Здійснення чисельного наближеного зворотного перетворення Лапласа загасаючих коливань під час неруйнівного контролю імпульсним вихрострумовим методом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 620.179.14 Доц. А.М. Яцун, канд. техн. наук - Львiвський

шщональний аграрний ушверситет

ЗД1ЙСНЕННЯ ЧИСЕЛЬНОГО НАБЛИЖЕНОГО ЗВОРОТНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА ЗАГАСАЮЧИХ КОЛИВАНЬ П1Д ЧАС НЕРУЙН1ВНОГО КОНТРОЛЮ 1МПУЛЬСНИМ ВИХРОСТРУМОВИМ МЕТОДОМ

Подано iнтерполяцiйний метод послщовних наближень чисельного обернення перетворення Лапласа, який вiдрiзняeться вiд вiдомих методiв формою штерполя-цiйних членiв i пристосований до аналiзу iнформативних перехщних величин у фор-Mi згасаючих коливань, якi виникають пiд час iмпульсного електромагнiтного контролю електропровщних феромагнiтних об'eктiв.

Актуальнicть. За анашзу чутливостей шформативних величин пер-винного вим1рного кола до параметр1в об'екта контролю з метою виявлення оптимальних моменпв часу для вщбору i розв'язки багатопараметрово! ш-формаци виникае необхщшсть чисельного обернення перетворення Лапласа для отриманих розв'язюв [7] за 1мпульсного електромагштного контролю електропровщних феромагштних матер1ал1в i вироб1в.

Аналiз останшх доcлiджень. Задача наближеного обернення перетворення Лапласа виникае за необхщност довести розв'язок до чисельно! форми для випадку, коли юнуюч1 таблиц функцш та !х зображень не дають можли-вост знайти оригшал за зображенням або вимагають дуже велико! кшькосп обчислень.

Можливють вщновлення оригшалу ft) за операторним зображенням Ф (p) за Лапласом можна розглядати як задачу розв'язку штегрального р1в-няння першого роду

<х>

J е-р1А(1:)&=Ф(р), (1)

о

яка належить до класу некоректних задач. Цю задачу можна розглядати та-кож як обчислення штеграла, який визначаеться формулою Меллша

1 c+j<x>

f(t)=— J Ф(р)ер^р, (2)

2П c-jx

проте знайти точний вираз останнього штеграла через вщом1 функци вдаеться лише для обмежено! кшькосп простих зображень. Тому доводиться будувати методи чисельного знаходження цього штеграла. Але й остання задача достатньо складна.

Тобто головною перепоною швидкому розв'язанню задач! обернення перетворення Лапласа е неминуча складшсть математичного апарату обернення i нестшюсть проблеми обернення щодо змш функци-зображення. З ш-шого погляду, функщя Ф (p), що знаходиться тд знаком штеграла, не е до-вшьною, а зображенням з певними вщомими властивостями [1]. Це певним чином спрощуе обчислення iнтеграла (2), оскшьки властивостi функци-зоб-раження можуть бути наперед враховаш при по6удов! правил чисельного обернення перетворення Лапласа.

Вiдомi програми чисельного обернення перетворення Лапласа iз звич-ною i подвоеною точшстю за допомогою iнтерполяцiйних квадратурних формул з рiвновiддаленими вузлами або щонайвищого ступеня точностi, поданi в [4] для рiзних показникiв швидкост збiжностi перетворення до нуля шд час видалення на нескiнченнiсть аргументу перетворення, характеризуются не-достатньою точшстю i невиправданою вiдносною складнiстю розрахунку. Це пояснюеться тим, що iз зростанням кiлькостi вузлiв штерполяци зростають модулi коефiцiентiв iнтерполяцiйного многочлена. I оскшьки дiйснi частини цих коефщент1в мають рiзнi знаки, то у випадку, коли функщя-зображення задана не досить точно, за обчислень спостершаеться зникання значущих цифр. Тому зростання абсолютних значень коефщенлв iнтерполяцiйного многочлена iз зростанням кiлькостi вузлiв вимагае дедаш точнiшого подання значень зображення. О^м цього, з погляду точност результату доцшьт-шим е вибiр вузлiв штерполяци на пiдставi характеру функци-зображення, порiвняно з рiвновiддаленими вузлами або з вузлами, рiвними кореням будь-яко! системи ортогональних многочлешв, зокрема многочленiв Чебишева першого i другого роду, многочленiв Лежандра i Якобi, коли функцiя Чебишева е граничною функщею розподiлу [4].

