Вариационная задача для пологой оболочки с вертикальной трещиной Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.311

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛОГОЙ ОБОЛОЧКИ С ВЕРТИКАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ*) Н, В, Неустроева

Введение

Практически все реальные конструкционные материалы содержат дефекты типа трещин, которые могут существовать в материалах изначально или приобретены в процессе эксплуатации. Краевые задачи, лежащие в основе применяемых моделей, содержат граничные условия, не являющиеся классическими, но при этом данные ограничения более точно описывают физическую модель тела с трещиной. Учет нелинейных эффектов взаимодействия между берегами трещин является актуальной проблемой в рамках современной механики.

В данной работе рассматривается упругая пологая оболочка (в рамках модели Кирхгофа — Лява), закрепленная по краям и находящаяся в равновесии под действием внешней силы. В оболочке имеется вертикальная сквозная трещина. Изначально считается, что трещина в оболочке уже существует. Так как она находится внутри оболочки, область, которую занимает тело, негладкая. Граница состоит из поверхности, ограничивающей тело, и поверхности, определяющей форму трещины. Для краевых задач, описывающих равновесие упругих

*) Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект №4402), фцд «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0609) и гранта РФФИ № 12-01-31076мол_а.

©2012 Неустроева Н. В.

оболочек (пластин), А. М. Хлуднев предложил краевое условие, имеющее вид неравенства, при котором исключается взаимное проникание берегов трещины друг в друга

дт

[Ш^ > Н

дv

на Гг

где Ш, т — горизонтальные и вертикальные перемещения точек срединной поверхности оболочки (пластины), скобки [•] обозначают скачок функции на берегах трещины, Гс — кривая, определяющая форму трещины, V — нормаль к Гс, 2Н — толщина оболочки (пластины). Постановка краевой задачи с таким условием наиболее точна, так как изначально исключается проникание берегов трещины друг в друга [1].

2 Н

Рис. 1. Сечение оболочки вертикальной плоскостью.

В данной работе предполагаем, что отрицательный берег трещины выступает над положительным па известное расстояние / = /(ж), ж = (ж,у), где /(ж) ££ С(Гс) — заданная функция такая, что 0 ^ /(ж) < 2Н (рис. 1). На берегах трещины заданы условия непроникания, которые имеют вид системы неравенств. Задача сформулирована в виде вариационной задачи со свободной границей. Вариационная постановка соответствует задаче на минимум функционала энергии на выпуклом множестве допустимых перемещений или эквивалентным ей вариационным неравенством. Из вариационной постановки задачи, в частности, следует существование и единственность решения. Граничные условия, выполняющиеся на берегах трещины, которые имеют вид

системы уравнений и неравенств, естественны при такой формулировке. Они будут найдены из вариационного неравенства в предположении достаточной гладкости решения.

Поскольку оболочки являются элементами большинства конструкций и механизмов, их изучению посвящено большое количество работ (см., например, [2,3]). Классические линейные модели теории трещин с краевыми условиями в виде равенств на берегах трещин можно найти в [4,5]. Результаты исследований, выполненных в последние годы и относящихся к теории трещин с возможным контактом берегов, представлены в [6,7]. Широкий класс других задач с ограничениями на решение имеется в работах [8-13]. Вариационные задачи теории упругости с односторонними краевыми условиями, а именно обобщенные задачи Синьорини, исследованы в [14,15].

1. Постановка задачи. Пусть Л С R2 — ограниченная область с гладкой границей Г, Гс — график функции y = g(x), x £ [0,1], (.х, у) £ ft, где д(х) — достаточно гладкая функция. Пусть <9Л ПГС = 0, Гс е П. Задача рассматривается в области Пс = П \ Гс с негладкой границей Г U Гc. Считаем, что срединная поверхность оболочки совпадает с fíc и функция g(x) описывает форму трещины на плоскости (х,у). Обозначим через v = (—дх, 1)/\/1 + 9х нормаль к кривой Гс, v = (vi, v2).

