CC BY
24
Scientific j ournal ISSN 2413-158X (online)
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION ISSN 2413'1571 (Print>
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видаеться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Абрамчук В.С., Абрамчук 1.В., Прищепа Д.О., Пугач О.С. n03iH0MianbHi iнтерполяцiйнi многочлени i квадратурн'1 формули. Ф'зико-математична осв'та. 2018. Випуск 1(15). С. 11-15.
Abramchuk V., Abramchuk I., Pryshchepa D., Puhach O. Posinomial Interpolation Multiplications And Quarterless Forms. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 1(15). Р. 11-15.
УДК 519.6
В.С. Абрамчук, 1.В. Абрамчук, Д.О. Прищепа1, О.С. Пугач
В'нницький державний педагогiчний ун'верситет iм. М. Коцюбинського, Украна
[email protected] DOI 10.31110/2413-1571-2018-015-1-001
ПОЗ1НОМ1АЛЬН1 1НТЕРПОЛЯЦ1ЙН1 МНОГОЧЛЕНИ I КВАДРАТУРН1 ФОРМУЛИ
Анота^я. 1нтегрування погано зумовлених функ^й, наближення неперервних недиферен^йовних функ^й гладкими функ^ями вимагають нового пдходу до розв'язування цих проблемних задач. У роботi пропонуеться загальний п'дх'д до розв'язання цих проблемних задач на основi iнтерполяцiйних поз'шом'в довльноiгладкост'1. Однй i
тйже атков'ш функцИ (S,Y) = {x,y(xt)}"=i ставиться ам'я поз'шом'в зарахунок комб'шацП вузлiв атки iпараметра
n у — x
У: Пп+2(х, S,Y,y) = j(x) + АпП(х — xt )(1 +--)а, уе (с; b) (або уе (a; c) якщо множник задаеться у формi
n n n i=1 ' h
x — у
(1 +--)а)), h = b — a, а е R, Ln_j(x) многочлен Лагранжа, що дозволяе для р'зних досл'джуваних задач,
h
додаткових умов, класв iнтерполюючих функ^й вибирати найкраще наближення (на вiдмiну вiд пол'шом'юльного единого наближення Ln_х(x)). Коефiцiенти многочлена Лагранжа i параметри A, а поз'шом'шльного доданка
визначаються однозначно з умов iнтерполяцii на атц з n+2 вузл'1в, якщо аткова функ^я належить класу Hn - n -ихр'!зниць одного знаку. В теорПкатастроф i теорПхаосу одн'ею з основнихзадач е гладказам'шазм'нних, яка дозволяе анал'зувати математичну модель на стшк'!сть. Значення параметра а е R е характеристикою, яка визначае на скшьки гладка функщя - многочлен Ln l(х), може бути прийнятливою для в'!дображення S Ь-> Y (якщо а в'др'зняеться вiд n незначно i не прийнятливою, якщо а в'др'!зняеться на багато. Параметр а визначае ступ'шь ризику модел'1 до зовнiшнiх вплив'в). Для iнтегрування гладких функ^й запропонований новий п'дх'д побудови квадратурних формул в'дкритого (без крайшх меж) i закритого (з межами пром'жка iнтегрування) типiв лише на основi оптимальних пар симетричних вузлiв. Це дае змогу застосувати квадратурн'1 формули обчислення або досл'дження збiжностi невласних iнтегралiв. Вибираючи атки з оптимальними вузлами можна будувати адаптивн квадратурн'1 формули найвищоi точност'1 для неперервних недиферен^йовних функ^й. 1нтерполя^йш поз'номи на вiдмiну вiд iнтерполяцiйних полiномiв можна використовувати одночасно, як коректуюч'1 та прогнозуюч'1 характеристики повед'шки функцп, що е основою розв'язання багатьох практичних задач. Кпючовiслова: Позiном, iнтерполяцiя, квадратурн'1 формули, оптимiзацiйнi вузли.
Постановка проблеми. Найбтьш глибоко теоретично дослщжена задача вибору найкращо- полЫо/^ально!
b m—1
квадратурн°'- ф°рмули J f( x)dx « Lm (f) , Lm (f) = X Pkf(xh ) > a = X0 < X1 < ■■■ < xm—1 = Ь > X = {xk } ' P = {Pk } ТаК°'' Що6
була мЫмальною для функцш f eWn (M; a,b), сiток
величина
верхньо- гранi supR(f), r(f) =
k=0
b
J fdx — Lm (f )
вагових коефiцieнтiв P : inf Rm(f) .
