Задача о контакте двух пластин, каждая из которых содержит жесткие включения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ЗАДАЧА О КОНТАКТЕ ДВУХ ПЛАСТИН, КАЖДАЯ ИЗ КОТОРЫХ СОДЕРЖИТ ЖЕСТКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ*)

Т. А. Ротанова

Задачи о контакте упругих тел со свободной границей с каждым годом привлекают все большее внимание математиков. Задачи со свободными границами — это задачи, в которых неизвестная заранее функция в разных частях области удовлетворяет качественно различным условиям. Область контакта определяется в процессе самого решения задачи. Ограничения, накладываемые на решения задач данного класса, носят вид неравенств и являются условиями взаимного непроникания контактирующих тел. Таким образом, краевые условия имеют вид системы равенств и неравенств.

В связи с активным изучением композитных материалов в настоящее время представляет огромный интерес исследование нового класса контактных задач со свободной границей, а именно задач о контакте упругих тел, содержащих жесткие включения. Одной из особенностей, возникающих при анализе пластин, содержащих жесткие включения, является то, что в области жесткого включения не выполняется уравнение равновесия. При этом внешние силы приложены ко всем точкам пластин. Таким образом, математическая постановка данного класса задач требует принципиально нового подхода. В ряде недавних работ А. М. Хлуднева, Г. В. Алексеева, Г. Лейдеринга, Е. М. Рудого,

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект № 4402) и фцд «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 20092013 гг. (ГК № 02.740.11.0609).

© 2013 Ротанова Т. А.

Н. В. Неустроевой, А. Новотны, Я. Соколовски, А. Зоковски (см. [1— 7]), посвященных описанию и анализу двумерных задач о равновесии и контакте упругих тел, содержащих трещины и жесткие включения, был предложен метод, позволяющий выписать полную систему краевых условий на границе жесткого включения. Особый интерес представляет собой случай двух и более жестких включений с заданным на их границах условием непроникания.

В задачах такого рода условие равновесия жестких подобластей пластин описывается с помощью равенства и неравенства в соответствии с принципом виртуальных перемещений, смысл которого состоит в следующем: работа внутренних сил на допустимых перемещениях точек тела не меньше, чем работа внешних сил, а на истинных перемещениях работа обращается в нуль. Оказывается, что принцип виртуальных перемещений в точности эквивалентен вариационному принципу.

Задачи о контакте двух упругих пластин, расположенных под углом а друг к другу, под действием внешних сил (модель Кирхгофа — Лява), можно найти в работах [8-10]. Особенностью данной работы является то, что каждая из пластин содержит жесткое включение, выходящее на область возможного контакта.

1. Геометрия задачи. Пусть две упругие пластины расположены под углом а друг к другу, где а £ (0, Ц-]. В естественном состоянии пластины контактируют по линии 7. Полагаем, что ограниченные области Л, О С И2 с гладкими границами Г и дО соответствуют срединным плоскостям пластин. Пусть 7 С ВО, 7 П Г = 0 и дО = 7 и 70. Считаем, что 7 не содержит концевых точек. При этом нижняя пла-О

допускают перемещение только в вертикальном направлении. Обозначим через q = вектор внешней нормали к границе Г, V = (^1,^2) — вектор нормали к 7, расположенный в плоскости верхней пластины П, п = (п^п) — единичный вектор внутренней нормали к дО, распо-

ложенный в плоскости нижней пластины О (рис. 1). Кроме того,

ди ди

ди д^

Пусть также / е g = (дъд2), д% е ^2(О), г = 1,2, — заданные

функции, описывающие действие внешних сил на верхнюю и нижнюю пластины соответственно.

Рис. 1. Контакт пластин с жесткими включениями.

Будем рассматривать пространство И^0 (О) х Ид(П), где И^ (О) = {не [Я1 (О)]2 |и = 0 па7о},

Я2(П) = |ие Я2(П) I и = ^ = 0 на г|, и следующую билинейную форму:

ап(и,у) = ! (ид 1 и511 Ч22 + Кид1 ^22 Чп) + 2 (1-К ид2 ^Д2 ). о

Здесь к — коэффициент Пуассона верхней пластины П. Введем обозначения для изгибающего момента верхней пластины:

ди

тп(и) = жАи + (1 — я)——,

и перерезающей силы

д ( д2и\

= — ( Д«;+ (1-я)—\, 8=(З1,82) = (-1*2,1/1).

Для описания нижней пластины введем тензор модулей упругости Б = {Ъ^ы} ъ,], к, I = 1,2. Пусть имеет место положительная определенность коэффициентов Ъцы € Ьж(О):

а также их симметричность: bjkl = bklij = bjikl, i,j,k,l = 1,2. Также введем тензоры деформаций e(u) = {eju)} и папряжений a = {aij}, i,j = 1,2, соответственно, an = (aijrij,a2jrij), £jj(u) = + Uj^),

i,j = 1,2. Все величины с двумя нижними индексами предполагаются симметричными по этим индексам; по повторяющимся индексам проводится суммирование.

