CC BY
11
УДК 519.65
Канд. фiз.-мат наук Н. О. Нечипоренко, канд. техн. наук О. В. Коротунова,
канд. техн. наук Ю. В. Мастиновський
Запор1зький нацюнальний техычний уыверситет, м. Запор1жжя
ПРО ПОБУДОВУ КРИВО1 ЗНОСУ ДЛЯ МАШИН I УСТАТКУВАННЯ
Розглядаеться задача побудови статистично'1 кривоI зносу машин I устаткування. Передбачаеться, що найбшьш узагальнене зображення динам1ки зносу дае логгстична крива. Наводиться алгоритм вгдновлення неперервно'1 функцИ, яка задана своши наближеними значеннями у вузлах довшьноХ фжсованоХ сгтки I мае в областI визначення не бшьше одтеХ точки перегину. Вякостг в1дновлювально'1 приймаеться функцгя, побудована на основI методу квазгрозв 'язк1в. НаведенI алгоритми вгдновлення е оптимальними за порядком точностг на в1дпов1дних класах функцш.
Ключовi слова: функцгя одтеХ змтног, вгдновлення, логгстична крива, крива зносу, оптимальнгсть за точтстю.
Вступ
Остантм часом ведуться активт дослщження з роз-робки статисгичних кривих зносу для машин i устаткування, як служать хорошим шформацшним засобом особливо в умовах масово! ощнки.
Крива зносу показуе динам^ коефщента зносу в чай протягом терм^ служби машини. У лiтературi з ощнцки машин i устаткування давно вже робляться спроби знайти таку форму криво!, яка зможе адекватно ввдображати якусь узагальнену закономiрнiсть знещнен-ня для всiх класiв машин i об ладнання [2, 3].
На думку багатьох авторiв великими можливостя-ми для моделювання процесу зношування машин i устаткування в широкому iнтервалi !х життя мае лопстич-на крива. Практичним пiдгвердженням цього служать форми кривих вибуття для промислових об'ектiв майна, отримаш вченими-статистиками з УнiверситеIу штату Айова в США [4]. Ними були проведет дослщження з побудови статистичних моделей i кривих залишкового ресурсу для об'ектiв майна в промисловосп. Завдання цих дослiджень полягало в тому, щоб розробити прак-тичнi моделi для обгрунтованого розрахунку термiнiв служби машин i устаткування, ввдштовхуючись вiд да-них статистики про поступове вибуття експлуатованих об'екгiв при досягненш певного вiку. Суть методу по-лягае в наступному. Видшимо досить представницьку групу машин одного класу, як1 почали експлуатуватися в один час i функцiонують у приблизно однакових умовах. Далi аналiзуемо багаторiчнi статистичнi данi про те, скшьки машин з ще! групи щороку стають непрацез-датними i списуються. Пiдраховуемо ввдсоток машин, яш зак1нчують свое життя в кожному рощ, вщ початко-вого числа машин у данш груш. За отриманими дани-ми будують спочатку емпiричну ламану криву, а попм !! апроксимують у виглядi згладжено! криво! залишко-вого ресурсу.
З точки зору визначення динамши зносу терес мае iнша крива - крива вибуття. Ця крива е дзеркальним вщображенням криво! залишкового ресурсу i також представлена на рис. 1. Вона показуе процес наростан-ня з вiком частки вибулих з експлуатацп машин. Сто-совно до одте! яко!-небудь машини з дано! групи крива вибуття набувае сенсу криво! зносу, що вщображае якусь закожтрну втрату !! техшчного ресурсу або ресурсу довговiчностi.
У лiтературi можна зустрiти кривi зносу для рiзних класiв машин i устаткування, що описуються найчасп-ше степеневими або показниковими функщями. I хоча цi кривi описаш досить складними функцiями, але за формою ва вони схож1 на лопстичну криву. Можна сказати, що найб№ш узагальнене зображення динамь ки зносу на широкому iнтервалi життя об'екпв дае ло-пстична крива [1].
Тому побудова за експериментальними даними оптимальних алгоритшв ввдновлення 8-образних лоп-стичних функцiй е актуальною.
Таким чином, згладжена крива залишкового ресурсу показуе зм^ частки (вщсотка) машин, що продов-жують функцiонувати зi зростанням !х хронолопчного вису, в загальнiй юлькосп машин, яю почали свое життя одночасно з цими машинами.
Авторами [4] були розроблеш 18 титв згладжених кривих, що розрiзняються кривизною, симетричних i асиметричних, здатних вщобразити рiзноманiтнi ситу-ацi!' зносу у рiзнiй технiцi. I хоча щ кривi описанi досить складними функщями, але за формою все вони схож! на лойстичну криву. Як приклад на рис. 1 наведена зглад-жена крива залишкового ресурсу, отримана авторами для газових ввдцентрових насоав.
