Базисні системи в задачах математичного моделювання Текст научной статьи по специальности «Математика»

Scientific journal ISSN 2413-158X (online)

PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION ISSN 2413-1571 k™'*

Has been issued since 2013.

Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видаеться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Абрамчук В.С., Абрамчук 1.В., Петрук Д.О., Пугач О.С., Руда О.Г., Шмулян Я.В. Базиснi системи в задачах математичного моделювання // Ф'!зико-математична осв'та : науковий журнал. - 2016. - Випуск 3(9). -С. 17-21.

Abramchuk V.S., Abramchuk I.V., Petruk D.O., Puhach O.S., Ruda O.H., Shmulian Y.V. Basic system in the problems of mathematical modeling // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2016. - Issue 3(9). - Р. 17-21.

УДК 519.6

В.С. Абрамчук, Д.О. Петрук, О.С. Пугач, О.Г. Руда, Я.В. Шмулян

В1нницький державний педагог1чний ушверситет ¡меш Михаила Коцюбинського, УкраУна

1.В. Абрамчук

В1нницький нац1ональний технчний ушверситет, УкраУна

helenpugach@gmail. com

БАЗИСН1 СИСТЕМИ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

Вступ. До найважливших проблем математичного моделювання вщноситься проблема вибору оптимальних базисних систем, що дозволяють розв'язувати широкий клас задач [3, 7, 8]. Осктьки основними алгоритмами чисельних методiв е алгоритми штерполяци та чисельних квадратур, то зосередимо основну увагу на цих алгоритмах.

Постановка проблеми. Мiнiмiзувати похибку обчислень в алгоритмах штерполяци функцш та чисельних квадратур.

Основна частина. Постановка задачк 1) довести, що степеневi послщовносл an = rn, Р„ = r ",

- 45 -1

n е N, n > 2, е лшшними формами параметра r - коефiцiента золотого перерiзу r =-;

2

2) обфунтувати, що на основi послщовностей an,/Зп кнують щшьш послщовносл розбиття промiжкiв [0;l] та [1;М] M е N, M > 2.

У робот [1] запропонованi оптимiзацiйнi методи на основi золотого перерiзу. Розширимо i обфунтуемо методи мiнiмiзацií похибок в алгоритмах штерполяци функцш та чисельних квадратур.

Теорема 1. Посл1довн1сть an= rn, fin= r , n е N, n > 2 е л1н1йними формами параметра r з цлими коеф'1Ц1ентами.

2 45 -1

Доведення. Золотим перерiзом назвемо розв'язки рiвняння r2 = 1 -r, один з яких r =-,

2

1

дшить промiжок [0;1] на частини точками ^ = r , у2= r2 = 1 - r, а другий — дтить точками rj1= 1 + r,

r

^ = 2 + r промiжок [1;+®) [1]. Доведення теореми проведемо методом математично'| шдукци,

45 -1 2

= (1 -r) ■ r = r -r2 = r - (1 - r) = -1 + 2r, a = b, b = a -b. Допустимо, що для довтьного n > 3 елемент послщовносп an е лiнiйною формою параметра r :an= rn = an + bnr, an, bn eZ. Тодi

використавши, що r =- задовольняе рiвняння r = 1 -r, a = 1, b = 1. Для r3 = r2 ■ r =

a , = rn+1 = rn • r = (a + b r)r = a r + b r2 = a r + b (1 -r) = b + (a -b )r, a . = b , b . = a -b eZ (числа

n+1 ^n n ' n n n n ^ ^ n^n n ' ' n+1 n' n+1 n n \

la I, lb | e числами Фiбоначчi [1]).

I n I* I n I L J /

1 2 +1 л/5_1

Розглянемо послiдовнiсть Д = r_ : Д = r 1 = —-=-=--+1 = 1 + r, c = 1,

n r V5 -1 2 2

d = 1; Д = r_ = (1 + r)2 = 1 + 2r + r2 = 1 + 2r +1 - r = 2 + r, d = c, c = c + d • Допустимо, що для n > 2

елемент послщовносл Д e лiнiйною формою Д = cn + dr, c„,d„ eЖ. Тодi

д r (n+1) = r"n • r 1 = (c + d r Y1 + r) = c + (c + d )r + dr2 =

/n+1 V n n /\ / n \ n n / n

= cn +(cn + dn)r + dn(1 -r) = (cn + dn) + cnr, c^ = cn + dn, dn+1 = cn. Осктьки n e N, n>2, вибрано довiльно для обох послiдовностей, то з допущення, що a,Д e лiнiйними формами параметра r з цiлими коефiцieнтами Фiбоначчi, випливае iстиннiсть твердження для an+1 , Д+1. Доведення теореми 1 завершене.

