Використання многочлена Тейлора для чисельного інтегрування табличних функцій від двох незалежних змінних Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.056.5:517.[3+4+51]

ВИКОРИСТАННЯ МНОГОЧЛЕНА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ЧИСЕЛЬНОГО 1НТЕГРУВАННЯ ТАБЛИЧНИХ ФУНКЦ1Й В1Д ДВОХ НЕЗАЛЕЖНИХ ЗМ1ННИХ

Ю.1. Грицюк1, Я.П. Драган2

Показано можливють чисельного iнтегрування табличних функцiй вiд двох неза-лежних змiнних з використанням многочлена Тейлора. З'ясовано, що у багатьох прак-тичних задачах не завжди вдаеться виразити первiсну вщ пiдiнтегральноï функцп через елементарнi функцп. Розроблено метод чисельного iнтегрування таблично!' функцп, який дае змогу обчислити означенi одинарнi штеграли за кожною зi змiнних, а також означений подвшний интеграл за двома змшними. З використанням многочлена Тейлора розроблено алгоритм обчислення площ перерiзiв тривимiрноï фiгури та ïï об'ему, задано!' двома табличними функцями вiд двох змiнних.

Ключов1 слова: довшьна точка простору незалежних змшних; многочлен Тейлора; таблична функця вщ двох змiнних; чисельне штегрування табличних функцш; означе-нi одииарнi штеграли за кожною зi змiиних; означений подвшний штеграл за двома змшними.

Вступ. При виршенш певних проблем штелектуального аналiзу даних icHye багато прикладних задач, у математичному формулюванш яких виникае потреба обчислення штегратв - неозначених i означених, одинарних, под-вiйних i потрiйних, криволшшних i за поверхнею та ш. Найважливiшi з таких задач полягають в обчиcленнi: площi та довжини дуги плоско!' ф^ури; об'ему тша за вiдомими площами поперечних перерiзiв чи тiла обертання; площi по-верхнi будь-яко!' фiгyри чи тша обертання; статичних моментiв i моменлв шер-цiï плоских дуг i ф^ур; координат центра ваги; роботи i тиску [2]. В таких задачах певна пвднтегральна функцш у процес виконання iнженерних розрахунюв часто подаеться у виглядi таблищ.

З курсу вищоï математики [2, ст. 261; 3, ст. 349] вщомо, що для функцп f[x], неперервно! на вiдрiзкy [a, b], означений iнтеграл icнye та визначаеться за формулою Ньютона-Лейбнща

ь b

I = J f[x]dx = F [x] I ba = F[b] - F[a], (1)

a

де F[x] - первicна для функцп fx]. Однак для бшьшосп практичних задач пер-вicнy F[x] не завжди вдаеться виразити через елементарш фyнкцiï. В iнженер-них розрахунках фyнкцiя f[x] часто задаеться у виглядi таблицi ïï значень для певних значень аргумента. Тому для обчислення означеного ^еграла (1) часто використовують наближеш чиcловi методи [2, 4, 5]. Щ методи дають змогу без-посередньо знайти числове значення iнтеграла, базуючись на вщомих значен-нях пiдiнтегральноï функцп (а ^оли i на ïï похщних) у заданих точках, яю на-зивають вузлами.

1 проф. Ю.1. Грицюк, д-р техн. наук, НУ "Л^вськаполггехнка", E-mail: yurii.i.hrytsiuk@lpnu.ua

2 проф. Я.П. Драган, д-р фiз.-мат. наук, НУ "Львгвськаполггехшка", E-mail: yaroslav.p.dragan@lpnu.ua

Свого часу було розроблено значну юльюсть метод1в 1 алгоритма чи-сельного штегрування як аналггичних, так 1 табличних функцш вщ одше!, двох 1 трьох змшних з використання р1зних квадратурних формул [3, ст. 355]. Однак спробуемо дещо удосконалити методику чисельного 1нтегрування табличних функцш, особливо 11 матричш алгоритми, позаяк вона мае ще багато прихова-них можливостей. Тому розроблення надшно! матрично! системи чисельного штегрування табличних функцш вщ одше!', двох 1 трьох змшних з використан-ням многочлена Тейлора е актуальним науковим завданням, деяю результати реал1зацц якого продемонстровано в цш робот1

1. Чисельне штегрування табличноТ функцп вщ двох змшних

Постановки задач чисельного штегрування табличних функцш з одшею, двома чи трьома незалежними змшними можуть мати одну з двох формулю-вань [3, ст. 349]. У робот [1] було розглянуто алгоритми розв'язання деяких задач для таблично! функцп вщ одше! змшно! з використанням многочлена Тейлора. Тут розглянемо деяю алгоритми чисельного 1нтегрування таблично! функцп вщ двох змшних, а вже потш, у 1нших публшащях, ввд трьох змшних.

