CC BY
17
Определены основные составные методики расчета эффективности пожарной охраны с учетом новых тенденций, которые используются в тактике гашения пожаров, такие как гусеничные мобильные роботы. Предложенные пути совершенствования мобильных роботов повысят эффективность их использования, что повысит эффективность пожарной охраны.
Ключевые слова: экономическая эффективность, пожары, мобильные работы, пожарная охрана.
Zinko R. V., Sulojeva Ye.V. Economic efficiency of fire guard at the use of mobile robots
Certainly basic component methods of calculation of efficiency of fire prevention taking into account the new tendencies of extinguishing of fires. To such tendencies the use behaves caterpillar mobile works. The ways of perfection of mobile robots are offered will promote their efficiency of the use. It positively will be marked on efficiency of fire prevention.
Keywords: economic efficiency, mobile robots, fires, fire prevention.
УДК 517.945 Доц. В.П. Карашецький, канд. техн. наук -
НЛТУ Украши, м. Львiв
ОСОБЛИВОСТ1 РОЗРАХУНКУ ДВОВИМ1РНИХ ВИХРОВИХ МАГН1ТНИХ ПОЛ1В МЕТОДОМ К1НЦЕВИХ ЕЛЕМЕНТ1В
Виведено основш формули методу кшцевих елеменпв для розрахунку двови-мiрних статичних вихрових магштних жшв в областях, заповнених нелшшними безпстерезисними ашзотропними середовищами з використанням лагранжевих три-кутнигав, кубатурних формул чисельного штегрування та врахуванням граничних умов Неймана i Дирихле.
Ключовг слова: вихрове магштне поле, магштна характеристика, лагранжевий трикутник, метод кшцевих елеменпв, кубатурна формула, граничш умови.
Р1шення тривим1рних краевих задач розрахунку магштного поля [1] 1з достатньо задовшьною точшстю можна отримати шляхом зведення триви-м1рного магштного поля до двовим1рного, тобто без урахування змши поля в одному напрямку.
Для краево! задач! розрахунку вихрового магштного поля, що опи-суеться р1вняннями
гоН = I, (1)
В = гоА, (2)
в плоскш обласп Б функцюнал ^ представлено у вигляд1
Б = |(V - С^Б, (3)
я
В _ _
де: V = |НйВ; (4)
о
С = А1; (5)
А, I - нормальш до площини Б проекцп векторного магштного потенщалу А1 густини струму I; Н, В - розмщеш в площиш Б вектори напруженосп магштного поля 1 магштно! шдукцп; Я - площа област Б .
Умова мшмуму функцiоналу (1) набуде вигляду
ар / аЛ = 0. (6)
Для побудови кшцево-елементно! моделi заповнимо область розра-хунку Б сукупнютю лагранженвих трикутникiв п -го порядку [2].
Нехай внаслщок трiанryляцп двовимiрноl областi розрахунку Б отри-муемо М лагранжевих кiнцевих елементiв (КЕ). Кожному з них присво!мо порядковий номер т (т = 1,М) i локальну нумерацiю вузлiв, згiдно з якою 1 -му вузлу т -го КЕ вщповщае номер тг. Для вше! областi розрахунку встано-вимо сiткову (наскрiзну) нумеращю Я внутрiшнiх вузлiв i О граничних вуз-лiв. Поточнi значення порядкових номерiв внутрiшнiх вузлiв позначимо г .
Для кшцево-елементно! обласп функщонал Рз урахуванням (3)-(5) набуде вигляду
М М
Р = £ Рт =Е (Ут - Ст), (7)
т=1 т=1
де: Ут =| ШБ ; (8)
Бт
Ст =| СаБ ; (9)
^т
Бт - площа т -го КЕ.
