Чисельне інтегрування табличних функцій для однієї змінної з використанням многочлена Тейлора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.056.5:517.[3+4+51]

ЧИСЕЛЬНЕ 1НТЕГРУВАННЯ ТАБЛИЧНИХ ФУНКЦ1Й ДЛЯ 0ДН1С1 3М1НН01 3 ВИК0РИСТАННЯМ МНОГОЧЛЕНА ТЕЙЛОРА

Ю.1. Грицюк1, Я.П. ДраГан2

ОбГрунтовано можливiсть чисельного iнтегрування табличних функци для однieí змiнноí з використанням многочлена Тейлора. Встановлено, що у багатьох практичних задачах не завжди вдаеться виразити первiсну вщ пiдiнтегральноí функци через елемен-тарш функци. Розроблено метод чисельного штегрування таблично!' функци для однiеí змшно!' з використанням многочлена Тейлора. Розроблено алгоритм обчислення площi плоско! фЬури, задано! двома табличними функцiями для одше!' змiнноí з використанням многочлена Тейлора, а також розроблено алгоритм обчислення довжини дуги плоски кривой задано'1 табличною функщею для однiеí змiнноí. Наведено конкретш прикла-ди обчислення iнтегралiв - неозначеного i означеного, а також обчислення площi та довжини дуги плоски фiгури.

Ключов1 слова: таблична функщя для одше1 змшноц чисельне iнтегрування табличних функцш; многочлен Тейлора; iнтерполяцiйний многочлен; обчислення площi плоскоí фiгури; обчислення довжини дуги плоски кривой

Вступ. При вирiшеннi проблем програмно! шженери iснуe багато прик-ладних задач, у математичному формулюванш яких виникае потреба обчислення iнтегралiв - неозначених i означених, одинарних, подвшних i потрiйних, криволiнiйних i за поверхнею та iн. Найважливiшi з таких задач полягають в обчисленш: площi та довжини дуги плоско! ф^ури; об'ему тiла за ввдомими площами поперечних перерiзiв чи тша обертання; площi поверхнi будь-якого тша чи тiла обертання; статичних моментав i моментiв iнерцii плоских дуг i фь гур; координат центра ваги; роботи i тиску [1]. В таких задачах деяка шдштег-ральна функцiя у процесi виконання шженерних розрахункiв часто подаеться у виглядi таблицi. При цьому незалежш змiннi, що вiдповiдають за Г! площу, об'ем чи iн., визначаються з системи рiвнянь, яку можна отримати шляхом при-рiвнювання до нуля частинних похвдних функци мети за цими змшними.

Дуже часто потреба обчислення штегралу таблично! функци е промiж-ним етапом у процес розв'язання то! чи шшо'Г iнженерноi задачi. Так, нелiнiйна модель стану об'екта (який описуеться системою нелшшних алгебричних рiв-нянь) може мiстити одну або декiлька функцш, як задано в табличному вигля-дi. Наприклад, якщо елементом об'екта е спресована деревина з характеристикою Р = ф[х] (х - величина деформаци деревини; Р - сила, що викликае цю де-формацiю), яку задано у виглядi таблицi вiд однiеi змшно!, то рiвняння Р = ф[х] = 0 буде одним з рiвнянь нелiнiйноi системи стану цього об'екта. Застосування методу Ньютона для розв'язання ще! системи рiвнянь вимагатиме обчислення такого штегралу | /[х]1х.

Свого часу було розроблено значну кшьюсть методiв i алгоритмiв чисельного iнтегрування як аналггичних, так i табличних функцш для одше!, двох i трьох змiнних з використання рiзних квадратурних формул [2, ст. 355]. Однак

1 проф. Ю.1. Грицюк , д-р техн. наук - НУ " Льв1вська пол1техтка";

2 проф. Я.П. ДраГан, д-р ф1з.-мат. наук - НУ " Льв1вська полггехшка"

спробуемо дещо удосконалити методику чисельного iнтегрування табличних функцш, особливо ii матричнi алгоритми, позаяк вона мае ще багато прихова-них можливостей. Тому розроблення надшно! матрично! системи чисельного штегрування табличних функцiй для одше!, двох i трьох змiнних з використан-ням многочлена Тейлора е актуальним науковим завданням, результати реалiза-ци якого продемонстровано в цiй робота.