Табличну функцш У = ДХьX2] ввд двох змшних (табл. 1) можна подати анал1тично!! шгерполянтою [7] у вигляд1 многочлена Тейлора и-го степеня:

2

Х1 Х2 X,2 Х1Х2

22 гш п X, Х2 X,2 Х,Х2 Х2

у = 1 "\Х1, Х21 = Со + с,--+ с2--+ с3— + с4--+ с5—2 +

0 1 1! 2 1! 3 2! 4 1!1! 5 2!

2

Х12Х2

+св— + с7—— +... + с„_1

3! 2!1! р 1!(и -1)

Х1Х2 1 _,_„ Х2_тиг-

(2)

+ с р—2 = Т и[х1, Х2] х С т

де: Ти[хьх2] - рядок Тейлора и-го степеня для двох зм1нних; Ст - транспонова-ний рядок (стовпець) коефщкнлв штерполянти.

№ вузла о 1 г р

Х1 Х1,о Х1,1 Х1,, Х1, р

X 2 Х2,о Х2,1 Х2, г Х2, р

У Уо У1 У, Ур

У табл. 1 введено таю позначення: X = [Хк = [хк,г, г = 1,р]; к = 1,т] - значен-

ня аргументiв таблично! функцп у вузлових точках; р - кшьккть вузлових то-

чок; У = [у,,г = 1,р] - значення таблично! функцп у вузлових точках; т=2 - кшь-

ккть змшних.

Для знаходження значень стовпця Ст з виразу (2) потр1бно сформувати

таку лшшну систему рiвнянь:

, Х1,0 ,

со + + с2

Х2,0

2

с3

1о с Х1,оХ2,о с Хго

X х

2!

с4

1!1!

п

с5^- + ... + ср-^=° = У1 5 2! р и!

со + с1

Х,>

с2

Х2, р .

с3

1,р , с х1,рх2, р

2!

с4

1!1!

с5

Хм. 2!

+...+с

= у

р , = ур, и!

3

Х

п

1!

п

1!

1!

ЗВ1ДКИ

^ т X X2] х с т = у т, т[ Х1, X2]-1 х ут = ст,

(3)

(4)

де: Т[X1, X2] - матриця Тейлора, значення елеменлв яко'1 обчислюються за координатами вузл1в X1 1 X2 штерполяцп; T[X1, X2]-1 - обернена матриця за вщно-шенням до матриц Тейлора; Ут - вектор-стовпець вузлових значень штерполя-Ц11-

Рис. 1. Схема обчислення означених одинарного (а) та подвшного (б) 1нтеграл1в, обмеженого гладкими кривими

Означеш одинарш штеграли вщ многочлена (2) (рис. 1, а) за одшею з1 змшних х1 та х2 з урахуванням (4) визначаються за такими формулами:

ь __

\/п[л1, х^ = (тп+1[х1, х2]\Х1=ь - тп+1[х1, х2]\Х1=й ] х 1x1 х ст;

а V Х2 = х2 Х2 = х2)

} /п[х1, Х2]^2 = ГТП+1[Х1, Х2]Х1=Х1 - ТП+1[Х1, Х2]Х1= Х11 х 1х2 X Ст ,

Х2 =й Х1 =с

(5)

(6)

де: Тп+1[х1,х2] - рядок Тейлора (и+1)-го степеня для двох змшних; 1х1 { 1х2 - матриц штегрування рядка Тейлора вщповщно за змшною х1 та Х2.

Означений подвшний штеграл вщ многочлена (2) (рис. 1, б) за двома змшними х1 та х2 з урахуванням (4) визначаеться за такою формулою:

ь а а ь

я/п[х1, Х2]аХаХ2 = \ ах1\ /п[х1, Х2]аХ2 = \ ах2\ /"[х1, х2]ах1 =

В ас с а

(7)

= IТП+2[Х1, Х2]Х1=ь - ТП+2[Х1, Х2]х,=а) х 1хХ х Ст.

