенства. Доказано, что решение вариационной задачи удовлетворяет априорным оценкам, зависящим только от функции заданных внешних нагрузок и области, соответствующей пластине. Благодаря этим результатам доказана теорема о существовании решения в задаче об оптимальном управлении внешними нагрузками с функционалом качества, характеризующим деформации. Установлена разрешимость задачи оптимального управления

© 2011 Лазарев Н. П.

с функционалом качества, описывающим раскрытие трещины. Различные задачи оптимального управления можно найти в [7,8,15-18].

§1. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину

Пусть П С М2 — ограниченная область с гладкой границей Г

(рис. 1), rcCÍ], í]c = í]\ Гс, Гс = {(х,у) I у = д{х), 0 < ж < 1},

Нормаль к кривой к Гс обозначим через v. Считаем, что срединная поверхность пластины совпадает с областью Пс. Для простоты толщину пластины считаем постоянной и равной 2. Предположим, что пластина содержит сквозную вертикальную трещину, которая описы-

с

ность трещины можно задать в виде (х, y) Е Гс, —1 ^ z ^1, где | z | — расстояние до срединной поверхности пластины. Обозначим через х — x(x, y) = (W, w) вектор перемещений точек срединной поверхности, где W = (w1 ,w2) и w — горизонтальные и вертикальные перемещения соответственно. Углы поворота нормальных сечений обозначим через ф — фх, y) = (ф,ф2). Считаем один из берегов разреза положительным, а другой отрицательным — в соответствии с направлением v. В случае, когда след функции v берется на положительном берегу, применяем обозначение v+, аналогично для отрицательного берега. Скачок функции на Гс обозначим через [v] = v+ — v

д(х) — достаточно гладкая функция, Гс П Г = 0.

Рис. 1.

Введем тензоры а(ф) = {ajф)}, g(W) = {ejW)} i,j = 1,2, описывающие деформацию пластины [14]:

«¿j (Ф) = \ {Ф'о +Ф,{ ), = ^ ), 3 = 1, 2,

/ dv\

\ = ~дх- )' xi = х2 = У-Тензор моментов mj, i,j = 1,2, введем по формулам:

тц(ф) = D(«n^) + К«22(Ф)), т2г(Ф) = D(a22^) + кац(Ф)),

т12(Ф) = т\{Ф) = D(i — к)«12(Ф)-Аналогично определим тензор усилий Vj, i,j= 1, 2:

VU(W) = G(EU(W) + «^(W)), V22(W) = G(e22(W) + K£ii(W)),

o-12(W) = <721 (W) = G(1 " « = const; 0 < к < i.

Заметим, что согласно [14] материальные параметры G, D для однородной изотропной пластины постоянны. Возьмем значение этих множителей равными 1 — данное предположение упрощает некоторые алгебраические действия, сохраняя при этом все качественные свойства модели (поскольку мы не варьируем указанные материальные параметры) .

Пусть подпространство H1'0(ПС) пространства Соболева H(fic) состоит из функций, обращающихся в нуль на Г. Пусть

Н(Пс) = H-"(fic)5 с нормой |М|С= Н|я(пе).

Введем также пространство в области без разреза: H(fi) = H(fi)5. С учетом записанных выше выражений для произвольных £ = (W, W, ф) £ H(fic), £ = (W, W, ф) £ H(fic) определим следующую билинейную форму:

Bc( £,£) = m (ф),а„-( ф) )c+ (<Jj (W),£j( W) )c + ((W,i+ Ф0 ,(W,i + Ф0 >C,

(1)

здесь и далее скобками (•, •)с обозначается скалярное произведение в Ь2(Пс), по повторяющимся индексам предполагается суммирование.