При практичнш реалiзацií квадратурних формул виникае бiльше проблемних питань, нiж вщповщей: до якого класу функцiй Wn(M;a,b) вiднести дослщжувану пiдiнтегральну функцiю, оскiльки конкретнi класи обслуговують рiзнi програмнi засоби, чи враховуе обрана квадратурна формула похибку зашумлення даних i як вона та похибки обчислень
впливають на результат, яка швидкодiя реалiзацií алгоритму на ЕОМ, як буде працювати алгоритм при ускладнен задано!' функцГ!, чи можуть бути врахованi алгоритмом не числовi данi при розв'язуванi практичних задач.
Побудова адаптивних квадратурних формул на основi принципу золотого перерiзу або принципу оптимальност за квазiметриками частково розв'язуе проблему, оскiльки цi принципи заснован на розбиттi промiжка до кроку h < eps . I головне, як оцшити похибку квадратурно! формули для неперервних або кусково-неперервних недиференцшовних пщштегральних функцiй. Отже, квадратуры формули до певно'! мiри повиннi бути прогнозуючими, мiстити пакет формул на основi яких по тим самим даним можна прийняти ршення про достовГршсть результату обчислень, або не коректнкть (чи недостачу) шформацГ!.
Аналiз актуальних дослiджень. Вщшукання найкращо'! для заданого класу функцГй квадратурно!' формули i отримання точно!' оцшки е складною задачею, вимагае, як правило, застосування глибоких i тонких фактiв теорГ! функцiй i функцiонального аналiзу, дослiджувалась в роботах Ф. П. Василева, М. С. Бахвалова, М. М. Коробова, М. П. Корншчука, В. П. Моторного, Д. А. Молодцова, С. М. Жкольського, С. Л. Соболева, С. Б. Стечкша, Ю. М. Субботша, О. Г. Сухарева. Теорiя позшомГв застосовуеться в оптимiзацiйних задачах геометричного програмування. В данш ро6отГ будуються спецiальнi iнтерполяцiйнi позГноми, якГ характеризують швидкГсть змГни iнтерполюючоí функцГ! при переходi вГд одного промiжка задання до Гншого.
Мета статп. Розробити загальну теорГю побудови позГномГальних штерполяцшних многочленГв i на !'х основГ побудувати квадратурнГ формули Гнтегрування погано зумовлених функцГй.
Виклад основного матертлу.
1. Загальна теорiя побудови iнтерполяцiйних позiнмiв i квадратурних формул. У зв'язку з розширенням кола дослщжуваних задач, розвиваються новГ теорГ'', що оперують з недиференцГйовними функцГями, наприклад, опуклими. У теорГ! хаоса i катастроф важливо вмГти наближати характеристики реальних процеав гладкими функцГями мшГмальних порядкГв при забезпеченГ задано!' точносп. Така ж проблемна задача виникае при розв'язуваннГ нелГнГйних рГвнянь i пошуку екстремуму з функцГями складно!' природи.
Неперервну функцГ ю f(x),xe[a;b] вГднесемо до класу Hn,n> 1, якщо вГдносна рГзниця n -го порядку на довшьнш
сГтцГ S = {a < x < X < ■■■ < xm < b} зберГгае знак. Прикладами функцГй класу H2 на вщрГзку [—1;1] е функцГ! y = x2 , y = x1 + |X +1 або погано обумовлена функцГя y = lnx/x2 на промГжку [0,01;2] або многочлен Лагранжа n -го порядку на довГльному промГжку [a;b].
1нтерполяцшний позГном на сГтцГ з n + 2 - ох вузлГв будуватимо у формГ:
n x — у n—1
П 2(x,a,b,у) = Ln 1(x) + An П(х-х1 )(1 +-!-)a, де Ln—1(x) = A0 + A1(x — x1) +... + An П(x — xi) - многочлен Лагранжа з
'=1 h i=1
с n у — x довГльним вибором n вузлГв сГтки S , позшомГальний член A П(Х — x.)(1 + --)a задаеться параметром ye[S/M] i
i=1 ' h
показником a e R, якГ визначаються з умов штерполяцп y(x) = Пи+2(xf,a,Ъ,у), x e S, h = b — a, М- пщмножина вузлГв атки S , що визначають многочлен Лагранжа LBl . ОскГльки f(x) eHn, то вс коефГцГенти A,AA-i,A i показник a визначаються коректно i однозначно для заданого розподту вузлГв i форми (1). Вузли атки S можна комбшувати рГзними способами у атковш функцГ! (S,Y) = {x. , y(x ^Jf. Отже, комбГнуючи вузли {xf }e M i ye S / M, задамо множину штерполяцшних позГномГв, що дозволяе оптимГзувати процес розв'язання конкретно!' задачГ. ОскГльки штерполяцшний позГном е диференцГйовною функцГею (безлГч раз, якщо n не цте додатне число), то його доцГльно застосовувати при наближеному ГнтегруваннГ або диференцГюваннГ погано зумовлених функцГй, пошуку екстремуму або наближеному розв'язуваннГ нелшшних рГвнянь, прогнозуваннГ кризисних явищ.
