Инвариантные интегралы в задаче о равновесии пластины Тимошенко с условиями типа Синьорини на трещине Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

ИНВАРИАНТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В ЗАДАЧЕ О РАВНОВЕСИИ ПЛАСТИНЫ ТИМОШЕНКО С УСЛОВИЯМИ ТИПА СИНЬОРИНИ НА ТРЕЩИНЕ1

© 2013 Н.П.Лазарев2

Рассматривается задача о равновесии упругой трансверсально-изотропной пластины Тимошенко, содержащей сквозную трещину. На берегах трещины заданы условия непроникания, которые имеют вид неравенства (условия типа Синьорини). Показано, что в этой задаче существуют инвариантные интегралы, равные производной функционала энергии пластины по параметру возмущения.

Ключевые слова: трещина, пластина Тимошенко, вариационная задача, условие непроникания.

Введение

В работе рассматривается модель, описывающая равновесие упругой однородной трансверсально-изотропной пластины Тимошенко, содержащей сквозную трещину. На кривой, соответствующей трещине, налагается условие в виде неравенства, описывающее взаимное непроникание противоположных берегов трещины. Для семейства вариационных задач о равновесии пластин, зависящих от параметра е, проводится анализ зависимости функционала энергии от вариации геометрии пластины в срединной плоскости. Изменение геометрии пластины задается с помощью семейства гладких отображений, зависящих от е. При этом значение параметра е = 0 соответствует исходной невозмущенной области. С помощью выбора подходящих отображений и геометрических характеристик пластины с трещиной установлена возможность представления производной функционала энергии (при е = 0) в виде инвариантного интеграла.

Инвариантные интегралы широко используются при исследовании сингулярно-стей различных физических полей [1—4]. Общий подход к получению инвариантных интегралов в задачах теории упругости разрабатывался в [5]. В изучении моделей пластин, учитывающих поперечный сдвиг, инвариантные интегралы использовались, например, в [6; 7]. Отметим, что в этих работах на трещине задава-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (соглашение № 8222) и в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект № 4402), Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-31076-мол-а).

2Лазарев Нюргун Петрович (nyurgun@ngs.ru), Научно-исследовательский институт математики, Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова, 677891, Российская Федерация, г. Якутск, ул. Белинского, 58; Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 630090, Российская Федерация, г. Новосибирск, ул. Акад. Лаврентьева, 15.

лись линейные условия вида равенств. В [6] получены соотношения, связывающие коэффициенты интенсивности напряжений и значения инвариантных интегралов.

Традиционный подход в теории трещин предполагает задание на берегах разреза (трещины) линейных краевых условий в виде равенств, что приводит к линейным краевым задачам. Хорошо известно, что получаемые при этом решения соответствующих краевых задач могут приводить к физическим противоречиям [8]. Именно вектор перемещений при этом таков, что точки, лежащие на противоположных берегах трещины, проникают друг в друга. В связи с этим представляет интерес качественно другой подход в моделировании физических процессов вблизи трещины, при котором на берегах трещины используются так называемые условия непроникания. Эти условия допускают возможность расхождения берегов, их перемещения вдоль поверхности разреза, касания и не позволяют берегам трещины проникать друг в друга. Исследования математических моделей теории трещин с нелинейными условиями непроникания вида системы равенств и неравенств, а также соответствующую библиографию можно найти в [9-13]. Дифференцируемость функционалов энергии для краевых задач с односторонними ограничениями изучена во многих работах [9-12]. В [12] для задачи о равновесии Ж-мерного (Ж = 2, 3) упругого тела с условиями типа неравенств на трещине выведены достаточные условия существования инвариантных интегралов. В [13; 14] найдены инвариантные интегралы для двумерного тела с трещиной, лежащей на линии раздела двух сред. Для пластин модели Кирхгофа-Лява инвариантные интегралы, выражающие производную функционала энергии, найдены в рамках линейных краевых условий [15]. Важно отметить, что полученные в настоящей работе инвариантные интегралы типа Черепанова-Райса представляют интерес с точки зрения механики разрушения [1-4].

1. Задача равновесия

Пусть П С К2 — ограниченная область с границей дП € С0'1, кривая Го содержится в области П. Полагаем, что Го не содержит своих концевых точек дГо. Будем считать, что относительно П, дП и Го выполнено следующее.

Предположение 1. Пусть набор {П,дП, Го} удовлетворяет следующим условиям:

(а) кривая Го может быть продолжена до липшицевой кривой Г, разбивающей область П на две подобласти П1 и П2 с границами дП и дП.2, так, чтобы Г = = дП1 П дП2, П1 и П2 = П и шеав(дП П дП,) > 0, г =1, 2;

(б) границы дП1 и дП.2 липшицевы;

(в) кривая Г не имеет самопересечений;

(г) множество По = П\Го является связным (Го = Го и дГо).

Условие (г), в частности, означает, что кривая Го не может выходить на внешнюю границу дП обеими концевыми точками. В силу условия (а), п. в. на Го можно определить вектор единичной нормали V = (^1,^2). В соответствии с направлением V можно говорить о положительном Г+ и отрицательном берегах Гд кривой Го.

