Кубатурні формули чисельного інтегрування за площею трикутника на основі інтерполяційних повних поліномів Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

За допомогою моделей спрогнозуемо рiчний обсяг короткотермшових кредитiв на наступш два перюди t = 7,8 (табл. 6).

Табл. 6. Прогнозш значення

Перюд (t) Квадратична модель (уке) Експоненцшна модель (yek)

7(2008 р.) 336 723 351512

8(2009 р.) 457 289 540 364

Висновок. Проаналiзовано ефективнiсть банювсько! системи Украши за останнi роки, динашку основних показникiв дiяльностi банюв, а також основш чинники, що впливають на функцiонування банювських установ. На основi ста-тистичних даних проведено математичне моделювання динамiки короткотермь нових та довготермiнових кредитiв за допомогою часових трендiв. Побудовано квадратичну та експоненцшну моделi, ям досить добре апроксимують досль джуваний процес, оскшьки значення коефщента кореляци для обох рiвнянь е близьким до одинищ. За допомогою моделей спрогнозовано рiчний обсяг ко-роткотермiнових та довготермшових кредитiв на наступнi два перюди.

Л^ература

1. Калашникова З.В. Зарубежный опыт жилищного кредитования и его применение в России// Финансовый менеджмент. - 2002, № 1.

2. Ипотека в ФРГ// Бизнес и банки. - 1995, № 5-6. - С. 7.

3. Грабовецький Б.С. Економ1чне прогнозування та планування: Навч. поаб. - К.: Центр навч. лгг-ри. - 2003.

4. Лук'яненко 1.Г., Красшкова Л.1. Економетрика: Пiдручник. - К.: Тов-во "Знання". - 1998.

5. Вкник НБУ. Щомiсячний наук.-прак. журнал Нац. банку Украши. - 2007, № 6 (червень).

УДК 517.945 Доц. В.П. Карашецький, канд. техн. наук -

НЛТУ Украши, м. Лье1в

КУБАТУРН1 ФОРМУЛИ ЧИСЕЛЬНОГО 1НТЕГРУВАННЯ ЗА ПЛОЩЕЮ ТРИКУТНИКА НА ОСНОВ1 1НТЕРПОЛЯЦ1ЙНИХ

ПОВНИХ ПОЛ1НОМ1В

Отримано кубатурш формули чисельного штегрування за площею трикутника на основ1 штерполяцшних повних полшом1в для лагражевого трикутника першого, другого, третього i четвертого порядив.

Ключов1 слова: кубатурна формула, лагранжевий трикутник, симплексш ко-ординати.

Assist. prof. V.P. Karashetskyy - NUFWT of Ukraine, L'viv

Cubature formulas for numerical integration through triangle area with full interpolation polynomials

Cubature formulas for numerical integration through triangle area were obtained with full interpolation polynomials for Lagrangian triangle of the first, second, third and fourth orders.

Keywords: cubature formula, Lagrangian triangle, natural coordinators.

Розглянемо задачу обчислення штегралу:

J f(x y)ds, (1)

sm

де: /(х, у) - неперервна функщя у межах лагранжевого трикутника, якщо за-данi значення функци /(х, у) у вузлах, як вказано на рис. 1; sm - площа лагранжевого трикутника.

У загальному випадку кiлькiсть Р вузлiв лагранжевого трикутника до-рiвнюе кiлькостi членiв повного двовимiрного полшому п-го степеня i визна-чаеться за формулою

р = !(п + 1)(п + 2).

(2)

1нтерполюемо функцiю / (х, у) повним полшомом п-го степеня

/(х, у) = КП, (3)

де К = (1 х, у, ху, х2, у2,..., хп, уп) (4)

координатний вектор поточно! точки з координатами х, у; п* = (пь---,пр)* -вектор-стовпець коефщенпв полiному.

Рис. 1.

Лагранжевi

трикутники:

а) першого порядку;

б) другого порядку;

в) третього порядку;

г) четвертого порядку

Склавши вирази виду (3) для кожного з Р вузлiв лагранжевого трикутника, отримуемо векторне рiвняння

/* = К*п*, (5)

де /* = (/!,...,/р)* - P-вимiрний вектор-стовпець значень функци/(х, у) у вузлах лагранжевого трикутника;

К* =

1 х1 у ху

хп1 у1п

V п -,, п

хр ур

(6)

1 хр ур хрур . .

- P-вимiрна квадратна матриця, рядки яко! е координатними вектор ами ви-гляду (4) у вузлах лагранжевого трикутника. З (5) випливае, що п* = К*-1/* , тому

/(х, у) = КК*-1/*. (7)

Перепишемо вираз (7) у такому виглядi

/(х, У) = Ы*, (8)

де N = КК-1 = (N1,..., Ыг) (9)

- вектор-рядок функцiй форми (базисних функцiй). Поставивши (5) у вираз (8), з врахуванням (6) отримуемо

р

р

р

р

р

/(х, у) = Ык*п = тЩ Ыу + п1 + Ы1У1 +... + пр-1^ Ы]х] + пр2 ЫУ, (10)

1=1 1=1 1=1 1=1 1=1

де у-порядковий номер вузла лагранжевого трикутника.