У [7] визначеш в операторнш формi основнi величини (напруги i стру-ми) первинного вимiрного кола для видiлення корисно! шформаци про об'ект контролю на елементах первинного вимiрювального кола (збудливiй i вимь рювальнiй обмотках) вихрострумового перетворювача у перехщному режимi, а в [8] подане наближене чисельне обернення перетворення Лапласа аперь одичних перехщних величин за неруйшвного контролю iмпульсним вихрос-трумовим методом.

Виклад основного матерiалу

1. Характеристика шформативносп функцп зображення. Переваж-но для опису найзагальнiших закономiрностей поведiнки або просторового розподiлу певно! величини, особливо за аперiодичного перехщного режиму, цiкавляться лише значенням або розподшом дослщжувано1 величини в по-чатковий момент часу i за усталеного режиму, а також е^валентною пос-тiйною часу перехiдного процесу. Цю шформащю можна отримати безпосе-редньо з перетворення дослщжувано1 величини, не вдаючись до обернення и перетворення. Тому зосередимось на тих властивостях функци-зображення, якi дають загальну характеристику оригiналу i надалi можуть бути покладеш в основу побудови методу штерполяци перетворення.

У подальших викладках обмежимося таким класом функцш-зображень Ф (р), коли функци-оригшали _/({) безперервнi, мають кiнцевi межi ^ i шд час спрямування 1 вiдповiдно до 0 i да i абсолютно штегроваш за приростом стосовно свого усталеного значення у межах вщ 0 до да, тобто юнуе штеграл

0

який виконуеться для широкого класу функцiй, зокрема для бшьшост^ що трапляеться в додатках до iмпульсного електромагнiтного контролю.

(3)

За накладених вище умов на функцiю-оригiнал вщповщна 1и функщя-зображення сходиться на нескшченност до нуля з показником швидкост [4] не нижче одинищ. З властивостей перетворення Лапласа [1] вщомо, що

fo=limp ^юрФ(р)=11тр^юР(р)=Роо

i fю=1imp^opФ(p)=1imp^oF(p)=Fo, (4)

де Р(р) = рФ(р) - перетворення за Карсоном.

О^м цього, з теореми штегрування оригiналу [1] i зв'язку граничних значень зображення i оригшалу (4) витiкае, що

, (5)

p=0

тобто похiдна вщ перетворення за Карсоном при р = 0 визначае площу, обме-жену за ординатою оригiналом i його кiнцевим значенням, а при £»=0 - площу оригiналу.

Отже, для отримання початкового значення або просторового розподь лу будь-яко1 величини i значення або розподшу И за усталеного режиму необ-хiдно помножити перетворення Лапласа дослщжувано1 величини на р i в одержаному вираз^ тобто в перетворенш Карсона, виконати граничний пере-хщ вiдповiдно при p ^да i p ^ 0. Останнш граничний перехщ для опису усталеного режиму справедливий лише за прийнято1 вище умови, коли досль джувана величина мае межу при t ^да.

2. 1нтерполяцшний метод послвдовних наближень. У загальному випадку виникае потреба визначення перехщно1 величини у довшьний момент часу, що потребуе обернення И перетворення. Для спрощення чисельно-го обернення перетворення Лапласа доводиться штерполювати функщю-зоб-раження. Враховуючи поведшку розглядуваного класу зображень на нескш-ченностi, аналогiчно [4], штерполюватимемо перетворення за Карсоном шу-каного оригiналу. За штерполяци Р(р) можна розпорядитися вибором вузлiв рi, в яких беруться значення РфО, а також вибором функцш фк, покладених в основу штерполяци.

