ЗАВЕРШЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ БРУННА ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ СРЕДСТВАМИ

Малышев Фёдор Михайлович

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 22. Выпуск 2.

УДК 514.172.4+514.177.2 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-2-160-182

Завершение доказательства теоремы Брунна элементарными средствами

Ф. М. Малышев

Малышев Фёдор Михайлович — Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (г. Москва).

e-mail: malyshevfm@mi-ras.ru

Аннотация

Брунн в 1887 году сформулировал теорему о трёх параллельных сечениях выпуклого тела с одинаковыми по площади крайними сечениями, но не получающимися друг из друга параллельным сдвигом, утверждающую, что площадь среднего сечения строго больше, а корректно доказал, как заметил Минковский, что только не меньше. Исключение равенства, считавшегося до сих пор наиболее трудным в теореме, доказывается вплоть до настоящего времени многими авторами, привлекая серьёзную математику. В статье предлагается принципиально иной геометрический подход к доказательству теоремы, благодаря чему для корректного завершения исходного доказательства Брунна можно ограничиться элементарными средствами, доступными школьникам, минуя трудности с равенством, причём предлагаемые рассуждения распространяются на все размерности, как и сама теорема, на что указывал Брунн. Пусть, в общем случае, Vn(Q) - n-мерный объём тела Q с К", Lo, L\ - параллельные гиперплоскости в К"+1, содержащие соответственно выпуклые тела Po, Pi, а L - паралельная им гиперплоскость, находящаяся строго между ними, и Р - пересечение L с выпуклой оболочкой объединения Po uPi. Теорема Брунна утверждает, что если Pi не получается из Р0 параллельным переносом и Vn(P1) = Vn(P0) = v > 0, то Vn(P) > v. В 1887 году Брунн строго доказал, что Vn(P) ^ v, используя эффективный приём одновременного одинакового деления объёмов Р0, Р1 гиперплоскостью в К"+1. В предлагаемой статье это называется рассечением Брунна. Для строго неравенства Vn(P) > v оставалось небольшим "шевелением" перейти от тела Pi к другому выпуклому телу Pi, Vn(Pi) = v, так, что Vn(P) > Vn(P), где P - новое сечение в гиперплоскости L, возникающее после замены Pi на Pi. Поскольку Vn(P) ^ v, то Vn(P) > v. Проще всего такая замена Pi на Pi осуществляется в случае выпуклых многогранников Po, которыми можно приближать выпуклые тела сколь угодно близко. Совсем просто требуемая замена Pi на Pi осуществляется, когда в качестве Po выступают n-мерные симплексы, на которые выпуклый многогранник может разбиваться рассечениями Брунна. До настоящего времени не предлагался очерченный выше достаточно наивный естественный геометрический способ доказательства строгого неравенства Vn(P) > v как бы в лоб может из-за того, что изначально теорема формулировалась не для выпуклых многогранников Po, Pi, а для произвольных выпуклых тел. Главная же причина, по мнению автора, заключается в алгебраическом представлении Р = (1 — t)Po + tPi, где t - отношение расстояния от Lo до L к расстоянию от Lo до Li, 0 <t< 1. Это приводит к соблазну переходить в доказательствах теоремы от Rn+i к К" и использовать эквивалентную формулировку теоремы, считая Lo = Li = К". В результате от ситуации общего положения, когда Lo = Li, перешли в особенность Lo = Li, в условиях которой существенно уменьшаются возможности для привлечения геометрической интуиции и, как следствие, уменьшаются возможности для более простых наглядных геометрических обоснований неравенства Vn(P) > v. Настоящей статьёй показывается, что при доказательстве теоремы в эквивалентной формулировке следует, напротив, пространство К" включать в Rn+i и использовать изначальную формулировку теоремы, когда основным инструментом доказательства элементарными средствами становится рассечение

Брунна. Справедливости ради следует отметить, что многочисленные приложения настоящей теоремы, полученные Минковским и другими авторами, связаны как раз c её эквивалентной формулировкой, со смешанными объёмами, с алгебраическими представлениями Р = (1 — t)Po + tP\, называемыми суммами Минковского.

Ключевые слова: выпуклые многогранники, симплексы, треугольники, объёмы, неравенство Брунна - Минковского.

Библиография: 31 названий. Для цитирования:

Ф. М. Малышев. Завершение доказательства теоремы Брунна элементарными средствами // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 2, с. 160-182.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 2.

UDC 514.172.4+514.177.2 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-2-160-182

Completion of the proof of Brunn's theorem by elementary means

F. M. Malyshev

Malyshev Fedor Mikhailovich — Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

(Moscow).

e-mail: malyshevfm@mi-ras.ru

Abstract

Brunn in 1887 formulated a theorem on three parallel sections of a convex body with extreme sections of the same area, but not obtained from each other by a parallel shift, asserting that the area of the middle section is strictly larger, and correctly proved, as Minkowski noted, that only not less. The elimination of equality, which was still considered the most difficult in the theorem, has been proved up to the present time by many authors, using serious mathematics. The article proposes a fundamentally different geometric approach to the proof of the theorem, due to which, for the correct completion of Brunn's original proof, one can restrict oneself to the elementary means available to schoolchildren, bypassing the difficulties with equality. The proposed reasoning extends to all dimensions, like the theorem itself, as pointed out by Brunn. Let, in the general case, Vn(Q) be the n-dimensional volume of the body Q c 1", L0, L1 be parallel hyperplanes in 1"+1, containing respectively convex bodies P0, P1, and L is a parallel hyperplane, located strictly between them, and P is the intersection of L with the convex hull P0 u P1. Brunn's theorem states that if P1 is not obtained from P0 by parallel translation and Vn(P1) = Vn(P0) = v > 0, then Vn(P) > v. In 1887, Brunn rigorously proved that Vn(P) > v using the effective trick of the division of the volumes P0, P1 by a hyperplane in 1n+1. In this article, this is called Brunn cuts. For the strictly inequality Vn(P) > v, it remained a small "perturbation" go from the body P1 to another convex body P1, Vn(P-f) = v , so that Vn(P) > Vn(P), where P is a new section in the hyperplane L arising after replacing P1 with P1. Since Vn(P) > v, then Vn(P) > v. The easiest way is to replace P1 with P1 in the case of convex polytopes Po, which can approximate convex bodies arbitrarily close. The required replacement of P1 by P1 is quite simple, when n-dimensional simplices act as P0, into which the convex polytope can be split by Brunn cuts. Until now, the sufficiently naive natural geometric method outlined above has not been proposed for proving the strict inequality Vn (P) > v, as it were head-on, due to the fact that initially the theorem was formulated not for convex polytopes Po, P1, but for arbitrary convex bodies. The main reason, according to the author, lies in the algebraic representation P = (1 — t)P0 + tP1, where t is the ratio of the distance

from L0 to L to the distance from L0 to L1, 0 < t < 1. This leads to the temptation to go over in the proofs of the theorem from 1n+1 to 1" and use the equivalent statement of the theorem, assuming L0 = L1 = 1". As a result, from the general situation, when L0 = L1, passed into the singularity L0 = L1, in the conditions of which the possibilities for attracting geometric intuition are significantly reduced and, as a consequence, the possibilities for simpler visual geometric justifications of the inequality Vn(P) > v are significantly reduced. This article shows that in the proof of the theorem in an equivalent formulation, on the contrary, the space 1" should be included in 1"+1 and use the original formulation of the theorem, when the main tool of the proof the elementary means are Brunn cuts. For the sake of fairness, it should be noted that numerous applications of this theorem, obtained by Minkowski and other authors, are connected precisely with its equivalent formulation, with mixed volumes, with algebraic representations P = (1 — t)P0 + tP1, called Minkowski sums.

Keywords: convex polyhedra, simplices, triangles, volumes, Brunn-Minkowski inequality

Bibliography: 31 titles.

For citation:

F. M. Malyshev, 2021, "Completion of the proof of Brunn's theorem by elementary means", Cheby-shevskii sbornik, vol. 22, no. 2, pp. 160-182.

Введение

В статье речь идёт о следующей известной геометрической теореме Брунна-Минковского, имеющей много обобщений и приложений в различных областях математики (см., например, [1, 2, 3, 4]).

Теорема 1. Пусть в двух параллельных гиперплоскостях L0, L1 в евклидовом пространстве 1га+1, п ^ 1, содержатся выпуклые тела Р0, Р1 одинакового n-мерного объёма v > 0, и пусть Р - сечение выпуклой оболочки их объединения гиперплоскостью L, параллельной L0, L1 и находящейся строго между ними. Тогда n-мерный объём тела Р будет не меньше v, причём, если равен v, то Р1 получается из Р0 параллельным переносом.

Из ближайших обобщений этой теоремы приведём неравенство

У Кг (Qo + Qi) > У Vn(Qa) + V Vn(Qi)

для непустых компактов Q0, Q1 в 1га, Q0 + Q1 = {а + Ь| а <Е Q0, b <Е Q1} [1].

