CC BY
19
УДК 517.945 Доц. В.П. Карашецький, канд. техн. наук - НЛТУ Украти, м. Лшв
РОЗРАХУНОК ТРИВИМ1РНИХ ПОТЕНЩАЛЬНИХ МАГН1ТНИХ ПОЛ1В МЕТОДОМ К1НЦЕВИХ ЕЛЕМЕНТ1В
Виведено основнi формули методу кiнцевих елементш для розрахунку тривишр-них статичних потенцiальних магнiтних полгв в областях, заповнених нелiнiйними без-гiстерезисними анiзотропними середовищами, з використанням лагранжевих кiнцевих елементiв 1-4 порядюв, кубатурних формул чисельного iнтегрування та терацшного методу Ньютона.
Ключовi слова: потенщальне магнiтне поле, магнiтна характеристика, лагранже-вий тетраедр, метод юнцевих елементiв, кубатурна формула.
Розглянемо краеву задачу розрахунку статичного магнiтного поля у три-вимiрнiй областi Б об'емом V, вшьнш вщ струмiв. Для зручностi мiркувань припустимо, що всерединi областi Б маемо однорщне, безгiстерезисне середо-вище з нелМйними магнiтними властивостями. Це потенщальне магнiтне поле описуеться ршняннями:
гоН = 0, (1)
ат = о, (2)
де: Н, В - вщповщно вектор напруженосп магштного поля i вектор магштно!' iндукцií, пов'язаш мiж собою через магштну характеристику середовища
В = В[Н] або Н = Н[В]. (3)
Скалярний магштний потенциал и, пов'язаний з Н сшввщношенням
Н = -^гайи, (4)
яке задовольняе умову (1).
Основне ршняння, що описуе це магштне поле, одержимо, якщо шдста-вити (4) з врахуванням (3) у рiвняння (2),
йпВ^гайи ] = 0 (5)
Вщповщно до вiдомого принципу мшмуму збережено! енергií магштно-го поля, розподш потенциалу и в обласп Б повинен бути таким, щоб мiнiмiзу-вати цю енергда. Знаходження мiнiмуму енергií чи коенергií потенщального магнiтного поля математично еквшалентне розв'язанню ршняння (5).
Якщо на межi Г областi розрахунку Б задано розподш потенщалу и, тодi всерединi областi встановлюеться таке магштне поле, якому вiдповiдае мь шмум збережено! магнiтноí коенергií, представлено! функщоналом
Р = | WdV, (6)
V
В _ _
де W = | ВйН (7)
о
- густина коенерги магнiтного поля.
Розподш потенщалу и всередиш обласп Б, що мiнiмiзуе функщонал Р, забезпечуе розв'язання краево!' задачi. Умову мiнiмуму функцiонала представляемо у вигляда
3=и§ г=°. (8)
Враховуючи довшьшсть вар1ацп Зи, визначаемо
^ = (9)
аи
Цю краеву задачу можна також розв'язати, використовуючи векторний магштний потенщал А, який задовольняе р1вняння
В = гоА, (1°)
цим самим забезпечуючи виконання умови (2).
Основне р1вняння магштного поля одержимо, якщо шдставити (1°), (3) в ршняння (1), тод1
гоГ#[гоГА] = °. (11)
При заданн векторного потенщалу на меж1 Г, його розподш всередит обласп В, як 1 у випадку скалярного потенщалу, буде мЫм1зувати енергетич-ний функщонал вигляду (6). Умова мшмуму функщонала набуде вигляду
^ = 0. (12) аА
Однак векторний потенщал характеризуеться в кожнш точщ тривишр-ного магштного поля трьома компонентами, а скалярний - тальки одшею, тому застосування скалярного потенщалу для розрахунку потенщальних магштних пол1в потребуе втрич1 меншо! кшькоста неввдомих. Отже, шд час розрахунюв тривимрного потенщального магштного поля необхщно використовувати скалярний магштний потенщал.
Для побудови кшцево-елементно! модел1 заповнимо область розра-хун-ку сукупнктю лагранжевих тетраедрш п -го порядку [2].
