Метод фиктивных областей в краевой задаче с нелинейными краевыми условиями Синьорини Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

МЕТОД ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ В КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ С НЕЛИНЕЙНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ СИНЬОРИНИ

3, В, Монаетырева

В работе исследуется вопрос о применении метода фиктивных областей в задаче Синьорини. Суть метода состоит в том, что в более широкой области находятся решения семейства вспомогательных задач, сходящиеся к решению исходной задачи. Отметим, что метод фиктивных областей для краевой задачи может принимать различные формы в зависимости от выбора фиктивной области. Фиктивная область строится так, что новая задача рассматривается в области с разрезом.

Рассмотрим постановку исходной задачи Синьорини. Пусть Л1 С М2 — ограниченная односвязная область с гладкой границей = Гс и Го, Гс П Го = 0, теза Г о > 0. Для простоты предполагаем, что Гс — гладкая кривая, не содержащая своих концевых точек. Обозначим через V вектор внутренней нормали к Г1. В области П1 будем решать задачу Синьорини. В статье В. Д. Степанова и А. М. Хлуднева [1] рассмотрен случай, когда уравнение равновесия имеет вид

— (Ну(аУи) = / в О1

и краевые условия вида

ди ди

и = 0 на Го, и ^ 0, а— ^ 0, и ■ а— = 0 на Гс.

ди дv

В данной работе рассмотрен более общий случай. Именно, требуется

© 2006 Монаетырева 3. В.

найти функцию u такую, что

- div(aVu) + bu = f в Пь (1)

u,

du du

u > 0, a— ^ 0, u • a— = 0 на Гс. (3)

dv dv

Здесь a G (R2), b G (R2), f G Lfoc(R2) — заданные функции, a > c0, c0 = const > 0, b >0. Задача (l)-(3) допускает вариационную постановку. Пусть

Я^ПО = {v G Я1^)| v = 0na Г0}, (4)

где Я1 (ill) — пространство Соболева функций, суммируемых с квадратом вместе с первыми производными в Oi. Введем также в рассмотрение выпуклое замкнутое множество допустимых перемещений:

Kc = {v G ) I М > 0 почти всюду наГс}. (5)

Тогда задача (1)-(3) эквивалентна минимизации функционала энергии

E(v) = ± J (alVvf + bv2) -J fv (6)

fii fii

Kc

онного неравенства:

u G Kc, J (aVuV(v - u) + bu(v - u)) > J f (v - u) Vv G Kc. (7)

fii fii

Поскольку функционал E(v) коэрцитивный и слабо полунепрерывный снизу, то вариационное неравенство (7) имеет решение, причем единственное.

К этой задаче эффективно применяется метод фиктивных областей. Исходную задачу Синьорини должны рассматривать как предельную для некоторого семейства вспомогательных задач с параметром, определенных в более широкой по сравнению с fii области.

Расширим область Oi до области Qc, добавляя фиктивную область fi 2 так, что внешняя граница области fic совпадает с внешней границей области fÎ2- Пусть Г — внешняя граница области fic, которую будем считать достаточно гладкой.

Сформулируем в fic некоторое семейство вспомогательных задач. Положим

f в fi2, (8)

где е — положительный параметр, который впоследствии будет стремиться к нулю.

В области fic будем решать следующую задачу. Найти функцию

п£:

- div(аеVU) + 6пе = f в fic, (9)

И ^ О,

' е дпе dv

пе = 0 на Г, (10)

дп£ дп£

= 0, аЕ— <0, [пе] • аЕ^ = 0 наГс, (11) dv dv

[и] = и+ — и- — скачок функции и на Гс, где и± определяется на Г± в соответствии с выбранным направлением нормали V та Гс. Задача (9)-(11) также допускает вариационную формулировку. Именно, пусть

По) = {V € Пс) I V = 0 па Г}, (12)

К = {у € I [V ^ 0 почти всюду на Го}. (13)

Тогда задача (9)-(11) эквивалентна задаче минимизации функционала

^У|2 + ЬУ2) — | /V (14)

К

венства

ие € К, J (аеУиеУ (у — ие) + ЬиЦV — ие)) ^/(у — ие) Уу € К.