Об'ект до^дження - чисельне штегрування табличних функцш з вико-ристанням многочлена Тейлора.

Предмет до^дження - методи i алгоритми чисельного штегрування табличних функцш для одше! змшно! з використанням многочлена Тейлора, яка дасть змогу обчислити площу та довжину дуги плоско! ф^ури.

Мета роботи полягае в розробленш надшно! матрично! системи чисельного штегрування табличних функцш для одше! змшно! з використанням многочлена Тейлора, що загалом дасть змогу обчислити як неозначет та означет iнтеграли, а також визначити площу та довжину дуги плоско! ф^ури.

Для реалiзацii зазначено! мети по^бно виконати такi основнi завдання:

1) навести постановки задач чисельного штегрування табличних функцш, яю використовуються для обчислення неозначених i означених iнтегралiв;

2) розробити метод чисельного штегрування таблично! функцй для одше!' не-залежно! змiнно!, який дасть змогу обчислити як неозначений, так i означений штеграл;

3) розробити алгоритм обчислення пгсвд плоско! фпури, задано! двома таблич-ними функц1ями для однie! змшно!' з використанням многочлена Тейлора;

4) розробити алгоритм обчислення довжини дуги плоско! криво!, задано! табличною функщею для одше! змшно'! з використанням многочлена Тейлора;

5) зробити вщповщш висновки та надати рекомендацп щодо використання.

1. Постановки задач чисельного штегрування табличних функцш

Нехай необхвдно обчислити штеграл

b

I = f f[x]dx . (1)

a

З курсу вищо! математики [1, ст. 261; 2, ст. 349] вщомо, що для функцп fx], неперервно! на вiдрiзку [a, b], штеграл (1) юнуе та визначаеться за формулою Ньютона- Лейбнща

bb I = \f[x]dx = F [x]| a = F[b]-Fla], (2)

a

де F[x] - первюна для функцй fx]. Однак для бшьшосп практичних задач пер-вiсну F[x] не завжди вдаеться виразити через елементарш функцй'. В шженер-них розрахунках функцiя fx] часто задаеться як аналогично, так i у виглядi таблиц Г! значень для певних значень аргумента. Все це створюе можливiсть використання наближених методiв обчислення штеграла (1), якi умовно подшяють-ся на аналiтичнi та числово Аналiтичнi методи, за своею сутшстю, полягають у точнiй чи наближенш побудовi первiсно'i F[x] та подальшому використаннi формули (2). 4urnoei методи ж дають змогу безпосередньо знайти числове зна-

чення штеграла, базуючись на вiдомих значеннях шдштегрально! функци (а ш-коли i на И похiдних) у заданих точках, якi називають вузлами. Тут розглядати-мемо тiльки числовi методи штегрування табличних функцiй. Сам процес числового визначення штеграла називаеться квадратурою, а вщповвдш формули -квадратурными формулами.

Постановки задач чисельного штегрування табличних функцш з одшею, двома чи трьома незалежними змшними загалом формулюються в одному з таких двох варiантiв [2, ст. 349].

Задача 1. Для таблично!' функци Y = Y[X] з однieю, двома чи трьома змшними X = [с,-, г = 1,3] потрiбно у довiльнiй точцi простору незалежних змiнних, задано! координатами X = X' ^ [хг = х, г = 1,3], обчислити неозначеш iнтеграли | /[х^аОх, | /[х1, х2]а^1х2 чи | /[Х1, х2, х3]Ох1х2х3.

У загальному випадку функщю Y = Y[X] можна подати у виглядi табл. 1, шд iнтегралом яко! потрiбно розумгги аналiтичний вираз И iнтерполянти [4]. Табл. 1. Загальний вигляд таблично! функци для багатьох незалежних змтних

№ вузла

Х1

х1,0

х1,1

х1,г

х1,г

X 2

х2,0

х2,1

х2,г

х2р

X 3

Х3,0

Х3,1

Х3,г

Х3,г

У0

У1

Ле-

де: X = [хк,г, г = 1, р; к = 1, т], Y = [у,-, г = 1, р] - вiдомi числа; р - кiлькiсть вузлiв ш-терполянти; т=3 - кiлькiсть змшних.