Виршуючи задачу вiдшукання оригiналу для вЫх значень його аргументу на позитивны пiвосi, з погляду точност результату вельми доцiльно вибрати вузли штерполяци так, щоб одержати, за можливютю, на всiх дшян-ках мiж двома сусiднiми вузлами приблизно однаковий за модулем прирют зображення (зшмати iз зображення рiвномiрну шформащю на всш дiлянцi його помггного вiдхилення), що мае явну перевагу порiвняно з вiдомим методом [4], що використовуе рiвновiддаленi вузли, слабо пов'язаш з характером функци-зображення. Однак ця умова спричинюе ютотне збiльшення об'ему розрахункiв. Тому варто зупинитися на вузлах штерполяци, як складають ге-ометричну прогресiю в област помiтного вiдхилення функци-зображення.

Вибiр штерполяцшного многочлена диктуеться вимогою простоти й однотипност побудови його складових - функцш штерполяци фк, як оберта-лися б в оригшал як табличнi зображення. При цьому повинна забезпечувати-ся простота чисельного розкладання функци-зображення за функщями штер-

J[f(t)-f»]dt=1im

F(p)£ P

dp

поляци з необхщним ступенем точностi на шдставi вибраних вузлiв штерполяци. Зазначеним умовам для перетворення загасаючих коливань, як стане видно надаи в процес викладу пропонованого методу обернення, вщповща-ють зображення синусощально! функци i степеневi функци.

Тому з урахуванням властивостей функци-зображення (п. 2), штерпо-ляцшний многочлен для перетворення за Карсоном загасаючих коливань на-бувае вигляду:

)_ Ср(р+д) + ^ Акр (р+5)2+ю2 ¿3 (р+5к )

де ак > 1, а коефщенти С i д, колова частота ю i коефщент загасання 8 у ви-разi (2) визначаються iз тако! системи чотирьох рiвнянь:

Ф(р_0) (5 2+ю2) _Сд;

Ф(p_pj-l) (рЯ+5)2+ю21 _С (pj-l+q);

ф(р)_т™т+1т^, (6)

Ф(р_р [(^+5 )2 +ю2 ] _С (р j+q);

ф(p_pj+l) (Pj+l+5)2+ю2 _С (pj+l+q),

яка складена з умови рiвностi площ, обмежених оригiналом ) i його першим наближенням /$) (перше рiвняння), а три наступнi рiвняння виражають збiг зображення ф(р) i його першого наближення ф1(р) у трьох точках: Р|-1, p■j i Pj+1, причому в точщ з абсцисою pj рiзниця ф(р^-ф^) набувае максимального за модулем значення. Одночасно перший член у правш частит (6) визначае початкове i кiнцеве значення функцiй зображення i оригiналу.

Тодi ^Ащ^шИ+Р), (7)

де: А^С^^+ю2/ю; р_аг^ [ю/ (q-5)].

Зупинимося на алгоритмi послщовного визначення решти членiв ш-терполяцшного многочлена.

Виберемо вузли штерполяцир1,р2,...,ри...,рп так, щоб вони складали зростаючу геометричну прогресш iз знаменником q > 1, тобто р; _ p1•q(i-1), i охоплювали всю область помпно! змши Р(р). Для визначення другого члена в (6) обчислимо значення зображення

ф2(р)_ф(р)-Ср^)/[(р+5)2+ю2 ] (8)

у вибраних вузлах штерполяци, тобто ф2(рi). Серед уЫх вузлiв штерполяци видшимо три, що знаходяться поряд: вузли pi i рi+1, виходячи з умови, щоб при вЫх т Ф i i 1 < т < п |ф2(рО| > |ф2(рт)|. Це завжди можливо, оскiльки ф2(0) _ ф2(да) _ 0. Тодi на пiдставi (6) за почленного наближення одержимо умови штерполяци другого члена:

ф2(рь0_——; ф2(рЛ_—Ар—; ф2(pi+1)_—А-2р1!—. (9)

^1 (р^Г ' ^^ (^Г2 ^ 1 (Pi+1+52)a2 ^ 7

(10)

Функщя ф2(р)=——2Р— мае максимум при р = р0 = 62/(а2-1). Проте за (р+52)а2

умовою р! = р0. Тому 62 = р! (а2-1). О^м цього, р!-1 = рi/q i р!+1 = рiq. Тодi система (8) зводиться до умови

ф2(РР = Г (a2+q-1) [q(a 2-1)+1]П а2

|ф2(Р1-1)Ф2(Р1+1) qa 2 .

