CC BY
12
5. ШФОРМАЦШЙИШ ТЕХНОЛОГИ
ГАЛУЗ1
УДК 371.311 Доц. В.П. Карашецький, канд. техн. наук -
НЛТУ Украти, м. nbsis
ВПЛИВ ПОРЯДКУ 1НТЕРПОЛЯЩ1 К1НЦЕВИХ ЕЛЕМЕНТ1В НА ТОЧН1СТЬ РОЗВ'ЯЗАННЯ КРАСВИХ ЗАДАЧ РОЗРАХУНКУ СТАТИЧНИХ МАГН1ТНИХ ПОЛ1В ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНИМ
МЕТОДОМ
Розглянуто тестову краеву задачу розрахунку статичного магштного поля, що мае точний анал^ичний розв'язок як для лшшного, так i для нелшшного середови-ща, з метою вивчення впливу порядку штерполяцп кiнцевих елементсв на точнiсть рiшення задачi.
Ключов1 слова: потенщальне магнiтне поле, магштна характеристика, кiнцевий елемент, диференцiальний метод кшцевих елементiв, порядок штерполяцп, тестова краева задача.
В електромехашчному перетворювач1 як джерел1 магштного поля ви-користовують струми. Незмшт у час струми, протжаючи у нерухомих про-вщниках, створюють постшне магштне поле, яке в областях, не зайнятих ними, е потенщальним i описуеться р1вняннями:
rotH = 0, (1)
divB = 0, (2)
де H, B - вщповщно вектор напруженост магштного поля i вектор магнiтноi iндукцii, пов'язаш м1ж собою у випадку лшшного однорщного середовища через абсолютну магштну проникливють ^ = const матерiальним рiвнянням
B = juH . (3)
Запроваджуючи поняття скалярного потенцiалу U сшввщношенням
H = -gradU, (4)
що задовольняе (1), з урахуванням (2), (3) отримують рiвняння Лапласа для потенщального магнiтного поля
AU = 0. (5)
Всерединi област з розподiленим постiйним струмом густиною J маг-нiтне поле е вихровим. Рiвняння (1) для такого поля набуде вигляду
rotH = J . (6)
Рiвняння (2) дае змогу подати B через векторний магштний потенщал A сшввщношенням
B = rotA . (7)
З урахуванням (3), (7) рiвняння (6) для однорщного середовища при-водять до вигляду
го1гв1А = graddivA -АЛ = цЗ . (8)
Для однозначного визначення А приймають умову
divA = 0 . (9)
З врахуванням (9) для (8) отримуемо рiвняння Пуассона
АЛ = , (10)
яке описуе вихрове магштне поле.
У загальному випадку розрахунку магштного поля, з врахуванням не-однорiдностi i нелшшност анiзотропного середовища, розрахунковi рiвняння типу (5), (10) мають бiльш складний вигляд. Для визначення магнiтних влас-тивостей такого середовища рiвняння (3) необхщно представити у виглядi нелшшно! залежностi
В = В [Й ] або Й = Й [В], (11)
яка називають магнiтною характеристикою. Система рiвнянь для розрахунку магштного поля з врахуванням магштно! нелшшност середовища е нель нiйною.
На сьогоднi в областях зi складною конфiгурацiею граничних повер-хонь, заповнених нелiнiйними середовищами, магштш поля розраховують чисельними методами. Серед них найбшьш перспективним е метод кшцевих елементiв (МКЕ), але одним iз вагомих вад МКЕ е неможливють його засто-сування до ашзотропних середовищ через неоднозначнiсть статичного пито-мого магнiтного опору V для таких середовищ, який визначаеться сшввщно-шенням
v=Й (12)
В
Для повно! реалiзацil можливостей МКЕ розроблено [3-5] диференщ-альний метод кшцевих елеменлв (ДМКЕ), який придатний для розрахунку маг-штних полiв в областях, заповнених у загальному випадку неоднорщни-ми нелшшними анiзотропними середовищами.
З метою вивчення впливу порядку штерполяци кшцевих елемен^в (КЕ) на точшсть рiшення задачi як для лшшного, так i нелiнiйного середовищ, було вибрано тестову краеву задачу, яка мае точне анал^ичне ршення, щоб унеможливити вплив похибок еталонного рiшення на результати оцшки.
Математичне формулювання тестово! краево! задачi полягае в такому. Розглянемо нескшченний тривимiрний простiр, заповнений лiнiйним чи нель нiйним iзотропним середовищем, в якому розташований нескiнченно довгий i нескiнченно тонкий прямолiнiйний провiдник зi струмом I. Створюване цим струмом магштне поле е плоско-паралельним, тобто воно щентичне в будь-якш площинi, перпендикулярнiй до провiдника зi струмом. У кожнiй з цих площин силовi лши магнiтного поля - це концентричш кола з центром у точщ О перетину площини з провщником, тому досить розрахувати магштне поле для будь-яко! з таких площин. Модуль вектора напруженост Й магштного поля у будь-якш точщ кола, проведеного у такш площиш, з центром у
точцi О визначаеться (незалежно вiд того, чи е розв'язувана задача лiнiйною чи нелшшною) за формулою
Й =2-, (13)
2пг
де г - радiус кола. Ця обставина дае змогу розраховувати значення магштно-го потенщалу (з точнiстю до постшно! величини) у будь-якiй точцi довшьно задано! областi розрахунку магнiтного поля, яка належить такiй площинi.