Порiвнюючи (10) з (3), отримуемо систему р рiвнянь такого вигляду

р

р

р

р

р

I Ыу = 1; I Ых = х- I ЫуУу = ЫХ = х" I Ыу = у", (11)

у=1 у=1 у=1 у=1 у=1

якiй мають задовольняти функци форми повного двовимiрного полiному п-го степеня.

Шуканий iнтеграл (1) з врахуванням (8) набувае такого вигляду:

\ /(х, у^ =\ N/*ds. (12)

5т 8т

Скористуемося для лагранжевого трикутника симплексною системою вщносних координат [3], у якiй симплексш координати Ь1, и2, Ь3 точки Е, що належить трикутнику (рис. 2), визначаються як вщношення площ

и — , i — 1,3,

5т

(13)

де: si - площа трикутника з вершиною у точщ Е i стороною, протилежною ^ iй вершит трикутника; ът - площа лагранжевого трикутника.

Рис. 2. Симплексш координати в лагранжевому трикутнику

Для будь-яко! точки, розмщено! на сторош, протилежнш мй вершинi,

и = 0, i е {1,2,3}. (14)

Екстремальнi значення симплексних координат лежать в межах вщ 0 до 1. Зв'язок мiж симплексними i декартовими координатами визначаеться системою рiвнянь:

L1x1 + L2 x2 + L3x3 = x;

Ly + L2yi + L3y3 = y; (15)

Li + L2 + L3 = 1,

де xu yi, i = 1,3 - координати вершин трикутника.

За початок прямокутно! системи координат можна прийняти будь-яку точку всередиш трикутника, однак частше всього його помщають в одну з вершин трикутника. Розташування координатних осей X, Y прямокутно! системи вибираеться довiльно.

Як видно Ï3 порiвняння (15) з (11), для лагранжевого трикутника пер-шого порядку симплексш координати е одночасно функщями форми, тобто

N1 = L1; N2 = L2; N3 = L3. (16)

Згiдно з методикою, викладеною в [3], елементи вектора N функцш форми для лагранжевих трикутниюв, зображених на рис. 1, б, в, г, визнача-ються за формулами:

• для лагранжевого трикутника другого порядку

N1 = L1(2L1 -1); N2 = L2(2L2 -1);

N3 = L3(2L3 -1); N4 = 4L2L3; (17)

N5 = 4L1L3; N6 = 4L1L2,

• для лагранжевого трикутника третього порядку

N1 = 2 L1(3L1 - 1)(3L1 - 2); N2 = 1 L2(3L2 - 1)(3L - 2);

N3 = 2 L3(3L3 - 1)(3L3 - 2); N4 = 2 L2L3(3L2 -1);

N5 = 9 L1L3PL3 -1); N6 = 2 L1L2PL1 -1); (18)

N7 = 9 L2L3(3L1 -1); N8 = 9 L1L3PL1 -1);

N9 = 9 LL2(3L2 -1); N10 = 27L1L2L3,

• для лагранжевого трикутника четвертого порядку

N1 = 3L1(32L3 - 48Lj + 22L1 - 3); N2 =1 L2(32L32 - 48L22 + 22L2 - 3);

N3 = 1 L3(32L3 - 48L23 + 22L3 - 3); N4 = у L2L3(8L| - 6L2 +1);

N5 = 16 L1L3(8L23 - 6L3 +1); N6 = y L^L2 - 6L1 +1);

N7 = 4L2L3(16L2L3 - 4L2 - 4L3 +1); N8 = 4L1L3(16L1L3 - 4L - 4L3 +1); (19) N9 = 4L1L2(16L1L2 - 4L1 - 4L2 +1); N10 = y L2L3(8L3 - 6L3 +1);

= №(8£? - 6Д +1); N12 = у №(84 - 6^2 +1);

N13 = -1); N14 = 3ВД^з(412 -1);N15 = -1) •

Як видно з (16)-(19), функци форми для лагранжевих трикутниюв ма-ють вигляд алгебра!чних виразiв вiдносно симплексних координат.