За початковою умовою 1 < а2 < да i 1 < q < да. Якщо позначити праву частину (10) через то Нш а2 ^ш(а2)=1; Нш а2 ^юу2(а2)=еч-2+1/ч.

Тому трансцендентне рiвняння (10) мае розв'язок за умови

1< -Ф^РО-^-^М (11)

|ф2(Р1-1)ф2(Р1+1)|

Тобто задача штерполяци зводиться до розв'язання трансцендентного рiвняння (10), iзольований корiнь якого а2 може бути визначений на ЕОМ (методом Довелла [6]) за вщповщною програмою. Пiсля цього визначаються й iншi два коефiцiенти iнтерполяцiйного члена ф2(р):

§2=Р1(а2-1); —2= ф2(Р1)(Р1+82)а^Р1. (12)

Якщо р! Ф р0, то тодi спочатку визначаеться 5з iз рiвняння

1п фз^)2 1п РJ+53 =1п Фз(РJ+l) 1п (pJ+q5з)(qpJ+5з), (13)

а пот!м

Фз(РJ+l)fз(РJ-l) qРJ+5з qфз(РJ) q(РJ+8з) аз=1п i Аз= фз(Р^+5з)аз/^.

qфз(РJV qpJ+5з

Зазначимо, що процес штерполяци здiйснюеться тим швидше, чим бiльше у2(а2). Проте цим не варто цим зловживати, бо за великих значень вщзначено! величини вщбуваеться випучення м!ж вузлами штерполяцшного многочлена стосовно функцп-зображення. З цього погляду доцшьно, наприк-лад при q = 10, обмежитися значенням ^2(а2) < 100, оскшьки шакше обме-жуеться точшсть штерполяци.

Якщо при вибраному q умова (11) не витримуеться, то слщ додатково задатися значенням у2(а2), змшивши його у бж зменшення, або, в крайньому випадку, збшьшити q, що пов'язано !з зниженням точност результату. Така ситуащя переважно виникае тод!, коли темп змши функци-зображення на ок-ремих И дiлянках р!зко вiдрiзняеться вщ характеру змши степенево! функци, покладено! в основу побудови штерполяцшного многочлена. При виникненш тако1 невiдповiдностi на багатьох промiжках штерпольованого зображення доцшьно застосувати для штерполяци шш! функци, 6лижч! до перетворення, що обертаеться.

Аналопчно визначаеться наступний член (т) iнтерполяцiйного многочлена на пiдставi значень зображення фЩрО у вЫх вузлах штерполяци:

Аш-1Р ( ч Cp(p+q) Ш-1 — кР (14)

фш(Р)=фш-1(Р)- ^ 1 =ф(Р)- ' 2 2 7-^. (14)

(Р+5ш-1)аш-1 (Р+5)2+ш2 к=2 (р+5к)

Вибiр кшькосп членiв ф(р) пiдпорядкуемо умовi, щоб при Яер > 0

Р(р) - ф(р)| < в, (15)

де в - позитивне число, що визначае допустиму похибку штерполяци.

Остаточно пiсля обернення (6) за таблицею вщповщносп зображень i оригшашв [2] одержимо:

п А

ед_А1теЛЬМ+Р)+^ —^ t ак-1e-5кt+Rn(t), (16)

к_2 Г(ак)

де Г(х) - гaммa-функцiя, Я„(¿) - залишковий член.

3. Питання збiжностi iнтерполяцií i обернення перетворення Лапласа методом послвдовних наближень. Зважаючи на нестiйкiсть проблеми обернення перетворення Лапласа, розглянемо деяк питання збiжностi штер-полювання i обернення перетворення методом послщовних наближень.

