Метод фиктивных областей в задаче Синьорини для вязкоупругих тел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

МЕТОД ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ В ЗАДАЧЕ СИНЬОРИНИ ДЛЯ ВЯЗКОУПРУГИХ ТЕЛ

Т. С, Попова

В работе рассматривается применение метода фиктивных областей в краевой задаче с односторонними граничными условиями, носящей название задачи Синьорини. Данные условия заданы на части гладкой границы области и имеют вид неравенств. Поскольку заранее считается неизвестным точный вид краевого условия в каждой точке (он определяется только после решения задачи в целом), то подобный тип задач относят к классу задач со свободной границей. Эквивалентной постановкой для краевой задачи является вариационное неравенство. Задача однозначно разрешима. Фиктивная область строится так, что вспомогательная задача ставится в области с разрезом. Тогда система краевых условий, также носящих односторонний характер, задается на берегах разреза. При построении фиктивной области вводится параметр А > 0. Доказывается, что при А задача Синьорини является предельной для семейства вспомогательных задач с параметром.

Метод фиктивных областей в задаче Синьорини для упругого случая рассмотрен в работе [1], исходная задача Синьорини исследована в работах [2,3]. Задачи, приводящие к вариационным постановкам в виде вариационных неравенств, рассмотрены в [4-6]. Краевые задачи с условиями типа неравенств для вязкоупругих тел исследовались в работах [7,8].

1. Задача Синьорини. Рассмотрим ограниченную область Л1 С Д2 с гладкой границей Будем предполагать, что состоит из двух

© 2006 Попова Т. С.

Рис. 1.

непересекающихся кривых Гс и Го, при этом теавГ0 > 0. Обозначим через V вектор внутренней нормали к Г1; V = } (рис. 1).

Обозначим через и = (щ;и2) вектор-функцию, задающую горизонтальные перемещения точек тела П1; и), и) — компоненты тензоров деформаций и напряжений, определяемые из соотношений

— 2 —

ач(и) = а^ы £ы{и), ¡,¿ = 1,2, и = и(х,у), (х,у) €П1, х\ = х, х = У■

Коэффициенты х,у) € удовлетворяют условиям по-

ложительной определенности и симметричности:

2

а^ы^ с|£|2, с > 0, |£|2 = ^^ ^, а^ы = аш^ = а^ы ■ Введем следующие функции:

г

т^г,х,у) = щ(Ь,х,у) + и(т,х,у)3,т, 1=1,2, (1)

о

для малых значений £ € [0 ,Т\, ш = ш).

В цилиндре = П1 х (0, Т) будем рассматривать следующую задачу. Найти функцию и(1, х, у) такую, что

ш) = ¡1, г= 1, 2 в (2)

т) = а,ы £Ы( т), (3)

и = 0 на Г0 х(0,Т), (4)

uv ^ 0, ои(т) ^ 0, а3(т) = 0, и^ • т) = 0 на Гс х (О, Т). (5)

Здесь функции / = (/,/2) € Н1 (О, Т; Ъ20С(Д2)) задают внешние нагрузки. Кроме того,

= <7^ V, а^ - V = {а, V,- }2=1.

Как видно из (3), компоненты тензоров деформаций и напряжений зависят от вектора т = (т^и^), который связан с решением и = (и, иг) формулой (1). Поскольку в (1) производится интегрирование по т от 0 до Т, то эта связь те является локальной по Ь.

Таким образом, уравнения связи (3) при подстановке (1) примут

вид

г

ац{т) = а,ы1 £Ы(и(Ь,х,у)) + ^ а,ы£Ы(и(т,х,у)) ¿т.

о

Полученное уравнение соответствует вязкоупругому состоянию с законом

г

а, = а,ы£ы + J Щы(Ь - т)£Ы{т) ¿т. о

В силу вида ограничений на Гс х (0, Т) задача является нелинейной.

2. Эквивалентная постановка. Пусть Я(П1) — пространство Соболева функций, суммируемых с квадратом вместе со своей первой производной в Л1. Введем пространство

Но(П!) = {и = {и1]и^ € Н1^) | и4 = 0па Г0, ¡=1,2}

и определим множество

К= {и € Но(П 1) | «V > 0 па Гс}.