Для верхней пластины жесткое включение — это подобласть < с границей дш\ = y U Si, где Si — кривая класса Cи П Г = 0. Тогда П\си1 соответствует упругой части пластины. Перемещения точек жесткой подобласти < представляют собой элементы пространства аффинных непрерывных функций:

L(<i) = {l | l(y) = aQ + a\y\ + a^yi, ai = const, i = 0, 1, 2;

Жесткое включение в нижней пластине — подобласть ^ С О с границей д^2 = 72 и где ^о является кривой класса С'1, при этом область возможного контакта пластин разбивается на три части: 7 = 71 и 72 и 73. Тогда С \ Ш2 соответствует упругой части пластины. Перемещения точек жесткой подобласти ^2 принадлежат пространству инфинитезимальных жестких перемещений:

bijkl Ckl Cij > c0|£|J для любых £ij = j, c0 > 0,

у = (m,m) e <}.

Щи?) = {p = (p, P2) | P( x) = Cx + D,x e <},

где

D = (d, d), где c, d, d = const. Определим функционал энергии на Hi (G) x H)(fi):

G

G

Q

Функции Цу) и и(х) = (м1(х),м2(х)), у = (уьЫ € О, х = (х,ж2) € О описывают перемещения точек верхней и нижней пластин соответственно.

2. Разрешимость задачи. Рассмотрим вариационную постановку исходной задачи. Вариационный подход позволит нам исследовать вопросы существования и единственности решений. Для этого введем множество допустимых перемещений:

КШ1,Ш2 = {(и, ад) € Н}/0 (О) х Н (П) | шт па + ад ^а^ € Ц^),

Теорема 1 Задача минимизации функционала Щи, ад) на множестве КШ1,Ш2 имеет решение.

Доказательство Покажем, что выполнены все условия обобщенной теоремы Вейерштрасса, и задача минимизации имеет решение.

Исходное пространство функций Щ0 (О) х Н|(П) рефлексивно. Функционал Щи, ад) слабо полунепрерывен снизу и коэрцитивен.

Множество КШ1,Ш2 выпукло. Рассмотрим последовательность (ик, адк) из КШ1,Ш2, сходящуюся к (и, ад) € х Н|(П). В силу

непрерывности функций из пространств Ц^) и для предель-

ных функций выполнено ад|Ш1 € Ц^), и|Ш2 € Д(^2). Используя теоремы вложения Соболева для следов, убеждаемся, что множество КШ1,Ш2 замкнуто и, следовательно, слабо замкнуто.

Теорема 1 доказана.

В силу выпуклости и днфференцнруемости функционала Щи, ад) задача минимизации Щи, ад) на множестве КШ1,Ш2 эквивалентна следующему вариационному неравенству:

и|Ш2 € ДМ}.

(и, ад) € КШ1,Ш2,

(1)

J сг(и)е(и - и) - У ^(и - и) + (ад, ад - ад)

о\ш2

о

(2)

п

Отметим, что решение задачи (1), (2) единственно.

3. Дифференциальная постановка задачи. Сформулируем дифференциальную постановку задачи. Граничные условия в дифференциальной постановке задачи являются естественными и выводятся из вариационного неравенства (1), (2) в предположении достаточной гладкости решения.

Чтобы получить уравнения равновесия пластин, необходимо подставить в (2) в качестве пробных функций (u ± ± ф), где (р, ф) £ [Cq°(G х Gq°(П \ (cUi U y)) и <р, ф продолжаются нулем в и

соответственно. Уравнения равновесия будут выполнены в смысле распределений:

— div(Be(u)) = g в G \ tU2,

A2w = f в Л \ Z¿i.

Из определения множества допустимых перемещений выте-

кают следующие краевые условия:

и = 0 на 7о, w = wq = 0 па Г,

и|Ш2 = р0, где р0 £ Щ^), w = l0, где l0 £ H^i), un sin a + w > 0, [w] = [w^] = 0 na 7. Отметим при этом, что

u = ро на 72 U Sо,

w = Iq на, y U Si,

wyi = (lo)yi на 7 U Si, i = 1, 2.

Последние условия описывают поведение функций и их производных на границах жестких включений исходя из условий: и £ H}/0 (G) в целом в области G и w £ H|(íl) в области П.

Для того чтобы вывести оставшиеся краевые условия, воспользуемся формулами Грина. Первая из них справедлива для области П\И71

и достаточно гладкой функции ш, обращающейся в нуль на внешней границе Г:

J <рА2и) = у>) - J J т(т)+ € Я2(П).

Е1и7

(3)

Вторая имеет место для области с границей класса С^ и достаточно гладкой функции и. Выпишем ее в применении к области С \ сП2 с внутренней нормалью п к границе:

У <т(и)е(ф) = - I &уа(и)ф- ^ ап-ф Уф € Я1(С\й;2). (4) с\-2 с\-2 д(а\~2)

Подставим в вариационное неравенство (2) пробные функции

(й,«7) = (и+ ф, и) + у>), (ф,<р) £ КШиШ2.