Позначимо через Я„(р) похибку штерполяци функцп Р(р). Тодi ^Р(р) _ ф(р) + Я„(р) i з урахуванням зв'язку мiж перетвореннями за Лапласом i Карсо-ном на пiдстaвi (2) вираз для залишкового члена штерполяцшно! квадратурно! формули (16) наближеного чисельного обернення перетворення Лапласа набувае вигляду

1 с+)<» л

Rn(t)_-1-т \ etprn(p)dP. (17)

2П с^да р

За чисельно! iнтерполяцii перетворення Карсона методом послщовних наближень, викладеним в п. 3, iз зростанням кшькост членiв штерполяцшно-го многочлена похибка штерполяци монотонно спадае, оскшьки процес ш-терполяцii здiйснюеться за максимальною похибкою у вузлових точках перетворення. Тому можна стверджувати, що тд час прямування до нескшчен-ност кшькост вузлiв i члешв iнтерполяцii залишок iнтерполяцii Я„(р) сходи-тиметься до нуля рiвномiрно щодо р, тобто для будь-якого в > 0 знайдеться такий номер К, не залежний вщ р, що для п > N буде ^„(р) < в. Тодi

Ф' (р+5)2+ю2 ¿(р+5, )а"'

1 с+)ю да А

2П)с-)» к_п+1 (р+5к )

Внaслiдок рiвномiрноi збiжностi Я„(р) пiд час прямування до нескш-ченностi кiлькостi вузлiв i членiв iнтерполяцii ряд пiд знаком штеграла в ос-танньому вирaзi також рiвномiрно сходиться до нуля. Тому можливе почлен-не штегрування [3], пiсля виконання якого одержимо:

да а

Rn(t)_ I 1aк-1e-5кt.

к_п+1 Г(ак)

I остаточно вираз (15) набувае вигляду

¥ А

f(t)_Alme-5tsin(юt+p)+1 —^ t aк-1e-5кt. (19)

к_з Г(ак)

Таким чином, штерполяцшний квадратурний процес обернення перет-ворення Лапласа, побудований за методом послщовних наближень, сходиться до орипналу.

Висиовки:

1. Окреслет головт причини, як перешкоджають швидкому виршенню проблеми наближеного обернення перетворення Лапласа.

2. Вщом1 на сьогодт методи i програми чисельного обернення перетворення Лапласа [4, 5] володтоть низкою ютотних недолiкiв. Тому задача чисельного обернення вимагае подальшого вдосконалення i розвитку стосовно окремих клашв зображень та у напрямi усунення виявлених недолiкiв.

3. Розкрито загальну характерну iнформативнiсть функцп-зображення, яка визначаеться зв'язком граничних значень зображення i оригiналу та рiв-нiстю мiж приростом площi оригiналу i похщною вiд зображення за параметром перетворення за нульового значення останнього.

4. Виходячи з нерiвномiрноl шформативносп зображення щодо оригiналу, запропонований штерполяцшний метод послщовних наближень з штер-поляцiйними вузлами.

5. З урахуванням висловлених властивостей функци-зображення вибраний штерполяцшний многочлен у формi зображення синусоидально! функци i несюнченного ряду степеневих функцiй, як обертаються в оригшал як табличнi зображення.

6. Визначена необхщна умова iнтерполяцii запропонованим методом i вик-ладенi рекомендацii з вибору знаменника геометрично! прогресii для вуз-лiв iнтерполяцii.

7. Показано, що внаслщок рiвномiрноi збiжностi похибки iнтерполяцii пiд час прямування до несюнченносп кшькосп вузлiв i члетв iнтерполяцii квадратурний процес обернення перетворення Лапласа, побудований за запропонованим методом послщовних наближень, сходиться до орипналу.

Лггература

1. Арамаиович И.Г. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / Г.Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц. - М. : Изд-во "Наука", 1965. - 392 с.

2. Диткии В.А. Справочник по операционному исчислению / В. А. Диткин. - М. : Изд-во "Высш. шк.", 1965. - 465 с.

3. Кори Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) : пер. с америк. / Т. Корн. - М. : Изд-во "Наука", 1977. - 832 с.

4. Крылов В.И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа / Н.С. Скобля. - М. : Изд-во "Наука", 1974. - 224 с.

5. Жаврид Н.С. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ / Л.В. Матусевич, Л.И. Матюшенкова. - Минск : Ин-т математики АН БССР, 1976. - Вып. 11. - 172 с.