Задача 2. Функцiя Y = Y[X] з незалежними змшними X = [хг, г = 1,3] задана у

виглядi табл. 1. Потрiбно обчислити значення означених штеграл!в | /[х^Ох,

о

Л /[х1, хгОх чи /[х1, х2, х3]а^1х2х3 для заданих меж штегрування.

в т

Очевидно, постановка задачi 2 е окремим випадком задачi 1, однак И пе-реважно розглядають як окрему задачу, осюльки в нiй обчислення ввдповщних iнтегралiв вимагае застосування дещо складшших формул. 1х називають формулами чисельного штегрування, а процедуру обчислення штегралу за цими формулами називають числовим ттегруванням табличноX функщХ.

Один з можливих способiв розв'язання сформульованих задач базуеться на використанш рiзних квадратурних формул приблизно такого вигляду:

и П

I = }/[х]& = (Ь - а) ^ А/[х] = 1п

(3)

з вiдомим залишковим членом Кп(/[х\) = I - 1п або його оцшкою. Загалом як вузловi точки х, так i ваговi множники А, завчасно е невiдомими i пiдлягають визначенню при виведеннi кожно! конкретно! квадратурно! формули (3) на тд-ставi вимог, пред'явлених до не!.

0

У

г=1

а

Практично, задача чисельного штегрування табличних функцш е е^ва-лентною оцiнюванню середнього значення функци, яке на вiдрiзку [а, Ь] визна-чаеться таким виразом:

! Ь Ь

№ср = — 1 Лх№ ^ | /[х]0х = (Ь - а )-/[х\

(4)

Водночас, визначення середнього значення функци - це статистична задача, яка мютить у собi проблеми послщовнот вибiрки i планування експери-менту. Через складшсть такоТ постановки задачi тут обмежимось тiльки класич-ними методами чисельного штегрування, що базуються на попередньому виз-наченнi як вузлових точок, у яких мае задаватися шформащя про штегровану функщю, так i самою цiею шформащею.

Використовуванi нижче в алгоритмах чисельного штегрування табличних функцш квадратурш формули будуються, як вже було зазначено вище, на основi тих чи шших критерив, що визначають положення вузлових точок i ве-личини вагових множникiв. Такими критерiями можуть бути: 1) подання штег-ралу у виглядi iнтегральноí суми; 2) штерполящя пiдiнтегральноí функци (нап-риклад, многочленом Тейлора [3]) i подальше iнтегрування iнтерполяцiйноí функци; 3) вимога, щоби формула (3) була абсолютно точною для визначеного класу функцш, i т.д.

2. Чисельне штегрування таблично'1 функци для одша незалежно'1

змшно'1

Розглянемо алгоритм розв'язування задач 1 i 2 спочатку стосовно неперь одично'1 таблично'1' функци для одша' незалежно'1' змшно' з використанням многочлена Тейлора (рис. 1), а поим, у шших публкацкх, з двома i трьома змшними.

а) б)

Рис. 1. Схема обчислення неозначеного (а) та означеного (б) одинарних iнтегралiв вАд табличной функци для одте! змтноХ

Табл. 2. Загальний вигляд таблично! (функци для одше! незалежноХ змтноХ

№ вузла X

Р

а

а

0

у

у

р

V

Загалом функщю Y = Y[X], яку задано табл. 2, можна подати аналогично ii iнтерполянтою у виглядi многочлена Тейлора n-го степеня [4]:

v2 . _ _

(5)

Y = c0 + c\X + c2 — +... + cp— = T [x] x Cт 1! 2! n!

де: T[x] - рядок Тейлора n-го степеня; Cт - транспонований рядок (стовпець) коефщенив штерполянти. Для знаходження значень стовпця Cт потрiбно сформувати таку лшшну систему рiвнянь:

, Х0

co +ci^! +.. xi

co +1 — +..

co +..

x0 'n!

vn x1

= yo

+cp— = yi;

^ T [X ]x ст = y т

(6)

vn

xp n!

звiдки

yp;

r T _ C т

Т [X ]-1 х У т = С т, (7)

де: Т[X] - матриця Тейлора, яка обчислюеться за координатами вузлiв X штер-поляци; Т[Х]-1 - обернена матриця за вщношенням до матрицi Тейлора; Ут -транспонований рядок (стовпець) вузлiв iнтерполяцii.