У данной теоремы не простая судьба. При п = 1 она очевидна. При п = 2 теорема уже является содержательной, её сформулировал H. Brunn в 1887 году [5]. Он заметил также, что теорема может быть распространена на случай п ^ 3. Б.Н. Делоне ([6], стр. 39) отмечал: " Сам Брунн доказал лишь первую часть этой теоремы (1887 г.), второй же, дополнительной части об условиях равенства площади промежуточного сечения площадям первых двух сечений ему сначала строго доказать не удалось, на что обратил внимание Минковский. Впоследствии были даны Минковским и Бруном доказательства и дополнительной части. Любопытно, что Минковский закончил свою известную книгу "Geometrie der Zahlen" [7] как 'раз на 56-м параграфе (1896 г.), в котором надо было дать доказательство теоремы Бруна, так что "Geometrie der Zahlen" обрывается, так сказать, на полуслове. По смерти Минковского (1909 г.) в его бумагах было найдено это доказательство и напечатано (1910 г.) через 14 лет после появления "Geometrie der Zahlen" в виде последнего, заключительного её 57-го параграфа [7]." Даты и ссылки на [7] вставлены в цитату автором настоящей работы. Любопытно, что по каким-то причинам доказательства теоремы Брунна (так она тогда называлась) в книге [7] за 1896 год не оказалось. Видимо Минковского не совсем устраивали имевшиеся на тот момент доказательства.

Впоследствии теорема доказывалась многими авторами. Необходимые ссылки имеются, например, в книгах [1, 8, 9, 10, 11], в обзорах [4], [12]. В работе [13] приводится доказательство через монотонные отображения, которое хоть и не элементарное, но достаточно мощное для случая равенства. Наиболее прозрачным из известных автору представляется аналитическое доказательство индукцией по п со стр. 844 - 846 книги [14]. Наиболее геометрическим, как представляется, является доказательство из книги [10], использующее симметризацию Штей-нера, основанную на принципе Кавальери, из-за чего не может быть отнесено к элементарным.

Б.Н. Делоне считал эту теорему "хотя, быть может, и трудно доказуемой, но самой по себе довольно очевидной" ([15], стр. 37). Ощутимое несоответствие между очевидностью теоремы и существенной неэлементарностью её доказательств в части строгого неравенства (из-за чего она часто приводится без доказательства) имело место до настоящего времени даже для п = 2. Данная теорема, кроме её многочисленных приложений для изоперимет-рических оптимизационных задач, относится к основам теории выпуклых многогранников, поэтому желательно иметь её геометрическое доказательство элементарными методами, доступное школьникам и студентам младших курсов. Брунн в 1887 году был буквально в шаге от такого доказательства, что и будет продемонстрировано в настоящей статье.

Распространение утверждаемого теоремой неравенства Брунна-Минковского на различные многообразия и дискретные структуры продолжается до настоящего времени (см, например, [16]-[24]).

1.1. Основные понятия и используемые обозначения. Для доступного введения в теорию выпуклых множеств можно порекомендовать первую главу книги [25]. Под телом в Мга в статье понимается ограниченное замкнутое выпуклое множество положительного п-мерного объёма.

Договоримся через [X] обозначать выпуклую оболочку множества X в евклидовом про_ о

странстве, через дХ - множество граничных точек выпуклого множества X. Через X и X обозначаем соответственно замыкание и множество внутренних точек множества X. Для точек В\,..., Вк выпуклый многогранник [{^1,..., В^}] обозначаем [В1,..., В^].

Если тело Р1 получается из Ро параллельным переносом, то пишем Р1ЦР0, иначе Р1 $ Ро. Тела и многогранники, а при п = 2 области и многоугольники, предполагаются выпуклыми. Для п-мерного объёма тела С Мга используем обозначение Уп(01). Через Ап обозначаем п-мерный симплекс.

Гиперплоскость С С Мга, задающая разбиение Мга = С- и С+ на замкнутые полупространства С-, С+, С- ПС+ = С, считаем опорной для тела С Мга, если 0 = ПС С дQ. Опорную гиперплоскость С считаем ориентированной с единичным вектором нормали п, перпендикулярным к гиперплоскости С и направленным в сторону от тела . Обозначаем С = Сп = Сп(0) и считаем, что Q С С- = С-. Множество всех возможных нормалей п отождествляем с единичной сферой б*""-1 С Кга с центром в начале координат О. Очень часто вместо заведомо справедливого равенства = Ппе,дп-1 С- можно пользоваться равенствами = ПпехС- для специальных подмножеств X С вп-1, вплоть до конечных подмножеств X в случае выпуклых многогранников Q.

Через £п = £п(Р0,Р1), п е Б"1-1, обозначаем боковую опорную гиперплоскость в Мга+1 для тела [Р0 и Р1] такую, что £п П Ь0 = Сп(Р0), £п П Ь1 = Сп(Р1). Ясно, что £п П [Р0 и Р1] = [(Сп(Р0)ПР0)и(Сп(Р1)ПР1)]. Замкнутые полупространства £- и £+ определяются по аналогии с С- и С+, [Р0 и Р-\_] С £-, £- и £+ = Мга+1, £- П £+ = £п. Обратим внимание, что вектор п е Бп-1 не обязан быть перпендикулярным гиперплоскости £п. Тело [Р0иР1 С Мга+1 является пересечением замкнутой полосы между гиперплоскостями ¿0 и ¿1 с множеством Ппе^п-1 £-.

1.2. Рассечение Брунна для одновременного одинакового деления объёмов Ро, Р1. Пусть М - гиперплоскость в Мга+1, разбивающая тела Р0 и Р1 соответственно на части Р0, Р0' и Р[, Р1', Р0 = Р0иР0', Р1 = Р[иР'{, причём Уп(Р0) = Уп(Р[) и Р0, Р1 находятся по одну

сторону от гиперплоскости М. Тогда РЦ, Р" находятся по другую сторону от гиперплоскости М и Уп(РЦ) = Уп(Р\), так как Уп(Ро) = Уп(Р\). Если утверждение теоремы справедливо для пар тел Р0, Р[ и РЦ, Р'', то оно будет справедливо и для тел Ро, Р1. Действительно, тогда

Уп(Ь П [Ро и Рг]) ^ Уп(Ь П [РО и Р[]) + Уп(Ь П [Р{ и Р{']) > (1)

^ Уп(Р') + уп(ь П [р' и р"]) > УП(Р') + УП(РЦ) = Уп(Ро). ( )

Далее, если Рг § Р0, то либо Р[ § Р', либо Р" § Р'. Иначе, при Р[\\Р' и Р"\\Р'' имели бы Ро \\^1, так как соответствующие векторы сдвига для Р{\Рд и Р" \\Р'' будут одинаковы, они совпадают с вектором сдвига для (Р" П М) \\ (Ро П М). Таким образом, при Р" § Ро одно из двух последних неравенств в цепочке (1) является строгим.

Обратим внимание, что первое неравенство в цепочке (1) в общем случае нельзя заменять равенством, например, из-за точек [А,В]ПЬ е [РоиР^ПР, А е Р', В е Р", которые, возможно, не принадлежат (Ь П [Р' и Р"]) и (Ь П [Р'' и Р"]).

1.3. Основная идея предлагаемого доказательства теоремы. Её утверждение (если игнорировать тривиальную ситуацию Р1УР0) выражается импликацией

Р1 § Ро ^ Уа(Р) >У, (2)

где Р = Ь П [Р1 и Ро]. Импликация (2) доказывается с помощью неравенства

Уп(Р) = Уп(Ь П [Р0 и Р"]) ^ V, V = Уп(Р0) = Уп(Р1), (3)

для которого уже имеются доказательства элементарными средствами.

Используя приближения выпуклого тела Ро многогранниками, доказательство импликации (2) может быть сведено к случаю, когда тело Ро является выпуклым многогранником. В свою очередь, с помощью многократных рассечений Брунна доказательство импликации (2) в случае многогранников Ро сводится к п-мерным симплексам, когда Ро = Ап, а Р" произвольное тело.

Благдаря неравенству (3), справедливость импликации (2) следует из справедливости импликации

Р" § Р0 ^ ЗР" С Ьъ Уп(Р") = V : Уп(Ь П [Р0 и Р"]) > Уп(Ь П [Р0 и Р"]). (4)

Если заранее известно, что при заданном Ро на некотором Р* достигается минимум Уп(Ь П [Ро и Р^х]) по всем Р" с Уп(Р\) = V, то для доказательства (2) с помощью (4) неравенство (3) не требуется.

В случае Ро = Ап построение требуемого выпуклого тела Р" в (4) осуществляется в два этапа незначительными "шевелениями" границы дР". Пусть А и В = С вершины симплекса Ро. Вначале увеличиваем Р" до Р" так, что £п(Ро, Р\) = £п(Ро, Р") для всех п е Sn-1, для которых Сп(Ап) П Ап = {А}. Новое положение (£у(Ро, Р\) = (Ро, Р{)) могут занимать (удаляясь от Р\) только боковые опорные гиперплоскости (Ро, Р\) для тех V е Б"1-", для которых СV(Ап) П Ап = {А}. Затем на столько же уменьшаем п-мерный объём тела Р", переходя к телу Р\ так, что для некоторого одного конкретного т е Sn-1 такого, что Ст(Ап) П Ап 5 [В, С], боковая опорная гиперплоскость £т(Ро, Р") (содержащая [В, С]) оставляет часть объёма тела Р\ в полупространстве £+ (Ро, Р"-), или, иначе и точнее, в полупространстве £+ (Р]_) С Ь" Э Р". В результае, при сохранении п-мерного объёма на уровне гиперплоскости Ь", на уровне гиперплоскости Ь уменьшение п-мерного объёма на втором этапе будет строго больше, нежели его увеличение на первом этапе. Обратим внимание, что в результате предлагаемых перестроек ¿V(Р") = ^(р0, Ст(Р") = С^Р"), но ¿V(А^Р") П Ьо = ^(Ап, Р{) П Ьо = ^(Ап), как и £т(Ап, Р") П Ьо = £т(Ап, Р") П Ьо = Ст(Ап).