Нехай внаслвдок дискретизацц (тр1ангуляцп) тривишрно! областа розрахунку В маемо М лагранжевих юнцевих елементав (КЕ). Кожному з них прис-во!мо порядковий номер т (т = 1,М) 1 локальну нумеращю вузл1в, зпдно з якою г -му вузлу т -го КЕ вщповдае номер тг. Для вс1е! областа розрахунку встановимо йткову (наскр1зну) нумеращю К внутршшх вузл1в 1 О граничних вузл1в. Поточн значения порядкових номерш внутршшх вузл1в позначимо г.
Для кшцево-елементно! областа функщонал Е з врахуванням (6), (7) набуде вигляду
М М
Е = I Ет = I Ш, (13)
т=1 т=1
де: Шт = \ шау; (14)
Ут
- коенерпя т -го КЕ; ут - об'ем т -го КЕ, що визначаеться через координати його вершин у прямокутнш систем1 координат за формулою
хт1 ут1
хт2 ут2
хт3 ут3
хт4 ут4
2т\ 2т2 2т3 2т4
(15)
Утворимо К -мiрний вектор-рядок i вектор-стовпець потенцiалу и у внутрiшнiх вузлах
и = (иь...,ик); и* = (иь...,ик> (16)
Умова мшмуму функцiонала Р з врахуванням (9) рiвносильна нель нiйнiй системi алгебрамних рiвнянь
- - ар ==о.
аи*
(17)
Застосуемо для (14) кубатурш формули чисельного iнтегрування за об'емом лагранжевого тетраедра [2]. Наприклад, у випадку використання лаг-ранжевих тетраедрш першого порядку, кiлькiсть вузлiв у яких р=4, одержимо
4
Рт = ~ УтХШ
„Ут
4 =1
Нт
де
Ш
•• п
i = | ван.
(18)
(19)
о
Представимо залежнкть потенциалу и в межах т -го КЕ повним полiно-мом першого степеня
(20) (21)
и = и ткт1к* = кктЮт*,
(22)
(23)
де: ит = (ит1,...,ит4)
- вектор-рядок значень потенщалу и у вузлах т -го КЕ;
к = (1, X, у, 2)
- координатний вектор-рядок поточно!' точки з координатами х, у, 2;
1 хт1 ут1 2т1 1 хт2 ут2 2т2
кт* =
1 хт3 ут3 2т3 1 хт4 ут4 2т4
- координатна матриця, рядки яко! е координатними векторами вигляду (22) у вузлах т -го КЕ; ит*, к*, кт - вiдповiдно вектори-стовпщ i матриця, транспоно-ванi по вщношенню до ит, к , кт*.
У локальнiй прямокутнiй системi координат вектор Н напруженосп магнiтного поля пов'язаний iз скалярним магнiтним потенцiалом и сшввщно-шенням
Н = —%гааи = — У --^к .
Эх -у —2
(24)
Ут = - ДЙ
Проекцií Их, Ну, Н2 вектора Н в т1 -му вузлi з врахуванням (20) i (24) набувають вигляду
Нхтг — ^ \хтъУть ¿тг — ~и тК^х^* — —^тг^т* ■ (25)
ох
Нутг — ^ \хтъУтЬ %тг — ~итКтУ* — ~Ктгит* ; (26)
Эу
Нгтг — ^ \хтъ Утъ ¿тг — ~итКт* — ~Кт1ит* , (27)
Э2
де- К(х) = к(х)к— ■ К (у) = к^кК(г) = к(г)к(28)
^тг птгпт* ' тг ^тг пт*' тг птгпт*'
К(х) — к-1к(х1 ■ К (у) — к-1к(у! ■ У? Ч, — к-1к(*1 ■ (29)
2^тг* ~ ^т^т,*, ^тг* ~ лт «т,* , ^тг* ~ ^т^тг* ' -V
— ^ |хтъ.Утг?¿тг' — (0,1,0,0) ;
Эх
кту> — ^ТI хтг, Утг, ¿тг — (0,0,1,0); (3 0)
ЭУ
ктг — ^ |хтъ .Утг^ ¿тг — (0,0,0,1);
Э2
ктх**, кту*, кй* - стовпцi, одержанi транспонуванням рядкiв (30).