При каждом фиксированном е можно найти из (15) решение задачи (9)—(11), причем единственное. Отметим, что это решение определено в более широкой области и, более того, при е

пе ^ и слабо в ЖПс), (16)

ие ^ 0 сильно в Я1^)- (17)

Осуществим переход к пределу в вариационном неравенстве (15). Выберем V € К таким образом, чтобы V = 0 (при этом V > 0 па Г+), и подставим эту функцию в (15). Далее, переходя к нижнему пределу в обеих частях с учетом (16)^(17) и принимая во внимание очевидное неравенство

1ш1- /(а|Уие|2 + Ьие2) >0, (18)

^ е .]

п2

будем иметь

У (аVuVv + Ьuv) (а|Уи|2 + Ьи2) + J/(V - и). (19)

Так как ие € К, заключаем, что ограничение предельной функции и па область Л1 принадлежит множеству Кс, которое определено в (5). Таким образом, соотношение (19) может быть записано в виде вариационного неравенства, в точности совпадающего с (7). Это означает,

и

задачи Синьорини (1)-(3). Вернемся теперь к дифференциальной постановке задачи и дадим точную интерпретацию краевых условий (11)

с

уравнения (9) в смысле обобщенных функций. В частности,

-Шу^ие) + Ьие = / в Пь -Шу^Vue^ + Ьие = / в П2. (20)

К

< € ЖП), где О = Пс и ГС, а Я(П) = {V € Я^П) | V = 0 на Г}.

Тогда v = пе ± е G ^ и после подстановки v в (15) в качестве пробной функции получим

У (aeVneVp + Ъпер) = У fp. (21)

Из этого соотношения следует равенство

У (aVn£Vp + Ъпер) + i у (aVUVp + Ъпер) = J fp + J fp. (22) fil fi2 fi2 fil

,

,

У aeVwVv = - J vdiv(ae Vw) + /ае дП, Л , (23)

справедливой для всех w G H*(fij), div(aeVw) G L2(f^), v G H*(Oj), где n — внешняя нормаль к а скобки (•, •} i гi обозначают двойственность между сопряженными пространствами HГ^) и H^(ri). При этом ae|w G H"2 (ri). Добавим, что через

г = 1,2, обозначены

пространства функций с нормами

Ni, Ti = Mbw + f У^^ dxdy.

ii

1

Введем также пространство функций H020(Гс) с нормой

i

Ni, г» = (iMlf г a + l v-pj\

г c

где p(x) = dist(x, дГс). Через H002 (Гс) будем обозначать пространство, i

сопряженное к Н020(ГС). Для функции v, заданной на Гс, обозначим

vc

v c,

vc

О HaTj \Гс, г = 1,2. К '

В этом случае V € Нз(Г^) тогда и только тогда, когда V € Н020(Гс). Отметим также, что если V € Н 2 (то можно считать V € Н002 (Гс).

Итак, из уравнений (22) с учетом формулы Грина и уравнений (20) получаем

/ дпЕ+ \ / ди£ - \

1 1

Заметим, что — € Нз (1\). Так как — = 0 на П Гс, то — € Н020(Гс).

Тогда предыдущее соотношение можно переписать в виде

ади£ V ( ди£ \ + \0° , ч

Заметим, что в (26) в качестве — можно выбрать любой элемент из про-1 1 страпства Н020(Гс). Итак, (26) выполняется для всех — € Н020(Гс). Это

означает, что второе условие в (11) выполняется в смысле элементов из пространства Н002 (Гс).

Аналогичным образом можно получить, в каком смысле понимаются остальные условия (11):

ди£ _1

а£ —— ^ 0 в смысле элементов из Н002 (Гс), (27)

ди£ \ \00

= (28)

7 2 ' с

Таким образом, получены точные интерпретации краевых условий па Гс.

ЛИТЕРАТУРА

1. Степанов В. Д., Хлуднев А. М.. Метод фиктивных областей в задаче Синьорини // Сиб. мат. жури. 2003. Т. 44, №. 6. С. 1350-1364.

г. Якутск

2 июня 2006 г.