Предположим, что трансверсально-изотропная однородная пластина имеет постоянную толщину 2Н. Трехмерное декартово пространство {х1,х2,г} соотнесем так, чтобы область По С К2. представляла собой проекцию пластины со сквозной трещиной на срединную плоскость г = 0. При этом кривая -уо соответствует трещине в пластине. Это означает, что сквозная трещина моделируется цилин-

дрической поверхностью: х = (х1 ,Х2) € 70, —к ^ г ^ к, где \г\ — расстояние до срединной плоскости.

Обозначим через х = х(х) = (и,и) вектор перемещений точек срединной поверхности, х = (х\,х2), где и = (и1,и) — горизонтальные (вдоль плоскости (х1,х2)), а и — вертикальные перемещения. Углы поворота нормальных сечений обозначим через ф = ф(х) = (ф1,ф2). Обобщенный вектор перемещений £ = (и,и,ф). Будем считать, в соответствии положениями классической теории упругости, что величины х, Ф являются бесконечно малыми. Для удобства будем также использовать обозначения г = 1, 2..., 5 для компонент вектора £, при этом (^1,^2) = и, £3 = и, (£4, £5) = ф.

Определим функциональное пространство, в котором будет исследоваться задача равновесия. Пусть подпространство Н 1,о(По) пространства Соболева Н 1(Оо) состоит из функций, обращающихся в нуль на дП. Введем пространство Н(По) = = Н1,0(По)5, снабженное стандартной нормой || • || = || • ||#(п0).

Тензоры, описывающие деформацию пластины в(ф) = {ец(ф)}, £(и) = = {ец(и)}, г,з = 1, 2, выражаются следующими формулами:

Тензоры моментов т(ф) = {тц (ф)} и усилий а (и) = {ац (и)}, г,з = 1, 2, выражаются по формулам:

тц(ф) = £ы(ф), ац (и)=3к-2ецЫ Еы(и), (1.1)

где ненулевые постоянные коэффициенты тензора ецы определяются соотношениями: еггг% D, еацц Dж, еЦгЦ еijji Б(1 ж)/2, <2, г = 3,

Б — цилиндрическая жесткость пластины, ж — коэффициент Пуассона [18]. Здесь и далее по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Для вектора поперечных сил q = (41,42) выполняются следующие равенства [18]:

ди

ф) =А(ин+фг), г = 1,2, (ин=—)

где Л = 2кк'О, к' — коэффициент сдвига, О — модуль сдвига в площадках, перпендикулярных срединной плоскости пластины, Л, к', О — постоянные.

С учетом записанных выше выражений определим следующую билинейную форму:

Во(£, п) = У ь(£, п^х,

По

Ъ(£, П) = ) Ец (и) +тц (ф) Ец (ф)+4г(и, ф)(т,г +фг )},

для произвольных функций £ = (и,и,ф) € Н(По), п = (^,,ш,ф) € Н(По). Заметим, что предположение 1 обеспечивает выполнение неравенства Корна и обобщенного неравенства Пуанкаре во всей области По. С помощью указанных неравенств можно вывести оценку

Во(£, £) > е||£||2 V £ € Н(По), (1.2)

где постоянная е> 0 не зависит от £ [16].

Функционал потенциальной энергии пластины, занимающей область По, имеет вид:

П(П0, £) = ^В0(£, £) -1 ^х, £ = (и, и, ф) е Я (По),

По

вектор F = (/ь/2,/3,/4,/5) € C1 (1)5 описывает воздействие на пластину заданных внешних нагрузок [18].

Считаем, что на внешней границе выполнены следующие краевые условия:

и = 0, ф = U = (0, 0) на д 1,

которые описывают защемление пластины по внешним краям. Условие взаимного непроникания противоположных берегов трещины пластины имеет вид

[U]v > к\[ф]и| на Го, (1.3)

где квадратные скобки [•] означают скачок функции: [у] = «\г+ — v\r-. Вывод и обоснование условия (1.3) можно найти в [16]. Отметим, что это неравенство корректно в рамках предположений классической теории упругости. Условие (1.3) инвариантно относительно выбора направления нормали v, так как при изменении направления на —v значение скачка на берегах трещины также меняет знак. Введем множество допустимых функций

Ко(1о) = Ц = (U, и, ф) € H(1о) \ [U]v > h\^]v\ п. в. на Го}.

Задача о равновесии пластины Тимошенко с условием непроникания берегов трещины сводится к задаче о минимизации функционала энергии

inf п(1о; £). (1.4)

£ек0(п0)

Известно, что задача (1.4) имеет единственное решение £о = (Uо,ио, фо) € Ко(1о), которое удовлетворяет вариационному неравенству [16]:

Во(£о, П — £о) F(n — Уп € Ко(1о). (1.5)

По

Сравнивая два неравенства, полученные после подстановки в (1.5) тестовых функций вида п = £о + П и п = £о — П, где п = (W, w, ф) € С°°(йо)5, получим соотношение

У (aij (U о)£ц (W) + mij (фо (Ф) + qi (ио, фо)(й,г +'Фг) ^

По

= J(/iWi + /3W + /з+iti) Уп € С°°(По)5.