] Х1 Х =с

де Тп+2[х1, х2] - рядок Тейлора (и+2)-го степеня для двох змшних; 1х1х2 - матриця штегрування рядка Тейлора за змшними х11 х2.

Отже, для обчислення значень одинарних 1 подвшних штеграл1в вщ фу-нкцп, задано'1 табл. 1, потр1бно виконати таю дп:

• за даними таблиц сформувати матричне рiвняння (3) та розв'язати його;

• сформувати рядок Тейлора (п+1)-го степеня Тп+1[х\, х2] та матрицi його штегру-

вання 1х1 i 1х2 вiдповiдно за змiнною х1 та х2;

• сформувати рядок Тейлора (п+2)-го степеня Тп+2[х1, х2] та матрицю його штег-

рування 1х1х2 за змшними х1 i х2;

• для означеного одинарного штегралу - тдставити у формулу (5) чи (6) отрима-ний корiнь Ст рiвняння (4) та числовi значення х1 = Ь, х2 = х2 i х1 = а, х2 = х2 (чи х1 = х1, х2 = d i х1 = х1, х2 = с) i виконати вказанi в (5) чи (6) дй множення матриць;

• для означеного подвшного iнтегралу - тдставити у формулу (7) отриманий ко-ршь Ст рiвняння (4) та числовi значення х1 = Ь, х2 = d i х1 = а, х2 = с i виконати вказанi в (7) дй множення матриць.

3. Обчислення площ перерiзiв тривимприо'Г фiгури та и об'ему

Загалом тривимiрна ф1гура, обмежене зверху i знизу опуклими повер-хнями, мае вигляд, який показано на рис. 2, а. В цьому випадку табличн фун-кцй вiд двох змiнних, якi описують опуклi поверхнi тривимiрноí ф^ри, задамо у виглядi табл. 2.

Табл. 2. Загальний вигляд двох табличных функцш вiд двох змтних

№ вузла 0 1 I Р

Х\ х1,0 х1,1 х\, 1 х1, Р

X 2 х2,0 х2,1 х2, I х2, р

У1 У 1,0 У1,1 У2, I У1, Р

У2 У2,0 Уз,1 У2, I У2, Р

Рис. 2. Загальний вигляд тривимЬрног фЬгури (а), обмеженог гладкими поверхнями, та схема обчислення и об'ему (б)

У табл. 2 введено таю позначення: У = \_Ук = [ук^ I = 1, р]; к = 1,2 ] - значення табличних функцш у вузлових точках. Табличш функцй Ук = /к[Хь Х2], к = 1,2 вщ двох змшних можна подати анаттично 1х штерполянтою (2) у виглядi многочлена Тейлора п-го степеня:

Ук = fkn[xh Х2] = Tn[xh Х2] X CjT, k = 1,2, (8)

де: CI, к = 1,2 - транспонований рядок (стовпець) коефщенлв k-от штерполян-ти. Згщно з виразом (3), k-ий стовпець CJ. з виразу (8) е коренем такого лшшно-го матричного рiвняння:

T[Xi, X2] X Ст = Yk\ к = 12 ^ T[Xi, X2]-1 X YjT = Cl, к = 172, (9)

де YkT, к = 1,2 - транспонований рядок (стовпець) значень вузлових точок k-оТ ш-терполяцп.

Обчислення площ nepepi3iB тривимiрноí фiгури (площ плоских фь гур). Згщно з [2, ст. 269], площа плоскоТ фiгури (рис. 3, а), яка обмежена гладкими кривими у = f1n[x1, Х2] i у 2 = f2n[x1, Х2] (де f1n[x1, Х2] < f2n[x1, x2], Х2 - const), ата-кож прямими x1 = a, x1 = b та x2 = x2, визначаеться за такою формулою:

b

51 = J (fZ[xh Х2] - fin[xi, x2]) dxi. (10)

a

Площа плоскот ф^ри (рис. 3, б), яка обмежена гладкими кривими

у'= fn[xi, Х2] i у2 = f2n[x' , Х2] (де f1n[x', x2] < f2n[x', x2], x' - const), а також прямими Х1 = x' , x2 = c i x2 = d, визначаеться за формулою:

d

52 = J (fnx Х2] - f1n[x', Х2]) dx2. (11)

c

Рис. 3. Схема обчислення площ перер1з1в тривим1рно1 фкури (площ плоских ф1гур), обмежених гладкими кривими