Новизна представленного наивного геометрического подхода, обеспечившего простоту доказательства импликации (2) как бы в лоб, видится в следующем.

1.3.1. Ранее вместо импликации (4) доказывалась непосредственно импликация: Уп(Ь П [Р0 и Р^) = V ^ Р1\\Р0. Этот нюанс оказался решающим.

1.3.2. Ранее выпуклые тела Р0 только приближались "снизу" прямоугольными параллелепипедами. В нашем случае многогранник Р0 исчерпывается п-мерными симплексами полностью.

1.3.3. Начиная с Минковского рассматривали эквивалентную формулировку теоремы (2), полагая Ь0 = Ь1 = Мга и Р = (1 — Ь)Р0 + ЬР1, 0 < Ь < 1, использовали так называемые смешанные объёмы. (При Ь0 = Ь1 в пространстве Мга+1 выпуклое тело Р = Ь П [Р0 и Р1] тоже представляется суммой Минковского Р = (1 — Ь)Р0 + ЬР1, если расстояния от Ь к Ь0 и к Ь1 относятся как £ к 1 — ¿.) Автор склонен думать, что как раз это обстоятельство: уход от ситуации общего положения (£0 = Ll) в особенность (£0 = ¿1) явилось одной из причин, из-за которой возникла трудность со строгим неравенством в теореме, длившаяся с 1887 года до настоящего времени. Переход от Мга+1 к Мга может приводить ещё к непониманию смысла теоремы. Например, в переводе [26] второго издания книги с названием "Геометрия чисел" (как у [7]) на стр. 12 в ошибочной формулировке теоремы подразумеваются построения как в Мга+1, так и в Мга. Здесь, справедливости ради, следует оговориться, что многочисленные приложения настоящей теоремы (2), полученные Минковским и другими авторами, связаны как раз со смешанными объёмами, с алгебраическими представлениями Р = (1 — Ь)Р0 + ЬР1 в виде суммы Минковского.

1.4. Содержание статьи (план доказательства). В §2, состоящем из пп. 2.1, 2.2, 2.3, доказательство импликации (2) сводится к её очень частному случаю, к доказательству импликации (4) с Р0 = Дп. В п. 2.1 доказывается неравенство (3) с помощью рассечений Брунна. В п. 2.2 доказывается лемма о том, что произвольный выпуклый многогранник Р0 С Кга, п ^ 3, последовательными рассечениями Брунна может быть разбит на п-мерные симплексы (первое сечение производится как в п. 1.2, затем отдельные части независимо рассекаются аналогичным образом). При п = 2 выпуклый многоугольник рассекается на треугольники по диагоналям. В п. 2.3 импликация (2) доказывается в предположении, что справедлива импликация (4) в частном случае, когда Р0 = Дп.

В § 3 приводятся два доказательства импликации (2) для рассмотренного первоначально Брунном в [5] случая п = 2. Одно аналитическое (с целью дополнительно подчеркнуть важность обращения к симплексам), другое геометрическое, реализующее схему рассуждений п. 1.3. Оба доказательства доступны школьникам. Представляется, что оба из этих доказательств могут претендовать на доказательство в книгу [27] в последующих её изданиях, если теорема Брунна - Минковского когда-либо будет там представлена.

В § 4 содержатся необходимые предварительные замечания общего характера, которые будут использоваться в § 5 при доказательстве импликации (4) с Р0 = Дп. Принципиально новым в § 4 является содержание п. 4.2, относящееся к особенностям доказательства, связанным с увеличением размерности п. Там для выпуклых тел Р1 используем обозначение Я. Для каждого выпуклого тела Я С Ь1 = Мга, п ^ 3, в случае Р0 = Дп С Ь0, Уп(Я) = Уп(Дп), строится расширяющийся ряд из п выпклых тел

Я = Я{1) С я(2) С ... с с = Дга, (5)

в котором Дп С Ь1 - минимальный симплекс, содержащий Я и гомотетичный симплексу Дп с положительным коэффициентом гомотетии. Тело Я(г\ ^ = 1,...,п, задаётся пересечением полупространств всех опорных гиперплоскостей тела Я уровней ] ^ г, а к уровню ] е {1,... ,п} отнесены те опорные гиперплоскости Сп(^), п е Бп-1, для которых параллельные им опорные гиперплоскости Сп(Д.п) содержат грани Дп размерности ] — 1 и не содержат граней большей

размерности, т.е. в опорной гиперплоскости Сп(Ап) содержится ровно ] вершин симплекса

А г.

Ап П Сп(Ап) = |АП П £П(АП)| = j. Всё множество опорных гиперплоскостей уровня j,

^ = 1,... ,п, естественным образом разбивается на С3п подмножеств, отвечающих конкретным подмножествам вершин симплекса Дп (или Дп) мощности Телу Я приписываем порядок г е {1, ...,п} (относительно Дга), если ф = Я(1) = Я(2) = ... = = = Я(*+1). Считаем

Я телом общего положения, если ф = = Я(2). Когда ф = Я(г), г > 1, тело ф считаем особым. Если Я $ Дп, то Я = Дп = и тогда при ф = Я(г) = Я(г+1) обязательно г ^

п — 1. Для выпуклого тела Я порядка г чем меньше ] е {г, г + 1,... ,п}, тем точней тело Я приближается телом . Другими словами, папа Карло, выстругивая Я, следовал бы по ряду (5) в обратном порядке, начиная с самой грубой заготовки Дп. В общем случае, чем меньше 3 е {г + 1,... ,п — 1}, тем больше у него работы для получения из .

Доказательство импликации (4) в § 5 для п ^ 3 и Р0 = Дп разбито на пп. 5.1 и 5.2. В п. 5.1 импликация (4) доказывается для выпуклых тел Р1 = Я = = Я(2) общего

положения аналогично геометрическому доказательству теоремы (2) для п = 2 из п. 3.2, реализующему схему рассуждений п. 1.3. В п. 5.2 импликация (4) доказывается для выпуклых тел Р1 = Я = = порядка г е {2,... ,п — 1} индукцией по г путём рассматриваемых в

п. 1.2 рассечений Брунна, при которых Р0, РЦ - симплексы, а выпуклое тело Р1 имеет порядок г — 1. Размерность п = 3 (когда ещё есть возможность для наглядного представления) в п. 5.2.1 рассматривается отдельно, чтобы случай п ^ 4 в п. 5.2.2 воспринимался проще.

Рассечений Брунна вместе с леммой из п. 2.2 и ряда (5) оказалось достаточно (как показывается далее в §§2-5) для доказательства неравенства (2) в общем случае.

1.5. Столь пространное введение приведено в надежде на то, что после этого некоторым читателям по их желанию даже не потребуется знакомиться собственно с доказательствами из §§2-5. Приводимые там рассуждения можно отнести к не сложным упражнениям на выпуклые множества, которые заведомо проще предлагаемых в монографии [25]. При написании доказательств не было цели уменьшения объёма статьи, измеряемого числом страниц. Если измерять формальными выкладками, начиная с аксиоматики Пеано, то сокращение до элементарности по сравнению с ранее известными доказательствами теоремы сомнений не вызывает, особенно это касается случая п = 2. Для изложения полного пусть не подробного доказательства теоремы по предлагаемой схеме хватило четырёх страниц тезисов [28].

1.6. Ранее в [29] (см., также [30]) на основе этих же идей приводились другие доказательства теоремы Брунна - Минковского. Там, в частности, рассматривалась возможность получения неравенства (3) непосредственно из утверждения (4). Для этого при фиксированном Р0 достаточно было убедиться в наличии выпуклых тел ^1, на которых достигается минимум функции Р(Я) = Уп(Ь П [Р0 и Я]). Предварительно стандартным способом доказывалась компактность множества X всех выпуклых тел Я с достаточно большой верхней границей для их диаметра и с Уп(Я) = V (точнее классов эквивалентности таких тел Я относительно параллельных переносов) в специальной метрике, эквивалентной метрике Хаусдорфа, и доказывалась непрерывность функции Р: X ^ М. В работе [29] в некоторых ситуациях строятся семейства выпуклых тел Р1(з), Уп(Р1(з)) = V, в е [0, 1], Р1(0) = Р1, Р^1(1)\Р0, для которых функции /(в) = Уп(Ь П [Р0 и Р1 (5)]) строго монотонно убывают на отрезке [0, 1]. Доказательство леммы о разбиении выпуклого многогранника на симплексы при рассечениях Брунна из п. 1.2 в работе [29] не такое наглядное, как в п. 2.2 ниже.