© Н. О. Нечипоренко, О. В. Коротунова, Ю. В. Мастиновський, 2016 102
100 эо 80 70 60 50 40 30 20 10 0
/
/
/
✓ 1
✓ !
У
___ — 1
10
15
20
25
30
35
-Кривая остаточного ресурса ■ Линия среднего срока службы
Хронологический возраст, годы
— Кривая выбытия
Рис. 1. Кривi залишкового ресурсу i вибуття для газових вщцентрових насоав [4]
Постановка задачi
Нехай функщя / (х), що належить деякому класу Р визначених на [а, ь] функцш, задана сво!ми наближе-
ними значениями /, у = 1, N у вузлах ху- довшьно!
фжсовано! атки А: {а = х1 < х2 <... < xN = Ь}. Потр1бно вадювити цю функц1ю. В якосп вадтовлювально! прий-маеться функщя Я (х), яка належить класу Р 1 задо-вольняе умовг
8(Я) = М 8(ф)
феР '
8(ф) = шах|/ -ф(хг)|
1<г<N 1 '
(1)
Нехай - клас функцш /(х) е Р, що задовольня-ють умов1 \/(хг) - /| <8 , г = 1, N . ОскШьки функц1я Я(х) , що е розв'язком задач1 (1), належить класу FN s, то за умови обмеженосп цього класу, вщновлення функщею Я(х) е оптимальним за порядком точносп в клаа з константою порядку, що не перевищуе двох. В якосп Р розглянемо так1 класи функцш:
- V [а, ь], г = 1,2 - клас неперервних функцш /(х), х е [а, ь], м1тмальне число штервал1в, опуклосп яких на [а, ь] не перевищуе г;
- Щ [а, ь], г = 1,2 - клас неперервних функцш
/(х) е V [а, ь] 1 неубутних на [а, ь].
Вщзначимо, що наявш експериментальш даш /^,
у = о функцп /(х), як правило, не в1дпов1дають на-явно! апрюрно! шформацл про геометричт властивосп функцИ /(х).
Матерiали i методи
Розглянемо задачу вщновлення неперервних опук-лих функцш: знайдемо функцш Я(х), яка задовольняе
умов1 (1) при Р = V [а, ь]. Для визначеносп будемо вва-
жати, що функцп класу V [а, ь] опукн вниз. Розглянемо наступний покроковий
Алгоритм А.
Крок 1. Покласти 5 = 1, к0 = 1.
/к5 /к3-1 _ • /г /к3-\
Крок 2. Обчислити = ш1п ;
хк, - хк7-1 к- <г <Nxг - хк7-1
зафжсувати к7.
Крок 3. Знайти 87 = 1/2 шах (/ - у7 (хг)), де
к7-1 <г <к5
/к - /к . Л (х) = /к-, + ' ^ (х - х^).
Крок 4. Перев1рити: к5 = N ? Якщо так, то перейти до кроку 6, якщо т - до кроку 5.
Крок 5. Збшьшити 5 на одиницю 1 перейти до кроку 2.
Крок 6. Знайти 8(7) = шах 8г .
Крок 7. Покласти zi (х) = у (х) + 8г-, г = 17.
Крок 8. Покласти Я (х) = шах 2{ (х), х е [а, ь] 1 заюнчи-
1<г<7
ти обчислення.
Доведено, що алгоритм А дае розв'зок задач1 (1) при Р = V [а, ь].
Розглянемо тепер задачу вщновлення неперервних опуклих неспадних функцш, тобто задачу (1) при Р = Щ [а, ь]. Розглянемо наступний покроковий Алгоритм А1.
Крок 1. Знайти /п = ш1п / 1 зафжсувати п.
1<г < N
Крок 2. Перев1рити: п = 1 ? Якщо так, то перейти до кроку 3, якщо т - до кроку 4.
Крок 3. Виконати кроки 1-8 алгоритму А 1 зак1пчи-ти обчислення.
ISSN 1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2016
103
Крок 4. Знайти 81 = 1/2тах(/ -/п) i покласти
1<г < п
У1( х) = /п .
Крок 5. Перевiрити: п = N ? Якщо так, то покласти
£(х) = у1(х) + 81, х е [а, ь] i закончили обчислення.
Крок 6. Покласти 5 = 2 , кх = п.
Крок 7. Виконати кроки 2-8 алгоритму А i зак1нчи-ти обчислення.
Доведено, що алгоритм А1 дае рiшення задачi (1) при F = Щ [а, ь].
