CC BY
17
МАТЕМАТИКА
www.volsu.ru
001: https://doi.Org/10.15688/jvolsu1.2016.4.7
УДК 517.5 ББК 22.162
НЕРАВЕНСТВО ТИПА БРУННА - МИНКОВСКОГО
В ФОРМЕ ХАДВИГЕРА ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ СТЕПЕННЫХ МОМЕНТОВ1
Булат Саматович Тимергалиев
Ассистент кафедры теории функций и приближений, Казанский (Приволжский) федеральный университет timergalievbs@mail.ru
ул. Кремлевская, 18, 420048 г. Казань, Российская Федерация
Аннотация. Настоящая работа посвящена построению одного класса функционалов области в евклидовом пространстве и доказательству для них неравенства типа Брунна — Минковского. Полученное в работе неравенство обобщает соответствующее неравенство для моментов относительно центра масс и гиперплоскостей, доказанное Х. Хадвигером, на случай обобщенных степенных моментов.
Ключевые слова: неравенство Брунна — Минковского, неравенство Прекопа — Лайндлера, вогнутый функционал, выпуклая область, степенные моменты.
Введение
Классическое неравенство Брунна — Минковского позволяет сравнить площади и объемы областей. А именно, справедливо неравенство
|П + П!|1/га > ^оГ^ + |^1|1/га, (1)
СО
§ где |П| — мера множества П; П0, П1 — выпуклые тела в Мга, П0+П := {г0+г1 Е Мга : г0 Е иг € П0,г1 Е П1} — векторная сумма (сумма Минковского). В 1887 г. неравенство (1) было ^ получено Брунном в случае п = 3. В 1910 г. Минковский указал Брунну на ошибку в ^ доказательстве, которую тот исправил, а также придумал свое доказательство. И Брунн, | и Минковский показали, что равенство достигается тогда и только тогда, когда П0 и П1 | являются равными с точностью до переноса и расширения.
Долгое время считалось, что неравенство Брунна — Минковского относится толь-@ ко к геометрии, где его значение широко известно. Но в середине XX в. Х. Хадвигер
и Охман (Н. Hadwigeг, Э. ОИшапп [10]), независимо от них Л.А. Люстерник (Ь.Л. ьыб-1егшк, [14]), доказали, что неравенство (1) верно для произвольных ограниченных измеримых множеств По и Пь Неравенство (1) при произвольных По и П принято называть общим неравенством Брунна — Минковского. С тех пор неравенство начало свой путь в область анализа. В 1956 г. Х. Хадвигер (Н. Hadwigeг, [11]) доказал неравенство типа Брунна — Минковского для двух моментов выпуклой области, а именно, момента относительно центра масс и момента относительно гиперплоскости. В 1971-1972 гг. А. Прекопа (Л. Ргекора, [16]) и Л. Лайндлер (Ь. Liendleг, [13]) доказали следующую функциональную версию неравенства Брунна — Минковского.
Теорема 1. Путь 0 < 1, /0,/1 ,к — неотрицательные интегрируемые функции в Мга, удовлетворяющие условию
Н((1 - 1)х + 1у) > Ш1-*Ш* (2)
для всех х,у е Мга. Тогда
1-1
J h(x)dx >1 J f0{x)dx\ ( J fi(x)dx I
К™ V Rn / V К" )
Последние 30-40 лет тематика, связанная с неравенством Брунна — Минковского, стремительно развивается. Неравенство широко используется в геометрическом анализе, математической физике и теории вероятностей. Усиления теоремы 1 и ряд новых результатов можно найти в статьях [5; 6]. Литература по неравенствам типа Брунна — Минковского и основные результаты, появившиеся до 2006 г., содержатся в обзорных статьях [4; 9]. В 2007 г. Г. Кэди (й. Keady [12]) доказал неравенство типа Брунна — Минковского для функционала, введенного Ф.Г. Авхадиевым [2]. Развитие результата Г. Кэди, а также неравенства для новых типов функционалов были получены в работах [1;3]. Отметим также ряд статей, появившихся в последние годы [7; 8; 15].
Приведем формулировку результата Х. Хадвигера [11].
Пусть П — ограниченная, выпуклая область в Мга. Через 5 обозначим центр масс области П. Определим функционал
I(П) = | |з,р|2<1р, р е П, п
где |з,р| — расстояние от точки ^ до р.