Множество допустимых перемещений будем рассматривать в виде

К = {и € I? (0,Т;Но(П0) | и(Ь) € К до п. в. Ь € (0, Т)}.

Множество К выпукло и замкнуто.

Докажем теорему о существовании решения вариационного неравенства, которое, как будет показано ниже, является в определенном смысле эквивалентной постановкой краевой задачи Синьорини.

т

J ! ш)£ю (и — и)

Теорема 1. Существует единственная функция и = (и^и^), удовлетворяющая вариационному неравенству т

и € К,

О П!

т

/ ¡^и — уи €К■ (6)

О П!

Доказательство. Пусть V — пространство, сопряженное с Нро(П1). Рассмотрим оператор

А:Ь2 (0 0) ^ Ь2(0,Т^),

который задается формулой т

(A1u;U) = J ! (тц(ш)£ц(и) (ШхА, и € Ь2 (0 ,Т;#г0(^ 1)).

0 П1

Оператор А1, очевидно, линеен и представляет собой скалярное произведение в пространстве Ъ2(0, Т; Нр (П1)), значит, он непрерывен.

>

венство Корна [3]:

J > с\\и\\1 ,Пг , (7)

П!

где — норма в пространстве Н1^).

Вводя билинейную форму

получим выражение для (Аи,и) [7]: т

(Ахи,и) = J ! <Ш\<И + — а у! и(Ь) Л, J и(Ь) Л

О П1 \о о )

Благодаря (7) можем записать (Ли, и)

^ \\и\\Ъ(0,Т-Щ (Пг)). (8)

Таким образом,

(Ли, и)

\ьцо,т-Ж (ПО)

-ГО при \\и\\ь2(0,Т;Я1 (по) ^

Л

Кроме того, используя (8), получаем (Ли - Ли, и - и) = (Л (и - и), и - и) > \\и - и\\|2(0,т.Я1 (ад) ^ 0.

Л

Л

решение вариационного неравенства [6]

т

и €К, (Ли, и - и) ^ J !/(и - и) Уи €К,

О П!

которое совпадает с (6).

Единственность решения задачи (6) вытекает из строгой монотон-Л

Л и - Л и, и - и > и и, и, и € .

3. Существование производной по Ь. Докажем существование производной щ(Ь, х, у), что позволит определять след функций и(Ь, х, у) на каждом сеченпн цилиндра ^ при фиксированном значении Ь. Исследование будем проводить методом конечных разностей.

Выберем произвольное а > 0 и в качестве пробной функции в (6) возьмем

( и в € (г— а,г + а),

и(в) = <

I и(в), в € (г — а,г + а),

где и € К — некоторый фиксированный элемент. После подстанов-

и в а

пределу при а ^ 0. Тогда для почт и всех г справедливо

J и — и(г)) > J ¡(г)(и — и(г)) Уи € К. (9)

П! П!

Перепишем (9) в виде

и — и(г)) > J¡(г)(и — и(г)) г € (о,Т), Уи € к. (ю)

П!

Возьмем сначала в (10) и = и(г + Н), затем запишем (10) в точке г+Н, а в качестве и возьмем и{Ь). Сложим получившиеся неравенства:

а(ю(г + Н) — ю(г),и(г + Н) — и(г)) ^Цг + Н) — ¡{г)){и{г + Н) — и{г)) Шг.

Пг

Н

г+н

= = I I „(т) ¿т> ¡г > 0.

г

В этих обозначениях из последнего неравенства запишем

а(йн,и(Ь) + ЗН1и{г), ¿ни(г)) ¿н¡(г) • ¿ни(Ь)йО,\.

П!

Учитывая неравенства Корна, получим следующие оценки:

¥ни(г)\\?^ < е(Ш(г)Уо^ + Ки(г)\\2^). (12)

Заметим, что для любой гладкой функции ю(г,х,у) имеет место неравенство [8]

т-н т

I Ку(г)\\§^ ¿г \Кг)\\2^ ¿г. (13)

С учетом этого проинтегрируем (12) по i от 0 до T:

T-h /T-h T-h

f \\dh u(t) У? jfil dt < c If \\dhf(t) ||g dt+ f ||dh Ut) fi ,Ql dt

о

T-h

c f \\dh f{t)\\g ,0l +cj \\u(t) \\2 jfii dt. (14)

о о

Запишем (13) для v = ft(t) G L2(Qi):

T-h T

J \\dhJt\\l,0l dt ^J \\ft(t)\\2dt.

