CC BY
12
жимiв сушшня пиломатерiалiв знайдено iнтегральнi значення ентальпи (теплов-мюту) залежно вiд вологост деревини i товщини матерiалу. Уточнено методику витрат розрахунку теплоти i повiтря на процес сyшiння i визначено середне значення ексерги (nQ=0,14) одного кшограма циркyляцiйного повггря в камерi
2. Iдентифiковано закономiрностi змiни режимних параметрiв за ix ш-тегральною величиною - ентальшею в процесi сyшiння букових пиломатерь алiв у виглядi фyнкцiональноi залежност Hi=f(Wi, S1). Залежностi апроксимо-вано за методом середшх та методом найменших квадратiв. Отримано загаль-не розрахункове рiвняння, яке поеднуе режимш параметри середовища (температуру (tc), вiдноснy вологiсть (ф)) та характеристику матерiалy (вологiсть (Wi), товщину (S1)) в процесi сyшiння букових пиломатерiалiв. За величиною змiни ентальпи, де 12«11 та вологовмiстy (d2) можна визначати питомi витрати теплоти на випаровування 1 кг вологи.
Лгтература
1. Кречетов И.В. Сушка и защита древесины. - М.: Лесн. пром-сть, 1987. - 432 с.
2. Соколов П.В. Сушка древесины. - М.: Лесн. пром-сть, 1968. - 360 с.
3. Серговский П.С., Расев А.И. Гидротермическая обработка и консервирование древесины. - М.: Лесн. пром-сть, 1987. - 360 с.
4. Руководящие технические материалы по технологии камерной сушки древесины. -Архангельск.: ЦНИИМОД, 1985. - 143 с.
5. Билей П.В. Сушка древесины твердых лиственных пород. - M.: Экология, 1992. -
224 с.
6. Бшей П.В., Гуменюк Ж.Я., Соколовський I.A. Споаб сушшня деревини// Деклара-щйний патент на винахвд. Бюл. № 12 ввд 15.12.2003 F26B3/00, № 2003021463.
УДК 517.945 Доц. В.П. Карашецький, канд. техн. наук -
НЛТУ Украти, м. nbsis
КУБАТУРН1 ФОРМУЛИ ЧИСЕЛЬНОГО 1НТЕГРУВАННЯ ЗА ОБ'СМОМ ТЕТРАЕДРА НА ОСНОВ1 1НТЕРПОЛЯЦ1ЙНИХ
ПОВНИХ ПОЛ1НОМ1В
Отримаш кубатурш формули чисельного штегрування за об'емом тетраедра на 0CH0Bi штерполяцшних повних полiномiв для лагражевого тетраедра першого, другого, третього i четвертого порядкiв.
Ключов1 слова: кубатурна формула, лагранжевий тетраедр, симплекснi координати.
Assoc. prof. V.P. Karashetskyy-NUFWTof Ukraine, L'viv
Cubature formulas for numerical integration through tetrahedron volume
with full interpolation polynomials
Cubature formulas for numerical integration through tetrahedron volume were obtained with full interpolation polynomials for LaGrange tetrahedron of the first, second, third and fourth orders.
Keywords: cubature formula, LaGrange tetrahedron, natural coordinators. Розглянемо задачу обчислення штегралу
j^(x, y, z)dv, (1)
Vm
де: с(х, у, ¿) - неперервна функцiя у межах лагранжевого тетраедра, якщо за-данi значення функци с(х, у, ¿) у вузлах, як вказано на рис. 1; ут - об'ем лагранжевого тетраедра.
Рис. 1. Лагранжевi тетраедри: а) першого порядку; б) другого порядку; в) третього порядку; г) четвертого порядку
У загальному випадку кшьюсть Р вузлiв лагранжевого тетраедра до-рiвнюе кшькосл членiв повного полiному п-го степеня i визначаеться за до-помогою такого виразу
Р = (Щ^.. (2)
п !3!
1нтерполюемо функцш co(x, y, z) повним полшомом n-го степеня
c(x, y, z) = Krj*, (3)
де K = (1, x, y, z, xy, yz, zx, x2, y2, z2, xyz,..., xn, yn, zn) (4)
- координатний вектор поточно'' точки з координатами x, y, z, яка зобра-жаеться вектором-рядком, що мiстить добутки вигляду xaybzc(a,b,c <= n,a + b + c <= n) ; rj* = (ni,- -,tfp)* - вектор-стовпець коефь щенпв полiному.
Склавши вирази виду (3) для кожного з P вузлiв лагранжевого тетраедра, отримуемо векторне рiвняння
сс* = K*n*, (5)
де: с* = (с1,...,сР)* - P -вимiрний вектор-стовпець значень функцiï œ(x,y,z) у
вузлах лагранжевого тетраедра;
K* =
1 xi yi zi xiyi yizi zixi . . . xin y1 zi
. xP yP zP
(6)
i xp yP ZP xPyP yPzP ZPXP .