Пусть x(x) = (W, w) — вектор перемещений точек срединной поверхности пластины, где W = (w1, w2) и w — горизонтальные и вертикальные перемещения соответственно. Формулы для компонент тензоров деформаций е = (е^ } и напряжений a = (ст^} запишем в виде

1 dv

eij{x)=£ij{w) + kijW, £ij(W) = -(wj +w3A), v¿ = —, i,j= 1,2,

aii(x) = en(x) + ke22(x), a22(x) = e22(x) + keu(x),

ai2(x) = ei2(x) + (1 - k)ei2(x), 0 < k < 1/2, k = const,

где kij ~~ fóji ^ C^ ^ 0 q ) — кривизны оболочки. Все величины с двумя нижними индексами предполагаются симметричными по этим ин-

дексам, всюду используем правило суммирования по повторяющимся индексам.

В области Лс рассмотрим следующие уравнения равновесия оболочки:

—= /¿>«=1>2> в ^c, (1-1)

A2w + %<7j = i,j = l,2, в Пс. (1.2)

Выведем условия типа Синьорини, описывающие взаимное непро-

c

гофа — Лява горизонтальные перемещения W(z) произвольной точки (ж, y, z) оболочки линейно зависят от расстояния до срединной поверхности, а вертикальные перемещения w(z) этой точки совпадают с вертикальными прогибами срединной поверхности:

W(z) = W - zVw, w(z)=w, |z| < h. (1.3)

Согласно предположениям относительно геометрии трещины и формулам (1.3) составляющие вектора перемещений x+ = (W+,w+) для точек положительного берега трещины можно выразить по формулам

W+(z) = W+ - zVw+, w+(z)=w, z e[-h,h]- (1.4)

Заметим, что с помощью ограничений z G [— (h — /), h] в (1.4) задаются перемещения тех точек положительного берега трещины, которые могут контактировать с отрицательным берегом. Для составляющих вектора перемещений х- = (W-,w-) точек отрицательного берега справедливы следующие формулы:

W-(z) = W- — zVw-, w- (z)=w, z G [—h, h]. (1.5)

Аналогично, если в (1.5) взять z G [—h, h — /], то получим формулы для перемещений точек отрицательного берега, которые могут иметь контакт с противоположным берегом. Условие непроникания запишем в виде

(xZ — X-Z-i)) • (v,0) = [W„] — z[w„] — /w- >0, z G [— (h — /),h], на Гс,

(Х("г-0 - Х-) • (V, 0) = [Ж„] - ¿К] + > О, г € [-Н, Н - /], на Гс,

где [V = ^ — V- — скачок функции V при переходе через Гс, знаки ± соответствуют значениям функции при V па положительном и отрицательном берегах разреза. Через обозначено скалярное произведение = Жу = ад®^, а через ад^ — производная по нормали = Уи>г/ = Подставляя экстремальные значения г = к и г = — (Н — I), получим условия, описывающие недопустимость взаимного проникания точек противоположных берегов трещины:

[Ж./] - НЫ - >0 па Гс, (1.6)

+ (Н - 0К] - /ю- >0 па Гс. (1.7)

Если положительный берег трещины выступает над отрицательным, то неравенства (1.6) и (1.7) имеют вид

[Ж,,] - (Н - 0К] + >0 на Гс, + + > 0 на Гс.

Заметим, что при I = 0 получим известное соотношение, описывающее условие непроникания берегов трещины оболочки [1].

Считаем, что на внешней границе заданы условия жесткого защемления для оболочки:

«, = = = 0 на Г, дп

где п — единичный вектор к внешней границе Г.

Сформулируем вариационную постановку задачи, откуда получим дифференциальную. Пусть Н1'0(ПС) — подпространство пространства Соболева Н(Пс), состоящее из функций, равных нулю на Г, а функции из Н2'0(ПС) равны нулю на Г вместе с первыми производными, С Н2(Пс). Норму в НЯ'°(ПС) будем обозначать через || • ||8. Решение ищем в пространстве

Н(Пс) = Н-0(ПС) х Н'0(ПС) х Н'0(ПС).

Введем множество допустимых перемещений

К(П с) = {х = € Н(П<=), X удовлетворяет (1.6), (1.7)}.