Неозначений одинарний ттеграл ввд многочлена (5) (рис. 1,о), з ураху-ванням (6), визначаеться за такою формулою: х

x x2 хП+1

i f[x\dx = c0 —+ c--+... + c„-

J 01! 1 2! p (n +1)!

= T Ml ,x Ix x C т

(8)

а означений одинарний ттеграл ввд многочлена (5) (рис. 1,б), з урахуванням (6), - за такою формулою:

} f [x\dx = + c12 +... + cp

(n +1):

= TMl ,xIxxCTx b--

lx=x lx=a

(9)

--T Ы x=b x Ix x C T =

T M b - T '[xi ,

lx=b lx=a/

)x Ix x C T,

де: Т'[х] - iнтегрований рядок Тейлора (и+1)-го степеня; 1х - матриця шгегру-вання рядка Тейлора.

Отже, пiд час обчислення одинарних iнтегралiв вiд функдii, заданоi табл. 2, потрiбно виконати таю ди:

• за даними таблиц сформувати матричне рiвняння (6) та розв'язати його;

• сформувати штегрований рядок Тейлора Т '[х] i матрицю його тегрування 1х;

• для неозначеного ттеграла - шдставити у формулу (8) отриманий коршь Ст рiвняння (6) та числове значення х = х' i виконати операцн множення матриць, вказанi у виразi (8);

• для означеного ттеграла - шдставити у формулу (9) коршь Ст рiвняння (6) та числовi значення х = а i х = Ь, а поим виконати операци множення матриць, вказаш у вирм (9).

n

x=b

x

x=u

Приклад 1. Нехай вщ функци V = Y[X], задано!' табл. 3, потрiбно обчислити зна-чення неозначеного штеграла при х = X =1.1 та означеного - при х = а = 0.9 i х = Ь =1.5 (рис. 2).

Табл. 3. Значення таблично! функцИ' для одтег змтноЧ

№ вузла 0 1 2 3

X 0,90 1.00 1.25 1.50

V 893 686 430 304

Анамтичний вираз штерполянти 3-го степеня для ще'1 таблично'' функци мае такий вигляд

2 3

V = с0 + С1— + с2 — + с3 — = Т [х] х Ст, 0 11! 2 2! 3 3!

а розв'язком матричного рiвняння (7) е такий вектор:

Ст ^

С0 9099.29

С1 -18384.24

С2 26437.14

С3 -19485.71

(10)

(11)

1,2 1,3

а) б)

Рис. 2. Схема обчислення неозначеного (а) та означеного (б) одинарних 1нтеграл1в в1д функци, заданоХ табл. 3

Значення неозначеного одинарного штегралу вщ функци v = Y[x] при х = х' = 1.1 знаходимо за формулою (8) (рис. 2,а), внаслщок чого отримаемо:

| / [х]ёх = Т Щ х,=1л х 1х х Ст =

1 х (х(ху

1! 2! 3! 4!

0 0 0 0

1 0 0 0 С0

0 1 0 0 х С1

0 0 1 0 С2

0 0 0 1 С3

= |1 1.1 0.605 0.2218 0.0610х

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

9099.29 -18384.24 26437.14 -19485.71

= 3562.68.

(12)

Значення означеного одинарного Ытегралу вщ функци V = ^х] при х = а i х = ь знаходимо за формулою (9) (рис. 2,б), внаслщок чого отримаемо такий розрахунковий вираз:

\/[х]& = (т'[х]| =_ъ -Т'[х]|)х 1ххСт =

1 Ъ Ъ! Ъ! Ъ1

1! 2! 3! 4!

2 3 4 1 а а а а

1! 2! 3! 4!

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(13)

1нтегрований рядок Тейлора п-го степеня при х = а = 0.9 i х = Ъ = 1.5 ма-тиме такi значення елеменив

' ' 0.9 0.92 0.93 0.9 1! 2! 3! 4! 0 0.6 0.720 0.4410 0.183б|,

а означений iнтеграл - таке значення

Т \х]\ - Т '[х] =

1х_1.5 1х_0.9

1 1.5 1.52 1.53 1.54 1! 2! 3! 4!