Функционал потенциальной энергии деформированной пластины, занимающей область Пс, описываемой перемещениями х = (W,w) и углами поворота нормальных сечений ф, введем с помощью билинейной формы (1):

П= (2)

вектор / = (/ь/2,/3) € Ь2(П)3 описывает воздействие па пластину внешних нагрузок [14]. На внешней границе зададим краевые условия, описывающие жесткое защемление:

ю = 0, ф = ^ = 0 наГ, (3)

,

Выведем теперь условие непроникания на внутренней границе Гс. Поскольку горизонтальные перемещения в зависимости от г для модели Тимошенко выражаются следующими формулами [14]:

г) = шг + гфг, г = 1,2, |г| < 1,

умножая скачок вектора перемещений скалярно на нормаль к поверхности вертикальной трещины с координатами (^,^,0), имеем

([ш1^)], [ш2(г)], И) • ("и "2,0) = №)] • V = + г[ф„] > 0 на Гс,

где через Wv, фи обозначены скалярные произведения = Wv = иг щ, фи = фи = фгщ. Подставив в данном пер авепстве г = 1 и г = — 1, получим условие взаимного непроникания противоположных берегов трещины:

WA > | [ф„] | на Гс. (4)

Рассмотрим множество допустимых функций

К = (£ = ф) € Н(П с) | £ удовлетворяет (4)}.

Задачу о равновесии пластины можно сформулировать в виде задачи минимизации функционала энергии П(£) на множестве допустимых функций К:

ттП(£). (5)

еек у '

§ 2. Существование и единственность решения

В этом параграфе покажем, что для задачи (5) выполняются условия, обеспечивающие единственную разрешимость. А именно, установим коэрцитивность, слабую полу непрерывность и выпуклость функ-

К

Выпишем сначала функционал энергии для £ = х =

т) в развернутом виде:

1

2 '

+ ((+ ф4) ,(-,< + ф) )с }-(/,х)о, (6)

П(£) =

Коэрцитивность следует из следующей оценки значений функционала энергии:

П(£) = Ьс(£,£) - (/,х)с > М\Ш - ||/|и2(пе)з||^||с (7)

У£= Ф) е Я(Пс),

где постоянная М > 0 те зависит от £. Для того чтобы убедиться в справедливости соотношения (7), выпишем неравенство Коши:

2\{ф\ч1}Л)с\ < е(ф\фг)с + = б||ф||^2(Пс)2 +

для любого е > 0. Следовательно, для удвоенного третьего слагаемого в правой части выражения (6) имеет место оценка

\\Ф\\Ь(пср + 11^НЦ2(Пс)2 -4Ф\\Ь(пс)? - ,~11^7и'11ь2(п0)2

= (1 - е)\\ф\\Ь(П^ +(1-~) < <(«>» +Ф% +Ф))с-

Vе/ (8)

Выпишем теперь неравенства Корна [19], которые позволяют оценить первые два слагаемых в (6):

(тг; (ф),аг;(ф)}с > С, (аг; W)}с > СЦ^п^.

Имеет место также обобщенное неравенство Пуанкаре

||УН|ь2(п^ > д|Н|н(ад. (10)

Постоянные С > 0, ^ > 0 в (9) и (10) не зависят от подынтегральных функций.

Таким образом, из (8), (9) имеем

(тг; (ф),аг; (ф)}с + (аг;(W),£гj(W)}с + ((ш,г + фг),(и,г+фг)}с

4 (11)

где е > 0 произвольно.

Положим в (11) б = 1 + Ц-, применим (10) и в результате получим

(тг; (ф),аг; (ф)}с + (аг;(W),£гj(W)}с + ((ш,г +фг), (ш,г + фг)}с

С 9 9 ^ • С 9

> у 11ф11я1(Пс)2 + ^Н^Нячад2 + (2 + ^N1^1(0.)•

Последнее неравенство вместе с очевидной оценкой

(/, х}с < ||/||№)3 цнчас)2 + |иГн1(ад) 1/2 < |/у^п^з пенс

позволяют утверждать справедливость неравенства (7).

Функционал энергии дифференцируем, т. е. для него определена производная П^ для всех £ € Н(Пс). Слабая полунепрерывность и выпуклость функционала следуют из справедливости неравенства

(14 — пI)(а — ы > о € щпс).