По

Отсюда, учитывая независимость Wi, W2, w, ipi, Ф2, выводим уравнения равновесия

aij,j (Uо) = —/i, mij,j (фо) — qi(^, фо) = —/з+i, i = 1, 2 в 1о, (1.6) qi,i (ио, фо) = —/з в 1о. (1.7)

Определим возмущенную область. Для малого параметра е € [0,ео) рассмотрим возмущение

Фе(х) = (Ф£1(х), Фе2(x)) такое, что

Фei(x) € С1([0,ео); и£°°(М2)), i = 1, 2 и Фо(х) = х.

При фиксированном е € [0, ео) применим преобразование координат

y = Фе(х), х € 1. (1.8)

по отношению к 1, д1, Го. В результате (при е = 0) получим возмущенную область Фе(0) с границей Фе(д1) и возмущенный разрез Ге = Фе(Го). Определим

возмущенную область с разрезом как Ое = Фе (О)\Ге. Отметим, что ввиду предположений относительно Фе, для малых е существует обратное преобразование x = Фе-1(у), где Фе-1(у) = (ф-11(у), ф-21(у)), Ф^(у) е С1([0,ес); W^(М2)), г = = 1,2 [11]. Кроме того, при малых е преобразование (1.8) и обратное к нему устанавливают взаимно однозначное соответствие между О и Фе(О) [11]. Далее, не нарушая общности, будем считать, что указанные свойства взаимной однозначности и гладкости отображения Ф~1 выполняются для всех е е [0,ео).

Предположение 2. Для каждого е е (0,е0) набор {Фе(О), Фе(5О), Ге} удовлетворяет условиям предположения 1.

Аналогично пространству H(Оо) определим пространство H(Ое). Согласно взаимной однозначности преобразования (1.8), строгой положительности его якобиана (будет показано ниже) и предполагаемой гладкости Фе, отображение (1.8) также задает взаимно однозначное соответствие между пространствами H(Оо) и H(Ое), т. е. если £(х) е H(Оо), то £(Ф<Т 1(у)) е H(Ое) и, наоборот, если £(у) е H(Ое), то £(Фе(х)) е H(Оо). Пусть Vе — единичный вектор нормали к возмущенному разрезу Ге. Определим множество допустимых функций для возмущенной задачи:

Ке(Ое) = {£ = (U, и, ф) е H(Ое) | [U]ve > Ь\[ф]ие\ п. в. на Ге}.

Несмотря на то что пространства H(Оо) и H(Ое) взаимно однозначно переходят друг в друга при отображении (1.8), множества Ко(Оо) и Ке(Ое) не обладают в общем случае таким свойством. Это связано с тем, что, вообще говоря, единичная нормаль V к Го не переходит в единичную нормаль Vе к Ге. Далее будем считать, что преобразование Фе и геометрия Го и Ге таковы, что при всех допустимых е выполнено

v^(x)) = V (х) на Го. (1.9)

Соотношение (1.9) будет выполнено, например, при Vе = v = const с произвольным преобразованием Фе или в том случае, когда нормали Vе, V зависят только от xi (x2) и Vе = V с отображениями, удовлетворяющими равенству Фе1 = xi (Фе2 = Х2) [12]. Выполнение условия (1.9) приводит к тому, что множество Ко(Оо) при отображении (1.8) переходит взаимно однозначно в множество Ке(Ое).

Сформулируем далее семейство задач, зависящих от параметра е е (0,ео). Функционал энергии для возмущенной области определим выражением

= JF£dy, £ = (11,и,ф) G H(flE),

пе

где билинейная форма задается соотношением Ве (£, щ) = / b(£, пМу.

пе

Так же, как и для исходной задачи (1.4), следующая задача о минимизации функционала энергии в возмущенной области

inf П(Ое; £)

имеет решение £е = (Uе,ие, фе) е Ке(Ое), которое удовлетворяет вариационному неравенству

Ве(Г, П - Г) F(n - Г W Уп е Ке (Ое). (1.10)

п

Выведем далее производную функционала энергии по параметру е, описывающему возмущение области По, т. е. вычислим предел

de

= lim

£ = 0 £—>0+

П(Пе; - П(По; £о)

e

(1.11)

где £о, — решения задач равновесия в невозмущенной и возмущенной областях соответственно.

2. Вспомогательные утверждения и формулы

С целью найти предел (1.11) в последующих выкладках осуществим замену переменных у = Фе(х) в интегралах вариационного неравенства (1.10) и функционала энергии П(Пе; £е). Затем полученные выражения преобразуем с учетом гладкости отображения (1.8). При этом понадобятся формулы, уточняющие зависимость функции Фе(х) и ее производных от параметра е.