1.7. Геометрическим неравенствам обычно отвечают одна или несколько оптимизационных задач. Для неравенства (2) в [31] имеется достаточно наглядная оптимизационная задача прикладного практического происхождения. В [31] для замкнутых выпуклых тел X и Я в Мга

рассматривается множество Г!^(Х) = и (у + Я), называемое ^-границей

veмn:

0=(у+я)пх=д(ь+я)пдх

для тела X. В работе [31] доказывается теорема о том, что при заданных Я с Уп(Я) > 0 и

V = Уп(Х) > 0 минимум объёма ^-границы Vn{TQ(X)) достигается для единственного (с точностью до параллельных сдвигов) тела Хо, гомотетичного с положительным коэффициентом гомотетии ^-границе точки.

Сведение доказательства теоремы (2) к проверке импликации (4) для Р0 = Дп

В п. 2.1 этого параграфа с помощью рассечений Брунна доказывается неравенство (3). В п. 2.2 доказывается лемма о том, что произвольный выпуклый многогранник Ро С Кга, п ^ 3, последовательными рассечениями Брунна может быть разбит на п-мерные симплексы. В п. 2.3 импликация (2) доказывается в предположении, что уже справедлива импликация (4) с Ро = Ап. Импликация (4) в случае Ро = Ап будет доказана в §5.

2.1. Доказательство неравенства (3). После рассечения Брунна (см. п. 1.2) неравенство (3) для пары выпуклых тел Ро, Р", Уп(Ро) = Уп(Р{), следует из таких же неравенств, но для пар выпуклых тел Ро, Р[, Уп= Уп(Р{), и Р^, Р", Уп(РЦ) = Уп(Р"). К каждой из пар Ро, Р{ и Ро', Р" также при необходимости можно применять рассечение Брунна. К некоторым из далее получаемых частей тоже можно применять рассечение Брунна. После N — 1 рассечений возникают разбиения Ро = и,Ро?, Р" = и I " Р" такие что каждому ломтю

Р® С Ро,

г = 1,...,И, отвечает свой ломоть Р^ С Р", причём Уп^о"1) = Уп(Р\">) и, согласно (1), Уп(Ь П [Ро и Р"]) ^ = Уп(Ь П [Р^ и Р^]). В результате, неравенство (3) будет следовать из неравенств Уп(Ь П [Р^ и Р^]) ^ Уп(Ро%">) = Уп(Р\">), г = 1,... , X, которые, при достаточно большом N, по отдельности могут легко устанавливаться.

Приступим теперь непосредственно к доказательству неравенства (3).

Доказательство. Гиперплоскости Ро и Ь" будем отождествлять с евклидовым пространством Мга. Рассмотрим в Мга ортонормированный базис щ,..., пга. Поместим тело Ро С Ьо в сетку из п-мерных одинаковых кубиков со стороной е > 0, получающихся в результате разбиения пространства Мга п семействами гиперплоскостей в Ьо, перпендикулярных соответственно П, г = 1,... ,п. Назовём их верхними гиперплоскостями. Из каждого семейства потребуется только конечное число гиперплоскостей, которые либо пересекаются с телом Ро либо находятся в непосредственной близости к нему. Пересекающиеся с границей дРо кубики назовём граничными. Возникающее разбиение тела Ро на кубики и небольшие их части индуцирует разбиение тела Р" на параллелепипеды и небольшие их части следующим образом.

Семейство верхних гиперплоскостей, перпендикулярных щ и пересекающихся с телом Ро, индуцирует в результате рассечений Брунна однозначно задаваемое семейство такого же числа нижних гиперплоскостей в Ь", перпендикулярных щ и разрезающих тело Рь Предварительно верхние гиперплоскости, перпендикулярные щ и пересекающиеся с телом Ро, как-то линейно упорядочиваются. В соответствии с этой упорядоченностью производятся один за другим рассечения Брунна. Однозначность возникающих нижних гиперплоскостей и независимость их от введённой упорядоченности обеспечивается тем, что соответственные пары из верхних и нижних ломтей (включая крайние) между каждыми парами соответственных верхних и нижних гиперплоскостей должны иметь одинаковые п-мерные объёмы.

Каждый образовавшийся ломоть в Р", независимо от остальных ломтей Р", аналогично разбивается семейством гиперплоскостей, перпендикулярных П2, исходя из уже имеющегося разбиения (такими же гиперплоскостями) соответствующего ломтя из Ро .И так для всех остальных по порядку векторов пз,..., пп, при этом каждый раз рассечения ломтей, образовавшихся на предыдущем этапе, происходят независимо друг от друга. После чего граничные кубики в Ро и соответствующие им ломти Ql в Р" исключаем из дальнейшего рассмотрения.

После этого тело Р" помещаем в такую же сетку из п-мерных кубиков со стороной, для

определённости, тоже е. Эта сетка индуцирует разбиение на параллелепипеды (или небольшие их части вблизи границы дР{) каждого не исключённого ранее ломтя тела Рь Каждому такому ломтю (п-мерного объёма еп) отвечает кубик Я0 в Р0, на котором как и выше, другими п сериями рассечений Брунна индуцируется разбиение на параллелепипеды, отвечающее возникшему разбиению на параллелепипеды (или их части) ломтя ^1. Каждый раз роль тела Р0 играет ломоть ^1, а соответствующий ему кубик Я0 играет роль тела Рь

Долю ломтя , не являющуюся параллелепипедом (соприкасающуюся с границей дР1, содержащуюся в кубике, пересекающемся с границей дР1), исключаем из дальнейшего рассмотрения вместе с соответствующей долей (в виде параллелепипеда) кубика ^0.

Суммарный объём всех оставшихся параллелепипедов в Р0 ив Р1 за счёт выбора е > 0 достаточно малым будет приближаться снизу к V сколь угодно близко, так как исключённые доли содержатся в сколь угодно малых окрестностях границ дР0 и дР1.

Между оставшимися параллелепипедами в Р0 и Р1 имеет место взаимно однозначное соответствие, причём п-мерные объёмы двух соответственных параллелепипедов П0 С Р0 и П1 С Р1 одинаковы, ЬП[П0иЩ] С ЬП[Р0иР1]. По построению для любых двух пар соответственных параллелепипедов (П0, П1), (П, Щ) обязательно Уп((ЬП [П0 иП[]) П (ЬП [П0 иП'1])) = 0. Благодаря сделанным замечаниям и суммированию по всем оставленным соответственным парам параллелепипедов из Р0 и Р1, неравенство (3) достаточно доказать для двух прямоугольных параллелепипедов П0, Щ со сторонами а,...,а£\ ] = 0, 1, для которых а^ ■ ... ■ а^ =

■ ... ■ ап) = V. Тогда неравенство (3) принимает вид П?=1 ((1 — + ^ и или

¿"П?^ ( 1—+ ) ^ 1. Справедливость последнего неравенства следует из того, что минимум произведения р = р(х1,... ,хп) = Х\.1=1(т + хг) при х1 ■ ... ■ хп = 1, заданном т = и XI > 0, г = 1,... ,п, достигается только при х1 = ... = хп = 1 и равен (т + 1)га. Действительно, при замене XI = х^ на х[ = х^ = /х^х] величина р становится строго меньшей, поэтому р(х1,..., хп) > р" = р(х'1,..., х'п), причём произведение р" можно сделать сколь угодно близким к (т + 1)п за счёт того, что все компоненты х'1,... можно сделать несколькими заменами пар различных компонент на равные сколь угодно близкими к 1. В результате неравенство (3) для параллелепипедов П0, П1, а значит и для произвольных тел Р0, Р1, доказано.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2.2. Доказательство теоремы (2) для выпуклых многогранников Ро в предположении справедливости импликаций (4) для Ро = В этих предположениях импликации (2) для Р0 = Дп следуют из (4) и (3). После этого теорема (2) для выпуклых многогранника Р0 и произвольного тела Р1 доказывается с помощью многократного использования рассечений Брунна. Каждый из многогранников Р0 и РЦ, полученных после первого рассечения, можно продолжать аналогично независимо разбивать своими гиперплоскостями на пары многогранников, с которыми поступаем так же до тех пор, пока все части многогранника Р0 не окажутся п-мерными симплексами. На такую возможность указывает следующая лемма.

Лемма 1. Произвольный выпуклый ограниченный многогранник Р0 в Мга, п ^ 2, за конечное число последовательных рассечений гиперплоскостями можно разбить на симплексы.

Доказательство. Используем индукцию по п. Выделяя в многограннике Р0 какую-либо вершину А, можно считать Р0 "пирамидой" с вершиной А и неровным "основанием" , состоящим из нескольких его (п — 1)-мерных граней (несодержащих А). Гиперплоскость Е С Мга, содержащая вершину А и одну из (п — 2)-мерных граней, общую для двух (п — 1)-мерных граней "основания" , разбивает Р0 на две "пирамиды" , в каждой из которых число граней "основания" по крайней мере на 1 меньше, чем в "основании" у Р0. Дальнейшие независимые разбиения частей Р0 гиперплоскостями Е э А оставят во всех "основаниях" по одной

(п — 1)-мерной грани, которые по предположению индукции разбиваются на (п — 1)-мерные симплексы, а значит и Ро разбивается на п-мерные симплексы.

Лемма доказана.

2.3. Доказательство теоремы (2) в предположении справедливости импликаций (4) для Ро = Д„.