Якщо опукт поверхш тривимiрнот фiгури (рис. 3, а) аналогично задано двома iнтерполянтами yk = fkn[x1, x2], к = 1,2 вщ двох змiнних у виглядi многочлена Тейлора n-го степеня (8), то площi перерiзiв двох плоских ф^ур Si та S2 у бу-квеному записi можна визначити за такими формулами:

S1 = F [у', у2]|x^b] = f2n+1[x1, Х2]x1=a - f1n+1[x1, Х2]x1=a , (12)

x2=x2 Х2=Х2 Х2=Х2

52 = F [У, У2]| х,=х; = /2п+1[х1, хЛ Д - /Г^, *2]| Д.

х2е[с^]

(13)

х2=с х2=с

Водночас, у матричному запиа вирази (12) та (13) з урахуванням виразу (9) матимуть такий вигляд:

51 = Тп+1[х1, Л2]\х;=а X х х(С2Т - Ст ) = I Тп+1[х1, х^ - Тп+К х^ ^2=^2 ^ ^2=^2 х=х У

х 1х1 хДС т; (14)

х 1х2 хДС т. (15)

52 = Тп+1[х1,^ х 1х2х(С2Т -С1т) =1 Тп+1[х1,*2]|*,=*; -Тп+1[х1,*,=*;

х2=с ^ x2=d х2=с у

Отже, для обчислення площ плоских ф1гур 51 та 52 вщ двох функцш, за-даних табл. 2, потр1бно виконати таю дп:

• за даними табл. 2 сформувати два матричт рiвняння (9) та розв'язати 1х;

• сформувати рядок Тейлора (п+1)-го степеня Тп+1[х1, х2] i вiдповiднi матрицi йо-

го iнтегрування 1х1 та 1х2;

• пiдставити у формулу (14) отримат коренi С1т к = 1-го матричного рiвняння (9) та числовi значення аргументiв х\ = а i х\ = Ь та х2 = х2, пiсля чого для отриман-ня площi 5[ потрiбно виконати дп множення матриць;

• тдставити у формулу (15) отриманi корет С2 к = 2-го матричного рiвняння (9) та числовi значення аргуменив х1 = х та х2 = с i х2 = d, пiсля чого для отриман-ня площi 52 потрiбно виконати дп множення матриць.

Приклад 1. Нехай вщ функцш Ук = Ук[х1,х2],к = 1,2, заданих табл. 3, пот-р1бно обчислити площ1 плоских фпур 51 та 52 при таких обмеженнях: х1 = Ь =

20, х1 = а = -10 та х2 = х2 = 70; х1 = х' = 15, х2 = d = 95, х2 = с = 46.

Табл. 3. Значення табличных функцш, що описують опуклг

№ вузла 1 2 3 4 5 6

X -10 -10 -10 5 5 20

X 2 46 68 95 62 84 74

У 5 8 18 6 11 9

У2 10 14 26 12 18 14

Зпдно з даними табл. 3, аналггичний вираз 1нтерполянти 2-го степеня для к-о!' табличноí функцп мае мати такий вигляд

Ук = /к2[х1, х2] = с0,к + с1,к х + с^к^2 + сэ,к + с4,к + с5,к т2 = Т ^ЛЦ, х2] х С^, к = 1,2.(16)

х2

х1х2

1! 1! '2! ' 1!1! ' 2! Рядок Тейлора 3-го степеня для зм1нних х1 та х2 матиме такий вигляд:

Т ^хь х2] =

1 х2 хс 1! 1! 2!

х1х2 1!1!

2

х12х2

2

х1 х22

х2

2!

3! 2!1! 1!2! 3!