6. Dowell M. The "pegasus" method for Computing the root of an equation / P. Yarrott // BIT, 1972. - Vol. 12, № 4. - P. 503-508.

7. Яцун А. Видшення шформацп вихрострумового перетворювача на елементах первинного вимiрювального кола у перехщному режимi / М. Яцун // Теоретична електротехтка. 2005. - Вип. 58. - С. 183-188.

8. Яцун А.М. Наближене чисельне обернення перетворення Лапласа аперюдичних перехщних величин при неруйшвному контролi iмпульсним вихрострумовим методом / М. А. Яцун // Вюник Нацюнального ушверситету "Львiвська полггехшка". - 2009. - № 654. - С. 285-290.

Яцун А.М. Осуществление численного приближенного обратного превращения Лапласа загасающих колебаний во время неразрушающе-го контроля импульсным вихропоточным методом

Подан интерполяционный метод последовательных приближений численного вращения превращения Лапласа, который отличается от известных методов формой интерполяционных членов и приспособленный к анализу информативных переходных величин в форме погасающих колебаний, которые возникают во время импульсного электромагнитного контроля электропроводных ферромагнитных объектов.

Yatsun A.M. The realization of numerical approximate inverse Laplace transformation of damped vibrations by eddy-current pulse method of nondestructive testing

The interpolation method of numerical approximate Laplace transformation, which differs from known methods the form of interpolating terms, and adapted to the analysis of informing transitional values in the form of dumped oscillations occurring for pulse electromagnetic testing of ferromagnetic objects have been presented.

УДК 630*5 Студ. 1.Л. АлексЮк;

доц. Г.Г. Гриник, канд. с.-г. наук - НЛТУ Украти, м. nbsis

МАТЕР1АЛЬНО-ГРОШОВА ОЦ1НКА Л1СОС1КИ, ЗАПРОГРАМОВАНА В СЕРЕДОВИЩ1 DELPHI

Описано програму для здшснення матерiально-грошовоi оцшки люоаки, розроблено'1 в середовищi Delphi. Обчислення можна проводити для рiзних часток порщ у складi насадження. Також програма дае можливють визначати середнш роз-ряд висот i здшснювати розподш дерев за категорiями техшчно'1 придатносп як для вибiркового (за потребою техшчного завдання чи специфшацп), так i для автоматичного режимiв.

Ключов1 слова: матерiально-грошова оцшка, категорп техшчно'1 придатностi деревини, розмiрно-якiснi категорп деревини, розряди висот.

Вступ. Найбшьш важливим завданням у господарськш д1яльносп л1-сових тдприемств е вирощування деревини. Щор1чно для потреб нацюналь-ноi економ1ки в Укршш заготовлюеться близько 9 млн м деревини в1д догля-дових, саштарних та реконструктивних рубань, приблизно 6 млн м3 - п1д час проведення головних та люовщновних рубань.

Вщведення i таксац1я л1сос1чного фонду е важливою ланкою процесу заго^вл! деревини шд час зд1йснення р!зних вид1в рубань. При цьому шд л1-сос1чним фондом розум1ють запаси деревини, яких щор1чно заготовлюють у процес головного рубання л1су та проведення рубань, пов'язаних з веденням люового господарства. Величина призначеного на рж л1сос1чного фонду для кожного люового п1дприемства називаеться розрахунковою люосжою. Що-р1чний розм1р л1сос1чного фонду затверджуеться Кабшетом М1н1стр1в Укра-ши, виходячи з розм1ру встановленоi розрахунковоi л1сос1ки.

Пiдпрограма "WIN-32". П1дпрограму розроблено для здшснення ма-тер1ально-грошовоi оцшки л1сос1ки. Може використовуватися також i як самост1йний програмний продукт. Вона характеризуеться легюстю п1д час використання, водночас виконуе низку складних як обчислювальних, так i лог1чних операцш.

В основу цiеi програми увшшли д1юч1 сортиментнi таблицi Л. Нштна (1984 р.). Ц1 таблицi не змшювалися при розро6ц1 цiеi програми i можуть використовуватися безпосередньо на виробництвь Також, за рахунок програм-