Функционал энергии оболочки определяем следующим образом:

П(х) = + \в(и,,и,) - {/,х>,

где / = (/, /, /з) € Ь2(П) — заданный вектор внешних сил, (-, с — скалярное произведение в Пс) и билинейная форма Б(т, — определяется по формуле

В(-ш,Ш) = ! (ыххй)хх + -ШууЫуу + + 2(1 -к)тхутху)).

Па

х

х

ремещепий К(Пс), т. е.

х . .

ХЁ^ а)

Множество К(Пс) выпукло и замкнуто, следовательно, слабо замкнуто в пространстве Н(П с), а минимизируемый функционал коэрцитивен и слабо полунепрерывен снизу на этом же пространстве. Следовательно, задача (1.8) имеет решение. В силу выпуклости и дифференцируемо-сти функционала П(х) в пространстве Н(Пс) задача минимизации (1.8) эквивалентна вариационному неравенству

X € К(Пс), {(тц(х),£ч(№ - И0)по + (%сг^-(х), ги - т)Пс

+ В{т,т-т)пс>(1,х-х)пс ^Х = (Ж т) € К(Пс). (1.9)

При этом решение задачи (1.9) единственно.

2. Краевые условия на Гс. Наряду с (1.6), (1.7) на внутренней границе Гс выполнены и другие краевые условия. Для их вывода требуется предположение о наличии гладкого решения вариационного неравенства (1.9). С другой стороны, если допустить, что решение (1.1), (1-2) достаточно гладкое, то вариационное неравенство будет следствием уравнений (1.1), (1-2), начальных и краевых условий.

Для дальнейшего полезны следующие формулы Грина. Пусть П1 С Д2 — ограниченная область с гладкой границей Г. Обозначим через п = (п1, п) единичный вектор внешней нормали к Г. Определим на границе Г величины

/ ч , » , чд2и . , д ( . ,чд2и\

тп(и) = кАи+(1-к) — , Ци) = — ( Аи + (1 - к)— ),

и)щ VI = ап( и)Уи + и^г-Здесь т = (—— касательный вектор на Г. Векторы ¿(и)щ, ^^и)п-), V = разлагаются на нормальную и касательную со-

ставляющие на границе такие, что

и)щ = 0п{и)пг + ^тг, &п{и) = Оц{и)п,-пг, г = 1, 2,

Vi = Vnпг + Vтi, Vn = VIпг, г = 1, 2.

Для достаточно гладких функций и V имеют место формулы

В (и, V) = 1'уА2и+ I т(и)р- - I (2.1)

п г г

иЫ „) = - / иЬ + ¡^ и)п; Vi . (2.2)

п п г

Граница дПс области Пс представлена в виде объединения компонент Г, Г+, Г— В этой связи заметим, что для области Пс формулы вида (2.1), (2.2) также имеют место. Для этого предполагаем, что кривая Гс может быть продолжена до замкнутой достаточно гладкой кривой £, делящей область Л на две области П1 и П2, О = П1 и П2, с гладкими границами = £, дПг = £ и ОН. Применяя формулы (2.1), (2.2) к П1 и ^2 и учитывая склеивание функций и их производных на £ \ Гс, можно убедиться, что они справедливы и для области Пс:

ду+ Г , ч

В(и,у) = J уА2и — J т+(и)—--Ь J т (и

J ¿+(и^+ - ! г-(и^-, (2.3)

+ j-+ 8v ± +

где значения то, t , ^ ,v соответствуют положительному и отрицательному (по отношению к нормали v) берегам.

Аналогично для произвольных u G H'0(ПС)2 справедлива формула

(<7j(u)£j(v) )пс= J ffij £j(v)= -J Vijj {u)vi - J (a„(u)v„ + aTÍ{u)vT.

O c С Гс

(2.4)

Теорема. Гладкая функция х является решением вариационной .

..

условий

w = wn = W = 0 на Г, (2.5)

[Wv] - h[w„] - lw- > 0 на Гс, (2.6)

[Wv] + (h - l)K] - lw- >0 на Гс, (2.7)

[a„]= 0, Vt = Q на Гс, (2.8)

[m„] = 0, tv( w)=0 наГс, (2.9)

m- = mV - lov, -hav - m^ < 0, -(h - l)<rv - m^ < 0 на Гс, (2.10) [Wv] + m+K] - lovw- =0 наГс. (2.11)

..