Розглянемо тепер задачу вщновлення £ - образних функцш. Будемо казати, що точка х* е точкою переги-ну функцп /(х), якщо iснуе число 5 > 0 таке, що в уах точках х е (х* - 5, х*) функцiя /(х) опукла вгору
(вниз), а у вах точках х е (х*, х* +5) функцiя /(х) опукла вниз (вгору). Вщповщно до цього визначення мшмальне число точок перегину функцiй класу ^2 [а, ь] не перевищуе одиницi.
Побудуемо розв'зок зaдaчi (1) при Р = V; [а,ь]. Для визначеносп будемо вважати, що функци класу У2 [а, ь]
опуклi вниз на [а, х*) i опуклi вгору на (х*, ь], де х*-довiльнa точка [а, ь]. Розглянемо наступний покроковий Алгоритм В.
Крок 1. Покласти 5 = 1, к0 = 1, р = 1, п0 = N.
/к5 /к5-\ _ • /г /к5-\
Крок 2. Обчислити-= гот -
xks - xks-1 ks-1 <l<np-1 Хг - Xks l
i зафжсувати ks.
Крок 3. Знайти SS =1/2 k m£ixk (f - y's (xr)).
ks-1 <l< ks
y's(x) = fks-1 + fks -/ks-1 (x-Xks-i).
Xu Xu ,
де
Крок 4. Обчислити
fnp - /пр-1
■ = mm
fl /Пр-1
np-1
ks-1 <l<np-1 xr - X.
p-1
i зафжсувати <
Крок 5. Знайти Sp = 1/2 max (yrp (xr) - f), де
npb^np-1
r / \ r , fnp fnp-1 i \
yp (x) = fnp-1 +-(x - Xnp-1 ) .
Xnp Xnp-1
Крок 6. Перевiрити: Ss <Srp ? Якщо так, то перейти до кроку 7,якщо Hi - до кроку 9.
Крок 7. Обчислити z's(x) = yls(x) + Ss, Sls (x) = max zl (x)
1<i<s
Крок 8. Покласти s = s +1, j = 1 и перейти до кроку 11.
Крок 9. Обчислити zrp(x) = yrp(x)-Srp ,
Srv (x) = min zl (x)
y 1<r<p
Крок 10. Покласти p = p +1, j = 0.
Крок 11. Перейти до кроку 13, якщо s = 1 або p = 1.
Крок 12. Перевiрити: S's-1(xks-1) > Sp-1(xks-1) и
Ss-1(xnp-1) > sp-1(xnp-1) ? Якщо так, то перейти до кро-ку 15.
Крок 13. Перевiрити: ks-1 +1 < np-1 ? Якщо так, то
перейти до кроку 2. Крок 14. Покласти
S (x) =
Sls-1 (x), если a < x < xks 1
g(x), если xk < x < xnp 1
s 1 p 1 , де
Sp-1(x), если xnp-1 < x < b
g(x) = g(x, xks-1 , S's-1 (xks-1 ), xnp-1 , Sp-1 (xnp-1 ))
якщо s > 1 и p > 1;
g(x) = g (x, ^ ^ xnp-1 , Sp-1 (xnp-1 )), якщо s = 1 ; g(x) = g xks-1 , S's-1 (xks-1 ), xN, fN), якщо p =1;
i закин-
ё (х) = ё (х, Щ, Оь М2, и2 )= —-— ( х - Щ ) + «! i з
«2 - М]
чити обчислення.
Крок 15. Перевiрити: 5 = 2 або р = 2 ? Якщо так, то
покласти V = х151ёп(р - 2) + xN5ign(5 - 2) и перейти до кроку 21.
Крок 16. Перевiрити: у = 1 ? Якщо так, то перейти до кроку 18.
Крок 17. Визначити V таке, що >£гр_2(^) = 2гр-1(^) i перейти до кроку 19.
Крок 18. Визначити V таке, що £5-2М = zIs-1 (м>).
Крок 19. Перевiрити: £15-1 (V) < Бгр-1 (м>) ? Якщо так, то перейти до кроку 21.
Крок 20. Покласти 5 = 5 -1, якщо У = 1 и р = р -1, якщо у = 0.
p
xx
n
ISs_j (x), если x1 < x < x
* ,
Srp_j(x), если x < x < xN
де x* = min[c^S-j(x) =SP_j(x), min(w xk_2) < x < x„p j}, якщо j = J;
/ = max |r|SS_j(x) =srp_j(x), xks J < x < max(w, x„p_2) }, якщо j = 0 .
Доведено, що функцiя S(x), побудована в результат виконання алгоритму в , е розв'язком задачi (1) при
F = V2 [a,b].
Побудуемо тепер розв'язок задачi (1) при F = W2 [a, b]. Для визначеносп будемо вважати, що
функцп класу W2 [a, b] неспаднi, опум вниз на [a, x*) i
опуклi вгору на (x*, b], де x* - довшьна точка [a, b]. Розглянемо наступний покроковий Алгоритм Вг
Крок 1. Покласти s = 1, k0 = 1, p = 1, n0 = N .