Докажем выпуклость и замкнутость множества К. Пусть £1 и £2 принадлежат множеству К. Очевидно, что выпуклая комбинация

t£i + (1 —t G (0,1), принадлежит пространству H(fic). Кроме того, нетрудно видеть, что выполнены следующие соотношения:

[(tW1 + (1 — t)W2)v] = t[W!v} + (1 — ^[Wv]

> t|фиI + (i — t)IMI > I + (i — t)M| vt g (o,i).

Таким образом, множество K выпукло. Рассмотрим последовательность £n такую, что £n G K, n = 1, 2,.... и £n ^ £0 сильно в H(fic) при n ^ то. В силу теорем вложения [Wnv] ^ [W°v] сильно в L2(Гс). Выбирая при необходимости подпоследовательность, можно предполагать, что [Wnv] ^ [W°v] п. в. на Гс. Аналогично для ф получим [ф"и] ^ [ф0и] п. в. на Гс. Это означает, что

[W°v] > | ФИ I п.в.наГс.

Значит, множество замкнуто.

Выпуклость и замкнутость множества K вместе с установленными свойствами функционала энергии гарантируют существование и единственность решения задачи (5) (см., например, [20]). Обозначим решение задачи (5) через £ = (W, w, ф).

K

ло, задача (5) в обозначениях £ = £ — £, где £ — произвольная пробная K

imij (Ф), «¿j (Ф))c + (j W),£ij(W)c

+ ((w,i +ФО, (w,i + ФО)c — (f, x)c > 0. (12)

££

£) — £ = £ а затем £ = (£ — £) — £ = — £ с пробной функцией £, каждая составляющая которой принадлежит c) (далее для краткости будем применять обозначения вида £ G C^(Пc)), получим равенство

(mjф, «¿j (Ф)с + ey(W)>c + (Ki +фг), («;,< +фг))с = (/, х)с

(13)

Учитывая независимость между финитными бесконечно дифференцируемыми функциями М1, М2, М, ф, ф2, извлечем из (13) соотношения

(ту(ф),о^(ф))с+ ((—,» +ф4),ф% = 0 Уф е с), г = 1,2,

К-(^),еу(ТГ)>с = УЖ € Пс), г = 1,2,

((+ф0)с = (Л,М)С УМ е с).

Заметив, что имеют место представления

{тц(ф),ац(ф))с = (ш^(ф),ф,})с, (сг^(1У),е^(Ж))с = (сг^(1У),«;,})с, из предыдущих трех интегральных равенств заключаем, что в области

с

тф) - (—,< +ф4) = 0, г = 1, 2, (14)

Ш = -/¿, г=1,2, (15)

ф,» + Дм = -Л. (16)

Как известно [21], если решение £ = (Ш, м, ф) вариационной задачи (5) достаточно гладкое, то оно также является решением краевой задачи, состоящей из уравнений (14)—(16) и следующих краевых условий на внешней границе Г:

Ш = ф = 0, — = 0,

с

Ш > |[ф„]|, [а„(Ш)] = [т„(ф)]=0, ат(Ш) = 0, тТ(ф) = 0,

О

-£ + фи = 0, <?„(№) [И^] + ти (ф) [ф„] = 0, -а„(Ш) > К(ф)|, а„(Ш <0• Величины а^(Ш), ат(Ш), т^(ф, тт(ф) определяются формулами:

а„( Ш) = ау( Ш)^- V», ат (Ш) = (ат1 (Ш),ат2 (Ш)),

Ш) = ау(Ш)^- - аЛ, г = 1,2, т^(ф) = т4з-(ф)^V», т-Дф) = (т^(ф,т^(ф), ттг(ф) = т^(ф)^- - т^(ф)^, г = 1, 2,

§ 3. Априорные оценки

В этом параграфе получим некоторые оценки для решений в рассматриваемых пространствах, вытекающие из вариационной постановки задачи (5).

Пусть, по-прежнему, £ = (W, w, ф) — решение вариационной задачи (5). Положив в вариационном неравенстве (12) £ = £ — 2£ = —£, а затем £ = £ — 0 = £, в итоге получим

(mjф),Оу(ф))с+ (W),ejW))с + ((w,i +фО,(w,i +ф4))c = (/,х)с.