Узагальнення теореми 1 розглянуто в робот [1]. З доведення теореми 1 випливають важливi висновки: 1) похибка обчислення всiх членiв послiдовностей an,Д не накопичуеться в результатi множення на ЕОМ, осктьки похибка значень an, Д визначаеться як лiнiйна функцiя вщносно r (всi члени послiдовностей an, Д на ЕОМ необхiдно подавати парами: an = (an,Д), Д = (c,d)); 2) вiдрiзок [0;1] (вiдрiзок [1;М], M e N, M > 2 ) можна покрити щiльною послiдовнiстю iнтервалiв (an,Д), де an,Д e лiнiйними формами параметра r з цiлими коефiцieнтами. Дiйсно розiб'eмо вiдрiзок [0;1] на три частини [a;bt]: [0;r2],[r2;r],[r;1],i = 1,2,3. Кожний з вiдрiзкiв [a;b],i = 1,2,3, знову роздiлимо на три частини з

коефiцieнтами подiлу r,r2. Отримане покриття е покриттям вiдрiзка [0;1], що описуеться лшшними формами параметра r з цiлими коефiцieнтами. Утворену послiдовнiсть вiдрiзкiв \an,Д] назвемо послщовшстю ^ з коефiцieнтом золотого перерiзу [1]. Оскiльки Д - an ^ 0 при n , то довшьне дiйсне число вiдрiзка [0;1] можна наблизити з заданою точнiстю е > 0. 2. lнтерnоляцiя функцюми Lm(f,Q) класу W1 [a;b].

Функцiями Lm (f, Q) назвемо неперервнi функцп, що мають неперервнi похiднi до m-го порядку (m > 2) в усiх точках промiжку [a;b] , крiм вузлiв сiтки A = {a = x0 < x < ••• < X = b}, в яких похщна f(x) терпить розрив першого роду. Побудуемо на кожному промiжку [x;x+1 ] многочлен Лагранжа L (f, X, xi+1)/ що iнтерполюe функцш у внутрiшнiх вузлах промiжка [x;x+1] на спц A = {x = < ми < ••• < ui,m, = xi+1} Функ^я Lm(f, Q) е кусково-гладким многочленом в усiх точках [a; b]\A^ Сiтка Q е об'еднанням вузлiв зовнiшньоí сiтки A i внутрiшнiх сiток A ,i = n -

Постановка задачi. Побудувати кусково-кубiчний многочлен L (f,Q) е W1 [a;b] з коефiцieнтами, що е лiнiйними формами параметра r з цiлими коеф^ентами.

Зовнiшня сiтка A може бути вибрана як атка £ золотого перерiзу. Нехай промiжок [x;x.+1 ],

i = 0,1,,,,,n-1, воображений у промiжок [0;1], на якому вибраш два внутрiшнiх вузли r,r2•

Кожний кубiчний многочлен будуватимемо у формi [4].

P (x) = B + B (x - r) + B (x - r )(x - r2) + B (x - r)(x - r2 )(x -1) як штерполяцшний многочлен, що iнтерполюe f(x) у точках f(0) = >>0, f(r) = >-2, f(r2) = >>1, f(1) = J3•

Теорема 2. Коефiцieнти Бв, Д,B2,B e лiнiйними формами параметра r i визначаються за формулами:

B0 = >2, B1 = (>2 - >1 )(3 + 2r), B2 = 5>1 - 8>2 + 3>3 + r(3>1 - 5>2 + 2>з), B3 = -3> +13>1 -13>2 + ^>3 + r(-2>0 + 8 >1 - 8 >2 + 2>3 )•

Доведення. Многочлен P(x) е многочленом Лагранжа, тому його коефiцieнти визначаються