Доказательство. Пусть Ро и Р" § Ро два выпуклых тела одинакового п-мерного объёма. Рассмотрим многогранник Ро, содержащийся в теле Ро, п-мерный объём которого можно сделать сколь угодно близким п-мерному объёму Ро (например, Ро - выпуклая оболочка совокупности внутренних е-кубиков из п. 2.1). Тело Р[ С Р" получаем последовательными отсечениями Брунна частей Р" гиперплоскостями, параллельными (п — 1)-мерным граням многогранника Ро, отслеживая каждый раз (в соответствии с п. 1.2) равенство отсекаемых объёмов у Ро и Рь Приближения Ро к Ро осуществляем на столько близко, что Р[ § Ро.

Благодаря (1), для доказательства теоремы (2), учитывая доказанное в п. 2.2 неравенство Уп(Р П [Ро и Р"]) > Уп(Ро) = Уп(Р\), останется применить доказанные в п. 2.1 неравенства Уп(Ь П [(¿о и ф"]) ^ Уп(Яо) = Уп^") ко всем отсекаемым парам соответственных ломтей Яо С Ро, Я" С Рь

Импликация (2) доказана, но пока только в предположении, что справедливы импликации (4) для симплексов Ро и произвольных тел Рь Последнее при п ^ 3 будет доказано в § 5.

Доказательства теоремы (2) для п = 2

Согласно результатам предыдущего параграфа для доказательства строгого неравенства в (2) при п = 2 достаточно убедиться в справедливости импликации (4) для треугольника Ро. Далее в § 3 считаем Ро = А2, Р" § Ро.

3.1. Аналитическое доказательство теоремы (2) для п = 2.

Доказательство. Обозначим через А2 минимальный треугольник, содержащий область Р\ и гомотетичный А2 с коэффициентом гомотетии большим 1 (см. рис. 1). Пусть А", А2, Аз - вершины треугольника А2, а В", В2, Вз - соответствующие вершины треугольника А2, и, наконец, ММ2, Мз - области (не выпуклые в общем случае) соответственно при вершинах В", В2, В3, на которые разбивается замыкание множества А2\Рь

Выпуклая оболочка [А2иР^ множества А2иР" получается из усечённой пирамиды [А2иА2] с основаниями А2 и А2 исключением пирамид Л± = Л(А^, М.\) = [{А±} и М^] с вершинами А^ и основаниями М^, г = 1, 2, 3. Поясним это. Тело [А2иР" есть пересечение всех полупространств, содержащих А2 и Р", поэтому его боковая поверхность состоит из отрезков [А, В], А е дА2, В е дР", содержащихся в опорных плоскостях £п, п е в", общих для А2 и Р". Треугольник А2 и область Р" должны находиться по одну сторону от опорных плоскостей £п, которые однозначно восстанавливаются по прямым Сп(Р") = Ь" П £п, п е вопорным для области Р" в плоскости Ь".

Просматривая по кругу все возможные положения прямой Сп(Р\), п е замечаем, что боковая поверхность тела [А2 и Р"] состоит из отрезков [А, В], А = Аг, г = 1, 2, 3, В е дМ\дА2, а также (при Сп(Р\) Э [Вг,В^]) из трапеций с основаниями [А^, А^ ] и Р-" П £п(Р^ = Р-" П [Вг,В3], вырождающихся в треугольники, когда пересечение Р" П [В^,В3] состоит из одной точки.

Пусть площади треугольника А2 и области Р" равны V = 1, и линейный размер треугольника А2 (например, с точностью до постоянного множителя, его периметр) равен 1. Положим площадь треугольника А2 равной (при Р" § Ро) 1 + 5, 5 > 0, 6 = У2(М{) + У2(М2) + У2(М3). Расстояния от Ь до Ьо и Ь" относятся как ¿к 1 — ¿, 0 < Ь < 1. Тогда по гомотетии линейный размер треуольника А2 равен V1 + 5, а линейный размер треугольника А'2 = [А2 и А2] П Ь равен 1 + 1(л/1 + 5 — 1), и, в свою очередь, площадь треугольника А'2 равна (1 — £ + Ьл/Г+И)2.

Для получения площади сечения Р нужно из площади треугольника Д2 вычесть суммарную площадь пересечений плоскости Ь с тремя пирамидами, исключаемыми из усечённой пирамиды [Д2 и Д2] (см. рис. 1). В результате для площади сечения Р имеем:

У2(р) = (1 — г + ¿/т)2 — г25 = 1 + 2г(1 — г)(/ТТ5 — 1) > 1.

В импликации (4) можно положить Р1ЦД2.

Теорема (2) при п = 2 аналитическим способом доказана.

3.2. Геометрическое доказательство теоремы (2) для п = 2.

Доказательство. Предварительные рассуждения относительно устройства области Р = Ь П [Д2 и Р1] те же, что и в первом аналитическом доказательстве. Пусть вершина В2 </ Р1 (см. рис. 2), У2(М2) = 52 > 0. Рассмотрим Р1 = Р1 и М2. Тогда У2(Ь П [Д2 и Р1]) = У2(Р и (Ь П К(А2,М2))) = У2(Р) +1252. Отсечём от области Р1 прямой, параллельной В1В3, область О площади §2. Останется область Р1, для которой

У2(К) = У2(Р1),Р = Ь П Д и Р1] С Ь П [Д2 и % (Ь П Д и Р1])\(Р П [Д2 и Р1]) Э ь П [[А1, Аз] и О] Э Э (ь П А(АЬ О)) и (Ь П А(Лз, О)).

В результате,

У2(Р) = У2(Ь П [Д2 и Р1]) < < У2(Р) + Ь2§2 — У2((Ь П А(АЬ О)) и (Ь П Л(Аз, О))) < < У2(Р) + г252 — г252 = У~2(Р).

Теорема (2) при п = 2 вторым геометрическим способом доказана.

Предварительные замечания к случаю п ^ 3

В настоящем параграфе через Q обозначаем произвольное выпуклое тело Q С L1 = Мп, п ^ 3, Р0 = Ап С L0, Vn(Q) = Vn(Ап) = v. Одним из таких Q является тело Р1, фигурирующее в импликации (4), доказываемой в § 5 для произвольных n-мерных симплексов Ро. На протяжении всего § 4 вместо Cn(Q) будем использовать обозначение £n.

Если а - аффинное преобразование пространства Rn+1, сохраняющее (п + 1)-ю координату неизменной, то L П [а(Р0) U а(Р1)] = a(L П [Ро U Р^). С точки зрения доказываемой теоремы конкретная форма симплекса Ап не так существенна, поскольку аффинным преобразованием а, сохраняющим n-мерный объём (например, с определителем 1 у матрицы линейной части преобразования а), произвольный симплекс Ап = [Ai,...,А п, ^n+i] переводится в правильный симплекс, у которого все рёбра одной длины. Это доказывается, например, индукцией по п. Вначале представляемое горизонтально основание Ап-1 = [А1,..., А^] пирамиды Ап с вершиной Ап+1 переводится в правильный симплекс Ап-1 с центром в начале координат. Затем вершина пирамиды Ап+1 переводится по горизонтали (при неподвижном основании) на вертикальную координатную ось. Наконец, растяжениями основания пирамиды и изменением её высоты (передвижением вершины Ап+1 вдоль вертикальной координатной оси) можно получить правильный симплекс Ап прежнего объёма.

4.1. В этом пункте симплекс Ап считаем правильным. Будем также считать v = 1 и Уп(Ь П [Q U Ап]) е [1, 2]. В этом случае тело Q содержится в шаре ограниченного радиуса R.

Если диаметры тел Q не ограничены, а расстояния от L до Lo и от L до L1 относятся как t к 1 — t, t е (0, 1), то для некоторого Q найдутся точки В1,... ,ВГ е Q, г > (1-t)n, для которых (L П [{Bi} U Ап]) П (L П [{Bj} U Ап]) = 0 для всех 1 ^ i < j ^ г. Тогда Уп(Ь П [Q U Ап]) ^

Y^î=i Vn(Ln[{Bi}\jAn}) = r(1-t)n > 2. Полученное противоречие указывает на ограниченность радиуса R, с верхней оценкой, зависящей только от n ^ 3 и i G (0, 1).

Будем говорить, что некоторая характеристика, относящаяся к телу Q, имеет гарантированную величину, если она имеет нижнюю оценку в виде положительной константы, зависящей только от n ^ 3 и t G (0, 1).

4.1.1. Для любого n G Sn-1 расстояние h = hn = р(Сп, С-п) ^ 2R между опорными для Q гиперплоскостями Сп и С-п гарантировано, поскольку Vn(Q) = 1, а для всех гиперплоскостей С||Сп величина Vn-\(Q П С)/Еп-1 меньше зависящей от n константы. В то же время для некоторой гиперплоскости С'||Сп величина Vn-1(Q П С') гарантирована, не меньше ^тц.

4.1.2. При любом n G Sn-1 для гиперплоскости Сп\ параллельной гиперплоскостям Сп и С-п и расположенной строго по середине между ними, гарантировано значение Vn-\(Cn nQ). Действительно, если С' - гиперплоскость из предыдущего п. 4.1.1 и р(С-п, С') < kir, а вершина В G Сп П Q, то даже значение Vn-\(Cn П [{В} и (С П Q)]) ^ Vn-\(Cn П Q) гарантировано, меньше по сравнению с Vn-1(Q П С') не более чем в 2п-1 раз.