2. Квадратуры позiномiальнi формули.
2.1. ОптимШцайш квадратури для гладких функцш. Для гладких функцГй побудованГ оптимальнГ квадратурнГ формули Гаусса-Лежандра, або тдвищено'! точносп Гаусса-Кронрода вщкрито'! форми (крайнГ точки промГжка Гнтегрування виключаються Гз атки штерполяцп S ). Якщо ввести граничн умови, щоб застосувати цГ формули для розв'язування крайових задач, то умови оптимальност формул вщкритого типу не виконуватимуться.
Нехай функцГя f(x) e C[n][a;b], n > 1 - довГльне натуральне число.
Запропонуемо оптимГзацГйнГ квадратурнГ формули вщкритого типу (без крайнГх вузлГв) або закритого типу (з граничними умовами) для гладких функцш на основ! лише оптимальних пар симетричних вузл1в: xJO = c + crxh,
х3 4 = c + cr2h ,...Y,m_[ ,m = с + amh з центральним вузлом х0 = с або без нього, де с = (а + Ь)! 2, h=b-a. Пщштегральну функцГю подамо у формГ многочлена Тейлора [3]:
■S V(i)(c) b S/2 V(2')(-) h2i
y(x) = y(c) + X ^-2(x — c)' + Rs (x, xo), f y(x)dx = h[ Vo + 2^ V„ 1V, aJ + O(h2S+1) (1)
7=1 '! a t! (2')! (2' +1)22'+1
ФункцГю y(x) Гнтерполюемо многочленом парного степеня 2m на симетричнш сГтцГ, якщо в атку включений центральний вузол x0 = - , або непарного степеня, якщо в атку не включений вузол x0 = - ;
наприклад, {- — aft, - — a2h, -, - + a2h , - — aft), <J1>&2 • P(x) = A +A(x—-)+A(x — -f + A(x—-f + A(x — -)4. КоефГцГенти A, A, A, A, A визначимо Гз умов ГнтерполяцГ! y(x;.) = y = p(xi) , ' = 0,1,2,3,4, дГстанемо систему лшшних
алгебричних рiвнянь, з яко'|' коефщенти визначаються через вiдноснi рiзницi: 2A = w =—————, — = —_2y° + y ,
4 1 (o^ 1 (ah?
—2 = У3 -2уо + У4 # 2^2 = —1 -wi(ah)2, A = Уо ■
(o2h)
Поставивши у формулу розкладу (1) значення вузлiв x, x, X,X , Дiстанемо значення коефiцieнтiв через CKiH4eHi рiзницi. Квадратурна формула набуде вигляду:
b 1,3 "{ \ VI , N VIII , N
f P ( x)dx = y h + (2 y-(c) - 2 o2o\h" + 2 o2o\ (a2 - a2 )h6 + O(hs ))
J 3 _ 2^ 2! 6! 1 2 8! 1 1 2
a
»5 V^ N VI , ч VIII, x
+ Л (2 + 2 ^-^(o,2 +al)h2 + 2 (a4 + o,2o22 + o^)h4 + O(h6))
5 ■ 2 4! 6! 8!
(2)
Зрiвнюючи коефiцieнти при похiдних у формулах (1), (2) до максимального порядку, дктанемо систему двох рiвнянь з невщомими 0j2,02 (коефiцieнти при y11 (c) , yIV(c) зб^аються в силу симетричност двох пар вузлiв, коефiцieнти при yV (c) , ymI (c) будуть збiгатись, осктьки система вiдносно 0,0 е розв'язок): o1 = 0,591757934 ; о = 0,26907187(6,
yVI(c). ot2o22 | of +a _ 1 yvm(c) 002(02 +o22) | o4 + oQ +o22 _ 1 6! : 23 5■ 25 7 ■ 27 ' 8! ' 23 5■ 25 9■ 29 ■
Похибка квадратурно!' формули O(h11) ■ 2.2. Найпростiшi позшомтльш квадратурнi формули. Нехай функцiя належить класу И1 - неперервна i монотонна.