Розглянемо область розрахунку поля у виглядi квадрата (рис.) i розв'я-жемо лшшну краеву задачу для ще! областi за вiдомого (розрахованому на згаданш вище основi) розподiлу векторного потенщалу на и контурi, а також нелшшну краеву задачу, вважаючи, що крива намагнiчування середовища визначаеться рiвнянням
Й = к1В2 + к2В, (14)
де к1, к2 - вiдомi коефщенти апроксимаци.
Рис. Область розрахунку тестово'1 задачi для КЕ: а) першого порядку; б) другого порядку; в) третього порядку; г) четвертого порядку
Для лшшно! тестово! задачi магштна характеристика лшшного iзот-ропного середовища однозначно визначаеться його статичною магштною
проникливютю л, а проекщя векторного магштного потенцiалу A на пряму, перпендикулярну до площини розрахунку поля, як показано в [1], визна-чаеться виразом
A = /-11п-, (15)
2п г
де: г - вщдаль вiд провiдника зi струмом до задано! точки О в площиш розрахунку поля; г - вщдаль вщ провiдника зi струмом до довшьно! точки в площиш розрахунку поля; I - струм у провщнику.
Вводячи в площиш розрахунку поля декартову прямокутну систему координат ОХУ, ос яко! паралельш сторонам квадрата (рис.), i вважаючи, що точ-ка О розташована в найближчiй до провiдника вершит квадрата, може-мо розрахувати за формулою (15) потенщал у будь-якш точцi областi розрахунку поля. Враховуючи, що
Вх
дА ду
дА дг дг ду
Ву = -
дА дх
дА дг дг дх
i рiвнiсть
згiдно з (16) маемо
= ^ х2 + у2
л Т у
Вх = 1+-; Ву = I— .
л
х
(16)
(17)
(18)
2п г2 2п г
Для нелшшно! тестово! задачi згiдно з (14) знаходимо
В = -к2 к2 - 4к\И 2к1 .
Враховуючи, що
В = ВХ + Ву i формули (16), (17) знаходимо, що
дА=в .
дг
Поставивши (19) в (21) з врахуванням (13) шсля виконання штегру-вання отримуемо формулу
(19)
(20)
(21)
А
К 2к1
1 1 1 1 ---+—1п
I + к2 г0 + к2 10
'($ + Шо - к2)ЛЛ
М - к2)(/о - к2)
(22)
//
де К
к
2п
¿о
к} + К; Г:
^к22+К; го2 = хо + уо.
Сформульована тестова краева задача для лiнiйного i нелшшного се-редовищ розв'язувалась ДМКЕ iз застосуванням КЕ 1-го, 2-го, 3-го, 4-го по-рядкiв за однаково! густини сiтки (кiлькостi вузлiв в област розрахунку поля). З щею метою на область розрахунку поля була нанесена квадратна сггка,
яка мютить R = 121 внутрiшнiх i G = 48 граничних вузлiв, i була виконана трь ангулящя ще! областi, як показано на рис. Розмiри областi i и положення вщ-носно провiдника зi струмом показано на рис. а. Кшьюсть M КЕ за названих порядюв штерполяци дорiвнюе вiдповiдно M = 288, 72, 32, 18. Розрахунок
3 A
магнiтного поля виконувався за струму I = 10 . Значення векторного маг-штного потенщалу в граничних вузлах обчислювались вiдповiдно за формулами (15), (22).
За складеною на базi ДМКЕ програмою розрахунку магштного поля обчислювались: значення потенцiалу A у всiх внутрiшнiх вузлах областц значення проекцiй Bx, By вектора B у кожному з вузлiв кожного КЕ шляхом чисельного диференцдавання потенцiалу A згiдно з штерполяцшними формулами [2], як вiдповiдають розглядуваному порядку п штерполяци; значення модуля B вектора B за формулою (20) в кожному вузлi кожного КЕ; усе-реднене значення Bуср модуля Б у кожному внутршньому вузлi як середне арифметичне його значень для прилеглих до цього вузла кшцевих елеменлв; вiдносна похибка визначення усередненого значення Буср за формулою
е = Бточн Буср 100%
Бточн
(23)
де Бточн - точне значення Б у вузл^ тобто знайдене з аналггичного розв'язку.
За результатами розрахунку складено таблицю, в якiй позначено: емакс - максимальне значення похибки е у всш областi розрахунку поля; £ср - середне значення похибки е .