однозначно i послiдовно: B0 = f(r) = >2, B1 = f(r ) f(r) = >1 >2 =(y2 -)(3 + 2r)

r - r r - r

11 1 1 / \ л/^" 1 i 3 Доведено рiвнiсть 3 + 2r =--:-=-=-= = -(2 + V 5 )= -2-= -(2r + 3)

r2 -r r2 -r 1 -2r 2-yl5 2

Аналогiчно доводиться формула для коефiцieнта B2:

в =y3 - Ба - Б— (1 - г ) = У3 - y2 -(y2 - y— Хз + 2r )(1 - r ) = 2 (l - г )(l - г2 ) (l - г )(l - г2 )

= 5У— - 8 У2 + зу3 + г(зy - 5^2 + 2y3 ) та Б ■ Формули для коефiцieнтiв многочлена Q (х) = Л0 + Л (х - г)+Л (х - г)(х - г2 )+Л3х(х - г)(х - г2 ) виводяться аналопчно.

Ky6i4Hi лагранжевi многочлени можна узагальнити на многочлени довтьних порядкiв i довести, що на атках з параметром золотого перерiзу коефiцieнти Лагранжа е лшшними формами параметра г з цтими коефiцiентами. Таким чином, проблема мiнiмiзaцiï похибки обчислень в задачах штерполяци на вибраних атках розв'язана. Доведення теореми 2 завершене.

Найбшьш точними в задачах штерполяци та штегрування е симетричш многочлени на симетричних атках [4-6]. Виведемо формули коефщенлв симетричного многочлена

T(х) = С0 + С^х -— j + С2^х -—j + С3^х -— j , х e[0;l], що штерполюе функцiю

f e Cm[0;l], m > l на атщ А = [о,г2,г,— . Запишемо систему рiвнянь

111

Уо = Со - - Cl + - С2 - - Сз, (ll)

2 4 8

у- = Со-a-Cl + а2 • С2-а3 • Сз , (l2)

У2 = Со + СТ- Cl + СТ2 • С2 + СТ' • Сз , (1з )

111

Уз = Со + - Cl + - С2 + - Сз, (—)

2 4 8

11 1 де а = — г2 = г — (що означае симетр^ вузлiв атки вщносно центрiв х = — вiдрiзкa [о;1].

2 2 2

Склавши (вiднявши) рiвностi (— ), (— ), (— ), (— ) матимемо

2

У— + У 2

Уо + Уз = со + — с2 , (2— )

= Со +а2С2 , (22 )

—

Уз - Уо = С1 + — Сз > (2з )

у2 - у = 2оС + 2а3Сз. (24)

Комбiнуючи Ц формули на основi властивостей золотого перерiзу, дiстанемо формули для коефщiентiв С1,1 = 0,1,2,3, як лшшш форми параметра г з рацюнальними коефiцieнтами.

3. Двомфш кубiчнi многочлени 433[х,у,/, д] класу Ж1 [в], В = [а,Ь;с, ё]

Нехай на В задана сiтка □ з зовнiшнiми вузлами ДхД : Д = (а = х0 <х1 <••• <X = Ь},

Д = (с = уа < у1 <... < ут = ё}, п > 2, т > 2, i внутрiшнiми вузлами Д = (х = ц0 < и;1 < иа < и1Ъ = х+1}

ДЛу = ^ = % < ^ < < ^3 = У^+1 } .

Нехай на прямокутнику В задана функщя /(х,у)е С3[в].

Зафтсуемо змiнну у i по змiннiй х побудуемо кусково-кубiчнi многочлени Лагранжа

4(х,у.к) = Хз,х°,к)(х), Л = 0,1,...,т-1, к = 0,1,2,3, на атках = {Дх х у^}

Такi многочлени iснують i единi (на основi твердження теореми 2). Побудуемо кусково-кубiчний

двомiрний многочлен 433(х,у) - функцюнальний многочлен Лагранжа змшно'| 43 i незалежно'1 змшно'|

у :

Хз(Л,к)(х) = Су0 + С.1 (у - г)+ С.2 (у - г)(у - г2)+ СЛ3 (у - г)(у - г2)(у -1) вiдобразивши вiдрiзок \у1;у.+1 ] у вiдрiзок [0;1]. Коефiцiенти послiдовно визначаються з умов