4.1.3. Пусть n G Sn-1 и гиперплоскость С||Сп такая, что С- С С-, р(С, Сп) = d < hn/2. Значение Vn(L+ ПQ)/dn гарантировано согласно предыдущему подпункту, поскольку гарантировано vn([{B} и (спо) П Q)]), В G Сп П Q.

4.2. Для точек сферы Sп-1 с центром в начале координат "плоскостями" размерности к = 0,1,... ,n — 2 считаем пересечения векторных подпространств в Жп размерности к + 1 с открытыми полусферами (без границ в виде "экваторов" Sn~2). Выпуклой оболочкой пары точек n, m G Sn-1 с угловым расстоянием меньшим 180° считаем "отрезок" [n, m] С Sn-1, являющийся пересечением сферы Sп-1 и угла с вершиной в начале координат и лучами вдоль векторов n и m. Это позволяет использовать на сфере Sn-1 аналоги понятий и терминов, относящихся к выпуклым множествам евклидова пространства Мга-1, и позволяет рассматривать структуру разбиения сферы Sn-1 на ¿-мерные "симплексы" , i = 0,1,... ,n — 1, по типу устройства границы n-мерного симплекса Ап.

Пусть: Ап = Аn(Q) = [В1,... ,Вп+1] - минимальный симплекс, содержащий тело Q С L1 и гомотетичный симплексу Ро = Ап С Lo с положительным коэффициентом гомотетии, n G Sп-1, j = 1,...,n + 1, - нормаль (n — 1)-мерной грани [В]^,..., В3-1, В3+1,..., Вп+1] симплекса Ап. Обозначим Mo = {n1,..., nra+1}. Для собственного подмножества а С Mo с |а| = i + 1 ^ 2 обозначим = [а]\<9[а] - внутренность ¿-мерного "симплекса" [а] С Sn-1. Считаем •^(п} = {n}, j = 1,..., n + 1, по определению. Полагая Mi = |JаС_^-0^а, получаем

Sn-1 = Ц=~о М. Если n G ^ С Mn-i, а = {пл ,..., nin-i+1}, то Ап П Сп(Ап) является (i — 1)-мерной гранью симплекса Ап с вершинами Вj, j G {1,... ,n + 1}\{л,..., jn-i+i}. Во введении в п. 1.4 опорные гиперплоскости Сп тела Q с нормалями n G Mn-i, были отнесены к уровню i, i = 1,..., n.

Полагая Mi = ЦМк, i = 1,..., n, получаем строгие вложения

Sn-1 = M1 ? M2 ? ... ? Mn-1 ? Mn = Mo, (6)

задающие ряд (5) с Qг) = f|пеМ. С-, i = 1,... ,n, Q1) = Q, Q^ = Ап. Телу Q приписываем (по отношению к Ап) порядок j, j = 1,...,n — 1, если Q = Q{j) = Q(J+1). Если Q|^ n, то Q = Q= Ап имеет порядок n.

Совокупность из 2n+1 — 2 подмножеств С S""-1, а С М0, |а| = 1,...,n, на которые разбилась сфера Sп-1, упорядочим по мере увеличения к = |а|. При каждом к G {1,..., n} всю совокупность открытых ( к — 1)-мерных "граней" общим числом (п+^ линейно упорядочиваем произвольным образом. Наряду с (6) рассмотрим более плотный ряд

S'a-1 = M1 = %1 ? %2 ? ... ? %2n-n-3 ? %2п+1-п-2 = Mb (7)

в котором Hs+1, s = 1,..., 2п+1 — п — 3, получается удалением из множества Hs открытой "грани" А^ц с максимальным (в Hs) номером. Аналогом (5) является тоже более плотный ряд

Q = Q(1) = R(1) С R(2) С ... С к(2П+1-п-3) с К(2П+1-п-2 = ^ (8)

в котором R(s^ = Р|neW С-, s = 1,..., 2п+1 — п — 2. Для каждого Mj, j = 1,... ,п, в (7) найдётся Нф) = Mj, s(j) е{1,.1,2п+1 — п — 2}.

4.2.1. Если Q = ^ , j = 1,... ,п — 1, то для некоторого

s е {s(j),s(j) + 1,... ,s(j + 1) — 1} в (8) имеем Q = R^ ^ R(s+1"1, и найдётся подмножество а1 С М0 мощности п — j + 1, а1 = {nÍ1,..., nin_j+1}, для которого Hs = Hs+1 U^"ü1, Q = R(s) = ÍW С- = R(s+1) П Пщ^а1 С-. Обозначим R(°+1) = ПщИ8+1 С- = Q^+1).

Пусть {k1,...,kj} = {1,...,п + 1}\{г1,..., гп-^+1}. Для всех нормалей n е Ма1 гиперплоскость С{ параллельна грани [В^1 ,...,Bkj], содержащейся в аффинном подпространстве

Вкх +и, параллельном (] — 1)-мерному линейному подпространству и = у Вк1, В^2,..., Вк1, В^

о

в Мга. Поскольку Q = пП£", то с каждой точкой х €QИ'Э+1) пс^ на границе с^

будут содержаться все точки из (х + и) П (^^'Э^. Все эти точки содержатся в для всех п € Ма 1 и для всех п € "Нз+ь

о

Справедливо и обратное, если х €<3 и £и(<^) Э х + и, то обязательно и € Ма1.

Приведём этому очевидному факту формальное доказательство от противного. Пусть и € -Ми. Поскольку Си(Дп) Э [Вк1 ,...,Вк.], то и € дМа1 = д[а1], поэтому и € Ма , |а2| < |а1|. В результате номер открытого "симплекса" меньше номера открытого "симплекса" Ма1, поэтому, согласно правилу построения ряда (7), Ма С У.8+1 и и € "Н^+ь Последнее означает, что (^^'Э^1 С ($). Но это противоречит тому, что точка х € С" (<^) является внутренней для тела (^^'Э^.

4.2.2. В случае тела общего положения в обозначениях п. 4.2.1 имеем ] = 1 и = £ Я(2), Я(1) = Я(1), Я(2) = Р(п+2). Тогда найдутся § € {1,...,п + 1} и а0 С Я0 мощности п, для определённости а0 = {п1,..., пга}, для которых %3+1 = , Я = £ Я(з+1 =

Ппе^3+1 = Я(1'2). Поскольку П3 = Нз+1 иДю и

Я = Е{3) = Ппб^иМц, = ^(1'2) П Пп^ао то

д(1'2)\д = и (^(1'2)П й) = и ( & пП^п" ). (9)

Второе равенство в (9) справедливо согласно далее доказываемым интуитивно очевидным равенствам

Я(1'2)ПС+ =£+ п р| (10)

т€<9[ао ]

для всех V € 0. Напомним, что 0 = [а0]\9[а0]. Настоящий параграф закончим доказательством равенств (10).

Доказательство. При доказательстве этих равенств воспользуемся разбиением

= ^„0 и д[00] и (^"ЧЫ), для которого д[00] £ П3+1 С 9[00] и (^"ЧЫ) = 5гап1\^ао. Векторы из подмножеств _М"ао, 9[а0], б"7-1 \[а0] сферы 5"-"1 обозначаем соответственно как V € ^йо, т € д[а0] и w € 5""п1\[а0]. Равенства (10) будут следовать из включений

С++ П р| Ст cCw (11)

m!d[oo]

для всех v е ^й0 и w е 5п-1\[а0] 5 Hs+i\d[а0].

При п = 2 включения (11) очевидны (см. рис. 3). В этом случае ао = (щ, п2} = д[ао], V = а1п1 + а2п2, а1 > 0, а2 > 0, —V е 5:\[а0]. Включение (11) выполнено, так как точка пересечения прямых и (если таковая есть) находится за пределами отрезка [ С, И] или совпадает с одним из его концов.

Рис. 4

Пусть п ^ 3 (см. рис. 4 для п = 3). Без ограничения общности векторы Вп+— В^, г = 1,..., п, можно считать взаимно перпендикулярными. В пространстве Мга предполагаем систему координат с ортонормальным базисом е1,..., еп, е^ = щВп+1, В^, а^ > 0, г = 1,..., п. Тогда п = — е, г = 1,..., п. Для V е ^"ао имеем V = у1е1 + ... + упеп, Уг < 0, г = 1,..., п. Для т е д[а0] имеем т = т1е1 + ... + тпеп, т^ ^ 0, г = 1,... ,п, и существует ] е (1,...,п} с mj = 0. Наконец, для w е 5п-1\[а0] имеем w = ад1е1 + ... + ■Шпеп и существует ] е (1,..., п} с Wj > 0. Для w = —V е б^^Мао] включение (11) очевидно. При w = —V рассмотрим в Мга плоскость и2 = (V, w) и ортогональное к ней подпространство ип-2 С Мга, Мга = и2+ип-2. Проекции тел Я и на плоскость 112 параллельно подпространству ип-2 обозначим соответственно как

Я иО:(1>2).