P - вимiрна квадратна матриця, рядки яко'' е координатними векторами вигляду (4) у вузлах лагранжевого тетраедра. З (5) випливае, що n* = K*-1C*, тому
c(x, y, z) = Kk*-1C* . (7) Перепишемо вираз (7) у такому виглядi
c(x, y, z) = Nœ*, (8)
де N = Kk*-1 = (Ni,..., Np) (9)
- вектор-рядок функцш форми (базисних функцш). Поставивши (5) у вираз
(8), з врахуванням (6) дютаемо
r p p p p
c(x, y, z) = NK*n* = riZ Nj + П2 Z Njxj + nZ Njyj + П Z N-z- +... +
, (10)
j=i j=i j=i j=i p p p
+np - 2 Z j + np-iS Njyn + np Z j, j=i j=i j=i
де j - порядковий номер вузла лагранжевого тетраедра.
Порiвнюючи (10) з (3), отримуемо систему P рiвнянь такого вигляду
p p p p
Z nj = 1; Z njxj = x; Z Njyj = y; Z Njzj = z;
j=1 j=1 j=1 j=1 /-11Ч
(ii)
p p p v '
...Z Njxn = xn; Z Njyn = yn; Z Nrf = zn, j=i j=i j=i
якiй повиннi задовольняти функцiï форми повного полiному n-го степеня.
Шуканий iнтеграл (1) з врахуванням (8), тепер мае вигляд
| со(х, у, ■£)& = | N3^. (12)
Vт Vт
Скористуемося для лагранжевого тетраедра симплексною системою вiдносних координат [2], в яко! симплекснi координати Ь1, 72, 73, Ь4 точки Е, що належить тетраедру (рис. 2), визначаються як вiдношення об'еклв
V,
7 = , I = 1,4, (13)
Vm
де: V, - об'ем тетраедра з вершиною у точцi Е i гранню, протилежною мй вершит тетраедра; vм - об'ем тетраедра.
Рис. 2. Симплексш координати в лагранжевому тетраедрi
Для будь-яко! точки розмщено! на граш, протилежнш ¡-т вершинi,
и = 0. (14)
Екстремальш значення симплексних координат лежать у межах вщ 0 до 1.
Зв'язок мiж симплексними i декартовими координатами визначаеться системою рiвнянь
7\Х1 + —2 Х2 + —3X3 + —4 Х4 = х;
и у + -2 У2 + -3 Уз + -4 У4 = у; (15)
+ —2 22 + -3^3 + —4 24 = 2;
— + Ь2 + 73 + 74 = 1, де хь у,, 21,, = 1,4 - координати вершин тетраедра.
(17)
За початок прямокутно! системи координат можна прийняти будь-яку точку всередиш об'ему тетраедра, однак найчастше його помщають в одну з вершин тетраедра. Розташування у просторi координатних осей ХУ7 прямокутно! системи вибираеться довшьно.
Як видно iз порiвняння (15) з (11), для лагранжевого тетраедра першо-го порядку симплексш координати е одночасно функщями форми, тобто
N1 = Ь\; N2 = —2; N3 = —3; N4 = —4. (16)
За методикою, викладеною в [2], елементи вектора N функцш форми для лагранжевих тетраедрiв, зображених на рис. 1 б, в, г, визначаються за формулами:
• для лагранжевого тетраедра другого порядку
N1 = —1(2—1 -1); N2 = —2(2—2 -1);
N3 = —3(2—3 -1); N4 = —4(2—4 -1);
N5 = 4—2—3; N6 = 4—1—3; N7 = 4—1—2; N8 = 4—2—4; N9 = 4—3—4; N10 = 4—1—4,
• для лагранжевого тетраедра третього порядку
N1 = 2 —1(3—1 -1)(3—1 - 2); N2 = 2 —2(3—2 -1)(3—2 - 2); N3 = 2 —3(3—3 -1)(3—3 - 2); N4 = 2 —4(3—4 -1)(3—4 - 2); N5 = 2 —2—3(3—2 -1); N6 = 2 —1—3(3—3 -1); N7 = 2 —1—2(3—1 -1); N8 = 2 —2—3(3—3 -1); N9 = -2 —1—3(3—1 -1); N10 = "2 —1—2(3—2 -1); (18)
N11 = -2 —2—4(3—2 -1); N12 = 2 —3—4(3—3 -1); N13 = "2 —1—4(3—1 -1); N14 = "2 —2—4(3—4 -1);
N15 = 2 —3—4(3—4 -1); N16 = "2 —1—4(3—4 -1); N17 = 27—1—2—3; N18 = 27—2—3—4; N19 = 27—1—3—4; N20 = 27—1—2—4,
• для лагранжевого тетраедра четвертого порядку
N1 = 3 —1(32—3 - 48—2 + 22—1 - 3); N2 = 3 —2(32—32 - 48—2 + 22—2 - 3); N = 3 —5(32— - 48—23 + 22—3 - 3); N4 = 3 —4(32—34 - 48—24 + 22—4 - 3); N5 = 16 —2—3(8—2 - 6—2 +1); N6 = —1—3(8—2 - 6—3 +1);
N7 = 16¿¿2(84 - 67 +1); N = АЬ2ЬЗ{АЬ2 - 1)(47 -1);
N9 = N11
47^3(474 - 1)(47 -1); N10 = 47^(471 -1)(47 -1); = 167гЬз{8Пз - 67з +1); N12 = 167^(872 - 67 +1);
N13 = 161782 - 672 + 1); N14 = 16¿274(872 - 6^2 +1);
N15 = 16 ¿¿4(872 - 67з +1); N16 = 16 774(872 - 6 ¿1 +1);
N17 = 4127(472 -1)(474 -1); N18 = 47з7(47з -1X47 -1);
(19)
N19
4774(471 -1)(47 -1); N20 = 167274(872 - 674 +1);
N21 = 167374(872 - 674 +1); N22 = 167174(8724 - 674 +1);
N23 = 327хЪ17з(47х -1); N24 = 327773(47 -1); N25 = 3271727з(47з -1); N26 = 32727з74(47з -1); N27 = 32727з74(474 -1); N28 = 32727з74(472 -1); N29 = 32717з74(47з -1);N30 = 327,77(47, -1); N31 = 32717374(474 -1); N32 = 327774(47 -1); N33 = 32717274(474 -1); N34 = 327,127,(412 -1); N35 = 25671727374.