Диференцiюючи вираз (18) по вектору и т i враховуючи (25) - (27), одер-
жуемо
ф* — ^ — От.У (ОН)В — ^]Г^^т-Бт, —
аит 4 г—1 аит 0 4 г—1 аи т
— ^ [ аНхтг г> + аНутг г> + аНгт1 г> | — ^ 1Л
-— ^ I Вхпа + Вут + —В1т I — , (31)
4 ¿—1 V. аит аит аит )
V 4
— От ^ ( К <(1!*^хтг + К <(уУ)*Вут1 + Км?Вгтг) 4 г —1
де: Втг, Вт, Вт, Вт - вiдповiдно вектор магштно* iндукцií i його складовi в тг -му вузл^ якi визначають за значеннями проекцш (25) - (27) вектора напруже-ностi i магнiтною характеристикою нелМйного безгiстерезисного середовища, що виражаеться векторним ршнянням (3) або трьома скалярними ршняннями
Вх — Вх[Нх,Ну,Н]; Ву — Ву[Нх,Ну,Нг]; Вг — В1Нх,Ну,Нг]. (32)
Нелшшна система рiвнянь (17) розв'язуеться, зазвичай, тращйним методом Ньютона.
Для визначення внеску т -го КЕ в систему рiвнянь (17) необх1дно:
• знайти вектор ф * на кожнш iтерацií за формулою (31);
• за таблицею вщповщноси локально! i сiтковоí нумерацп встановити номери г вузлiв, яю збiгаються з вузлами щ,...,т 4;
• кожний елемент вектора ф*, який вщповщае г -му внутршньому вузлу, внести вщповщно в г -е рiвняння системи (17).
Повну систему рiвнянь (17) одержимо, виконавши цю процедуру для всiх М елеменпв. У цьому випадку викладена процедура використовуеться на етапi формування вектора нев'язок. Бшьш трудомiсткою операцiею е складання для векторно!' функцií ф = (ф,...,фк)* маIрицi Якобi р розмiрностi К х К. Виве-демо загальнi вирази, ят використовують для цiеí мети.
Диференцдаючи вираз (31) за вектором От*, отримуемо матрицю роз-мiрностi 4x4:
= афт» =_1 _ А(к (х) ^Вхт1 + К (у) + К (г)
(т Гт = А (Ктг* ,Гт + Ктг* ,Гт + Ктг*
В
¿От*
4
¿От*
аи т*
-).
(33)
З врахуванням (25) - (27), (32) i (33) маемо
1 4 _
Рт = —л УтТ (КткМх.
¿Их
4 ,=1 аит*
+Муут,
аиу
аи т*
+ Мухт
¿И*
+ Мхут
) + К (х)*М
¿иу
¿ит*
+ Мх
¿И2т,\ + т-(у) / п ¿Ихт,
+ Ктг*\Му.
¿ит*
¿¿От*
¿Их,
¿От*
+ т?Уп
¿И у
^ тг^^ухтг
¿Их
1 утг хтг
(ли т* йи т*
)=
(34)
= ~ (Кт1-*(тххтгКт1 + МхутгКт1 + МхтгКт1) + Кту-*(тухтКт1 + туутКтУ '
т
4 г=1
+МухтК^гт) + Кт1*(Мххт!Ктг + Цгут^ту + тггтг'К^г'))
де Муктг(У, к = х, у, ¿) - елементи тензора диференцiальноí магнiтноí проникностi середовища
= ¿В = М=~М ~
ЭВх ЭВх дВх
ЭИх дИу дИх
дВу дВу дВу
ЭИх дИу дИх
дВх ЭВх дВх
дИх дИу дИх
Мхх Мху Мх2 Мух Муу Муг М%х М*у М22
(35)
обчислюваш в г -му вузлi т -го КЕ.