Опорными прямыми для выпуклых областей Я и будут соответственно прямые

£п П^2 и Сп(Я(1'2"1) П и2 для нормалей п е51 = Б""-1 Пи2. На окружности Б1 будет ровно две различных нормали т+, т- е д[ао]. Укажем их. Если нормаль и е Б1 перпендикулярна V, то т+ = V ео8^>+ + и 8т^>+, где <р+ = е (0,^), (V + и вт^+г, е») = 0

или еtg^+}í = — (цеу. Аналогично определяется т- = Vео8^>_ — и8т^>_. Множество Б 1\(т+, т_} разбивается на две дуги, на одной нормали из А^, а на другой - из 5"_1\[а0]. После этого доказательство включения (11) сводится к разобранному случаю п = 2 (см. рис. 3). Включения (11) выполнены, так как они имеют место для проекций.

Равенства (10) доказаны.

Доказательство импликации (4) для Р0 = Дп и п ^ 3

Доказательство. С помощью аффинных преобразований, сохраняющих (п + 1)-мерный объём и оставляющих гиперплоскости Lq, L, L\ на месте, любой п-мерный симплекс Ап С Lq можно перевести в правильный. Поэтому, доказав импликацию (4) для какого-то одного симплекса Ап, она будет справедлива для произвольного симплекса Ап заданного объёма. Вместо Р1 будем использовать обозначение Q С Lb Q ^ Ап, Vn(Q) = Vn(An) = v. Согласно (3) Vn(L П [Q U Anj) ^ v, и если Vn(L П [Q U Anj) > d, то в качестве P\ в (4) можно взять Q|| Ага. Останется проверить, что равенство Vn(L П [Q U Ага]) = v невозможно при Q ^ Ап. В п. 5.1 это устанавливается для тел Q общего положения, Q = Q(1\ а в п. 5.2 для тел Q порядка j = 2,...,п — 1 индукцией по j, в п. 5.2.1 для п = 3, а в п. 5.2.2 для п ^ 4. Каждый раз, предполагая равенство Vn(L П [Q U Ага]) = v, будем получать противоречие в виде строгого неравенства Vn(L П [Q U Ага]) > v.

5.1. Пусть Q С L1 = Rra является телом общего положения, Q = Q(1 £ Q(2). Далее рассуждения п. 3.2, относящиеся к п = 2 (см. рис. 2), перенесём на случай п ^ 3.

В обозначениях далее используемого п. 4.2.2 имеем Vn(Q(1'2)) = Vn(Q) + ó = v + ó, 5 > 0. Пусть одна конкретная опорная гиперплоскость £и(Ага) содержит какое-либо ребро [ В, С] симплекса Ап. С помощью гиперплоскости в Li с нормалью u отсечём от тела Q(1'2 тело Q c Vn(Q) = 5. Тогда для Q =JQ(1>2)\Q имеем Vn(Q) = Vn(Q) = v. Обозначим Р = L П [Ап U Q], Р(12 = L П [Ап U Q(12], Р = L П [Ап U Q], Vn(P) ^ v. Проверим, что Vn(P) > Vn(P).

Пусть х е [Ага U Q(1'2)]\[Ara U Q] и у - точка пересечения луча Ап+1 + аАп+1,х, а ^ 0, c плоскостью L1. Поскольку х е [Ап U Q(1'2^], а Ап+1 е (Ап) для всех m е д[ао], то х е Lm(An,Q) для всех m е д[а0] и поэтому у е Пте9[ао] ^ш. Для некоторого v е Мао

О О

имеем х е£+(An, Q), из-за чего у е£+. Согласно (9) имеем у е Q(1'2)\Q. Следовательно [АгаUQ(1'2)]\[AraUQ] = [{Ara+1}U(Q(1>2)\Q)]\{Ara+1}. Таким образом, Vn(P(1'2)) = Vn(P)+tn5. Как и в п. 3.2 убеждаемся (см. рис. 2), что

Vn(P(1>2)) — Vn(P) > Vn([[B,C] U Q]) =

= Vn I U ((L п [{Б)и Q])+ «С1 - V—ty ) >

\а€[0, 1] /

> Vn(L п [{Б} U Q]) = tn5,

поэтому Vn(P) < Vn(P(1'2)) - tn5 = Vn(P) + tn5 - tn5 = Vn(P).

5.2. Пусть теперь Q = QU) £ Q(3+1), 2 ^ j ^ n — 1. Как и в п. 4.1 здесь нам будет удобно считать симплекс An правильным и v = 1. Обозначим w(Q) = Vn(LП[QUAnj). Пусть, вопреки доказываемому, w(Q) = 1.

5.2.1. Если п = 3, то j = 2, Q = Q(2 £ Q(3 = А3. Тогда, согласно далее используемому п. 4.2.1 для некоторого s G {5,..., 10} имеем Q = R(s) £ R(s+1\ и найдётся подмножество а 1 С ^о = {n1, n2, n3, n4} мощности 3 — 2 + 1 = 2, для которого Hs = /Hs+1 U , Q = R^ = nneWs = R(s+1) nflne^oi R(s+1) = nne«s+i = Q{2'3) ? Q. Пусть для определённости 01 = {n1, П2}. Тогда Мч = [П1, П2]\{П1, П2} = (П1, П2).

о

Рассмотрим точку х gQ(2'3 П dQ. Согласно п. 4.2.1 вместе с точкой х в Q(2'3 П dQ содержится отрезок Q(2'3) П {х + аВ3,U4| a G R}. Таким образом (см. рис. 5), если х G £П0, то [В3,В4] С £П0(А3) и no G (n1, n2). Выбрав внутреннюю точку В'4 G [В1,В4] поближе к

Рис. 5

В4, симплекс Д3 плоскостью С = Сп', содержащей треугольник △ВзВ2В^, разбиваем на два

симплекса. Ориентация плоскости С выбрана так, что В4 € С+ . Симплекс Дз С Ьо разби-

п1

ваем на два симплекса плоскостью С(0) С Ьо, параллельной Сп'. Плоскость Сп' параллельно

п1 1 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

перенесём (не выходя из Ь1) в положение Сп' так, что Уз(С+, П Q) = П Д3). Положим

Я+ = Я ПС+ , Я" = Я ПС", Я = Я" и Я+, Д" = Дз ПС«?", Д+ = Дз ПС^*, Дз = Д" и Д+.

Согласно п. 4.1.3 точку В4 € [В1,В4] можно выбрать на столько близкой к вершине В4, что точка х останется внутри С",, из-за чего тело будет иметь порядок 1 (относительно

симплекса Д"), что (благодаря параллельности) достаточно проверить в случае Сп' = Сп'. Проверим. Плоскость Спо (Д") = Спо (Дз) содержит только вершину Вз симплекса Д" Э

Я , иначе она содержала бы (вместе с В4) три вершины симплекса Д3. Если, например, В'4 е £по (Дз), то ДБзБ4Б/ С Спо (Дз) и поэтому ДБзБ4Б1 С Спо (Дз) (см. рис. 5). При С^ = Сп' каждая грань симплекса Д- параллельна соответствующей грани симплекса Д3 П С-,, плоскости СПо (Д-) и Спо (Д3 П С-,) тоже параллельны, поэтому и в общем случае тело Я-будет иметь порядок 1 по отношению к симплексу Д-.

Пусть Уз(Д-) = Уз(Я~) = V-, Уз(Д+) = Уз(Я+) = у+, V- + у+ = 1. Согласно (3) имеем ■(Я-) ^ 1,-,™(Я+) ^ У+. По доказанному в п. 5.2.1 справедливо строгое неравенство ■(Я-) > V-. В результате (см. п. 1.2) имеем

1 = ш(Я) ^ ■ (Я-) + ш(Я+) ^ ш(Я-) + у+ > V- + у+ = 1. Импликация (4) для Ро = Дп и п = 3 доказана.

5.2.2. Пусть теперь ( = £ 2 ^ j ^ п — 1, п ^ 4. Снова согласно далее

используемому п. 4.2.1 для некоторых е {в(^), в(^) + 1,..., + 1) — 1} и подмножества а1 С М0 мощности п — ] + 1, а1 = {п^,..., Пгп_^.+1} имеем: Н3 = Н3+1 иМй1, Я = К{3) = Ппе% С- = к(°+1) П о,^ С:-,

я(з+1) = Ппен3+1 С- = Яш+1) 2 Я = Яш+1) П Пп^а1 С-.

о

Положим {к\,...,к3 } = {1,...,п + 1}\{ %!,..., гn-j+l}. Рассмотрим точку ж еЯ^'^1 ПдЯ. Согласно п. 4.2.1 вместе с точкой х в ПддЯ содержится (] — 1)-мерное тело П(ж +

и), где и - (] — 1)-мерное векторное подпространство в Мга, параллельное грани [В^,..., В^]. Таким образом, если х е Спо, то [Вк1 ,...,Вк ] С Спо(Дп) и, согласно п. 4.2.1, других вершин симплекса Дп в Спо нет, т.е. обязательно п0 е А^.

На ребре [ В^1 ,Вк.] симплекса Дп = [В1,..., Вп+1] выберем внутреннюю точку В'к, бли-

^ 3

же к . Симплекс [В1,..., Вп+1] разбиваем на два симплекса гиперплоскостью С = Сп' ,

^ г1

содержащей (п — 1)-мерный симплекс [{В^| г е {1,...,п + 1}\{г 1,к3}} и {В'к}], а симплекс

С Ьо разобьём на два симплекса параллельной С гиперплоскостью С , С ¿о. Ориентация

пп

гиперплоскости С выбрана так, что Вк;, е С+, .