"3,

(17)

а матриц 1нтегрування 1х1 та 1х2 рядка Тейлора Т 3[хь х2] ввдповщно за змшними х1 та х2 матимуть такий вигляд:

л

2

2

2

3

2

Ixi =

0 0 0 0 0 0

l 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 l 0 0 0 0

0 0 l 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 l 0 0

0 0 0 0 l 0

0 0 0 0 0 l

0 0 0 0 0 0

Ix2 =

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 l 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 l

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 l 0 0 0

0 0 l 0 0 l

(18)

Розв'язками лМйних матричних piBHHHb (9) e числовi значения елемен-пв таких двох вектоpiв-стовпцiв:

C1T =

c1,0 15,4854 c2,0 21,3887 5,9033

С1,1 0,2334 C2,1 0,3150 0,0816

C1,2 -0,4493 ■ CT = C2,2 -0,4829 ; ДC T = -0,0336

C1,3 0,0103 ; C2 c2,3 0,0033 -0,0070

C1,4 -0,0041 C2,4 -0,0054 -0,0012

C1,5 0,0096 C2,5 0,0107 0,0012

(19)

Введемо деяю пpомiжнi змiннi та виконаемо вiдповiднi обчислення:

Дf 3[xl, x2]|x1=-10 = T3[x1, x2]|X1=20 - T3[x1, x2]|x1=-10 =

X2=70 X2=70 X2=70 (20)

= |0 30 0 150 2100 0 1500 10500 73500 0|.

Дf3[Xl,X2]X:=195 = fИ+1[Xl,X2]X1=15 - T^KX2]\,=15 =

X2=46 X2=46 X2 =95 (21)

= |0 0 49 0 735 3454,5 0 5512,5 51817,5 126673,2|.

Значення площi плос^' фiгypи S1, обмеженоï двома iнтеpполянтами yk = fk[x1, x2], k = 1,2 вщ двох змiнних, а також пpямими x1 = b = 20, x1 = a = -10 та x2 = x2 = 70 з ypахyванням (14), (18), (19) i (20) становить:

—i ix1=20 = —

51 = ДT 3[x1, x2] x1=-10 x Ix1 x ДCт = 181,05.

x2=70

Значення площi плос^' фiгypи S2, обмеженоï двома iнтеpполянтами yk = fk"[xí,x2],k = 1,2 ввд двох змiнних, а також пpямими x1 = x1 = 15, x2 = d = 95, x2 = c = 46 з ypахyванням (15), (18), (19) i (21) становить:

—i ix2=95 —

52 = ДT3[x1,x2]X=15 xIx2x ДC = 277,92.

x2=46

Значення площ плоских фiгyp, обчисленi за фоpмyлами тpапецiй з ^о-ком Дг1 = Ax2 = 5, вiдповiдно становлять S1 = 180,55 та S2 = 278,03 кв. од., що пpактично збiгаeться з отpиманими вище pезyльтатами.

Обчислення об'ему тривимiрноï фiгyри. Зпдно з [2, ст. 271], об'ем фь гypи, яка обмежене гладкими повеpхнями y1 = f1n[x1, x2] i y2 = f2n[x1, x2] (де

/"[х\, х2] < /2"[х1, х2]), а також прямими х1 = а i х1 = Ь та х2 = с i х2 = й, визна-чаеться за такою формулою:

Ьй

V = Я(/"[хъХ2] - /<\Х1,Х2]) йХ1йХ2 . (22)

а с

Якщо опуклi поверхнi тривимiрноi фiгури (рис. 2, а) аналiтично задано двома ^ерполянтами ук = /к[х1,х2], к = 1,2 вщ двох змiнних у виглядi многочлена Тейлора "-го степеня (8), то, з урахуванням виразу (9), об'ем ще! фiгури (рис. 2, б) у буквеному записi можна визначити за такою формулою:

х1=Ь х1=Ь

V = F [У1, У2^[ал = /2И+2[х1, х2$:й - /1"+2[х1, х^ , (23)

х2б[с,й] х2 = С х^=С

а у матричному запис - за такою формулою:

х1=Ь

V = Т"+2[х1, ^ай х 1х1х2 х(С2 - С?) = (Т"+2[хь хЦ\х=Ь - Т"+2[х1, х!=а) х X АСт. (24)

х2=с ( хг=й хг=с)

Отже, для обчислення об'ему тривимiрноi фiгури V, опу^ поверхнi яко! описано двома табличними функщями, потрiбно виконати такi дп:

• за даними табл. 2 сформувати два матричт рiвняння (9) та розв'язати !'х;

• сформувати рядок Тейлора ("+2)-го степеня Т"+2[х1, х2] i вiдповiдну матрицю

його штегрування 1х-[х2;

• тдставити у формулу (21) отриманi корет Ск к-го матричного рiвняння (9) та числовi значення аргуменив х1 = а i х1 = Ь та х2 = с i х2 = й, пiсля чого для отри-мання V потрiбно виконати дп множення матриць.