Теорема 2. Пусть П0, П1 — ограниченные, выпуклые области в Мга. Тогда функционал I(П4)1/(га+2) вогнут по I:
I(П4)1/(га+2) > (1 - г)1 (П0)1/(га+2) + а(П1 )1/(га+2), (3)
где П = {(1 - Ь)ро + Ьр^ро е По,р1 е П1}, 0 < г < 1.
В работе [3] было получено обобщение неравенства (3) для функционала
I(к, П) = § (а^ - + «2^2 - 82^ +-----+ ап\хп - вп^) йх, к е (1, (4)
п
где 51 ,в2,... ,8п — координаты точки минимума функции
1 (У) = \ («1^1 - У^ + «2^2 - У2^ +-----+ Оп\хп - Уп\к) (IX, йх = (1X1(1X2 • • • йхп
S2
переменных у = (у1,у2,... ,уп) Е Мга; х1,х2,...,хп — декартовы координаты точки х Е П, к Е (1, а > 0, г = 1, 2,... ,п — произвольные действительные числа. Теорема 3. Пусть П0, П1 - ограниченные области в Мга, представимые в виде объединения конечного числа выпуклых областей. Тогда функционал I(к, П)1/(к+п) вогнут:
I(к, П)1/(к+п) > (1 - 1)1 (к, П0)1/(к+п) + И(к, П1)1/(к+п), (5)
где П = {(1 - ¿)г0 + | г0 Е П0,г1 Е П1}, 0 < Ь < 1, к Е (1, +гс>). Целью данной работы является обобщение неравенства (5).
1. Основной результат
Пусть П — ограниченная область в Мга. Определим функционал
I(к; га; П) = ^ {al|xl - +-----+ ап\хп - з„\к)т йх, (6)
где к Е (0,1] при га Е (0,1) и (1, и к Е (0, при га =1; о,(] = 1,п) Е Е (0, — произвольные действительные числа, з1,з2,...,зп — координаты точки минимума функции
1 (у) = \ - у^ + - +-----+ а„\хп - у„\к)т йх, йх = (1X1(1X2 • • • йхп
п
переменных у = (у1,у2,... ,уп) Е Мга, где х1,х2,... ,хп — декартовы координаты точки х Е П.
Основным результатом данной статьи является следующая теорема. Теорема 4. Пусть П0, П1 - ограниченные области в Мга, представимые в виде объединения конечного числа выпуклых областей. Тогда функционал I (к; га;П)1/(кт+п^ вогнут, то есть имеет место неравенство
I (к; га;П)1/(кт+п) > (1 - (к; га; П )1/(кт+п) + и (к; га; П1)1 /(кт+п), (7)
где П = {(1 - г)20 + | ¿0 Е Е П1}, 0 < г < 1, к Е (0,1] при га Е (0,1) и (1,
и к Е (0, при га =1.
При га =1 функционал I(к; 1; П) изучен в работе [3]. Поэтому далее везде га = = 1. Отметим, что метод, разработанный Г. Кэди в [12], не подходит для получения неравенства (7), но используется нами при получении вспомогательных результатов, а именно леммы 4.
п
2. Вспомогательные леммы и их доказательства
В дальнейшем нам понадобится следующая известная (см. например, [9]) лемма. Лемма 1. Пусть Р, Р0, Р1 — ограниченные области в Мга, Р — положительный, однородный первой степени функционал, то есть
Р(зР) = ^(Р) V 5 > 0,
является квазивогнутым:
Р(р) > ш1п(Р(Р>)),Р(Р1)) V г е [0, 1].
Тогда он вогнут, то есть
р(Р) > (1 - 1)Р(Ро)+ ^(Р1) V * е [0, 1],
где Рг = {(1 - фо + ^ | хо е Ро,г1 е Р1}, 0 < г < 1.
Для доказательства теоремы 4 нам понадобится ряд вспомогательных результатов. Займемся их получением.
Пусть Е — гиперплоскость размерности п - 1, содержащая начало координат О е Мга, и — нормированный вектор с началом в точке О, ортогональный Е. Гиперплоскость Е разбивает Мга на два полупространства:
Н+ = {х е Мга | (х, и) > 0}, Н- = {х е Мга | (х, и) < 0},
где (х, и) — скалярное произведение векторов х, и в Мга.
Обозначим й = |E,z| — расстояние от точки г е П до гиперплоскости Е и введем функцию К((1) = йк, к е (0,1] расстояния й.
Справедлива следующая лемма. Лемма 2. Имеет место неравенство
ОД) > (1 - ¿)ОД) + ¿ОД), б* = (1 - + Ыъ 0 < г < 1,
то есть функция К((1) вогнута.