Итак, обозначим через

/ дФЕ1 дФе2

дФе дх

дх\ дх\

дФе1 ЭФе2

дх2 дх2

транспонированную матрицу Якоби преобразования (1.8). В силу заданной гладкости функции Ф£(х) справедливы формулы:

Фе(х)= х + eV(x)+n(e, х) в R2, ||ri(e, x)!^,- (R2)]2 = o(e), (2.1)

дФ (x) dV

Эх =/ + £g^+r2(^x) B lk2(e,x)||[L~CR2)]4=0(e), (2.2)

где

дФ (x)

V(x) = (y1(x),y2(x)) = -^-i

Из (2.1) следует, что якобиан j£(x) преобразования (1.8) можно представить в виде

j£(x) = 1 + e div(V) + гз(e, x), ||гз(е, x)||L~ (R2) = o(e), откуда следует, что для малых e якобиан je (x) строго положительный. Положим Т(х) = (аФаех(х) ) , тогда dV

Т(х) =/-£—+г4(е,х) в R2, ||r4(e,x)||[L~(R2)]4 =о(е). (2.3)

Используя введенные выше обозначения, формулы преобразования производных можно записать в виде

д /дФЕг\ д д ^ д (2 4)

дхк V дхк ) дуг ' дук 1 dxi '

где Yki — элементы матрицы Y. Осуществим замену переменных y = Фе^) в интегралах неравенства (1.10). В результате получим

Je cijkl Ekl (1 ; U e ) Eij

3h-2 J jeCijki Eki (Y; Ue)Eij (Y; W - Ue)dx +

По

+ У jeCijkiEki (Y; Фе)Ец (Y; ф - фE)dx+

о

Зе I

По

^ г/ I -ть г \ ^

дх2 / \ ОХ 2

+Л / ^ Я-+ФеЧ -Я-+ - Фег) ) ¿Х >

Зь^ьХп - илх Ущ = ^,т,ф) е КоШ, (2.5)

По

где £ь(х) = £е(Фе(х)), Ее(х) = F(Фе(х)), х е По, Е^(Т; и) — трансформированный тензор деформаций:

1 я я

Замечание 1. В силу взаимной однозначности отображения множеств Кь(Пь) и Ко (По) функция является решением вариационного неравенства (2.5).

Благодаря соотношениям (2.1)—(2.4), можно получить следующие представления для интегралов, входящих в неравенство (2.5):

3Ь-2 I зьсцы Еы (Т; и)ЕЦ (Т; W)йх =

По

= У [аг2(и)ец^)+еЛ!(У, и, W)} ¿х + Ег(и, W), (2.6)

По

По

= у ^(и,ф)(^ + ф^+£А2(У,$,г?^х + Н2($,г?), (2.7)

По

У ЗьЕь^х = У {^ + £а1у(У/г)&} ¿х + Е3($), (2.8)

где

Л1(У, и, W) = а1у(У(и)£г2 ^) -

'ОУ \ (ОУ

" <ъ(и)Ец и-; IV - —¡и), (2.9)

А2(У, (, V) = <ЬУ(УЫщ + Фг) - Яг(и, +

^ ди) дУ2\ ^ { ди дУ\ ^ ди дУ2 , ^ ^

дх2 дхг' ' \Ох1 дхг дх2 дхг

Для остаточных членов в (2.6)—(2.8) справедливы оценки

||Й1(и, W )||ь1(По) < г(е)||£||||п11, п)Уы(По) < г(е)и

УДз(^)УЬ1(По) < г(е)№1, 0 < т(е) = а(е).

Заметим, что при разложении второго интеграла из левой части (2.5) можно использовать выражение вида (2.6). Легко видеть, что если £ = (и,и,ф) е Н(По), п = ) е Н(По), то функции Л1(У, и, W), Л1(У, ф, ф), Л2(У, £, щ) инте-

грируемы по области По, более того, справедливы оценки

П

П

о

о

\A1(V, U, W ^^) < С НЩпН, \A1(V, ф, ф)\\ьЧп0) < С №\М,

\\Ä2(V, S, п)Иы(По) < СНШпН (2.11)

с некоторой постоянной С > 0, не зависящей от S, п, е.

Осуществим преобразования в интегралах неравенства (2.5) с помощью формул (2.6)—(2.8). Потом в полученном соотношении применим оценки (2.11), а также оценки для остаточных членов Ri, i = 1, 2, 3. В результате получим следующее неравенство:

Bo(Se, п - U > j F(n - SE)dx -

По

- \£\С(М + нахш + 1) Уп е Ko(üo), (2.12)

с некоторой не зависящей от е постоянной С > 0.

Проведем замену переменных y = Фе(х) в интегралах функционала энергии П(Пе, S). А затем применим разложения по е (2.6)—(2.8). В результате получим новый функционал энергии Пе(Qo; S), определенный в пространстве H(Qo):

По По

h2 г

+A2{V,£,£) + —A1{V,<f>,<f>)}dx.-e J сИу(Г/06<гх + Д4(£), (2.13)

п0

У^ОН^о) < ФЖГ + У(У), 0 < г(е) = а(е).

Из неравенства, полученного подстановкой в (2.12) тестовой функций г/ = с помощью (1.2) получим равномерную оценку

на < с. (2.14)

Теорема 1. Пусть (е — решение задачи (2.5), (о — решение задачи (1.4). Тогда справедлива оценка

Н£о (2-15)

где константа с не зависит от е.

Доказательство. Для того чтобы убедиться в справедливости (2.15), достаточно сложить два неравенства, полученные подстановкой пробных функций в вариационные неравенства, и применить оценки (1.2), (2.14). При этом в вариационное неравенство (1.5) подставляем (е, а в (2.12) — функцию (о. Теорема доказана.

