CC BY
3ОШ МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИНИН ЖАРЧЫСЫ
ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА BULLETIN OF OSH STATE UNIVERSITY
ISSN: 1694-7452 e-ISSN: 1694-8610
№2/2024, 354-360
МАТЕМАТИКА
УДК: 517.928.2
DOI: 10.52754/16948610 2024 2 35
езгече чекитке ээ болгон сингулярдык козголгон дирихленин
МАСЕЛЕСИ
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ С ОСОБОЙ ТОЧКОЙ SINGULARLY PERTURBED DIRrcHLET PROBLEM WITH A SINGULAR POINT
Бекмурза уулу Ыбадылла
Бекмурза уулу Ыбадылла Bekmurza uulu Ybadylla
аспирант, Ош мамлекеттик университети
аспирант, Ошский государственный университет Graduate Student, Osh State University ybekmurzauulu@,oshsu.kg
езгече чекитке ээ болгон сингулярдык козголгон дирихленин
МАСЕЛЕСИ
Аннотация
Илимдин кептеген тармактарында татаал маселелер кичи параметрди кармаган дифференциалдык тецдемелер аркылуу CYреттелет. БелгилYY физиктердин бири: "Эгерде кубулушта кичи параметр жок болсо, анда ал физикалык кубулуш болбойт" деген сездY айткан. Эц жогорку тартиптеги туунду белгисинин астында кичи параметр катышкан дифференциалдык тецдеме (кадимки же жекече туундулуу) сингулярдык козголгон дифференциалдык тендеме деп аталат. Мындай тецдемелер электротехникада, радиотехникада, механикада, гидродинамикада, аэродинамикада ж.б. кездешет. Макала езгече чекитке ээ болгон сингулярдык козголгон Дирихленин маселесинин чыгарылышынын асимптотикасын тургузууга арналган. Алгач маселенин чыгарылышынын асимптотикалык ажыралмасы каралып жаткан кесиндинин бардык чекиттеринде тургузулат, андан соц бул ажыралманын калдык мYчесY бааланат.
Ачкыч свздвр: Дирихленин маселеси, кадимки дифференциалдык тендеме, сингулярдык козголуу, чек аралык катмар, максимум принциби, езгече чекит.
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ ЗАДА ЧА ДИРИХЛЕ С ОСОБОЙ ТОЧКОЙ
Аннотация
Во многих областях науки сложные задачи описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром. Одному известному физику приписывается фраза: «Явление не является физическим, если в нем отсутствует малый параметр». Дифференциальное уравнение (обыкновенные или в частных производных) с малым параметром при старшей производной называют сингулярно возмущенным дифференциальным уравнением. Такие уравнения возникают в электротехнике и радиотехнике, механике, гидра- и аэродинамике и т.д. Статья посвящена построению асимптотики решения сингулярно возмущенной задачи Дирихле с особой точкой. Вначале строится асимптотическое разложение решения задачи на всем отрезке, затем оценивается остаточный член этого разложения.
SINGULARLY PERTURBED DIRICHLET PROBLEM WITH A SINGULAR POINT
Abstract
In many fields of science, complex problems are described by differential equations with small parameters. A famous physicist is credited with the phrase: "A phenomenon is not physical if it lacks a small parameter." Differential equations (ordinary or partial derivatives) with a small parameter at the highest derivative are called singularly perturbed. Such equations arise in electrical and radio engineering, mechanics, hydro and aerodynamics, etc. The article is devoted to the construction of the asymptotics of solving the singularly perturbed Dirichlet problem with a singularly point. First, an asymptotic expansion of the solution of the problem is constructed over the entire interval, then the residual term of this expansion is estimated.
Ключевые слова: задача Дирихле, обыкновенное дифференциальное уравнение, сингулярное возмущение, пограничный слои, принцип максимума, особая точка.
Keywords: Dirichlet problem, ordinary differential equation, singularly perturbed, boundary layer, maximum principle, singular point.