(17)

Принимая во внимание неравенство (11), из (17) имеем

§\\Ф\\т{Пс), +c\\wrH1{Qc)2 + (^у д|ИГя1(По) < {f,x)c (18)

Положив г = min из (18) выведем

ml < l\\f\\b4n^(\\w\\H4n^ + 1ИГ*1(ад)1/2 < Jll/lUwiKH-

Таким образом,

Шс^ Jll/IUw (!9)

Получим еще одно неравенство, связывающее нормы ||w||#i(nc) и ||ф||ь2(пc)2- Для этого установим справедливость следующего тождества:

((w,i + ф^, w,i )с = (/, w)c. (20)

В самом деле, подставив в вариационное неравенство (12) пробную

£ W, w, ф

( (w,j+ фг) ,w,i )c > (/,w)c .

£ W, , ф

ведем равенство (20). Оценим снизу левую часть равенства (20). Поскольку

|(Ф\«^)С| < 1(ф\ф4)с+ рф|Ц2(ад2 + ^||VW||22(fio)2

для любого е > 0, имеем следующую оценку:

11^111,2(002 " т;\\Ф\\Ь(пс)? ~

Следовательно, из (20) выведем

^\\Ф\\Ь(ПС)* + (1 - < \\ЫьЧпс)МьЧпс)-

Взяв в предыдущем неравенстве е = 1 и используя неравенство (10), имеем

ИЦП с)

<2н/зу^пе)У—У^Пе) + уФУ Ъ(п с)2 •

(21)

Таким образом, для решения £ = (Ш, м, ф) вариационной задачи (5) выполнены априорные оценки (19), (21).

ф

(фьфг) задают углы поворота нормальных сечений, следовательно, — = в соответствии с гипотезами модели. Это озна-

чает, в свою очередь, что квадрат нормы ||ф|||2(Псул в правой части (21) можно оценить сверху с помощью значения Щ- тев(Пс).

§ 4. Оптимальное управление внешними нагрузками

Пусть Р С Ь2(Пс)3 — ограниченное, замкнутое и выпуклое множество. Как доказано выше, для каждого / е Р существует решение £ = £f задачи (5). Рассмотрим функционал качества

Л/) = У£/ - £*н^п^,

где £* е Ь2(П)5 — заданная функция.

Задачу об оптимальном управлении сформулируем следующим образом:

1 п£ / (22)

/

/ , / , /

данных деформаций £* = (Ш*, —*, ф*).

Теорема 1. Пусть выполнены предыдущие предположения. То-

гда существует решение задачи (22).

Доказательство. Пусть /п е Г — минимизирующая последова-

тельность. Через £п обозначим соответствующие /п решения задачи

(5) при п = 1, 2,.... Поскольку множество Г ограничено, последовательность /п также ограничена в Ь2(Пс)3. Тогда в силу неравенства (19) имеет место оценка ||£п||с ^ с) равномерная по п. Выбирая при необходимости подпоследовательности, можно считать, что

£п ^ £о слабо в с), £п ^ а сильно в Ь2(Пс)5,

/п ^ / слабо в Ь2( Л с)3

при п ^ то. Установленные сходимости позволяют перейти к пределу при п ^ то в следующем вариационном неравенстве, получающемся простой заменой £п = £ из соотношения (12):

(ш^ (фп) , «¿¿( Ф) )с + (^¿Л ^п) Ю >с

+ (К* + ФП), +Ф1 )с - (/п, Х>с > 0, (23)

где £ = £ — £п, £ е К. В итоге слабая полу непрерывность функционала энергии позволяет вывести соотношение

(ш^ (Фо),^Ф)с + Ю0),£^(Ю)с

+ ((йы +Ф&), (^ +ФО)с — (/, х)с > 0, (24)

где £ = £ — £о, £ е К. Справедливость полученного вариационного неравенства (24) означает, что имеет место равенство £о = £/• Следовательно,

ш£ 7(/) = 1шт! / > 7(/) > т£ 7(/).

/

ного управления (22). Теорема доказана.