Из теоремы 1 и оценки (2.14) вытекает очевидное следствие. Следствие. При е ^ 0 функции (е = (ие,ие, фе) сходятся к функции (о = = (ио,ио, Фо) сильно в Н(По). Справедливы также следующие сходимости:

(ЗУ \ (ЗУ \

Ец ( иЕ I -> Ец ( —; 110 ) сильно в Ь2(0.о), г, о = 1, 2,

(ЗУ \ (ЗУ \

V ~дх ' ) V ~дх ' ) сильн0 в 1,0 = 1,2,

ЛХ(У, ие, ие) ^ Л\(У, ио, ио) сильно в Ьг(По), Лх(У, фе, фе) ^ Лх(У, фо, фо) сильно в Ь^По), Л2(У, (е, (е) ^ Лг(У, (о, (о) сильно в Ьг(По).

3. Вывод формулы для производной функционала энергии

Для того чтобы вычислить производную функционала энергии по параметру возмущения е, необходимо найти предел (1.11). Итак, в силу замечания 1 имеем

П(Пе; Г)= М П(П; £)= ! П(По; £) = Пе(По;

£еке(пе) $еКо(Пв)

Следовательно, справедлива следующая цепочка неравенств:

П(Пе;Г)-П(По;£0) = П£(П0; $£) - П(П0; $0) П£(П0; £0) - П(П0; £0) е е е

Отсюда следует, что выполнено неравенство

Цшвир - < Цшвир - ■ (3.1)

е—е е—е

Найдем предел, стоящий в правой части (3.1). Принимая во внимание ограниченность Д4 в формуле (2.13), получаем

ИтоирПе(По;£о)-П(По;£0) _ ^ П£(По;$0)-П(П0;$0) _

е—0+ е е—0+ е

По По

Поскольку £о доставляет минимум функционала П(По;£), справедливо следующее неравенство П(По; £е) ^ П(По; £о). И, как следствие, выполняется соотношение

Пе(По;££)-П(По;£о) П£(П0; $£) - П(П0; $£) ее Отсюда, переходя к пределу, находим

мП(П£;Г)-П(По;£0) Ит1МП£(По;0-П(По;0

е—о+ е е—о+ е

Используя при нахождении предела в правой части (3.2) следствие теоремы 1, ограниченность Д4 в формуле (2.13), выведем

Ит.мП£(По;0-П(По;0 = ^ П£(П0; $е) - П(П0; $е) =

£ е—>0+ £

= ± / {А1(У,и0,и0)+А2(У,£0,£0) + £А1(У,ф0,ф0)}сЬ1- I

По

Т й ~ ГП(Пе;Г)-П(По;£о) , 1аким образом, нижнии предел последовательности <-^ оценивается снизу той же константой, которой оценивается верхний предел этой последовательности сверху. Следовательно, предел (справа) существует и равен этой константе. Подытожим предыдущие рассуждения в виде следующей теоремы.

Теорема 2. Производная (справа) функционала энергии П(Пе;£е) по параметру е возмущения области По существует и задается формулой

Д1(Пе;£е) йе

е=о

\ I {А1(У,и0,и0)+А2(У,£0,£0) +

По

+ £А1(У,Ф0,Ф0)}<1Х- /

По

(3.3)

По

где = (ио,ио, ф0) — решение задачи (1.4), а Л1, определяются формулами (2.9), (2.10).

Замечание 2. Для двух разных возмущений Ф1, Ф^, переводящих область с разрезом По в одну и ту же возмущенную область Пе при всех е, соответствующие производные функционала энергии равны. Это следует из того, что решения и функционал энергии П(Пе, ) не зависят от выбора функции возмущения Фе.

Замечание 3. В частном случае, когда возмущение имеет вид у = х + + е(в(х), 0), в(х) € (К2), а трещина задается прямолинейным отрезком Г0 =

= {(ж1,ж2)| 0 < Х1 <1,Х2 = 0}, I > 0, выражение (3.3) обращается в формулу для производной по длине трещины, полученную ранее в [9].

4. Инвариантные интегралы

В этом пункте выполняя преобразования для правой части (3.3), получим инвариантные интегралы по замкнутым кривым. При этом, как и в работах относительно двумерных тел с трещинами [11; 12], эти кривые ограничивают области, в которых внешние нагрузки равны нулю. Для удобства условимся далее опускать индекс 0 в обозначениях решения задачи (1.5) для невозмущенной области, т. е. будем считать, что £0 = (и0,и0, ф0) = £ = (и,и,ф)

Справедлива следующая лемма об интегрировании по частям [12; 14].

Лемма 1. Пусть область П С К2 с липшицевой границей дП такова, что П С С П; функция Ш = (и>1,и>2) принадлежит пространству Н2(О)2. Тогда справедлива следующая формула интегрирования по частям:

J Л1(У, Ш, Ш^х = 2 У (V(Ш^х + в

+ 2 усту(И0(^-п)£у(И0-п3-(ГУ«;0)<й, (4.1)

в в

1

дВ

где п — внешняя единичная нормаль к дП.