о о

Отсюда получим

T-h T-h T

J \\dhm\\2,ni dt= J мл,ni dt ^J um^,fii dt. 0 0 0 Используя полученное неравенство, преобразуем (14):

T-h T T

J \\dhu{t)\\2jfil dt < cj \\Mt)\\gdt + cj \\u(t)\\2^ dt. (15) 0 0 0 Переходя к пределу при h ^0, получим

KW) < c(\\ft\\LQ) + bWWl^OTH^i))). (16)

Таким образом, производная ut(t,x,y) существует.

u

\\U\\l2(o,T;ffi (ад) ^ c\\f \\i2(Qi) . Тогда (16) примет вид

KWW^o.T^^!)) ^ c(\\f\\b(Qi) + W^Wl^)).

Задача (2)-(5) эквивалентна вариационному неравенству (6). Для доказательства достаточно зафиксировать произвольное значение

Рис. 2.

г € (О, Т) и для выбранного г провести рассуждения [7], формальные в том смысле, что для функции и(г, х, у) предполагается существование производных по х, у любого необходимого порядка. Таким образом, задачи (2)-(5) и (6) будут эквивалентны при условии достаточной гладкости решений.

4. Метод фиктивных областей. Расширим область О1 до области Лс, дополняя ее таким образом, чтобы Л1 и добавляемая область П2 не пересекались, при этом Гс задает разрез в области Лс (рис. 2).

Таким образом, Гс является как частью д£1\ = Г1, так и частью 0Л2 = Примем обозначения:

Тогда Пс = П1 и П2 и (Е \ Гс). Тем самым область Лс содержит разрез Гс = Г+ и Г-, который является частью ее границы. Введем в рассмотрение следующие функции:

В области Лс будем решать следующую задачу. Наптп функцию их = (их,и£) такую, что

Гс ПГ1 = Г+, Гс ПГ2 = Г-, Е0 = Г1ПГ2, Г = 0Пс \(Г+ иГ+), Е = Е0\Г.

7-( IVх) = и в^,, г = 1, 2,

(17)

aij(wx) = ajki£kt{wX) в Qc, i,j = l,2, (18)

ux = 0 наГ^ 0,T), (19)

[ux]v > 0, wx) <0, as(wx) = 0, M0,

[ux]v • av{wx) = 0 наГс x(0,T). ^

Здесь приняты следующие обозначения: Qc = ftc x (0,T), [v] = v+ — v- — скачок функции v та берегах разреза Гс, v± — значения функции v та Г± соответственно,

t

wX{t,x,y) = uX(t,x,y) + J u^{T,x,y)dT, i=\,2. (21)

о

Задача (17)—(20) допускает вариационную постановку. Для доказательства введем функциональное пространство H'0(Oc) — про-

c

водные первого порядка из L2(Ос) и равных нулю на Г. Пусть

Kc = {v G H'0(Qc) | [v]v > 0 п. в на Гс}

введем множество допустимых перемещений:

Kc = {v G '0(Qc)) | v(t) G Kc п. в па (0,T)}.

Зафиксируем некоторое Л > 0 и для этого значения Л докажем следующее утверждение.

ux

ющая вариационному неравенству

ux G Кc, uX G L2(0,T;H'0(Oc)),

T T

aij (wx)£b-(u — vx) dt > J J f(u — ux) Шcdt Vu G Kc. ^

0 Qc 0 Qc

Доказательство. Положим t

(Acnx,u) = J J aij{w^ £i:{u)dVL cdt, u G L2(0,T; H ,0(fic)),

0 Qc

Ас — линейный непрерывный оператор, отображающий пространство Ь2(0, Т;И*'0(Пс)) в ^0,Т;Я^ И* — сопряженное с пространством И1 '0(Пс), при этом тх связано с пх формулой (21).

с

Учитывая справедливость (23) и рассуждая аналогично доказатель-

Ас

кроме того, он псевдомонотонен. Тогда существует единственное решение вариационного неравенства

которое совпадает с (22).