Друга перевага симплексно! системи координат полягае в тому, що ш-тегрування за площею 8т лагранжевого трикутника може бути легко виконане в анаштичному вигляд^ якщо застосувати вiдому формулу штегрування [4]

г , а!Ь,с•

I = ( Ь • • 2),2^т, (20)

J (а + Ь + с + 2),

де площа 8т трикутника визначаеться через координати його вершин у пря-мокутнш системi координат за формулою

1 *1 У1

1J — det

2

(21)

1 ^2 Д>2

1 Х3 У3

Враховуючи (12), (16), (20), отримуемо кубатурну формулу для лагранжевого трикутника першого порядку

23

J f(x, y)ds = J (N1/1 + N2/2 + N3f3)ds = /J Lds + /2 J ¿2ds + /3 J L3ds = — sm2 fi,

3! i=1

sm sm sm sm sm

13

або остаточно J /(x, y)ds = sm -^ /j- (22)

Sm j =1

Площа sm трикутника обчислюеться згiдно з (21). Пiдставляючи (17)-(19) у (12) i враховуючи (20), отримуемо кубатурнi формули для лагранжевого трикутника другого, третього i четвертого порядюв

1 6

J /(x y)ds = Sm 32 /í; (23)

Sm j=4

J /^ y)dS = Sm(^ 2 /j + ^2 /j + /10); (24)

Sm j=1 j=4

J /(x,y)ds = Sm(452 /j -^ 2 /i + 2 /j + 77 2 />)■ (25)

sm j=4 47 j=7 47 j=10 47 j=13

Кубатурнi формули (22), (23) з врахуванням (21) збiгаються з кубатур-ними формулами, наведеними у довщковш лiтературi з чисельного штегрування, наприклад [1, 2]. Кубатурш формули (24), (25) для лагранжевих трикутниюв третього i четвертого порядюв отримаш вперше.

Вказаним способом можна отримати кубатурнi формули для лагранжевих трикутниюв бшьш високих порядюв.

Л^ература

1. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. -М.: Наука, 1966. - 372 с.

2. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. - М.: Наука, 1981. - 336 с.

3. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979. - 392 с.

4. Eisenberg M.A., Malvern L.E. On Finite Elements Integration in Natural Coordinators, Intern. J. for Numerical Methods in Engineering, 1973, Vol. 7, pp. 574-575.

УДК517.39: 519.872.6 Доц. Р.В. Зтько, канд. техн. наук -

НУ "Львiвська полiтехнiка"

ВИКОРИСТАННЯ КОМП'ЮТЕРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ПРИ ОЦШЦ1 ЙМОВ1РНОСТ1 ДОРОЖНЬО-ТРАНСПОРТНИХ ПРИГОД

Використання кл^инкових автоматив при моделюванш дорожньо-транспорт-них пригод (ДТП) дае змогу вираховувати ймовiрнiсть виникнення пригоди у кожнш точцi дороги з урахуванням перебування в цш точцi автомобiля. При використаннi комп'ютерного моделювання на основi принципiв кл^инкових автоматiв можна сформувати вiртуальну статистичну базу залежно вщ найрiзноманiтнiших чинниюв, що спричинюють ДТП на заданому перехрестi.

Assist.prof. R.V. Zinko-NU "L'vivs'kaPolitekhnika" The computer modeling of origin of road accident

The cellular automata for modeling of road accidents enables to calculate the probability of origin of accidents in every point of the road. The stay of a car in this point is taken into account. At the computer modeling on the basis of principles of cellular automata a virtual statistical base is formed. It takes the most various road factors on the set crossing into account.

У р1зних галузях науки i техшки зростае роль математичних метод1в дослщження складних систем i процеЫв 1х функцюнування. Загальновизна-но, що зi вЫх керованих процешв, що вивчаються на основi статистичних да-них, найскладнiшi протжають в економiчних i сощальних системах, до яких належить система забезпечення безпеки дорожнього руху.

Останшм часом питання забезпечення безпеки дорожнього руху рiзко загострилася, зросли вимоги до якост аналiзу i шдготовки пропозицiй з прийняття управлiнських ршень. Тому для оброблення, аналiзу та штерпре-таци великих обсягiв початково! шформаци використовують математичнi модели що отримуються на основi методiв багатовимiрного оброблення даних та статистичних даних.

Серед математичних моделей, як формуються на основi оброблення статистичних даних, можна вщзначити моделi для прогнозування [1]. Прогнозуван-ня в управлiннi системою забезпечення безпеки дорожнього руху дае змогу [2]:

• проанал1зувати тенденци розвитку стану аваршносп i оцшити стан аваршносп в майбутньому;

• виявити показники i чинники, що найбшьш штотно впливають на стан аваршносп;

• юльшсно оцшити стутнь цього впливу;

• визначити можлив1 змши у структур1 аваршносп в майбутньому i спрогнозу-вати основы напрями роботи з1 забезпечення безпеки дорожнього руху;

• виявити р1зт альтернативи дш для досягнення поставлено! мети, а також сформувати сам1 цш;

• обгрунтувати управлшсью ршення щодо оптимального розпод1лу наявних сил, засоб1в, фшансових i матер1альних ресуршв.