Утворимо Я -мiрний вектор-рядок i вектор-стовпець значень потенщ-алу Л у внутршшх вузлах
Л = (Ль Л2,..., Ля); Л* = (Л Л2,..., Ля)* (10)
Умова мшмуму функцiоналу Р з урахуванням (6) рiвносильна нель нiйнiй системi алгебра!чних рiвнянь
Ф{Л]=аЛ=о. (ц)
аЛ
Застосуемо для (8), (9) кубатурш формули чисельного штегрування за площею лагранжевого трикутника [2]. Наприклад, у випадку використання лагранжевих трикутниюв другого порядку (п =2), кiлькiсть вузлiв у яких р=6, одержимо
1 6
Рт ~~ Бт ^ (Утг — Ст1) , (12)
3 1=4
Вт, _ _
де: Утг = \ нав; (13)
0
Стг = Лтг^ тг ■ (14)
Представимо залежнiсть потенцiалу Л в межах т -го КЕ повним поль номом другого степеня
Л = Лтктк* = ккп^*Лт* ; (1 5)
де: Лт = (Лт1,..., Лт6) (16)
- вектор-рядок значень потенщалу А у вузлах т -го КЕ;
к = (1, х, у, ху, х2, у2)
- координатний вектор-рядок поточно! точки з координатами х, у;
(17)
хт ущ хт1ут хт1 у2 т
хт2 ут2 хт2ут2 хт2 у22
хт3 ут3 хт3ут3 х2 т3 у2тЪ
хт4 ут4 хт4ут4 х2 т4 х2 т4
хт5 ут5 хт5ут5 хт5 у'25
хт6 ут6 хт6ут6 х2 т6 у26
(18)
- координатна матри ця, рядки яко! е координатними векторами виг-ляду (17) у вузлах т -го КЕ; Ат*, к*, кт - вщповщно вектори-стовпщ та матриця, тран-
спонованi вiдносно Ат, к, кт*.
Проекцп Вх, Ву вектора В у mi -му вузлi з урахуванням (2) i (15) на-будуть вигляду
дА
Ву
де:
I хтъ ymi = АтК1тг^* = Кту^Ат* ■
ду
-дА\х . у . = -А К(х) = -К(х)А *
дх
К (х) = Г (х>к-1 ■ К = к (у->к-1 ■
т. т. т ' ,утг ''■т* ^
т. 'V
К Н = к-1к(х) ■ К (у) = к-1к (у) ■
тг* т птг* ' ^тг* пт "тг* ' г дк
к(х = "Т I хтг, утг = (0,1 0 утъ 2xmi, 0) ;
дх
г дк
кту = \хтъ утг = (0, 01 хтг, 0 2утг) ;
ду
(19)
(20)
(21) (22)
(23)
(24)
кIх*, к^у* - стовпщ, одержанi транспонуванням рядкiв (23), (24).
Диференцiюючи вираз (12) по вектору А i враховуючи (19), (20), одержуемо
г <Шт 1 6 < Вт____1 6 dBmi- <ЗАтг
фт* = А =~^ ^ ^ (<В)Н — Атг^тг) = ~^ (~1А Нтг — Ттг~~А ) = <Ат 3 г=4 <Ат о 3 г=4 <Ат <Ат
3 г=4 <Ат о
1 6 <В
1 ^ М^хтг тг 3^т^ ( Мх.
3 г=4 <Ат
<Вутг н т <Ат,
н утг — т тг
<Ат
1 6 г г 1 г
= ~ ^ (К(у*Н хтг — К^г)*Нутг') ^т^т* ,
3 г=4 3
Т т* = (Jm1, тТт3)*
- вектор-стовпець заданих значень Т у вузлах т -го КЕ.
де
(25)
(26)
кт* =
дНх дНх
ан дВх дВу
аВ = дНу дНу
дВх дВу
Диференцiюючи вираз (25) по вектору Лт*, отримуемо матрицю роз-мiрностi 6x6:
Ф = афт* = 1 б ^ (К(у) аН хт1 К(х) аН утг) (27)
фт = —Л - 3 Бт ^ (Ктг*—Л Кт'*~1Л '' (27)
аЛт* 3 1=4 аЛт* аЛт*
З урахуванням (19), (20) i магштно! характеристики середовища
Н = Н[В], (28)
яка рiвноцiнна двом скалярним залежностям
Нх = ЩВх,Ву]; Ну = Ну[Вх, Ву], (29)
маемо
ф =1 Б (у)(\/ аВхт1 + У аВ ут1)_ К(х)(У
Гт— -^т^У^тг*^ ххтг ~ ^Ухутг ~ ) ухтг
Э г=4 о/1т* и/±т*
1 6 К ( ) К ( ) К ( ) К ( ) К ( ) К ( )
= 3 (КтМУ'ххт^тг _ Ухут^тл^ _ Ктй*(уухт^-тг _ ^'уутгКтг^ , (30)
3 г=4
де Уххтг, Ухут, Уухтг, Ууутг - елементи тензора диференцiального питомого магштного опору середовища
у (31)
Уу ' ■ '
обчислюваш в г -му вузлi т -го КЕ.