Заметим, что, умножив обе стороны (4.1) на Ь2/3, с учетом зависимостей (1.1) можно получить следующую формулу:

Ь2

У / А1[У,УУ,УУ)с1х = 2 I (V Уш^то^

У У А1(У,УУ,'\¥)<1х = 2 У (УУи>1)тш(\¥)<1х +

вв

+ 2 У -п)е^(\¥) - (4.2)

дв

Понадобится еще одна формула интегрирования по частям. Предположим, что выполнены следующие включения ф = (^1,^2) € Н2(П)2, т € Н2(П), где область П удовлетворяет условиям леммы 1. С помощью классических формул Грина можно показать, что справедливо следующее соотношение:

У Л2^, п, п)Лх =2 У {дм(т, ф)^Чт) - (V(т, ф)}dx+ вв

+2 У -п^^+ф^-п^У^уП. (4.3)

дв

Пусть область О С П такая, что область По П О имеет липшицеву границу. Кроме того, предположим, что для этой области О решение £ задачи (1.4) принадлежит Н2(По П О)5. Представим формулу (3.3), выражающую производную функционала энергии, в виде суммы двух интегралов по множествам По П О и По\О. Затем проинтегрируем по частям интегралы по области По ПО. Не нарушая общности, через п будем обозначать единичную внешнюю нормаль к границе той области, относительно которой применяются формулы интегрирования по частям. С учетом формул (4.1)—(4.3) получим

¿£

£ = о

ф, Ф)}гЫ -1 = /1 + /2 + /з + 1(У),

(4.4)

где

(V Ущ )(аы (и )+/) + (да (и, ф)+¡з)(У У и)

П0пС

+ (V Уфг (ф) - дг (и, ф) + /3+ )} ¿X,

1 Г ь2

12 = - / {А1{У,и,и)+А2{У,£,£) + —А1{У,ф,ф)}(1х.

По\С

1з = Ыг(V ■ п)М -I div(V/^¿х,

8(0,оПС) 1

По\С

Э(ПоПО)

-п^ущ^ + ■ + Ф) - <и(щ Ф)щ{УУи)}сИ.

Заметим, что в силу уравнений равновесия (1.6), (1.7) интеграл равен нулю.

Рассмотрим теперь конкретные случаи выбора набора {П, дП, Го}, функции Р, области О и векторного поля V, которые после преобразования интегралов в правой части (4.4) приведут к инвариантным интегралам. Во всех примерах нам придется выбирать окрестности Б\, <<2 с липшицевыми границами д$1, д^. С целью получения инвариантных интегралов будем использовать отображения, описывающие возмущение сдвига и возмущение вершины трещины.

Возмущение сдвига.

Пусть кривая Го является прямолинейным отрезком, лежащим на прямой (х — а)и = 0. Кроме того, потребуем, чтобы кривая Го находилась строго внутри П. Пусть набор {П,дП, Го} удовлетворяет условиям предположения 1. Рассмотрим вспомогательную функцию £ € ШО^И2) с носителем в малой окрестности 551 кривой Го (полагаем, что 51 С П). Предположим, что во всех точках окрестности <2 кривой Го (<2 такая, что Го С <2) значение функции £ равно единице (см. рис. 1).

Для произвольного фиксированного вектора р = (р1,р2) рассмотрим возмущение

Фе = I + ££р. (4.5)

п

о

п

о

I

1

При этом Го отображается в кривую Ге — часть прямой (y — ep — a)v = 0, область П при отображении не меняется, т. е. П = Фе (П). Возмущенная область с трещиной примет вид Пе = П\Ге. Для преобразования (4.5) соответствующее векторное поле V выражается равенством V = (piC,P2C). По построению, предположение 2 выполняется для малых е. Поскольку vе = v = const, то справедливо и условие (1.9). Рассмотрим область Gi = Si\S2. Эта область имеет липшицевую границу dSi U dS2. Кроме того, согласно результатам о внутренней регулярности решений вариационных задач, решение £ принадлежит H2(По П Gi)5 [19]. Преобразуем теперь формулу (4.4) для V = (piC,P2C), взяв в качестве G область Gi = Si\S>2. С учетом свойств функции Z в S2 производные от V = pi, i = 1,2, обращаются в нуль, а в По\Si справедливо равенство V = (0,0). Это означает, что интеграл I2 равен нулю.

Пусть функция внешних нагрузок удовлетворяет равенству

F = (0, 0,0, 0,0) в S2. (4.6)

Границу области По П Gi можно представить в виде д(По П Gi) = dSi U dS2. Легко видеть, что свойства функции V вместе с равенством (4.6) приводят к тому, что выражение I3 равно нулю. Таким образом, замечая, что V = (0, 0) на dSi, формулу (4.4) запишем в виде

Д1(П£;Г)

de

1 £) — (р • n)b(£, £) — aij(U)nj(-^) —

dS2

' дф-is , ,duN

- Яг(и, (4.7)

Поскольку производная функционала, в соответствии с замечанием 1, не зависит от выбора срезающей функции £, то интеграл (4.7) не зависит от замкнутой кривой дБ2. Это означает, что в формуле (4.7) вместо дБ2 можно взять произвольную достаточно гладкую замкнутую кривую Ь без самопересечений, ограничивающую некоторую область О¿,(Го), для которой О^(Го) С П, Го С О^(Го) и Г = (0,0, 0,0, 0) в Оь(Го).