Для безпстерезисного середовища на основi теореми взаемносп [3]
Мху = Мух, Мхх = М*х , Му2 = М?у , тоМу Мхутг = Мухтг , Мхгтг = Мххтг, Мухт1 = М?утг .
У випадку iзотропного нелшшного середовища тензор диференцiальноí магнiтноí проникносп визначаемо [1] за формулою
МрСО$2Цх + М^т2Цх (Мr-Мт)coshx coshy (Мr-Мт)coshxCoshг
М =
(Мр-Мt)cOShy COShx Мр^2Цу + Мт^П2Цу (Мр-Мт)cOShy COShг (Мр-Мt)coshz cos Цх (Мр- cos Цу мрcos2hх + М^т2цг
(36)
¿ВВ.. . .
де Мр = —, М^ =--вщповщно радiальна диференцiальна i тангенщальна ди-
йИ И
ференщальна магнiтна проникнiсть середовища; ц/(/ = х, у, х) - кути мiж вектором И або В[И] i, вiдповiдно, ортами I, у, к локально!' декартово!' системи координат.
г=1
. .„ в
Для л1Н1иного 1зотропного середовища мР = Mt = — = Ms, тому тензор ди-
H
ференщально! магнино! проникносп набувае вигляду
(37)
Ms 0 0 "
M = 0 Ms 0
0 0 Ms
Для того щоб визначити вклад m -го КЕ в матрицю Якоб1 j, необхвдно обчислити матрицю jm на кожшй ггерацц за формулою (34) i шдсумувати вс ii' елементи з вщповщними елементами матрицi j, враховуючи, що елемент jmj належить ns -й клiтинi матрицi j, де n, s - сiтковi номери вузлiв з локальними номерами mi i mj.
Повну матрицю Якобi j одержимо, виконавши цю процедуру для кожного з M кшцевих елеменпв областi розрахунку D.
У випадку використання лагранжевих тетраедав 2-го, 3-го i 4-го порядив потрiбно застосувати вiдповiднi кубатурш формули чисельного штегруван-ня [2] i провести вивiд основних залежностей за викладеною методикою.
Лiтература
1. Дышовый Р.В. Расчет статического магнитного поля в неявнополюсных электрических машинах дифференциальным сеточным методом : автореф. дисс. на соискание учен. степени канд. техн. наук / Р.В. Дышовый - Львов, 1983. - 18 с.
2. Карашецький В.П. Кубатурш формули чисельного штегрування за об'емом тетраедра на осж^ штерполяцшних повних полшом]в / В.П. Карашецький // Науковий вiсник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. - Льв1в : РВВ НЛТУ Украши. - 2007. - Вип. 17.6. - С. 258-264.
3. Silvester P. Efficient techniques for finite element analysis of electric machines / P. Silvester, H.S. Cabayan, B.T. Browne // JEEE Trans. PAS. - 1973. - Vol. 92, № 4. - Рр. 1274-1281.
Карашецкий В.П. Расчет трехмерных потенциальных магнитных полей методом конечных элементов
Выведены основные формулы метода конечных элементов для расчета трехмерных статических потенциальных магнитных полей в областях, заполненных нелинейными безгистерезисными анизотропными средами, с использованием лагранже-вых конечных элементов 1-4 порядков, кубатурных формул численного интегрирования и итерационного метода Ньютона.
Ключевые слова: потенциальное магнитное поле, магнитная характеристика, лаг-ранжевый тетраедр, метод конечных элементов, кубатурная формула.
Karashetskyy V.P. Calculation of three-dimensional potential magnetic fields of the method finite element
Basic formulas of the finite element method for calculating of three-dimensional static potential magnetic fields filled with nonlinear without hysteresis anisotropic environments using Lagrangian 1 -4 order finite elements, cubature formulas of numerical integration and Newton's iteration method were obtained.
Keywords: potential magnetic field, magnetic characteristic, Lagrangian tetrahedron, finite element method, cubature formula.