Для безгiстерезисного середовища на основi теореми взаемностi
Уху = У ух, тому Ухутг = У ухтг ■
Нелiнiйну систему рiвнянь (11) розв'язуються, зазвичай, иерацшним методом Ньютона. Для визначення внеску кожного т -го КЕ у вектор нев'язок ф*, якщо вш не мае жодного вузла на границ областi розрахунку Б, то необхщно на кожнiй ггерацп:
• знайти вектор фт* за формулою (25);
• за таблицею в1дпов1дносп локально! 1 спково! нумераци встановити номери г вузлш, яш зб1гаються з вузлами т1,...,тр ;
• кожний елемент вектора фт*, який вщповвдае г -му внутршньому вузлу, внести вщповщно в г -й елемент вектора ф*.
Викладену вище процедуру використовуемо на етат формування вектора нев'язок. Бшьш трудомiсткою операщею е складання для векторно! фун-кцп ф* = (ф,...,фЯ)* матриц Якобi ф розмiрностi Я хЯ. Для того, щоб визначи-ти внесок кожного т -го КЕ у матрицю Якобi ф, який не мае жодного вузла на гранищ обласп розрахунку Б, необхщно на кожнш иерацп обчислити матрицю фт за формулою (30) i тдсумувати всi 11 елементи з вщповщними елементами матрицi ф за таким правилом: елемент фт] належить ея -й кшти-нi матрицi ф, де е, з - сiтковi номери вузлiв з локальними номерами вщпо-вiдно тг i т] .
Уздовж границ област Б потрiбно задати граничш умови Дирихле (значення потенцiалу А) або однорщш граничнi умови Неймана
вт = -дА-_
дп
0,
(32)
де Вт - проекцiя магштно! iндукцu В на одиничний вектор т дотично! до границi обласп Б, напрямлений пiд прямим кутом проти годинниково! стрiлки вщносно одиничного вектора п зовшшньо! нормал^
Для визначення внеску кожного т -го КЕ у вектор нев'язок ф* i матри-цю Якобi ф, якщо вiн мае один чи декшька граничних вузлiв з граничними умовами Дирихле, необхщно на кожнiй иерацп для кожного вузла тБ з граничними умовами Дирихле враховувати, що значення АтБ задане i постiйне, тому
фтБ
и1 т
дАтБ
дфтБ
= 0;
фтиБ =
г)А
дфтр
0,
= 1,6;
ЗА,
- 0, р = 1,6.
(33)
(34)
(35)
то
Розглянемо визначення внеску кожного т -го КЕ у вектор нев'язок ф i матрицю Якобi ф, який межуе своею стороною з границею област Б i мае лише два граничних вузла з граничними умовами Неймана, оскшьки для КЕ п -го порядку кшьюсть РЫ таких вузлiв визначаемо за формулою
Ры = п . (36)
Умова Неймана на гранищ област Б набуде вигляду
ВТ = Вт = ВхТх + ВуТу = 0, (37)
де тх, ту - проекцп одиничного вектора Т дотично! до гранищ обласп Б.
З урахуванням (19), (20) запишемо (37) для кожного з двох вузлiв iз граничними умовами Неймана т -го КЕ
ТуК«*)А* = 0, (38)
де:
к(х) -
тЫ * ■
к(х)
к
(х)
к (у) -
к (у) К (у)
(39)
- прямокутнi матриц розмiрностi 2x6, рядками яких е вектори-рядки, визна-ченi за виразами (21) для вузлiв з граничними умовами Неймана т -го КЕ; N, Ы2 - вщповщно початкове i кiнцеве значення локальних номерiв вузлiв iз граничними умовами Неймана т -го КЕ. Представимо (38) у виглядi
кттАт* = 0, (40)
(41)
де
■ т К (у) -
ТуКтЫ*
- прямокутна матриця розмiрностi 2x6.
Утворимо вектор-стовпець значень потенщалу у вузлах т -го КЕ з умовами Неймана
АтЫ* = {АтЫ^ ДШ2 )* (42)
i вектор-стовпець значень потенцiалу в iнших вузлах, як не ввшшли до складу Атк *, (внутрiшнiх вузлах i вузлах з умовами Дирихле)
Да* = ДmLA)*, (43)
де: L1, L4 - вщповщно початкове i кiнцеве значення локальних номерiв внут-рiшнiх вузлiв i вузлiв з умовами Дирихле т -го КЕ.