Як видно з (16)-(19), функцп форми для лагранжевих тетраедрiв ма-ють вигляд алгебрашних виразiв стосовно симплексних координат.
Друга перевага лагранжевого тетраедра може бути легко виконане в анаштичному виглядi, якщо застосувати вiдому формулу iнтегрування [3]
17аАЩ*Ф = --а!Ь!С_ (20)
(а + Ь + с + й + 3)
де об'ем ут тетраедра визначаеться через координати його вершин у прямо кутнш системi координат за формулою
1
1 ^ ут = — ай т 6
х1 У1
Х2 У2
х3 У3
х4 У4 ^4
(21)
Враховуючи (12), (16), (20), отримуемо кубатурну формулу для лагранжевого тетраедра першого порядку
| с(х, у, = | (Мс + N2a2 + + N4с4)dv =
= с 17й + со2172dv + со317й + со417й =—vm(с1 + с2 + со3 + с4),
або остаточно
1 4
jc( x, y, z)dv = - У
vm 4 J=1
(22)
Об'ем vm тетраедра обчислюеться згiдно з (21). Формула (22) з враху-ванням (21) зб^аеться з кубатурною формулою для тривимiрного симплексу, наведеною у [1].
Пщставляючи (17)-(19) у (12) i враховуючи (20), отримуемо не вiдомi рашше кубатурнi формули для лагранжевого тетраедра другого, третього i четвертого порядюв
1 - 1 10 j ю(Х y, z)dv = vm - — ^ СОJ + 5 ^ (ОJ
Vm V 20 J =1
5 J=5 )
f 1 4 9 20 ^
j c(x, y,z)dv = vm — У ю + — У СО,-J m V 40 J=1 J 40 Ä J .
84 J=1
f 1 4 4 10 1 16 4 34
j((x,y,z)dv = vm -—Ую-+105УС-У ю+У ю +
V ~ . J =! J=5 35 J=11 105 J=17
Вказаним способом можна отримати кубатурш формули для лагран-жевих тетраедрiв бiльш високих порядюв.
Як бачимо з (24) кубатурна формула для лагранжевого тетраедра третього порядку не залежить вщ значень функци c(x, y, z) у вузлах з 5 до 16,
що значно спрощуе и обчислення.
Л1тература
1. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. -М.: Наука, 1966. - 372 с.
2. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979. - 392 с.
3. Eisenberg M.A., Malvern L.E. On Finite Elements Integration in Natural Coordinators, Intern. J. for Numerical Methods in Engineering, 1973, Vol. 7, p. - P. 574-575.
j=17 ; 34
У
105 ¿7
32 105
С 35
(23)
(24)
(25)
m
УДК332.133.6:658.7 (477.83) Acnip. М.В. Гомонай-Стрижко -
1нститутрегюнальних до^джень НАН Украти
ОБГРУНТУВАННЯ МОДЕЛ1 ЛОГ1СТИЧНОГО ЦЕНТРУ "СИГН1ВКА" У М1СТ1 ЛЬВОВ1
Розроблено i обгрунтовано ефективну математично-транспортну модель лопс-тичного центру на територп промислового вузла "Сигшвка" у мсп Львова Наведено структуру нового лопстичного центру "Сигшвка".
Post-graduate M.V. Gomonaj-Stryzhko - Regional research institute NASU Substantiation of the model of the logistic centre "Sygnivka" in the city of Lviv
This article elaborates the efficient mathematical transport model of the logistic centre on the territory of the industrial complex in the city of Lviv. The structure of the new logistic centre "Sygnivka" has been described.