Приклад 2. Нехай вщ функцiй Ук = Ук[х1,х2],к = 1,2, заданих табл. 3, пот-рiбно обчислити об'ем тривишрно! фiгури при таких обмеженнях: х1 = Ь = 20, х1 = а = -10; х2 = й = 95, х2 = с = 46.

Рядок Тейлора 4-го степеня для змiнних х1 та х2 матиме такий вигляд:

Т 4[ х2] =

1 х1 1! х2 х2 х,х2 х2 х,3 х2 х2 х.х22 х3 х4 х3 х2 х 2 х 2 х1х32 х4

1! 2! 1!1! 2! 3! 2!1! 1!2! 3! 4! 3!1! 2!2! 1!3! 4!

(25)

Розв'язками двох лшшних матричних ршнянь (9) е числовi значення двох векторiв-стовпцiв (19).

Введемо деяку промiжну змiнну та виконаемо вщповщш обчислення:

х1=20

АТ 4[х1, х2]х^^о = Т4[х1, х^х1=20 - Т24[х1, х^х,=-10 х2=46 х2=95 х2=46

= |0 30 49 150 2360 3454,5 1500 16700 100830 (26)

126673,2 6250 134333,3 849600 3020143 3207215|. Значення об'ему тривишрно! ф^ури (рис. 2, б), обмежено! двома штер-полянтами ук = /к2[х1,х2],к = 1,2 2-го степеня вщ двох змiнних, а також прямими

х = Ь = 20, Х1 = а = -10 та Х2 = й = 95, Х2 = с = 46 з урахуванням (19), (24) та (26) становить:

х\=Ъ

V = ДТ 4[Х1, Х2]\^

Д1=а Х2=с

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

х ДСт = 9062,16.

Значения об'ему тривимiрноi фiгури, обчислене за формулами трапецш з кроком Дх1 = Дх2 = 5, становить V = 9056,12 куб. од., що практично збпаеться з отриманим вище результатом.

Висновки

1. Встановлено, що для бiльшостi практичних задач обчислення штегра-лiв не завжди вдаеться виразити первiсну вiд пiдiнтегральноi функцii через еле-ментарнi функцii. В шженерних розрахунках пiдiнтегральна функщя часто за-даеться таблицею 11 значень для певних значень аргумента.

2. Наведено метод чисельного ^егрування таблично! функцп вiд двох змiнних з використанням многочлена Тейлора, який дае змогу обчислити озна-ченi одинарнi штеграли за кожною зi змiнних i означений подвiйний iнтеграл за двома змшними. Обчислення означеного одинарного штеграла за кожною змш-ною зводиться до множення виразу, який е рiзницею мiж рядками Тейлора (и+1)-го степеня в заданих межах (кiнцевiй та початковiй), на вiдповiдну матри-цю iнтегрувания та на стовпець коефiцiентiв iнтерполянти. Обчислення означеного подвшного iнтеграла за двома змшними зводиться до множення виразу, який е рiзницею мiж рядками Тейлора (и+2)-го степеня в заданих межах (кшце-вiй та початковiй), на ввдповвдну матрицю iнтегрування та на стовпець коефь цiентiв iнтерполянти.

3. Розроблено алгоритм обчислення площ плоских фпур (перерiзiв триви-мiрноi фпури), заданих табличними функцiями вiд двох змшних з використанням многочлена Тейлора и-го степеня. Для обчислення площi плоско!' фпури потрiбно помножити рядок Тейлора (и + 1)-го степеня на матрицю штегрування для одше! зi змiнних, а також на вираз, який е рiзницю мiж стовпцями коефiцiентiв ^ерпо-лянт (верхньо! та нижньо!), як описують глади кривi плоско!' фiгури.