Киришуу
Илимдин кептеген тармактарында татаал маселелер кичи параметрди кармаган дифференциалдык тецдемелер аркылуу CYреттелет [1]-[4]. БелгилYY физиктердин бири: "Эгерде кубулушта кичи параметр жок болсо, анда ал физикалык кубулуш болбойт" деген сездY айткан. Эц жогорку тартиптеги туунду белгисинин астында кичи параметр катышкан дифференциалдык тецдеме (кадимки же жекече туундулуу) сингулярдык козголгон дифференциалдык тецдеме деп аталат. Мындай тецдемелер электротехникада, радиотехникада, механикада, гидродинамикада, аэродинамикада ж.б. кездешет [4; 11]. Макала езгече чекитке ээ болгон сингулярдык козголгон Дирихленин маселесинин чыгарылышынын асимптотикасын тургузууга арналган.
Маселенин коюлушу
Темен^ Дирихленин маселесин изилдейбиз
гу" (x)- xp(x)y'(x)- q(x)y(x) = f (x), 0 < x < 1, (1)
y(0) = a, y( 1 ) = b, (2)
мында г - кичи параметр, p(x),q(x)> 0: xe [0,1]; p,q,f e C [0,1], a,b - const, p( 0) = q( 0) = 1.
(1)- тецдемеде q(x) функциясы каралып жаткан xe [0,1] кесиндиде оц болгондуктан, (1)-(2)- маселенин чыгарылышы жашайт жана жалгыз болот. Бизди (1)-(2)- маселенин чыгарылышы каралып жаткан кесиндиде кичи параметр нелге умтулгандагы абалы кызыктырат.
Эгерде формалдуу тYрде кичи параметрди нелге барабарласак, анда биз козголбогон маселени алабыз:
xp(x)y' (x) + q(x)yQ (x) = - f(x), (3)
y0 ( 0) = a,y0 (1) = b. (4)
(3)- дифференциалдык тецдеме биринчи тартипте, ошондуктан жалпы учурда ал тецдеменин чыгарылышы (4)- чек аралык шарттарды канааттандырбайт. (1)- тецдемеде y'(x)тин коэффициенти xe[0,1] кесиндиде терс болгондуктан классикалык чек аралык катмар бул кесиндинин оц учунда болот, б.а. х=1 чекиттин чеке белинде [4]-[9].
Бирок (1)- тецдемеде езгече чекит х=0 чекиттин чеке белинде. Ошондуктан, (3)-тецдемени интегралдаганда чектик шарттарга кецул бурбай, аны чексиз дифференцирленYYЧY боло тургандай интегралдайбыз:
y0 (x)
f(x) q(x)
+ e
-Q(x)
f
0
f(s) q(s)
?Q(s)ds,
мында
fx
q(t) tp(t)
dt. (5)
Для решения этой проблемы решение первой краевой задачи (1), (2) будем искать в
виде:
у(х) = У(х) + П^) + 2( т) (6)
х х х
мында Г(х^ = ^екук(х), П(t) = пк(t), t = х/ ц, 2(т) = ^екzk(т),
к=0 к=0 к=0
т = (1 -х) / е, ц = \[е.
(5)ти (1)-(2)- маселеге коюуп, теменку маселелерди алабыз:
еУ"(х) - хр(х)¥'(х) - д(х)У(х) = /(х),хе [0,1], V е Сх[0,1 ], (7) П"() - )П) - q(цt)П() = 0, (8)
П(0) = а - V,(0),п2к_1(0) = 0, П2к(0) = -ук(0), Итщ^О = 0,к е N.
г ^х
2"(т) + (1 -ет)р( 1 -ет)2' (т) -щ( 1 -ет)2(т) = 0, (9)
20(0) = Ь - Vo(1), 2к(0) = -Vк( 1), ¡гт 2к(т) = 0.
V(x) функциясын V(х) = ,^^еkVk(х) экендигин эске алып, (7)ден теменку тецдемелерди
к=0
алабыз:
хр( х^'0 (х) + д( х V (х) = - / (х), хр(х^'к(х) + д(х^к(х) = vk_1(х), к е N.