Также можно доказать, что функция пх(Ь, х, у) имеет первую производную Ь, х, у), суммируемую с квадратом па (О, Т).

Теорема доказана.

Отметим, что вариационное неравенство (22) является эквивалентной постановкой задачи (17)—(20) при условии достаточной гладкости решений пх(Ь,х, у) по х, у для каждого А > 0. Таким образом, при каждом фиксированном А > 0 мы можем найти единственное решение задачи (17)—(20) из вариационного неравенства (22).

Докажем теперь, что переходя к пределу при А ^0 мы можем получить, что исходная задача Синьорини является предельной для (17)—(20). Для этого покажем справедливость сходимостей

(23)

т

о пс

пх ^ п слабов Ь^О^И1 '0(Пс)), пх ^0 сильно в Ь^О^И1^)), пх ^ п сильно в Ь^О^И1^)).

(24)

(25)

(26)

При этом сужение предельной функции u(t, x, y) на fii совпадает с решением задачи Синьорини в fii.

Подставим пробные функции вида u = О G Кc и u = 2ux G Кc в (22). Найдем

T т

J J ai:(wx)ux) dficdt = J J fux dficdt. (27)

0 fic 0 fic

Отсюда следует, что

т т

J J aijki£ki(wX)£ij(uX) diîidt + ^ J J а^ы£к1(и)х)£^(их) dfl2dt

0 fii 0 fi2

T T

= j j fux dûidt + J J fux dihdt. (28) 0 fii 0 fi2

Отметим справедливость оценки

т

(A2ux,ux) = J J aij (wx)jux) dfi2dt > \\uxfL4oT-,m^))> (29) о n2

которую можно получить, рассуждая так же, как и при выводе (8). С учетом (8) и (29) левую часть (28) можно оценить снизу:

т т

J J aij(wx)£ij(ux)dQ1dt+^ J J а^(тх)е^(их) dil2dt

0 fii о fi2

> ||иЛ||ь2(0,Т;Я1(П1)) + дНмЛ|И2(0,Т;Я1(ВД)- (30)

С другой стороны,

т т т

j j fux dfiidt + y У fux dfi2dt <У (ci\\ux\\i + c2\\ux\\i ,Па ). (31)

о fii о fi2

Используя неравенство Коши в правой части, преобразуем (31) к виду

Т т

fuA dnidi + y J fux dtt2dt

о fii о fi2

т

</(I + ¿4 + ¿lHlï,ni + ¿1И1 ï,n2)<ft- (32)

о

Тогда из (28) при помощи (30), (32) получим

11мЛ||12(0,Т;Я1(П1)) + д 11мЛ||12(0,Т;Я1(П2))

< с3 + Лс4 + -||ma|||2(0iT;Hl(fil)) + ^||MA|ll2(0it;hi(fi2))-

Отсюда

2 11г(л|112(0,т;я1(п1)) + 11г(л||12(0,т;я1(п2)) ^ с3 + с4л.

Таким образом, имеют место оценки

\\иА\Ъ(0,ТН^1)) ^ сь, (33)

\\иА\\Ъ(0,Т-И1 (fi2)) < c%\ (34)

с постоянными 05 и не зависящими от Л. Тогда из (28) получаем

Ûki£ki(wX)£ij(ux) dttcdt = (Aiux,ux) +

Л

о fic

^ 11мл||12(0,т;я1(п1)) + д 11мл||12(0,т;я1(п2)) ^ с11iii2 (0,т;№ (пс)) • (35)

С другой стороны, из (31) следует

т т

У у ¡Vх <у с7||пх||1 ,Пе ¿Ь. (36)

о пс о

По неравенству Коши — Буняковского соотношение (36) примет вид т

У У ¡пх Шс¿Ь < с8 ||пх|^о,т;^^)).

о пс

Тогда из (28), (35) получим

lluA||L2(0,T;ffi(fiс)) ^ c8-Таким образом, из ограниченной последовательности uA можно выделить подпоследовательность (сохраним для нее обозначение uA) такую, что при Л —> О

uA — u слабо в L2 (О, T^^ГУ). (37)

Из (34) следует, что

uA — 0 сильно в L2(0, T; Н1^)). (38)

Значит, предельная функция u равна нулю на S \ Гc.