4. Розроблено алгоритм обчислення об'ему тривишрно! фпури, опуклi поверхнi яко! задано табличними функциями вiд двох змiнних з використанням многочлена Тейлора и-го степеня. Для обчислення об'ему ще! фпури потрiбно помножити рядок Тейлора (и + 2)-го степеня на матрицю штегрування для двох

змшних, а також на вираз, який е рiзницю мiж стовпцями коефiцieнтiв irnepno-лянт (верхньо! та нижньо!'), яю описують oпуклi noBepxHi rpивимipнoi ф^ури.

Лiтература

1. Грицюк Ю.1. Чисельне штегрування табличных функцш для одше! змшно! з використан-ням многочлена Тейлора / Ю.1. Грицюк, Я.П. Драган // Науковий вюник НЛТУ Украши : зб. на-ук.-техн. праць. - Лыив : РВВ НЛТУ Украши. - 2016. - Вип. 26.3. - С. 350-360.

2. Данко П.Е. Вычислительная математика в упражнениях и задачах : учеб. пособ. [для студ. ВТУЗов] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - Ч. I. - Изд. 3-е, [перераб. и доп.]. -М. : Изд-во "Высш. шк.", 1980. - 320 с.

3. Данилина Н.И. Вычислительная математика : учебн. пособ. / Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская, О.П. Кваша, Г.Л. Смирнов. - М. : Изд-во "Высш. шк.", 1985. - 472 с.

4. Davis, P. J., & Rabinowitz, P. (1984). Methods of Numerical Integrations, (2nd ed.). New York - San Francisco - London: Academic Press, 456 p.

5. Sugihara, Masaaki. (1987, February). Methods of numerical integration of oscillatory functions by the DE-formula with the Richardson extrapolation. Journal of Computational and Applied Mathematics, 17(1-2), 47-68. doi:10.1016/0377-0427(87)90038-0

6. Фильц Р.В. Алгоритм вычисления на ЭВМ многочлена Тейлора и его производных / Р.В. Фильц, М.В. Коцюба, Ю.И. Грицюк // Электромеханика : Изв. вузов. - 1991. - № 5. - С. 5-10.

7. Фшьц Р.В. Наближення таблично заданих функцш (штерполяцш та апроксимащя). Конспект лекцш з предмету "Математичш задач1 електромеханжи" для студ. спец. 1801 "Електроме-ханжа" / Р.В. Фшьц. - Лыив : Вид-во ДУ ЛП, 1995. - 60 с.

Надтшла до редакцп 26.06.2016р.

Грыцюк Ю.И., Драган Я.П. Использование многочлена Тейлора для численного интегрирования табличных функций от двух независимых переменных

Показана возможность численного интегрирования табличных функций двух переменных с использованием многочлена Тейлора. Выяснено, что во многих практических задачах не всегда удается выразить первообразную от подынтегральной функции через элементарные функции. Разработан метод численного интегрирование табличной функции, позволяющий вычислить определенные одинарные интегралы по каждой из переменных, а также определенный двойной интеграл по двум переменным. С использованием многочлена Тейлора разработан алгоритм вычисления площадей сечений трехмерной фигуры и ее объема, заданной двумя табличными функциями от двух переменных.

Ключевые слова: произвольная точка пространства независимых переменных; многочлены Тейлора; табличная функция от двух переменных; численное интегрирование табличных функций; определенные одинарные интегралы по каждой из переменных; определенный двойной интеграл по двум переменным.

Gryciuk Yu.Iv., Dragan Ya.P. Use of Taylor Polynomial for Numerical Integration of Table Functions of two Independent Variables

The possibility of numerical integration of table functions of two variables with the use of Taylor polynomial is shown. It is found out that in many practical problems it is not always that one succeeds in expressing the primitive of a subintegral function in terms of elementary functions. A method of numerical integration of a table function which enables us to calculate definite unary integrals with respect to each the variables, as well as to calculate a definite double integral with respect to its two variables is developed. With the use of Taylor polynomial, an algorithm of calculation of areas of sections and of volume of a three-dimensional geometrical solid which is deter-mined by means of two table functions of two variables is developed.

Keywords: arbitrary point of a space of independent variables; Taylor polynomial; table function of two variables; numerical integration of table functions; definite unary integrals with respect to each the variables; definite double integral with respect to two variables.