гс.

W, w

вепства (1.9). Возьмем G [С0ТО(Пc)]. Тогда (V>, < = 0 па Г,

откуда (VF,w7) = (VF ± V'jW ± <fi) & K(fíc). В силу этого (1.9) примет вид

(ffij(W),£jWbc + B(w,<bc = (/,хЬс> х =

Учитывая независимость между финитными бесконечно дифференцируемыми функциями < имеем соотношения (1.1), (1-2), т. е. уравнения равновесия выполнены в смысле распределения. Краевые

условия (2.5)—(2.7) вытекают из определения множества допустимых перемещений K(Qc).

Выведем условия (2.8). Рассмотрим произвольную точку щ G Гc и ее окрестность D(xo). Поверхность Гс делит D(xo) на Две подобласти D+(xo) и D-(жо) с границами y+ и y- соответственно. Обозначим через v+ внешнюю нормаль к границе y+ > а через v- — нормаль к границе y-. Возьмем произвольную функцию ф(ж) = (фьфг) G H'°(Qc), имеющую носитель в D(xo), такую, что выполняются условия [-0]v = [W ^ 0 на Гс. Считаем, что ф = 0 вне окружности D(x0). Тогда пробная функция (W,«7) = (ТУ + ф, w) принадлежит множеству K(flc), и ее можно подставлять в неравенство (1.9).

Область D(xo) представляет тобой объединение D+ UD-U (D(xo) П Гс). Так как множество D(xo) ПГc имеет меру нуль, интеграл по этому множеству можно не учитывать. Получим

Пусть области В± расположены так, что нормаль V- совпадает с нормалью V к границе Гс, а ф = 0 в области и па 7+. Тогда, применяя формулу Грина, получим

Учитывая уравнение равновесия в области D , получим неравенство

В силу условия [ф^] ^ 0 при этом фт^ может быть произвольным. Убедимся, что ст-н = О, в противном случае соответствуют;им выбором фт можно нарушить неравенство (2.13). Следовательно, = 0 на 7-. Неравенство (2.13) принимает вид

(2.12)

(2.13)

Y

.

Y

Поскольку [ф^ > О и ф = 0 на 7+, то < 0 на 7+. Из (2.14) непосредственно следует, что ^ 0 на 7-. Аналогично доказывается, что ст-н = 0, ^ 0 на 7+. Итак, получили, что

оу* = 0, ст^ <0 на 7±. (2.15)

Далее, пусть ф ф 0 на [ф^] = 0 на Щж0) П Гс. Из неравенства (2.12) с помощью формулы Грина (2.4) получим

V "Ь" сттгфтг

7+ 7-

где V совпадает с V-. Так как стт^ = 0 на 7±, имеем

/ ст^ ф

V

+ / CTv ф

7+ 7-

Значения функции ф^ па 7+ и 7- совпадают, поэтому

- I Ы Фv > о.

)ПГ с

Из произвольности ф заключаем, что / [ст^фV = 0. Следовательно )ПГ с

но,

[ст^] = 0 на Щж0) ПГс.

Поскольку точка щ Е Гс выбрана произвольно, условия (2.15) выполняются на Гс.

Выведем условия (2.9). Выберем в (1.9) тестовые функции в виде (\¥, ТШ) = (\¥, IV + ср), где ср £ Щ(П) — гладкая в Пс функция с носителем в окрестности некоторой фиксированной точки Щжо) на Гс такая, что = 0. При этом [<р]Ф 0, > 0. Получим

с > (Л^Ьс.

Применяя формулу Грина вида (2.3) и уравнение (1-2), получим

- У К(+ У > о.

сс

Используя произвольность и финитность функции уи на Гс, имеем

[ш„] = 0, г >И наГс. (2.16)

Второе соотношение выполнено па каждом из берегов разреза Гс.