С помощью полученных сходимостей можно перейти к пределу в вариационном неравенстве (22). Выберем u G Kc таким образом, чтобы

u = Ob П2 X ( О, T), u > 0 на Г+ х ( О, T),

и подставим в (22). Получим

T T

J J aijki£ki{wA)£ij{u) dflidt > J J aijki£Ы{wA)£j(uA) dfiidt 0 fil 0 fil

T TT

+ Л/ J aijkl£kl{wA)£i^uA) dQ2dt+J J f(u-uA) dQtdt-J J fuA dü2dt. 0 fi2 0 fil 0 fi2 Используя сходимость (37) и (38), осуществим переход к нижнему пределу при Л — 0:

T T

J J aijki£ki{w)£ij(u) dQidt > J J ajki£ki{w)£j(u) dfiidt

0 fil 0 fil

T T

+ lim — J J aijki£ki{wX)£ij{uA) diî2dt + J J f(ït — u) dfiidt о fi2 о fii

T T

aijki£ki{w)£ij{u)dfiidt + J J f(u - u) dfiidt. (39)

0 fil 0 fil

Здесь использовано соотношение

т

lim —

а^О А

У J aijki£ki{wA)£ij{иА) dQ2dt >0,

о fi2

которое следует из (29).

Поскольку их € Кс, предельная функция и принадлежит Кс. Тем самым ограничение функции и € Кс на область ( принадлежит множеству Кс.

Тогда (39) можно переписать в виде

который совпадает с (6). Это означает, что сужение предельной функции и на область Qi является решением задачи Синьорини. Докажем теперь, что при А т

А/ J aijki £ki(£ij{ и^ dihdt ^ 0.

о fi2

Вернемся к (28) и рассмотрим верхний предел при А ^0: т

т

т

о fii

о fii

о fi2

т

т

(40)

О fii

О fii

Рассмотрим вариационную постановку задачи Синьорини (6) и подстановкой пробных функций вида П = 0, П = 2п получим равенство т т

J ! {и)№11<И= ! J ¡пШ^г.

О П! О П!

и

задачи Синьорини, последнее равенство мы можем использовать в (40): т

0 < Ит ^ У J а^Ы£Ы(тх)£^(их) dП2сЙ Л^0 о п

т

< Нт ^ J ! а^Ы£Ы(тх)£^(их) сШ2сЙ < 0. о п2

Очевидно, что оба предела в этих соотношениях равны нулю. Таким образом, сходимость (38) можно уточнить, а именно при Л ^0

сильно в Ь2(0,Т; Я1(П2)).

Л

иЛ

(

иЛ ^ и сильно в ^(О^Я1^)). (41)

(

казательства (41) нам необходимо показать, что т т

J ! ацы,£ы{и>Л)иЛ) <Шх& ^ J ! ацЫ£Ы{и)<Ю,х&. (42)

О П! О П!

Из (28) следует

т т

а^ы£ы('шЛ)£ю{иЛ) = ! J ¡иЛ

О П! О П!

т т

о п2 о п2

При переходе к пределу по Л правая часть принимает вид

т

fu dQidt.

О fii

Следовательно,

т т

Urn J j aijki£ki{wx)£ij(ux) dflidt = J j fudflidt. о fii о fii

С другой стороны, как было доказано выше, т т

J J fudflidt = J J aijki £ki{w)£ij{u) dflidt. 0 fil 0 fil

Отсюда следует сходимость (42), а значит, и (41).

ЛИТЕРАТУРА

1. Степанов В. Д., Хлуднев А. М. Метод фиктивных областей в задаче Синьорини. Хабаровск: Дальнаука, 2003. (Препринт/2003/65).

2. Вайокки К., Капедо А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988.

3. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

4. Kbludnev А. М., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.

5. Kbludnev A. M., Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1997.

6. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

7. Popova Т. S. The equilibrium problem for a linear viscoelastic body with a crack // Мат. заметки ЯГУ. 1998. Т. 5, вып. 2. С. 118-134.

8. Попова Т. С. Краевые задачи для уравнений теории упругости с условиями типа неравенств на границе: Дисс. на соиск. уч. степ. канд. ф.-м. наук. Якутск, 1999.

г. Якутск

27 января 2006 г.