2.2.1. Триточковi квадратурнi формули закритого типу на атц {a;x1;b}, a < x1 < b.
Для одних i тих же аткових даних {S;Y}, S = {a; x ; b}, Y = {y(a); y(x ); y(b)} позiноми можна будувати за
рiзними формулами, наприклад, П3(х,Ь) = A0 +Aj(x-Xj)(1 + b—X)a, П(х, a) = A + A (x-x )(1+——a)a '
h h
П3 (x,j) = A + A (X - X )(1 + X—~)a , або в iншiй формi, комбiнуючи параметрами a, —, b,je (a; b) , ae R в залежност
h
вiд поведiнки пiдiнтегральноï функцп. Параметри A,A,a обчислюються з умови iнтерполяцiï.
У - У Уь - У л
Нехай V = — , V = — - швидкосп змЫи пiдiнтегральноï функцп y = f (x) вщповщно на промiжках
X - a b - x
[a; x ] ' [x ; b]. Якщо 1) sgnV, = sgn V2 ( sgn - знак числа);
2а) VI > \v2\, то тдштегральну функцiю y = f (x) штерполюемо на ат^ {a; x ; b} позЫомом
П ( x, a, x, b, b) = П ( x, b) = A + A (x - X )(1 + b-x)a . У цьому випадку a > 0 . Параметри {A0; A1;a} знайдемо з умови
h
iнтерполяцiï: x = x : A =X ; x = b : yt-yL = д = V ; x = a ~ y = = V = A ■ 2a ^ a= ^, де в = V >\,
b - x a — x x ~a ^ 2 V2
тому a > 0 ■
ь h h
S(П (x, b)) = J П (x, b)dx = yxh--[V (b - x ) + 2V (x - a) +-(V - 4V )].
J a + 1 a + 2
a
Нехай 2б) V > V , тодi пiдiнтегральну функцiю y = f (x) на атф {a; x ; b} штерполюемо позшомом
П (x, a) = A + A (x - x )(1 +-) a ' J П (x, a)dx = y h +-[2(b - x ) V + (x - a)Vi +-(4 V - V )]
h J a +1 a + 2
(4)
(5)
a
Наведемо результат для випадку |V| >\V2\, J = c :
3 1
Пъ(х, c) = A + A(x - x)(1 + c-x) a ' V1 = A(-)a ' V2 = A(-)a ' B = Vj V2 = 3a ^ a = In в/ ln3 ■
h 2 2
На мкце квадратурно)' формули (4) дктанемо квадратурну формулу
h 1 3 h 19
S (П3 (x, c)) = y h--- [- V2(b - x) + 3 V(x - a) +-- (- V2 - - V,)] (6)
a + 1 2 2 a + 2 4 4
2.2.2. Позiномiальнi чотириточковi квадратуры формули S(П4(x,j)) ■
Якщо функ^я y = f (x) на промiжку [a;b] неперервна i опукла, то позiномiальну iнтерполяцiю можна здiйснити на чотириточковш сiтцi {a; x ; x ; b} ' a < x < x < b . Клас позiномiв дае достатньо широку базу побудови квадратурних формул.
Нехай позшом мае вид: щ (х,у) = a + A (x - x )+A (x ~ X )(x - x )(1+-)" ■
h
ь (b / ( h
S(Щ (x, a)) = I Щ (x, a)dx = Ah + A--1--P-B (b - x )(b - x2 ) - Bx (x - a)(x2 - a) -
a 2 a+1 (7)
h 2h
- (4B2 (2b - (x + x2 )) + B (x + X - 2a)--(8B2 - B ))] ■
a+2 a + 3
Якщо вузи x,X симетричн вiдносно c = ■ x = с-аh, x = с+аh, 0< а <1, то формула (7) набувае вигляду
12 2 2
b ¡J 1 1 2
ь hi 11?
I щ (x, a)dx = S (Щ (x, a)) = Ah + A^h2 +-\(--a2)(2B2 - B )--(4B2 + B--(8B2 - B ))]■
J a +1 4 a + 2 a + i
4(x,a)dx = s(n4(x,a)) = 1 Aah 1 ,[(. а )(2B2 B1) ,(4B2 1 B1 0 (8B2 B '"■ (8)
a +1 4 a + 2 a + i
2.2.3. Квадратуры формули на ochobï оптимвацшних вузлiв.