к,у (у.кк) = 4х°к)(х,у., к) V = 0 , 1 ,..., т -1, к = 0 , 1 , 2 , 3

Теорема 3. Функ^я L33 (x,y) неперервна на D i мае HenepepeHi частинн noxidHi до третього порядку включно у внутр'1шн'1х вузлах кожного (i, j) -го елементарного прямокутника

4, j , xi+i, y,, yj+i J

Доведення. Оскiльки L33 6 многочленом двох змiнних, то BiH е неперервним в ycix внутрiшнiх

точках для кожного елементарного прямокутника Ди. На границ y = y ja,y = yj3, L33(x,y) збiгаеться з

кубiчним многочленом L3J,k(x), тому е функцiею неперервною. На границях xi0,x3 многочлен L33(x,y)

збiгаеться з кубiчним многочленом L3<j)(y). Дiйсно Vj = 0,1,..., m -1, Vi = 0,1,...,n -1, L3 (x,yj)= z(xi0,y^)

L(^,Уд)= z(^,yjk). Отже L3(x,y) = L3<j)(y), x eA , е кусково-кубiчним многочленом - функцГею

неперервною на основi теореми 2. Доведення теореми 3 завершене.

Кусково-кубiчнi функци двох змшних легко узагальнюються на функцГГ багатьох змшних

s

Ln ,...n (x), x e R',t = £nt, x e D, D - прямокутний паралелепiпед з гранями паралельними координатним.

1, s i=1

Важливiсть результату теореми 3 полягае у тому, що L33(x,y) е неперервною на лшГях сГтки i

диференцiйовною необхщну кГлькГсть раз в областi D\ д.. Це дозволяе побудувати чисельно-аналГтичн методи для розв'язування крайових елттичних задач, переносячи результати обчислень з крупних аток на дрГбн i згортаючи результати (коректуючи Тх) з дрГ6них сГток на грубГ, що е узагальненням багатоаткових методiв розв'язування крайових задач [2].

4. Квадратуры i Ky6aTypHi формули.

Суть оптимiзацiйних квадратурних i кубатурних формул штегрування ФункцГй деякого класу K

полягае у по6удовГ таких чисельних квадратур, кубатур:

b

j f (x)dx и S( f, a,b) + R(f, a, b),

a

jj f (x, y)da = ®(f, D) + R(f, D),

D

де S,Ф - наближенi формули чисельного штегрування, R - похибка. Необхщно мiнiмiзувати як абсолютне значення похибки R , так i похибку обчислень ( за рахунок мшГмГзацп обчислень тдштегральноТ ФункцГТ та вибору алгоритма реалГзацп обчислень з мiнiмiзацiею похибки обчислень.

Зазначимо, що цГ двГ умови мГстять протирГччя, бо мiнiмiзацiя R|, як правило, вимагае збшьшення

обчислень, а це веде до збтьшення похибки обчислень. Зменшити це протирГччя можна лише за рахунок вибору оптимальних аток област штегрування - це i е принциповим шляхом до розв'язання проблеми побудови оптимальних формул чисельного штегрування [4-6].

Нехай штегрована, наприклад неперервна, на [a;bJ—> [0;1J функцГя штерполюеться на промГжках розбиття [x; xj+1 J кубГчним симетричним многочленом T3 (x).

',+1 1 1 1

j f (x)dx = j (p(t)dt иT (t)dt = C + — C, (3)

x 0 0 12

„ 2r + 3. . „ 2r + 3/ .1.1.. .

де C2 =(У0 - У1 -У2 + Уз), C0 =(У1 + У2)(r )(У0 + УЗ).

Отже, квадратурна форма (3) вимагае обчислення лише двох коефщГентГв C0,C2 , значення яких е лшшними формами параметра r, що мЫмГзуе похибку обчислень.

КубатурнГ форми можна побудувати на основГ штерполяцшних многочленГв L33(x,y). Щоб

отримати не лише мГнГмГзацГю похибки квадратурноТ формули (3), необхГдно використати узагальнеш формули золотого перерГзу i знайти таке число r , яке мшГмГзуе похибку квадратурноТ формули (3).