Применяя формулы Грина (3) к и (4) к С\си2, получим следующее соотношение:

- J <гп • У ш)+<р - У ^у + J/<Р-

Здесь мы воспользовались выполнением уравнений равновесия в упругих областях пластин. При подстановке в (2) пробных функций (й, «;) = (0, 0) и (й, Ни) = 2(и, и>) получим соответствующее равенство, выполненное на решении (и,ш). Таким образом, дифференциальная постановка задачи имеет следующий вид. Найти функции и, ш, определенные в О и Л соответственно, такие, что

-с1Ь-(Ве(и)) = ё в (5)

А2ю = /вП\шь (6)

и = 0 на 7о, ш = = 0 па Г, (7)

и|Ш2 = Р), где р0 € Я(ш2), (8)

ш|Ш1 = ¿о, где /0 € Д^), (9)

ипзт а + т > 0, [т] = = 0 на (Ю)

J <гп • ф + J т)+(р — J т(тю)+

> I «ф + I № V(ф,^ € КШ1,Ш2, (11)

и 73 £^7 У7

^2 Ш1

- у <т •и

£0и71 и^ и7 и7

и ^— и

= |8и+ У ¡т. (12)

Теперь в предположении гладкости решения получим из (5)—(12)

вариационное неравенство (1), (2) и покажем тем самым, что задачи

—

и проинтегрируем по области С \ а уравнение равновесия (6) — на НО — т и проинтегрируем по области Л \ йх. Применяя далее формулы Грина (3), (4) и складывая полученные выражения, имеем

J 0"(и)е(и — и) — J ^(и и) ~~Ь ^

— J /(НО — «;) = — J <тп(й — и)

П\~1 Е0и71и73

/ / (13)

£^7 £^7

При этом из (11) находим

— J ап-й+ J ^(т)+Н0 — ! т(т)+Н0^ > J gй + J /гй,

а из (12) следует

J <гп ^и— У т)+т + J т(т)+ти = —J gu — J ¡т.

Подставляя полученные соотношения в правую часть (13), получим в точности неравенство (2). Доказан следующий результат.

Теорема 2 Пусть граница подобласти включает в себя всю область возможного контакта 7. Если решение вариационного неравенства (1), (2) достаточно гладкое, то оно удовлетворяет системе (5)—(12). Гладкое решение краевой задачи (5)—(12) является также решением вариационного неравенства (1), (2).

Таким образом, существует единственное решение краевой задачи (5)-(12).

Отметим, что на 71U73, где осуществляется контакт упругой части нижней пластины с жестким включением из вариационного неравенства можно извлечь дополнительные краевые условия. Эти условия родственны условиям в классической задаче Синьорини (см. [11]):

an <0, aT = 0, ff„(unsina + w) = 0.

Другие интересные случаи расположения жестких включений относительно линии возможного контакта 7 для задачи о контакте двух пластин, каждая из которых содержит жесткое включение, можно найти в [12,13].

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеев Г. В., Хлуднев А. М. Трещина в упругом теле, выходящая на границу под нулевым углом // Вестн. НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, № 2. С. 15-29.

2. Лойгеринг Г., Хлуднев А. М. О равновесии упругих тел, содержащих тонкие жесткие включения // Докл. РАН. 2010. Т. 430, № 1. С. 1-4.

3. Рудой Е. М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова — Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестн. НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, № 2. С. 98-117.

4. Хлуднев А. М. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Изв. РАН. 2010. № 5. С. 98-110.

5. Kbludnev А. М. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks. Preprint. Friedrich-Alexander-Univesity. Erlangen-Nuremberg, 2009. N 327. P. 1-29.

6. Неустроева, H. В. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением // Вестн. НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, № 4. С. 51-64.

7. Kbludnev A. M., Novotnv A. A., Sokolowski X, Zocbowski A. Shape and topology sensitivity analysis for cracks in elastic bodies on boundaries of rigid inclusions // J. Mechanics Physics of Solids. 2009. V. 57, N 10. P. 1718-1732.

8. Неустроева H. В. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 4. С. 92-105.

9. Ротанова Т. А. Задача об одностороннем контакте двух пластин, одна из которых содержит жесткое включение // Вестн. НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2011. Т. 11, № 1. С. 87-98.

10. Хлуднев А. М. Об одностороннем контакте двух пластин, расположенных под углом друг к другу // Прикл. математика техн. физика. 2008. Т. 49, № 4. С. 553-567.

11. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

12. Ротанова Т. А. Контакт пластин, жесткие включения в которых выходят на границу // Вестн. Томск, гос. ун-та. Сер. математика и механика. 2011. Т. 15, № 3. С. 99-107.

13. Ротанова Т. А. о постановках и разрешимости задач о контакте двух пластин, содержащих жесткие включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 2. С. 107-118.

г. Новосибирск

20 сентября 2012 г.