Порядок штерполяци, п Кшьккть КЕ, М Лшшна задача Нелшшна задача
е макс , % еср , % емакс , % еср , %
1 288 83 6,9 52 8,3
2 72 36,4 1,6 15,1 1,2
3 32 16,7 0,82 13,7 0,56
4 18 27 1,1 6,7 0,64
Зi збшьшенням порядку п штерполяци вiд п = 1 до п = 2 максимальна похибка емакс визначення магшто! шдукци знижуеться iстотно: у лшшнш за-дачi у 83/36,4 = 2,28 раза, а в нелшшнш - у 52/15,1 =3,44 раза.
Збшьшення порядку штерполяци вщ п = 2 до п = 3 призводить лише до незначного зниження похибки (вщповщно у 36,4/16,7 = 2,18 i 15,1/13,7 = 1,1 раза), а подальше збшьшення порядку штерполяци призводить навггь до шдвищення похибки.
Аналопчш результати було одержано i для шших краевих задач. Це дае змогу констатувати, що зазначена на основi таблиц тенденщя вiдображае об'ективну закономiрнiсть.
На пiдставi зазначеного можна стверджувати, що застосування КЕ другого порядку в ДМКЕ е ефектившшим порiвняно iз застосуванням КЕ першого порядку. У розв'язуванш задач розрахунку статичних потенщаль-них магнiтних полiв потрiбно вiддавати перевагу КЕ другого порядку.
Для виршення питання про доцiльнiсть застосування КЕ третього порядку поки що немае переконливих пiдстав: у деяких з розв'язаних задач по-хибка розрахунку магштного поля iз застосуванням КЕ третього порядку ви-являлася не нижчою, а трохи вищою, нiж за п = 2.
Застосування КЕ четвертого порядку, як показали численш розрахун-ки, е недоцшьним, оскiльки в бiльшостi випадюв дае похибку вищу, нiж застосування КЕ третього порядку.
1. Бинс К. Анализ и расчет электрических и магнитных полей / К. Бинс, П. Лауренсон. -М. : Изд-во "Энергия", 1970. - 375 с.
2. Карашецкий В.П. Кубатурные формулы для определения энергетического функционала при расчете двумерного магнитного поля методом конечных элементов / В.П. Карашецкий // Теоретическая электротехника : респ. межвед. науч.-техн. сб. - Львов : Вид-во "Вища шк." Изд-во при Львов. ун-те, 1988. - Вып. 44. - С. 17-20.
3. Фильц Р.В. Дифференциальный метод конечных элементов расчета потенциальных магнитных полей в нелинейных анизотропных средах / Р.В. Фильц, В.П. Карашецкий, Д.П. Гречин // Машинные методы решения краевых задач : тезисы докладов научн.-техн. семинара. - М.-Рига, 1985. - С. 26.
4. Фильц Р.В. Расчёт двумерных магнитных полей в нелинейных анизотропных средах методом конечных элементов третьего порядка / Р.В. Фильц, В.П. Карашецкий, Д.П. Гречин // Теоретическая электротехника : респ. межвед. науч.-техн. сб. - Львов : Вид-во "Вища шк." Изд-во при Львов. ун-те, 1985. - Вып. 38. - С. 84-91.
5. Фильц Р.В. Расчёт плоскопараллельного магнитного поля в нелинейных средах методом конечных элементов второго порядка / Р.В. Фильц, В.П. Карашецкий, Д.П. Гречин // Математические методы и физ.-мех. поля. - 1986. - Вып. 23. - С. 102-107.
Карашецкий В.П. Влияние порядка интерполяции конечных элементов на точность решения краевых задач расчета статических магнитных полей дифференциальным методом конечных элементов
Рассмотрена тестовая краевая задача расчета статического магнитного поля, которое имеет точное аналитическое решение как для линейной, так и для нелинейной среды, с целью изучения влияния порядка интерполяции конечных элементов на точность решения задачи.
Ключевые слова: потенциальное магнитное поле, магнитная характеристика, конечный элемент, дифференциальный метод конечных элементов, порядок интерполяции, тестовая краевая задача.
Karashetskyy V.P. Influence of the interpolation of finite element solutions to land problems of accuracy of calculation of static magnetic fields of the differential method finite element
The problems of calculating the test land statistic magnetic field, which is the exact analytical solution for linear and nonlinear for the environment, to study the influence of the finite element interpolation on the accuracy of solving the problem are considered.
Keywords: potential magnetic field, magnetic characteristic, finite element, differential finite element method, order of interpolation, testin problem.
Доведено необхщшсть обгрунтування виробничо'1 програми тдприемства. Роз-глянуто послщовнють процесу планування виробничо'1 програми. Запропоновано
Лггература
УДК65.012.12: 658.0
Доц. Н.Г. Мщенко, канд. екон. наук; магктр У.Р. Ктдрат - Львiвська КА
РЕСУРСНЕ ОБГРУНТУВАННЯ ВИРОБНИЧО1 ПРОГРАМИ П1ДПРИеМСТВА