Таким чином, у статт обфунтовуеться побудова оптимГзацГйних методГв на основГ послГдовностей золотого перерГзу.

Список використаних джерел

1. Абрамчук В.С. ОптимГзацшш методи на основГ золотого перерГзу / В.С. Абрамчук, 1.В. Абрамчук, Д.О. Бабюк //Проблеми шформатики та комп'ютерноТ технГки (П1КТ - 2016). ПрацГ V-Т МГжнародноТ науково-практичноТ конференцп, ЧернГвцГ, УкраТна, 21 - 24 травня, 2016. - С. 28-30.

2. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. Пер. с англ. - М.: Мир, 2001. - 400 с.

3. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. Пер. с англ./ В.Б. Занг. - М.: Мир, 1999. - 335 с.

4. Иоффе А.Д. Теория экстремальных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. - М.: Наука, 1974. - 476 с.

5. Молодцов Д.А. Устойчивость принципов оптимальности. - М.: Наука, 1987. - 280 с.

6. Никольский С.М. Квадратные формулы. - М.: Наука, 1974. - 223 с.

7. Самарский А.А. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. - М.: Физматлит, 2001. - 320 с.

8. Самойленко А.М. Математичне моделювання: Пщручник / А.М. Самойленко, К.К. Кенжебаев, О.М. Станжицький, С.Ю. Таран. - Кшв: Наукова думка, 2015. - 328 с.

Анота^я. АбрамчукВ.С., Абрамчук 1.В., ПетрукД.О., Пугач О.С., Руда О.Г., ШмулянЯ.В. Базисн системи в задачах математичного моделювання.

У статт1 виведен формули '¡нтерполяцп та чисельних квадратур з використанням сток з вузлами посл'1довност'1 золотого перерву. Доведено, що таю с1тки мШм'зують похибку обчислень, а коеф1ц1енти ¡нтерполяц1йного многочлена Лагранжа та квадратурноУ (кубатурноУ) формули на його основ е л1н1йними формами параметра золотого перер'зу з цлими рац>ональними коеф1ц1ентами.

В результатi досл>дження, д1йшли до висновку, що узагальнен формули золотого перер'зу використовують для мiнiмiзацiю похибок квадратурних формул. Таким чином можна обфунтувати побудову оптимiзацiйних метод 'в на основi посл'довностей золотого перер'зу.

Ключовi слова: золотий перерiз, мiнiмiзацiя похибки обчислень, iнтерполяцiя, квадратурн формули.

Аннотация. Абрамчук В.С., Абрамчук И.В., Петрук Д.А., Пугач Е.С., Рудая О.Г., Шмулян Я.В. Базисные системы в задачах математического моделирования.

В статье выведены формулы интерполяции и численных квадратур с использованием сеток с узлами последовательности золотого сечения. Доказано, что такие сетки минимизируют погрешность вичислений, а коэфициенты интерполяционного многочлена Лагранжа и квадратурной (кубатурной) формы на его основании являются линейными формами параметра золотого сечения с целыми (рациональными) коэффициентами.

В результате исследования, пришли к выводу, что обобщенные формулы золотого сечения используют для минимизации погрешностей квадратурных формул. Таким образом можно обосновать построение оптимизационных методивна основании последовательностей золотого сечения.

Ключевые слова: золотое сечение, минимизация погрешности вычислений, интерполяция, квадратурные формулы.

Abstract. Abramchuk V.S., Abramchuk I.V., Petruk D.O., Puhach O.S., Ruda O.H., Shmulian Y.V. Basic system in the problems of mathematical modeling.

Formulas of interpolation and numerical integration on grids, received on the base of golden ratio, were obtained. It was proved, that these grids have properties of minimizing error of computations and Lagrange coefficients of the polynomial interpolation and quadrature (cubature) forms on the basis thereof are linear forms of the parameter of the golden section with integer (rational) coefficients.

The study, concluded that the generalized formula golden section is used to minimize errors of quadrature formulas. So you can justify building optimization techniques based on the sequences of the golden section.

Keywords. golden ratio, minimizing computational error, interpolation, quadrature formulas.