Инвариантный интеграл вида (4.7) существует и для кривой Го, лежащей строго внутри П, которая описывается уравнением Х2 = д(х{) (х\ = д(х2)), с достаточно гладкой функцией д. В этом случае выбираем отображение сдвига Фе = I+е£р в направлении вектора р = (0,1) (р = (1,0)). Тогда условие (1.9) выполняется. Далее, с целью получения инвариантного интеграла, как и выше, требуем выпол-

нение условий предположения 1 и равенства Р = (0,0, 0,0, 0) в окрестности О(Го) кривой Го.

Возмущение вершины трещины

Предположим, что область П делится кривой без самопересечений 2 на две подобласти П и П2 так, чтобы П1 и О2 = П, П1 П П2 = 2, шеа8(дП П дП^) > 0, г = 1,2. Потребуем также чтобы границы областей П1 и П2 были липшицевы-ми. Кривая 2 на плоскости (ж1,Х2) задается функцией д € Со,1( — 1о, 11) так, что 2 = {(ж1,ж2) | Х2 = д(ж{), —1о < Х1 < ¡1}, 1о > 0, /1 > 1, где функция д удовлетворяет равенству д = 0 на интервале 1$ = (1 — 6,1 + 6) с некоторым фиксированным 6 > 0. Пусть Го = {(ж1,ж2) | Х2 = д(ж{), а < Х1 < 1}, где —¡о ^ а ^ 0. Отметим, что, когда а = —¡о, кривая Го выходит на внешнюю границу дП.

Очевидно, что набор {П,дП, Го} удовлетворяет условиям предположения 1. Выберем срезающую функцию £(х) € (И2), финитную в области П и такую, что 0 ^ £ ^ 1 для всех х € П. Далее, полагаем, что носитель функции вирр£ содержится в окрестности $1 С $1 С П П (1$ х М) точки хо = (1,0), и £ =1 в некоторой окрестности $2 точки хо. Кроме того, потребуем, чтобы область По П О2 имела липшицевую границу, где О2 = $1^2, см. рис. 2.

Рис. 2. Окрестности £1 и Я2 вершины трещины х

Рассмотрим отображение

Фе = I + е(£, 0), V =(£, 0) (4.8)

с положительным параметром е. Заметим, что при отображении (4.8) кривая Го (для малых е) отображается в кривую Ге, которая вблизи точки хо лежит на прямой Х2 = 0. Таким образом, преобразование (4.8) соответствует развитию (подрастанию) трещины по направлению прямой Х2 = 0. Как и в предыдущем случае (при возмущении сдвига), область П при отображении не меняется, т. е. П = = Фе(П). Возмущенная область с трещиной примет вид Пе = П\Ге. Предположение 2 выполняется в силу свойств кривой 2. Как известно, решение £ задачи (1.4) обладает дополнительной локальной гладкостью в области По П О2, а именно справедливо включение £ € Н2 (По П О2) [17]. Осуществим преобразования в формуле (4.4), рассматриваемой относительно V = (£, 0) и О = О2. Во-первых, заметим, что граница области По П О2 состоит из четырех частей:

д$1, д$2, (£1\$2) П Г+, ($1\£2) П Го-.

Как и в первом случае, интеграл 12 равен нулю. В самом деле, в области $2 производные от V = 1, У2 =0 обращаются в нуль, а в По\$1 выполняется равенство

V = (0, 0).

Пусть функция внешних нагрузок удовлетворяет равенству

F = (0, 0,0, 0,0) в «2. (4.9)

Заметим, что в этом случае для функции V = (£, 0) выполнено равенство V ■ п = = Сп1. Таким образом, для суммы интегралов 1з имеем

13 = I + ! +

+ У Сиф^а + I Сиф&с - у (4.10)

Первые три интеграла в (4.10) равны нулю вследствие того, что на д«1 функция £ обращается в нуль, на границах («Д«^) П Гд выполняется равенство П1 = 0. Последние два слагаемых в (4.10) равны нулю в силу (4.9) и равенства V = (0, 0) в По« В итоге выражение 1з равно нулю. Таким образом, замечая, что £ = 0 на д$1, С =1 на д«2, формулу (4.4) для области 02 запишем в виде

Д1(П£;Г)

Се

дв2

-Шц (ф)и - дг(п, ф)щп,1) СI + У ^ац (и)и^щ,1

(«1\«2)ПГ0±

-С,Шц (ф)пфг,1 - СЧг(п, ф)щи,1^ СI. (4.11)

Проведем рассуждения, позволяющие установить, что интегралы в (4.11) по («ДБ^) П Гд равны нулю. Вследствие ограниченности функции £, очевидно, что для подынтегральной функции второго слагаемого в (4.11) выполнено неравенство

| - С,ац(и)щщ,1 - (шц (ф)ифг,1 - ф)щч,1 \ <

< \ац(и)и+ Шц(ф)ифг,1 + д^(и, ф)щи,1 \ на («Д«) П Гд.