У виразах (42), (43) потенщали вузлiв розташовуемо в порядку зрос-тання !х локальних номерiв■ З урахуванням (42) i (43) вираз (40) можна пред-ставити як
kmLAmL* + ктЫАтЫ* = 0 , (44)
де: к^ - прямокутна матриця розмiрностi 2x4, утворена iз тих стовпцiв матриц ктт, номери яких зб^аються з локальними номерами елементiв вектора Д»а* ; ктК - квадратна матриця розмiрностi 2x2, утворена iз тих стовпцiв мат-рицi ктт, номери яких збiгаються з локальними номерами елеменпв вектора Аты* ■ З рiвняння (44) визначаемо
АтЫ* = -кmNкmLAmL* = ~ОтД1А* , (45)
де От = ктК^ (46)
- прямокутна матриця розмiрностi 2x4, що зв'язуе значення потенщалу у вузлах iз граничними умовами Неймана з його значеннями в шших вузлах т -го КЕ.
Виконавши транспонування у виразi (45), одержимо
АтК = -Дт1°т* ■ (47)
Вектор-стовпець Ат значень потенцiалу у вузлах т -го КЕ визначаемо через вектори-стовпщ АmL*, АтК * у виглядi
Ат* = ОткАтК * + ОтьДтЬ* (48)
або у випадку транспонованих векторiв
Дт = ДтКОтК* + Дт!°тЬ* , (49)
де: ОтК, О^ - прямокутнi матрищ розмiрностi вiдповiдно 6x2 i 6x4, елемен-тами яких е постшш числа 0 або 1; ОтК*, О- матрицi, транспонованi вщ-носно матриць ОтК, О^.
Представляючи функцiонал т -го КЕ у виглядi складно! функщ! Бт = Рт[Дт] або Бт = Б^Дтк, Дть] i враховуючи (47), (49), одержимо
г (Рт дДт ((Рт (ДтК дДт ((Рт ((Рт ^ /-г ((Рт
<РтЬ* -~ТЛ-= Ты-~аГ~ + ~Гл--~аГ~ = --От*ОтК* ^^ =
дДmL (Дт дДтК (Дт аДт аДт
dFm г
= {СтЬ* - Ст&тЫ*) -А- = Qm—^ = О^тФт* , (50)
де ^2т = СтЬ* - Ст*СтМ* (51)
- прямокутна матриця розмiрностi 4x6, що забезпечуе виконання умов Неймана при переходi вщ вектора-стовпця фт* до вектора-стовпця фтЬ* роз-мiрностi 4.
Аналогiчно, представляючи вектор-стовпець фт* у виглядi Фт* = Фт*[Ат*] або фт* = Фт*[Аты*, Ать*] i враховуючи (45), (48), (50), одержимо квадратну матрицю розмiрностi 4x4
ф = dфmL* = d((2тфт*) = Q dфm* = Q dфm* дАт* + Q dфm* дАт* ^тМ* = dAmL* dAmL* dAmL* dAm* иАтЬ* dAm* ОАтМ* dAlrL*
= Qm ~~(фф СтЪ — Qm фф °т№т = Qm ~фф (GmL — °т№т) = QmфmQm* , (52)
де Qm* = GmL - ОтмАт (53)
- матриця, транспонована вщносно матрицi Qm.
Матрицi Qm, Qm* у виразi (52) забезпечують виконання граничних умов Неймана при переходi вiд матрицi фт до матриц ф^ за наявностi в т -му КЕ вузлiв з граничними умовами Неймана.
Оскшьки матриця фт симетрична, то, зпдно з (52), матриця ф^ також симетрична.
Внесок кожного т -го КЕ, який мае вузли з граничними умовами Неймана, у вектор нев'язок ф* i матрицю Якобi ф на кожнш ггерацп визна-чаемо вщповщно до ф,^* i ф^ за правилами, встановленими рашше для внутрiшнiх КЕ.
Л1тература
1. Карашецький В.П. Розрахунок тривим1рних вихрових магштних потв методом кшце-вих елеменпв / В.П. Карашецький // Науковий вюник НЛТУ Укра1ни : зб. наук.-техн. праць. -Льв1в : РВВ НЛТУ Украни. - 2011. - Вип. 21.9. - С. 327-332.