Выведем условия (2.10). Пусть (ф, у) — гладкие функции, принадлежащие множеству К(Пс). Подстановка в (1.9) пробных функций вида (И^, «7) = (\¥ + ф,и) + <р) дает

КЛЮ,£гАф)Ьа + Б(-,у)па > (/,хЬа> х= (ф,у).

Проводя преобразования по формулам вида (2.3), (2.4) с учетом (2.8), (2.9) получим

У"Кф] + т+у+ - ш-у-) <0. (2.17)

а

В силу того, что [ф„] = /у V (у V = У-)) имеем

У (оЛу^ + - ш-у-) < о.

а

у

до наложенных на нее условий выведем соотношение

ш- = ш+ — /ст^ на Гс. (2.18)

С учетом (2.18) неравенство (2.17) принимает вид

|{av[фv} + шt[уv]- /а„у-) <0. (2.19)

а

Возьмем в (2.19) в качестве пробной функцию у- = 0, [у и] ^0, [ф„] = %„]. Тогда неравенство примет вид

У^уН + ш+у] . (2.20)

а

у

вие

- ш^ < 0 па Гс. (2.21)

Взяв в (2.21) другую пробную функцию yv = 0, [yv] > О, [ф„] = — (h — /)[у>v], аналогичными рассуждениями можно получить неравенство

— (h — /)ov + m+ < 0 на Гс. (2.22)

Выведем условие (2.11). Подстановки вида (W,w) = 0, (W,w) = 2(W, w) в неравенство (1.9) приводят к равенству

(W)Ьс + (kijaij(х), w)fiс + 5(w,w)nс = (ЛхЬc.

Применяя формулы Грина (2.3), (2.4) и учитывая справедливость (1.1), (1.2), имеем

— J m+(w)—--h J m~(w)—--h J t+(w)w+ — J t~(w)w~

Гс Гс гс гс

— J [ v(W)Wv + W)WTi)] = 0.

с

Принимая во внимание (2.15), (2.16) и (2.18), находим

У KW] + m VK] — /^ 0. (2.23)

с

Таким образом, вид краевых условий на внутренней границе Гс определен.

Докажем обратное. Предположим, что выполнены соотношения (1.1), (1.2) и (2.5)—(2.11). Умножим уравнение равновесия (1.1) на W — W, а (1.2) — на w — w, где (W,w) G К(Qc). Затем проинтегрируем по области Qc и сложим полученные соотношения. Предполагая достаточную гладкость всех рассматриваемых функций, имеем

{aij} еу(ТГ - W))Qc + J[a„(W -W) + aTi(WTi - WTi)} - (fi}W - W)

Гс

+ B(w,w-w)qc —J [tl/(m)(w— w)] + j[m„(w„-w„)] — (f3,w — w) = 0.

Для получения вариационного неравенства с помощью (2.6)—(2.11) легко доказывается, что сумма граничных интегралов неотрицательна:

J [f(m)(w-w)]-J [mv(wv-wv)\-J [a„(W„-W„)+aTÍ(WTÍ-WTÍ)} > 0

для всех (W,w) € К (SI с). Таким образом, вариационная постановка

эквивалентна дифференциальной. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kbludnev А. М., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Boston; Southampton: WIT-Press, 2000.

2. Власов В. If. Избранные труды. Т. 2. Тонкостенные упругие стержни. Принципы построения общей технической теории оболочек. М.: АН СССР, 1963.

3. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972.

4. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

5. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

6. Хлуднев А. М. Теория трещин с возможным контактом берегов // Успехи механики. 2005. Т. 3, № 4. С. 41-82.

7. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

8. Kbludnev А. М., Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1997.

9. Главачек Ж, Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986.

10. Неустроева Н. В. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 4. С. 92-105.

11. Неустроева Н. В. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением // Вести. НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2009. Т. XI, вып. 4. С. 51-64.

12. Рудой Е. М. Устойчивость решения задачи равновесия пологой оболочки, содержащей трещину при возмущении границы // Сиб. журн. индустр. математики. 2001. Т. 4, № 1. С. 171-176.

13. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2011. Т. 14, № 4. С. 32-43.

14. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

15. Вайокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988.

г. Якутск

15 июня 2012 г.