Произвольность выбора функции £, в частности, означает, что граница д«1 может быть взята так, чтобы мера интервала («Д^) ПГо была сколь угодно малой. В то же время левая часть (4.11) не зависит от выбора функции £. Это позволяет утверждать, что интегралы по («БД«) ПГд равны нулю в силу локальной дополнительной гладкости £ в области По П О2 и абсолютной непрерывности интеграла Лебега. Итак, для второго случая инвариантный интеграл имеет вид

СП(Пе; Г)

дв2

(4.12)

В соответствии с замечанием 1, правая часть (4.12) не зависит от выбора срезающей функции £. Следовательно, интеграл (4.12) не зависит от выбора замкнутой кривой д«2. Это означает, что в формуле (4.12) вместо д«2 можно взять произвольную достаточно гладкую замкнутую кривую Ь без самопересечений, ограничивающую некоторую малую окрестность О^(х°), для которой О^ (х°) С ПП(1$ хМ), F = (0,0, 0,0, 0) в ОДх°).

Заключение

В статической задаче о равновесии пластины Тимошенко со сквозной трещиной проведен анализ зависимости функционала энергии от возмущения области, занимаемой пластиной в срединной плоскости. Нелинейность исследованной задачи обусловлена краевыми условиями вида неравенств (типа Синьорини) (1.3), заданными на трещине и моделирующими непроникание противоположных берегов трещины. Найдена формула производной функционала энергии по параметру возмущения (3.3). Приведен ряд примеров, для которых производная функционала энергии представляется в виде инвариантного интеграла по произвольному замкнутому контуру.

Полученные инвариантные интегралы для задачи о равновесии пластины с нелинейными краевыми условиями могут быть использованы в задачах квазистатического роста трещины, оптимизации ее формы и расположения в пластине. Поскольку найденные инвариантных интегралов равны производной функционала энергии, то они могут быть использованы для приближенного отыскания функционала энергии в возмущенной задаче.

Литература

[1] Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

[2] Черепанов Г.П. Механика разрушения горных пород в процессе бурения. М.: Недра, 1987. 308 с.

[3] Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. Самара: Изд-во "Самарский университет". 2001. 562 с.

[4] Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1985. 505 с.

[5] Knowles J.K., Sternberg E. On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics // Archive for rational mechanics and analysis. 1972. V. 44. № 3. C. 187-211.

[6] Sosa H., Herrmann G. On invariant integrals in analysis of cracked plates // International Journal of Fracture. 1989. V. 40. P. 111-126.

[7] Naganarayana B.P, Atluri S.N. Energy-release-rate evaluation for delamination growth prediction in multi-plate model of a laminate composite // Computational Mechanics. 1995. V. 15. № 5. P. 443-459.

[8] Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 196 с.

[9] Лазарев Н.П. Дифференцирование функционала энергии в задаче о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину // ПМиТФ. 2012. Т. 53. № 2. С. 175-185.

[10] Khludnev A.M., Kovtunenko V.A. Analysis of cracks in solids. Southampton-Boston: WIT Press, 2000. 408 p.

[11] Хлуднев А.М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физмат-лит, 2010. 252 с.

[12] Ковтуненко В.А. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67. № 1. С. 109-123.

[13] Хлуднев A.M., Андерссон Л.-Э. Трещина, выходящая на контактную границу. Метод фиктивных областей и инвариантные интегралы // Сиб. журн. индустр. матем. 2008. Т. 11. № 3. C. 15-29.

[14] Рудой Е.М. Инвариантные интегралы в плоской задаче теории упругости для тел с жесткими включениями и трещинами // Сиб. журн. индустр. ма-тем. 2012. Т. 15. № 1. С. 99-109.

[15] Рудой Е.М. Инвариантные интегралы для задачи равновесия пластины с трещиной // Сиб. матем. журн. 2004. Т. 45. № 2. С. 466-477.

[16] Лазарев Н.П. Итерационный метод штрафа для нелинейной задачи о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину // Сиб. журн. вычисл. матем. 2011. Т. 14. № 4. С. 381-392.

[17] Лазарев Н.П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. матем. 2011. Т. 14. № 4. С. 32-43.

[18] Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наук. думка, 1973. 248 с.

[19] Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Наука, 1974. 160 с.

Поступила в редакцию 13/ III/2013; в окончательном варианте — 13/ III/2013.

INVARIANT INTEGRALS IN EQUILIBRIUM PROBLEM FOR A TIMOSHENKO TYPE PLATE WITH THE SIGNORINI TYPE CONDITION ON THE CRACK

© 2013 N.P. Lazarev3

The equilibrium problem for the elastic Timoshenko type plate with a crack is considered. On the crack faces, the non-penetration conditions of inequality type (Signorini type conditions) are given. It is proved that there exist invariant integrals that are equal to the derivative of the energy functional with respect to perturbation parameter.

Key words: crack, Timoshenko-type plate, variational problem, non-penetration condition.

Paper received 13/ HI/2013. Paper accepted 13/ III/2013.

3 Lazarev Nyurgun Petrovich (nyurgunSngs.ru), Scientific Research Institute of Mathematics, North-Eastern Federal University, Yakutsk, 677891, Russian Federation; Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090, Russian Federation.