} /[х]& _ |0 0.6 0.720 0.4410 0.183б|х

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

9099.29 -18384.24 26437.14 -19485.71

_ 304.12. (14)

3. Обчислення илоии плоско'1 фiгури

Площа плоско! фшури, яка обмежена кривими у1 = /1[х] i у2 = /2[х] /[х] </2[х]), прямими х = а i х = Ъ, визначаеться за такою формулою:

5 _ ] (/2[х] - /х]) ах.

а

Табл. 4. Загальний вигляд двох табличных функцш для однШзмтноХ, як описують крив! плоскоI фкури

(15)

№ вузла

0

1

X

х1,0

Хц_

Хц

х1.у

У

У1,0

Ум

У2.1

Ун

У2

У2,0

У3,1

У 2,1

У2р

- вiдомi числа; р - кшьюсть вуз-

де: X _ [х, 1 _ 1,р], У _ \_Ук _ [Ук,и 1 _ 1,р]; к _ 1,1 лiв iнтерполянти.

Загалом функцiю Ук _ Ук[х],к _ 1,2, яку задано табл. 4, можна подати аналогично Г! штерполянтою у виглядi многочлена Тейлора п-го степеня:

Ук _ Ск,0 + скЛ + Ск,2^ +... + Ск,_Т[х]хСкт,к _ 1,2, 1! 2! п!

(16)

де: Т[х] - рядок Тейлора п-го степеня; Ск,к _ 1,2 - транспонований рядок (стов-пець) коефщентав к-о! iнтерполянти. Аналогiчно до виразу (6) к-ий стовпець Ск е коренем лiнiйного матричного рiвняння:

Т[Х] х С1 _ Тк\ к _ 1,2 ^ Т[Х]-1 хУкт _ С1, к _ 1,2, (17)

а

де: Укт,к = 1,2 - транспонований рядок (стовпець) вузлiв к-о! штерполянти.

Площа плоско! фкури, обмежено! кривими у виглядi многочлена (16), з урахуванням виразу (17), у скалярному запис визначаеться за такою формулою:

^ = ] (/2М - /1[х]) ах =

/

х х2 хи+1

С2 0--+ С2 1--+ ... + С2 р-

1! 2,1 2! 2,р (п +1)

х Ь

х=а

хх

С1 0--+ С11--+ .

1,01! м 2!

■ + с1,1

(п + 1)

=ь л

(18)

а у матричному записi - за такою формулою: 5 = Т'[х]| ,хТххСТх=Ь -Т'[х]|

— — |х=Ь

,х 1х X С.Т :

--Т1[х]\х Ьх 1хх(С2Т-С,т) = (г[х]| -Т'[х]| )х/хх(С2Т-С,т),

1х=а ^ ' ( 1х=Ь 1х=а) ^ '

(19)

де: Т'[х] - iнтегрований рядок Тейлора (п+1)-го степеня; 1х - матриця штегру-вання рядка Тейлора.

Отже, тд час обчислення площi плоско! фiгури вiд функци, задано! табл. 4, потрiбно виконати таю ди:

• за даними таблицi сформувати два матричнi рiвняння (17) та розв'язати !х;

• сформувати тегрований рядок Тейлора Т '[х] i матрицю його штегрування 1х;

• шдставити у формулу (19) отримаш коренi Ск рiвняння (17) та числовi значен-ня х = а i х = Ь, а поим виконати вщповщш операцп множення матриць.

Приклад 2. Нехай вщ функцiй Ук = Ук[х],к = 1,2, заданих табл. 5, потрiбно об-числити площу плоско! фiгури при х = а = 0.9 i х = Ь =1.5.

Табл. 5. Значения двох табличных функцш для одшеХзмшноХ, ят описують крив! плоскоI фкури

№ вузла 0 1 2 3

X 0,90 1.00 1.25 1.50

У 427 364 190 156

У2 893 686 430 304

а

х

х

х=а

х=а

Розв'язком матричного рiвняння (17) для двох табличних функцш е таю два вектори-стовпщ:

(20)

Значення площi плоско! фiгури (рис. 3), обмежено! кривими у виглядi двох функцiй Ук = Ук[х],к = 1,2 при х = а = 0.9 i х = Ь = 1.5, записуемо за формулою (19) спочатку у буквеному виглядг

С1,0 -1629.29 С2,0 9099.29

С1,1 °1,2 = 6870.90 -14117.14 . ПТ _ ; С2 = С2,1 С2,2 = -18384.24 26437.14

С1,3 13085.71 С2,3 -19485.71

С1т =

5 = ] /х] — /1[х]) ах = (т х=ь - т х=д )х 1х х( С2 — ст) =

1 Ь Ь! Ь! Ы

1! 2! 3! 4!