§

раскрытием

Примем для удобства обозначения для новых математических объектов, аналогичные предыдущим. Пусть, как и выше, Р С Ь2(Пс)3 — ограниченное, замкнутое и выпуклое множество. Снова обозначим для произвольного / е Р решение соответствующей задачи (5) через £ = £/. Рассмотрим другой функционал качества, характеризующий раскрытие трещины [22]:

П/) = 11[£/]| ^с.

гс

Задачу об оптимальных внешних нагрузках, доставляющих минимальное раскрытие трещины, сформулируем следующим образом:

1 п£ У(/). (25)

Теорема 2. Пусть выполнены предыдущие предположения. Тогда существует решение задачи (25).

Доказательство. Пусть /п е Р — минимизирующая последовательность для функционала ^(/). Сохраним обозначение £п для решения задачи (5), соответствующего /^и п = 1, 2,.... По условию теоремы, очевидно, последовательность /п ограничена в Ь2(Пс)3. Тогда в силу неравенства (19) имеет место оценка У£пУс ^ с равномерная п

тать, что

£п ^ £о слабо в Н(Пс), £п ^ £о сильно в Ь2(Пс)5, £± ^ £± сильно в ЩГс)5, /„ ^ / слабовЬ2(Пс)3, при п ^ то. Установленные сходимости позволяют перейти к пределу при п ^ то в вариационном неравенстве (23). Принимая во внимание слабую полунепрерывность функционала энергии, получим предельное соотношение

Ш (фо),^ ф )с + Ш >с

+ ((Мы +ф&), (—,¿4-фО)с - (/, Х>с > 0,

где f = £ - Со, С € K.

Таким образом, последнее вариационное неравенство доставляет равенство Со = С/ • Следовательно,

inf Y(/) = liminf У(/„) > Y(/) > inf Y(/).

/ £F п^то /

Значит, функция / является решением задачи оптимального управления (25). Теорема доказана.

Задачи, аналогичные (22), (25), ранее исследованы для вариационных задач о равновесии пластин и оболочек модели Кирхгофа — Лява с условием непроникания на кривой, описывающей трещину, в монографиях [7,8].

ЛИТЕРАТУРА

1. Партой В. 3., Морозов Е. М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1974.

2. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

3. Работнов Ю. И. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.

4. Слепян Л. И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981.

5. Левин В. А., Морозов Е. М., Матвиенко Ю. Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: Физматлит, 2004.

6. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

7. Kbludnev А. М., Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser Verl., 1997.

8. Kbludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.

9. Хлуднев A. M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

10. Рудой Е. М. Асимптотика функционала энергии для смешанной краевой задачи четвертого порядка в области с разрезом // Сиб. мат. жури. 2009. Т. 50, №2. С. 430-445.

11. Лазарев Н. П. Дифференцирование функционала энергии в задаче о равновесии пластины, содержащей наклонную трещину // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика. 2003. Т. 3, вып. 2. С. 62-73.

12. Неустроева Н. В. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика. 2009. Т. 9, вып. 4, С. 51-64.

13. Хлуднев А. М. Об одностороннем контакте двух пластин, расположенных под углом друг к другу // Прикл. математика и техн. физика. 2008. Т. 49, № 4. С. 42-58.

14. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.

15. Barbu V. Optimal control of variational inequality. Boston: Pitman, 1984. (Res. Notes Math.; V. 100.)

16. Баничук H. В. Оптимизация форм упругих тел. M.: Наука, 1980.

17. Lions J.-L. Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles. Paris: Dunod Gauthier-Villars, 1968.

18. Lions J.-L. Contrôle des systèmes distribués singuliers. Paris: Dunod Gauthier-Villars, 1968.

19. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. Новосибирск: Наука, 1982.

20. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988.

21. Лазарев Н. П. Итерационный метод штрафа для нелинейной задачи о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину // Сиб. журн. вычисл. математики. 2011. Т. 14, № 4. С. 397-408.

22. Гольдштейн Р. В., Ентов В. М. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989.

г. Якутск

2 декабря 2010 г.