Крок 2. Перевiрити: s > 1? Якщо так, то перейти до кроку 6.
Крок 3. Знайти fk = min f и зафiксувати k .
1<i <np_1
Крок 4. Перевiрити: ks = 1 ? Якщо так, то перейти до кроку 6.
Крок 5. Знайти S5 = ^^m^f _ fks), Покласти У1(x) = fks и перейти до кроку 8.
Крок 6. Обчислити ——fks_L = min f—
xks - xks-1 ks-i <i<"p-1 x - xks-1
и зафтсувати ks.
Крок 7. Знайти 8's = 1/2 max (f - yls (xt-)), де
ks-1 < j <ks
y\ (x) = fks-1 + fks fks-1 (x - Xks-i).
Xk xk i
Ks Ks-1
Крок 8. nepebipmn: p > 1? Якщо так, то перейти до кроку 12.
Крок 9. Знайти fn = max f i зафiксувати np.
p ks-1 <i < N F
Крок 10. Перевiрити: np = N ? Якщо так, то перейти до кроку 12.
Крок 11. Знайти 8[ = 1/2 max (fn - fi), Поклас-
np <i <Ns p
ти yf(x) = fnp i перейти до кроку 14.
Крок 12. Обчислити
fnp fnp-1
■ = mm
fi fnp-1
xnp xnp-1
kS-1 <i<np-1 xi - xnp-1
i зафiксувати
Крок 13. Знайти Srp = 1/2 max (yp(xi)-f), де
n p i n p-1
yfp (x) = fnp1 +
f - f
nn
x - x,„
-(x - xn )
v np-l' .
Крок 14. Виконати кроки 6-21 алгоритму в i закт-чити обчислення.
Доведено, що функщя S(x), побудована в результат виконання алгоритму в , е розв'язком задачi (1) при
F = W2 [a,b].
Висновки
Наведет алгоритми дозволяють не тiльки зберегти iзогеометричнi властивостi вщновлювано! функци f (x), але i, як показують результати численних ексиерименпв, досягти досить високо! точностi вiдновлення. Тому щ алгоритми можуть бути використат для побудови ста-тистичних кривих зносу.
Список лтератури
1. Ковалев А. П. Определение износа при массовой оценке кузнечно-прессовых машин / А. П. Ковалев, О. В. Теве-лева, О. К. Шинкевич // Кузнечно-штамповочное производство. 2007. - № 8. - С. 40-47.
2. Практика оценки стоимости машин и оборудования : Учеб. / А. П. Ковалев, А. А. Кушель, И. В. Королев, П. В. Фадеев ; под ред. М. А. Федотовой. - М. : Финансы и статистика, 2005. -272 с.
3. Смоляк С. А. Проблемы и парадоксы оценки машин и оборудования. Сюита для оценщиков машин и оборудования / С. А. Смоляк. - М. : РИО МАОК, 2008. -304 с.
4. Anson Marston. Engineering Valuation and Depreciation / Anson Marston, Robley Winfrey, Jean C. Hempstead. -Iowa State University Press, 1953. - 508 p.
Одержано 14.12.2016
n
p
p-1
ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2016
105
Нечипоренко Н.А., Коротунова Е.В., Мастиновский Ю.В. О построении кривой износа для машин и оборудования
Рассматривается задача построения статистической кривой износа машин и оборудования. Предполагается, что наиболее обобщенное изображение динамики износа дает логистическая кривая. Приводится алгоритм восстановления непрерывной функции, заданной своими приближенными значениями в узлах произвольной фиксированной сетки и имеющей в области определения не более одной точки перегиба. В качестве восстанавливающей принимается функция, построенная на основе метода квазирешений. Приводимые алгоритмы восстановления являются оптимальными по порядку точности на соответствующих классах функций.
Ключевые слова: функция одной переменной, восстановление, логистическая кривая, кривая износа, оптимальность по точности.
Nechiporenko N., Korotunova O., Mastinovsky Yu. the construction of the machinery and equipment deterioration curve
The problem of the depreciation of machinery and equipment statistical curve formation is considered. It is assumed that the logistic curve gives the most generalized depreciation dynamics character. An algorithm for restoring the continuous function given by its approximate values in the nodes of an arbitrary fixed grid and which has no more than one point of inflection in its definition area is provided. A function, built on the basis of quasi-solution method is taken as the recovery. Driven recovery algorithms are optimal by the order of accuracy in the respective classes of functions.
Key words: function of one variable, restoration, logistic curve, the curve of wear, optimality on accuracy.