2 3 4

1 а а а а

1! ~2! зГ "4!

0 0 0 0 /

1 0 0 0 С2,0 С1,0

0 1 0 0 х С2,1 — С1,1

0 0 1 0 С2,2 С1,2

0 0 0 1 V С2,3 С1,3

(21)

а попм - у числовому виглядi:

Пх]| -Пх]| = |0 0.6 0.720 0.4410 0.1836|;

1х=0.9

9099.29 -18384.24 26437.14 -19485.71

5 = |0 0.6 0.720 0.4410 0.183б|>

-1629.29 6870.90 -14117.14 13085.71 0000 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0001

10728.57 -25255.14 40554.29 -32271.43

(22)

10728.57 -25255.14 40554.29 -32271.43

= 157.77.

Рис. 3. Схема обчислення плош^ плоской ф1гури, обмеженог кривыми у вигляЫ двох

функцш, заданогтабл. 5

4. Обчислення довжини дуги плоско'1 криво'1

Якщо крива у = /[х] (/[х] > 0) на вiдрiзку [а, Ь] - гладка (тобто, похщна У = / [х]), то довжина вщповщно"! дуги ще\" криво"! (рис. 2,б) обчислюеться за такою формулою:

Ь = IV1 + /[х]2ах.

(23)

Загалом функцiю У = У[Х], яку задано табл. 2, можна подати анал^ично 11 iнтерполянтою (5) у виглядi многочлена Тейлора п-го степеня.

а

\

\

у

т

а

Довжину дуги плоскоI криво!, задано! у виглядi многочлена Тейлора п-го степеня, можна обчислити за такою формулою:

L = со — + с — +... + сР — 1! 2! Р п!

~ТИ—=—'Х С Т

(24)

--П—]

Х=Ь х С т = (Т[х]| - Т [х]| '

х=а \ 1х=а 1х=Ь,

х С т

де: Т[х] - рядок Тейлора п-го степеня.

Отже, тд час обчислення довжини дуги плоско! криво! ввд функци, задано! табл. 2, потрiбно виконати таю ди:

• за даними таблиц сформувати матричне рiвняння (6) та розв'язати його;

• для довжини дуги плоско! криво! - шдставити у формулу (25) отриманий ко-ршь Ст рiвняння (6) та числовi значення х = а i х = Ь, а поим виконати вщпо-ввдш операцп множення матриць.

Приклад 3. Нехай вщ функци У = У[Х], задано! табл. 3, потрiбно обчислити значення довжини дуги плоско! криво! при х = а = 0.9 i х = Ь =1.5.

Рiвняння (6) для ще! таблично! функци мае вигляд, який подано виразом штерполянти (10), а його розв'язком е вектор-стовпець (11). Значення довжини дуги плоско! криво! (рис. 2,б) ввд функци У = У[х] при х = а = 0.9 i х = Ь = 1.5 знаходимо за формулою (25) спочатку у буквеному виглядг

L = (Т[х] - Т[х] )х С т =

( 1х=а 1х=Ь/

2 3 1 а а а

1! 2! 3!

1 Ь 1!

2! 3!

(25)

а потш - у числовому виглядг

ТИх=0.9 - Мх=1.5 =

0.9 0.92 0.93

1! 2!

3!

1 0,9 0,405 0,1215- 1 1,5 1,125 0,5625

1 15 1.52 1!

_ 15!

2! 3! 0,6 -0,72

-0,441|; (26)

L = |0 -0,6 -0,72 -0,441 х

9099.29 -18384.24 26437.14 -19485.71

= 589.00.

Висновки

1. Встановлено, що для бiльшостi практичних задач обчислення штегра-лiв не завжди вдаеться первюну вiд пiдiнтегрально! функци виразити через еле-ментарнi функци. В шженерних розрахунках пiдiнтегральна функщя часто за-даеться таблицею !! значень для певних значень аргумента.