бул тецдемелерди Vk е Сх [0,1] шарты аткарыла тургандай кылып интегралдайбыз, (5) эске алуу менен, теменкYлергее ээ болобуз:
V(х) = -е-2(х) ГхГVo е Сх[0,1 ];
^к(х) = ^^ - е"2(х) \хI\е?('>сЬ, V, е Сх[0,1 ],к е N 7 п(х ) ->0 I п(<) к 1 и
4(х) ^ I
. Ф)
мында _
(8)-маселени карайбыз. П(г) функциясы П(t) = ^|Цкпк(t), мында г = х/ ц
к=0
болгондуктан теменку барабардык орун алат:
< (г) - Ёк X г*Р} п\_(г) - £цк £ = 0, (10)
к=0 к=0 7=0 к=0 7 =0
да 1 да 1
мында р(х) = Ё р}х}, р7 =— Р(])(0), д(х) = Ё д X, д } = — д(])(0).
7 =0 7 ! 7=0 7 !
(10)- барабардыкты жeнeкeйлeштYрeбYз:
к к К(г) - гЁ г Р^'к-/г) - Ё ч^к-/г) = 0,к = 0,1,...
7=0 7=0
же
п (г) - гп'0 (г) - п0 (г) = 0 ,ге (0 ,да), (11)
п0 (0) = а - у0 (0),1т п0 (г) = 0; (12)
г^да
п'к(г) -П(г) - щ(г) = вк(г,%й,...,%_,), г е (0,да) (13)
пк(0) = 0, при k = 2п -1, пк(0) = -уп(0),при k = 2п,1шпк(t) = 0е N, (14)
г ^да
мында
к к
вк(t,%o,...,%к_l,п'к_l)=гЁг]рр'к-(г)+ЁtJдJпk_J(t), ке N,
7=1 7=1
Кадимки дифференциалдык тевдемелердин теориясынан бизге белгилYY болгондой, ¿"(г) - г^(г) - ¿(г) = 0 бир тектYY тевдеменин сызыктуу кез каранды эмес
г
чыгарылыштары ¿1(г) = в' /2, 22 (г) = ё /2 в * /2 й*, ал эми бул чыгарылыштардын
да
вронскианы Ж(21 ,z2 ) = ев /2 болот. Ошондуктан (11)-(12) маселенин чыгарылышы:
2 2 г 2
п0 (г) = ~1= (а - у0 (0))ег/2 Ге~**/2й* болот, мында п0 (г) = 0(Гх),г ^да.
>/п да
Ал эми бир тектYY эмес
г"'
г ^да
'(г)-г2'(г)- ¿(г) = /(г), г е (0,да), г(0) = А, 1тг(г) = 0
маселенин чыгарылышы
2 А ^ 8 ^
2(г)=—г= 22(г)- /(8)е_/2йтйъ + 22(г)/(8болот.
0 ю 0
Аналогиялуу тYPдe (13)-(14) маселелердин чыгарылыштарын жазууга болот. Бул жерде белгилеп кетYY керек, Пк(г) чек аралык функциялар чек аралык катмардын сыртында экспоненциалдуу эмес, даражалуу мYнeздe кемийт, андан сырткары Пк(г)еСю[0,ю), ке^.
(9)- маселеден темен^ маселелерди тYЗYп алабыз
20(т) + р( 1 )2'0(т) = 0, те(0,ю), (15)
20 (0) = Ь - V, (1 ),ИШ20 (т) = 0 ; (16)
2к( т) + р(1)2'к( т) = Ок( Т,20,2 '0 ,...,2к_х ,2\_х), Т е (0,ю), (17)
2к(0) = ^к( 1), Иш2к(т) = 0,к е N. (18)
к к_1 к
мында вк(т,20,20,...,2к_1,2'к_1) = ]2'к_] + ]2'к_]_1 + 2к__
]=1 ]=0 ]=0
~р] = р(У)( 1), = д(^( 1),] = 0,1,... ] ]
(15)-(16), (17)-(18) маселелердин чыгарылыштары жашайт жана жалгыз болот [7]:
20(т) = (Ь _ Vo(1))е_р(1 )т,
2к(т) = ^к( 1)е_р( 1 )т + те"р( 1 )тЙк(т), к е N,
мында Йк(т) - даражасы к га барабар болгон кеп мYчeлeр.