Гиперплоскость Сп' параллельно перенесём в положение Сп' так, чтобы

¿1 ¿1

Уп(С+ П Я) = Уп(С^+ П Дп). Положим Я+ = Я п с+ , Я- = Я п с- , Я = Я- и Я+,

ч ч ч ч

Д- = Дп П С п°)-, Д+ = Дп П сп°')+, Дп = Д- и Д+.

11 11

Согласно п. 4.1.3 точку В'к, е [В^1, В^] можно выбрать на столько близкой к вершине В^, что точка х останется внутри С- , из-за чего многогранник Я- будет относиться к классу ] — 1,

что (благодаря параллельности) достаточно проверить в случае Сп'. = Сп' . Проверим. Ги-

г1 г1

перплоскость Сп о(Д-) = Сп о(Дп) содержит (согласно п. 4.2.1) только вершины В^1 ,...,Вк5-1 симплекса Д- Э Я-, иначе она содержала бы (вместе с В^ ) ] + 1 вершину симплекса Д.

п-

Если, например, В'к, е С по (Дп), то Дв Вк В' С С по (Дп) и поэтому Дв вк,_ вк. С С по (Дп)

3 у 1 2 кj 1 3 1 3

(см. рис. 5 для п = 3).

Коль скоро тело Я- имеет порядок j — 1 относительно симплекса Д-, то, применив индукцию по з и (1), имеем 1=ш(Я)>ы(Я~)+ ■(Я+)>ы(Я~)+ Уп(Я+)>Уп(Я~)+ Уп(Я+) = Уп(Я) = 1. Импликация (4) для р = Дп и п ^ 4 доказана.

Этим завершено доказательство теоремы (2) для произвольных выпуклых тел Ро, Р1 и п > 2.

В заключении автор благодарит Р.Н. Карасёва за оказанные консультации и предоставленную литературу.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бураго, Ю. Д., Залгаллер, В. А. 1980, "Геометрические неравенства." Наука, Л., 288 с.

2. Федерер, Г. 1987, "Геометрическая теория меры." Наука, Москва, 760 с.

3. Булдыгин, В. В., Харазишвили, А. Б., 1985, "Неравенство Брунна - Минковского и его приложения." Наукова Думка, Киев, 200 с.

4. Gardner, R. J. 2002, "The Brunn-Minkowski inequality" , Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, vol. 39, no. 3, pp. 355-405.

5. Brunn, H. 1887, "Uber Ovale und Eiflachen." Inag. Diss., Munchen, 86 pp.

6. Делоне, Б. Н. 1936, "Доказательство неравенства Брунна - Минковского" , Успехи математических наук, в. 2, стр. 39—46.

7. Minkowski, H. 1896, 1910, "Geometrie der Zahlen." Leipzig-Berlin, 278 pp.

8. Хадвигер, Г. "Лекции об объёме, площади поверхности и изометрии." Наука, Москва, 416 c.

9. Лейхтвейс, К. 1985, "Выпуклые множества." Наука, М., 336 с.

10. Бляшке, В. 1967, "Круг и шар." Наука, М., 232 с.

11. Schneider, R. 2013, "Convex Bodies: The Brunn-Minkowski theory" Second expanded edition. Encyclopedia of Mathematics and Its applications, 151. Cambridge University Press, Cambridge, xvii+736 pp.

12. Barthe, F. 2006, "The Brunn-Minkowski theorem and related geometric and functional inequalities" , Proc. International Congress Math.,Madrid, Spain, pp. 1529-1546.

13. Ball, K. 2004, "An Elementary Introduction to Monotone Transportation" LNM, no. 1850, pp. 41-52.

14. Александров, А. Д. 1950, "Выпуклые многогранники." ГИТТЛ, М. - Л., 428 c.

15. Делоне, Б. Н. 1936, "Герман Минковский" , Успехи математических наук, в. 2, стр. 32 - 38.

16. Bollobas, S., Leader, I. 1996, "Sums in the grid" , Discrete Math., no. 6, pp. 31-48.

17. Gardner, R. J., Gronchi, P. 2001, "A Brunn-Minkowski inequality for the integer lattice" , Trans. Amer. Math. Soc., no. 353, pp. 3995-4024.

18. Lv, S. 2010, "Dual Brunn-Minkowski inequality for volume differences" , Geom. Dedicata, no. 145, pp. 169-180.

19. Salani, P. 2011, "Convexity of solutions and Brunn- Minkowski inequalities for Hessian equations in R3" , Andvances in Math., vol. 229, no. 3, pp. 1924-1948.

20. Bobkov, S. G., Madiman, M. 2012, "Reverse Brunn-Minkowski and reverse entopy power inequalities for convex measures" , Journal of Func. Anal., no. 7, pp. 3309-3339.

21. Lutwak, E., Boroczky, K. J., Yang, D., Zhang, G. 2012, "The log-Brunn-Minkowski inequality" , Advances in Math., no. 3-4, pp. 1974-1997.

22. Gardner, R. J., Hug, D., Weil, W. 2014, "The Orlicz-Brunn-Minkowski theory: A general framework, additions, and inequalities", J. Diff. Geom., no. 3, pp. 427-476.

23. Berndtsson, B. 2015, "A Rrunn-Minkowski type inequalities for Fano manifolds and some uniqueness theorems in Kahler geometry" , Inventiones math., vol. 200, no. 1, pp. 149-200.

24. Timergaliev, B. S. 2016, "Generalization of the Brunn-Vinkowski inequalitybin the Form of Hadwiger for Power Moments" , Lobachevskii J. Math., vol. 37, no. 6, pp. 794-806.

25. Белоусов, Е. Г. 1977, "Введение в выпуклый анализ и целочисленное программирование." МГУ, М., 196 с.

26. Грубер, П. М., Леккеркеркер, К. Г. 2008, "Геометрия чисел." Наука, М. 716 стр.

27. Айгнер, М., Циглер, Г. 2006, "Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времён Евклида до наших дней." Мир, М., 256 стр.

28. Малышев, Ф. М. 2019, "Элементарное доказательство теоремы Брунна-Минковского" , Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории. Материалы XVII Международной конференции, посвящённой столетию со дня рождения профессора Н.И. Фельдмана и девяностолетию со дня рождения профессоров А.И. Виноградова, А.В. Малышева и Б.Ф. Скубенко. ТГПУ им. Л. Н. Толстого, Тула, стр. 173-177.

29. Малышев, Ф. М. 2020, "Доказательство теоремы Брунна - Минковского элементарными методами" , Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и её прил. Темат. обз., 182, ВИНИТИ РАН, М., 70-94.

30. Малышев, Ф. М. 2019, "Новое доказательство неравенства Брунна-Минковского" , Классическая и современная геометрия. Материалы Международной конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения В. Т. Базылёва. МПГУ, М., стр. 111-113.

31. Малышев, Ф. М. 1997, "Оптимизационная задача для неравенства Брунна-Минковского" , Труды МИАН, 218, Наука, М., стр. 262-265.

REFERENCES

1. Burago, Ju. D., Zalgaller V. A. 1980, "Geometricheskie neravenstva." [Geometric inequality.], Nauka, Leningrad, 288 pp. (Russian)

2. Federer, H. 1969, "Geometric measure theory." Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 676 pp.

3. Buldigin, V. V., Charasishvili, A. B. 1985, "Neravenstvo Brunna - Minkovskogo i ego prilogenij" [Brunn - Minkowski inequality and its applications], Naukova Dumka, Kiev, 200 pp.

4. Gardner, R. J. 2002, "The Brunn-Minkowski inequality" , Bulletin (New Series) of the American Mathematical SocieAy, vol. 39, no. 3, pp. 355-405.

5. Brunn, H. 1887, "Uber Ovale und Eiflachen." Inag. Diss., Munchen, 86 pp.

6. Delaunay, B. N. 1936, "Proof of the Brunn-Minkowski inequality" , Uspekhi Matematicheskikh Nauk, no. 2. pp. 39-46.

7. Minkowski, H. 1896, 1910, "Geometrie der Zahlen." Leipzig-Berlin, 278 pp.

8. Hadwiger, Dr., H. 1957, "Vorlesungen über inhalt, oberflache und isoperimetrie." Berlin Göttingen Heidelberg, 416 pp.

9. Leichtweis, K. 1985, "Konvexe Mengen." VEB Deutscher Verlag der Wissennschaften, Berlin, 336 pp.

10. Blaschke W. 1967, "Kreis und kugel." Berlin, 232 pp.

11. Schneider, R. 2013, "Convex Bodies: The Brunn-Minkowski theory" Second expanded edition. Encyclopedia of Mathematics and Its applications, 151. Cambridge University Press, Cambridge, xvii+736 pp.

12. Barthe, F. 2006, "The Brunn-Minkowski theorem and related geometric and functional inequalities" , Proc. International Congress Math.,Madrid, Spain, pp. 1529-1546.

13. Ball, K. 2004, "An Elementary Introduction to Monotone Transportation" LNM, no. 1850, pp. 41-52.

14. Alexandrov, A. D., 1950, "Vipuklie mnogogranniki" [Convex Polyhedra.], GITTL, M.-L., 428 pp. (Russian)

15. Delaunay, B. N., 1936, "Herman Minkowski" , Uspekhi Matematicheskikh Nauk, no. 2. pp. 32-38.