2. Розроблено метод чисельного штегрування таблично! функци для од-нiе! змiнно! з використанням многочлена Тейлора. Для обчислення неозначено-го Ытеграла потрiбно помножити штегрований рядок Тейлора на матрицю ш-тегрування та на стовпець коефщентав iнтерполянти. Обчислення ж означеного штеграла зводиться до множення виразу, який е рiзницею мiж iнтегрованими рядками Тейлора в заданих межах (юнцевш та початковш), на матрицю штегрування та на стовпець коефщентав штерполянти.

х=Ь

х=а

х=а

3. Розроблено алгоритм обчислення площi плоско! фшури, задано! таб-личними функц1ями для одше! змiнно! з використанням многочлена Тейлора. Для обчислення площi фшури потрiбно помножити iнтегрований рядок Тейлора на матрицю iнтегрування та на вираз, який е рiзницю мiж стовпцями коефь цieнтiв iнтерполянт (верхньо! та нижньо!), яю описують ^mi плоско! фiгури.

4. Розроблено алгоритм обчислення довжини дуги плоско! криво!, задано! табличною функщею для одше! змшно! з використанням многочлена Тейлора. Обчислення довжини дуги криво! зводиться до множення виразу, який е рiз-ницею мiж звичайними рядками Тейлора в заданих межах (початковш та кшце-вш), на стовпець коефiцiентiв iнтерполянти.

Лггература

1. Данко П.Е. Вычислительная математика в упражнениях и задачах : учеб. пособ. [для студ. ВТУЗов] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - Ч. I. - Изд. 3-е, [перераб. и доп.]. -М. : Изд-во "Высш. шк.", 1980. - 320 с.

2. Данилина Н.И. Вычислительная математика : учебн. пособ. / Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская, О.П. Кваша, Г.Л. Смирнов. - М. : Изд-во "Высш. шк.", 1985. - 472 с.

3. Фильц Р.В. Алгоритм вычисления на ЭВМ многочлена Тейлора и его производных / Р.В. Фильц, М.В. Коцюба, Ю.И. Грицюк // Электромеханика : Изв. вузов. - 1991. - № 5. - С. 5-10.

4. Фшьц Р.В. Наближення таблично заданих функцш (штерполящя та апроксимащя). Конспект лекцш з предмету "Математичш задачi електромехашки" для студ. спец. 1801 "Електроме-хашка" / Р.В. Фшьц. - Львiв : Вид-во ДУ ЛП, 1995. - 59 с.

Надшшла до редакци 24.03.2016 р.

Грыцюк Ю.И., Драган Я.П. Численное интегрирование табличных функций для одной переменной с использованием многочлена Тейлора

Обоснована возможность численного интегрирования табличных функций с использованием многочлена Тейлора. Установлено, что во многих практических задачах первообразную от подынтегральной функции не всегда удается выразить через элементарные функции. Разработан метод численного интегрирования табличной функции для одной переменной с использованием многочлена Тейлора. Разработан алгоритм вычисления площади плоской фигуры, заданной двумя табличными функциями для одной переменной с использованием многочлена Тейлора, а также разработан алгоритм вычисления длины дуги плоской кривой, заданной табличной функцией для одной переменной. Приведены конкретные примеры вычисления интегралов - неопределенного и определенного, а также вычисления площади и длины дуги плоской фигуры.

Ключевые слова: табличная функция для одной переменной; численное интегрирование табличных функций; многочлен Тейлора; интерполяционный многочлен; вычисления площади плоской фигуры; вычисление длины дуги плоской кривой.

Gryciuk Yu.I., Dragan Ya.P. Numerical integration of table functions to one variable using Taylor polynomial

Has been substantiated the possibility numerical integration of table functions using polynomial Taylor. Found that many practical problems of the original integrand cannot always be expressed in terms of elementary functions. Has been designed the method of numerical integration of table functions to one variable using Taylor polynomial. Has been designed the algorithm of calculating the area of a plane figure given two table functions to one variable using Taylor polynomial, and designed the algorithm of calculating arc length of a plane curve given table function for a single variable. Showed the specific examples of computing integrals - definite and indefinite, and calculating the area of a plane figure and flat arc length figure.

Keywords: table function for one variable; numerical integration of table functions; Taylor polynomial; polynomial interpolation, calculating the area of a plane figure, calculating arc length of a plane curve.