2. Карашецький В.П. Кубатурш формули чисельного штегрування за площею трикутни-ка на основ! штерполяцшних повних полшом1в / В.П. Карашецький // Науковий вюник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. - Льв1в : РВВ НЛТУ Украши. - 2007. - Вип. 17.7. - С. 275280.
Карашецкий В.П. Особенности расчета двумерных вихревых магнитных полей методом конечных элементов
Выведены основные формулы метода конечных элементов для расчета двумерных статических вихревых магнитных полей в областях, заполненных нелинейными безгистерезисными анизотропными средами с использованием лагранжевых треугольников, кубатурных формул численного интегрирования и учетом граничных условий Неймана и Дирихле.
Ключевые слова: вихревое магнитное поле, магнитная характеристика, лагран-жевый треугольник, метод конечных элементов, кубатурные формулы, граничные условия.
Karashetskyy V.P. Features of calculation of two-dimensional eddy magnetic fields of the method finite element
Basic formulas of the finite element method for calculating of two-dimensional static eddy magnetic fields filled with nonlinear without hysteresis anisotropic environments with using Lagrangian triangles, cubature formulas of numerical integration and with considering of boundary conditions of Neumann and Dirichlet were obtained.
Keywords: eddy magnetic field, magnetic characteristic, Lagrangian triangle, finite element method, cubature formula, boundary conditions.
УДК330.4:336.71 Доц. Б.Ю. Кишакевич, д-р екон. наук -
Дрогобицький державний педагогiчний утверситет м. 1вана Франка
ЗАДАЧ1 БАГАТОКРИТЕР1АЛЬНО1 ОПТИМ1ЗАЦН ПОРТФЕЛЯ АКТИВ1В БАНКУ
Розглянуто сучасш постановки задач багатокритерiальноi оптимiзацii банювсь-кого портфеля активiв на основ1 класично! портфельно! теори Марковща та методи !х узагальнення на випадок кредитного портфеля. Проаналiзовано методи виршення проблеми нормальной розподшу дохщност портфеля через застосування рiзних мiр кредитного ризику.
Ключовг слова: багатокритерiальна оптимiзацiя, кредитний портфель, пор-тфельна теорiя, мiри ризику, кредитний ризик, ефективний портфель.
Актуальшеть проблеми. Формування кредитно-швестицшного портфеля банку е непростим завданням, оскшьки вимагае узгодження суперечли-вих критерпв: максим1зац1! норми прибутку та мш1м1зацп ризику. Постановка задач оптим1зацп кредитного портфеля нерозривно пов'язана 1з кредитною политикою банку - у раз1 бшьш агресивно! кредитно! политики прибутковють портфеля буде превалювати над питаннями безпеки, 1 навпаки, для консервативно! пол1тики на перший план виходить завдання мiнiмiзацii ризику. Св1д-ченням того, наскшьки важливим е питання формування збалансованого кредитного портфеля банку можуть бути наслщки фiнансовоi кризи 20082009 рр. Вщомо, що однiею 1з головних причин безпрецедентних фiнансових потрясшь останнiх роюв було передушм фокусування практично ушх бан-ювських установ на прибутковосп портфеля, тод1 як автоматично вщбува-лась недооцiнка його сукупного ризику. Ранiше, до 2008 р., в умовах доступ-ност до кредитних ресуршв на м!жнародних ринках, та !х дешевизни через юнування на цих же ринках велично! "мильно! бульбашки" фжтивних фшан-сових ресуршв, банки не придшяли особливо! уваги якост сво!х кредитних портфел!в. Сьогодшшня ситуацiя ютотно вщр!зняеться i виклики, як! поставила фшансова криза, актуалiзують проблему коректного вибору моделi оп-тимiзацii банювського портфеля.
Анал1з останн1х наукових дослщжень та публ1кац1й. Кр1м вим1рю-вання та мониторингу ризику, важливим елементом ризик-менеджменту е вивчення джерел портфельного ризику та ефективних методiв побудови портфеля 1з мшмальним ризиком та максимальною дохщшстю. Проте незважа-ючи на те, що значш зусилля науковцiв та практиков були спрямоваш на удосконалення методологiй вимiрювання кредитного ризику, розроблення