Бул жерде тк(х) чек аралык функциялар х=1 четки чекиттин чеке белинде экспоненциалдуу мYнeздe кемийт жана хк(т)еСю[0,ю), kеNo.
Ошентип биз (6)- чыгарылыштын бардык мYчeлeрYн аныктап алдык. Эми тургузулган (б)-катардын калдык мYчeсYн баалайбыз.
Мейли у( х) = ¥п(х) + П2п (t) + 2п (т) + Rn (х) болсун, мында
п 2 п п
К(х) = \(х), П2пО) = Що), 2п(т) = ^к(т),
к=0 к=0 к=0
Яп(х) - калдык мYчe.
Калдык мYчeгe карата тeмeнкY чек аралык маселени алабыз:
гЯ:(х)_ хр(х)Я'п(х)_ ч(х)Яп(х) = 0(гп+1/2), г^0, 0 < х < 1, (19)
Rn( 0) = 0,Rn( 1) = 0. (20)
(19)-(20) маселеге максимум принцибин [10] колдонобуз:
Rn(x)=0(sn+1/2), s—>0, xe[0,1]. Натыйжада биз темен^ теореманы далилдедик:
Теорема. (1)-(2)- езгече чекитке ээ болгон Дирихленин маселесинин чыгарылышы YЧYн x Е [0,1] кесиндиде
y(x) = £ s kvk(x) + £ цк nk(t) + £ skz() + o(sn+1/2), k=0 k=0 k=0
асимптотикалык ажыралма орун алат, мында t = x / ц, т = (1 — x) / s, Ц = Vs.
Колдонулган адабияттар
1. Shiromani R., Shanthi V., Ramos H. A computational method for a two-parameter singularly perturbed elliptic problem with boundary and interior layers // Mathematics and Computers in Simulation. 2023, Vol. 206, pp. 40-64.
2. Liu Z., Wei J., Zhang J. A new type of nodal solutions to singularly perturbed elliptic equations with supercritical growth // Journal of Differential Equations. 2022. Vol. 339. pp. 509-554.
3. Smith J. Singular Perturbation Theory (Cambridge University press, Cambridge, 1985).
4. Nayfeh A.H. Perturbation Methods, Pure and Applied Mathematics (Wiley-Inter science Series of Texts, Monographs and Tracts, New York, 1973).
5. Tursunov D. A. and Bekmurza uulu Ybadylla Asymptotic Solution of the Robin Problem with a Regularly Singular Point // Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, Vol. 42, No. 3, pp. 613-620.
6. Турсунов ДА. Асимптотическое разложение решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с тремя точками поворота // Тр. ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22. № 1. С. 271-281.
7. Bekmurza uulu Ybadylla, Kozhobekov K.G., Tursunov D.A. Asymptotics of solutions of boundary value problems for the equation sy'' +xp(x)y' - q(x)y = f // EURASIAN MATHEMATICAL JOURNAL. Vol. 13, No 3 (2022), 82 - 91.
8. Kozhobekov K.G., Tursunov D.A. Asymptotic solution of a singularly perturbed Cauchy problem with a turning point // Journal of Mathematical Sciences. 2021. Т. 254. № 6. С. 788792.
9. Kozhobekov K.G., Tursunov D.A., Omaralieva G.A. Asymptotics of the solution of bisingular boundary value problems with a biboundary layer // Журнал Лобачевского по математике. 2023. Т. 43. № 11. С. 3198-320.
10. Protter M.H., Weinberger H.F., Maximum-Principles in Differential Equations (Diff.Equat.Ser. Prentice-Hall, Inc. X, N. J., 1967).
11. Бекмурза Уулу, Ы. Эзгече чекитке ээ болгон сингулярдык козголгон чектик маселенин чыгарылышынын асимптотикасы / Ы. Бекмурза Уулу // Вестник Ошского государственного университета. - 2023. - No. 4. - P. 87-95. - DOI: 10.52754/16948610_2023_4_10. - EDN: DQLNIP.