Якщо функцiя погано зумовлена на промiжку [_;Ь], то перевагу мають квадратурнi формули, що використовують оптимiзацiйнi вузли. Квадратуры формули на атках з оптимiзацiйними вузлами будуються аналогiчно до попередых. Триточкова сiтка з оптимiзацiйними вузлами:
S = {x, X, X } Œ (a; b), x = c, X = c - а h , X = c + а2 h , h = b - a, а = л/Тб /10, c = (a + b) /2 ■ П'ятиточкова сггка з двома парами симетричних оптимiзацiйних вузлiв:
S = {c-ah,c-ah,c,c + CT2h,c + а^>, а =«J5(1 + >/8735 /6, а2 =-у/5(1 - >/81/35 -1 /6 . Чотириточкова сiтка закритого типу з одыею парою симетричних оптимiзацiйних вузлiв:
S = {a,c-vh,c + vh,b>,v = >/2/10 ■ Чотириточкова сiтка вiдкритого типу з одыею парою симетричних оптимiзацiйних вузлiв:
S = {c-eft, c-&2h, c + &2h, c + ^h>, а = 0,476090938, а = 0,098851031 ■
Сiткa з кратними крайыми вузлами i оптимiзацiйними внутрiшнiми для побудови ермтэвих сплайнiв i розв'язання крайових задач. Отка
S = {a; c - а h, c, c + а h; b> , {Y (a), Y '(a), Y (c - а h),Y (c + oft),Y ф)^'ф)>,а = л/5 / 6 ■ Коректнiсть квадратурних формул випливае з коректност побудови позiномiв.
Теорема 1. Якщо функцiя y = f ( x) на промiжку [a; b] неперервна i монотонна, то позшоми
щ (x, у) = A + A (1 + y—X)a, c <у< b (або щ (x, у) = A + A (1 + X-y)a, a <у< с ), кнують i ¡х параметри {Д,, Ax,a> h h
визначаються однозначно за значеннями f (x) у вузлах атки {a; x ; b> ■
Теорема 2. Якщо функщя y = f (x) на промiжку [a; b] неперервна, монотонна i опукла, то позшоми
у - X
П4 (x, у) = A + A (x - x ) + A (x - x )(x - x )(1+--)a , c < У < b кнують i |'х параметри визначаються однозначно.
h
Доведення теорем. Якщо штерполююча функ^я на ст^ {S,Y>™j належить класу Hn, n > 1, n e N , m > n +1,
то вщносы рiзницi n - го порядку е одного знаку, тому кнуе многочлен Лагранжа Ln_j(x) i позiном
n x — a n n x — a
Пп+2 (x, S ,Y, a) = Ln-1 ( x) + An П (x - xt )(1 + x__ )a = A0 + A( x - x, ) +... + An_x П (x - xt ) + An П (x - xt )(1 + x__ )a, де
i=i h h
коефiцiенти A, A,■■■, A послщовно е рiзницями до (n-1) - го порядку на ат^ S = {a,X,■■■,[1, 3]. То показник a
n
е розв'язком рiвняння (yb -Ln_j(b - x ) / A П(x - x) = da = 2a, де в лiвiй частинi е вщношення двох рiзниць n - го
i=1
порядку на ст^ {a,x,■■■,xn_j,b> (додатна величина, як вщношення рiзниць одного знаку). Аналогiчно доводяться теореми для позiномiв Пп (x, S, Y, у) з ^ею вщмшыстю, що основу d > 1 можна змшювати, в залежносп вiд вибору у e [a;c] або уе [c;b] [1, 2]. Показник ae R визначае логарифмiчну швидкiсть змiни функци при переходi з сiтки Sl на сiтку S2 = {x,■■■,Xn_i,b> ■
Висновки. 1. Обгрунтований новий пщхщ до проблеми наближення неперервних функцш гладкими позiномiaльними многочленами, яю дають можливiсть прогнозувати ступiнь зумовленосп функцй при переходi вiд одного промiжкa до iншого. 2. Показане практичне застосування позiномiв до побудови квадратурних формул.
Список використаних джерел
1 Проблема прогнозування в задачах математичного моделювання / Абрамчук В.С. та ш. Фiзико-мaтемaтичнa освiтa■ 2016^ Випуск 2(8). С. 9-16^
2^ Абрамчук В. С., Абрамчук I. В. Наближене штегрування жорстких задач^ Математичне та комп'ютерне моделювання. Серiя: Фiзико-мaтемaтичнi науки^ 2012. №7. С. 3-17^
Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и програмное обеспечение / пер. с англ. М.: Мир, 2001. 575 с. Коробов Н. М. Теоретикочисловые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963. 224 с. Корнейчук Н. П., Никольский С. М. О Новых результатах по экстремальным задачам теории квадратур/ В книге С. М. Никольский. Квадратурные формулы, 1974^ С. 138-22L
6. Молодцов Д. А. Устойчивость принципов оптимальности. М.: Наука, 1987. 280 с.
7. Моторный В. П. О наилучшей квадратурной формуле для некоторых классов периодических дифференцируемых функций / Докл. Анн СССР 21, №5, 1973. С. 1060-1062.
8. Никольский С. М. Квадратные формулы. М.: Наука, 1974. 136 с.
References
1. Abramchuk, V., Abramchuk. I., Petruk, D., Puhach, O., Yuzva, A. (2016). Problem of forecasting in problems of mathematical modeling. Physics and mathematics education, Sumy State Pedagogical University named after AS Makarenko, 2 (8), 9-13.
2. Abramchuk, V., Abramchuk, I. (2012). Approximate integration of hard tasks. Mathematical and computer modeling. Series: Physics and mathematics, 7, 3-17.
3. Kahaner, D., Mooler, K., Nash, S. (2001). Numerical methods and software, (Trans. from English). Moscow, Russia: Mir. 575.
4. Korobov, N. (1963). Theoretical numerical methods in approximate analysis. Moscow: Fizmatgiz. 224.
5. Korneichuk, N., Nikolsky, S. On New Results in Extreme Problems of Quadrature Theory. 138-221.
6. Molodtsov, D. (1987). Stability of principles of optimality. Moscow, Russia: Nauka. 280.
7. Motornuy, V. (1973). On the best quadrature formula for certain classes of periodic differentiable functions. Dokl. Ann SSSR 21, 5, 1060-1062.
8. Nikolsky, S. (1974). Square formulas. Moscow, Russia: Nauka, 136.
POSINOMIAL INTERPOLATION MULTIPLICATIONS AND QUARTERLESS FORMS Vasil Abramchuk, Ihor Abramchuk, Daria Pryshchepa, Olena Puhach
Vinnitsa State Pedagogical University named after M. Kotsybinsky, Ukraine Abstract. Integration of poorly conditioned functions, the approximation of continuous non-differentiable functions by smooth functions, require a new approach to solving these problem problems. The paper proposes a general approach to solving these problem problems based on interpolation polynes of arbitrary smoothness. One and the same net function (S,Y) = {x,y(x )},"-i the family of poses is put at the expense of a combination of nodes of a grid and a parameter у:
n у_x x_У
П(x,S,Y,у) = L-j(x) + АП(x — x)(1 +у-)a, уе (a;b) (or уе (a;-) if the multiplier is given in the form (1 +-у)а)),
n n i=1 ' h h
h = b — a, ae R, Lnl (x) Lagrange polynomial, which allows for the various problems studied, additional conditions, classes of interpolating functions to choose the best approximation (in contrast to the polynomial uniform approximation Ln_x (x)). The coefficients of the Lagrangian polynomial and the parameters A , a of the subordinate term are determined unambiguously from the conditions of interpolation on the grid with n + 2 nodes if the net function belongs to a class Hn - n differences of one sign. In the theory of catastrophes and the theory of chaos, one of the main tasks is the smooth replacement of variables, which allows you to analyze the mathematical model for stability. The parameter ae R value is a characteristic that determines how smooth the function is the polynomial LHi{x), may be acceptable to display S h-> 7 (if a differs from n the insignificant and not acceptable, if a differentfor many. The parameter a determines the degree of risk of the model to external influences). To integrate smooth functions, a new approach is proposed for constructing quadrature formulas of open (without extreme bounds) and closed (with boundaries of the integration interval) types only on the basis of optimal pairs of symmetric nodes. This enables the use of quadrature computational formulas or the study of the convergence of improper integrals. When selecting meshes with optimal nodes, we can construct adaptive quadrature formulas of the highest accuracy for continuous non-differentiable functions. Interpolation zeros, unlike interpolation polynomials, can be used simultaneously as corrective and predictive features of the behavior of the function, which is the basis of solving many practical problems. Key words: Position, interpolation, quadrature formulas, optimization nodes.