Доказательство. Пусть для определенности й1 < й2. Имеем
А = од) - (1 - ^кЩ - ¿Од) = (1 - г)[к(^) - Од)] + ф(^) - Од)].
Применяя к разностям в квадратных скобках теорему Лагранжа о конечных приращениях, получаем
Н(^) - Н(^) = Л/(с1)Ц - ¿1), кЦ) - к(^) = Н'(с2)(^ - ¿2),
где с1 е (¿1 ,¿1), с2 е ^2). Поэтому с учетом = 1^-^), = (1-¿)(^1-^2)
будем иметь:
А = 1(1 - - й1)(к'(с1) - Ы(С2)), откуда, используя снова теорему Лагранжа, получим
А = ¿(1 - ¿)(4 - ^)Ы'(со) • (С1 - С2), со е (с1, с2).
Но Ы'(й) = к(к - 1)вк-2 < 0 Vk е (0,1], Vd> 0. Поэтому с учетом с1 - с2 < 0 имеем А > 0 VI е [0,1], Vk е (0,1]. Следовательно, ОД) > (1 - ¿)ОД) + ¿ОД). Лемма 2 доказана.
Из леммы 2 непосредственно следует следующая лемма.
Лемма 3. Пусть П0, П е Н+ или Н- — ограниченные области в Мга Тогда справедливо неравенство
\Е,гг\к > (1 - г)\Е,го\к + 1\Е,хх\к Ук е (0,1], УЬ е [0,1],
где П = (1 — ¿)П0 + гг = (1 — Ь)г0 + е П4) г0 е П0, г1 е П1.
Доказательство. Обозначим ^ = \Е,^\, й0 = \Е,г0\, й1 = \Е,г1 \. Заметим, что = (1 — ¿)^0 + Используя лемму 2, получаем
4 > (1 — ¿К + ^,
то есть
\Е,гг\к > (1 — г)\Е,г0\к + АЕ, Ук е (0,1], УЬ е [0,1]. Лемма 3 доказана.
Далее, без ограничения общности рассуждений, будем считать, что точка минимума 5 = (з^...,^) функционала I (к; га; П) совпадает с началом координат О. Через Е^ обозначим гиперплоскость Xj = 0. Пусть Uj — нормированный вектор с началом в точке О, ортогональный Ej, ] = 1,п. Заметим, что \Ej,г\ = \xj\, ] = 1,п. Поэтому функционал I(к; га;П), определенный формулой (6), можно представить в виде
// \т
[а1\Еъх\к + а2\Е2,г\к + ■ ■ ■ + ап\Еп, г\к) ¿г,
п
к е (0,1], га е (0,1) и (1, (8)
где обозначение I(к; га; П; Еп) подчеркивает тот факт, что гиперплоскости Ej (] = 1,п) проходят через точку минимума функционала I(к; га;П), которая совпадает с началом координат.
Каждая гиперплоскость Е^ разбивает Мга на два полупространства:
Щ = {х е Мга \ (х, щ) > 0}, Н1 = {х е Мга \ (х, щ) < 0}, 2 = 1,п.
Рассмотрим всевозможные пересечения полупространств Н-3, ij = 0,1, ] = 1,п:
Ч 1 °э
п
^ Ч7 = = П(пг2..Лп)
Р) Нг/ = Н(г) = Н(г 1í2...ín), (9)
j=1
где Н- = {х е Мга \ (х, (—1)ъщ) > 0}, ^ = 0,1, ] = 1, п); (г) = (г1 ■ ■ ■ гп) — мультиин-
декс. Отметим, что всего пересечений Н(г) 2п единиц.
Пусть П — ограниченная область, полностью лежащая в одном из пересечений Н(г). Такую область обозначим через П(г). Рассмотрим функционал
I(к; га;П(г))= $ Бт(к; га е (0, п«
где принято обозначение
Б(к; г) = *1\Е1,г\к + «2\Еъг\к + ... + ап\Еп,г\к, к е (0,1]. (10)
Имеет место следующая лемма.
Лемма 4. Пусть Пг), П^ — ограниченные области в Мга, полностью лежащие в пересечении Н^. Тогда функционал 11/(кт+п)(^; т;П(г^) вогнут, то есть справедливо неравенство
11/(кт+п)(к; т; Пг)) > (1 - 1)11/(кт+п)(к; т; П^) + + а 1/(кт+п)(к; т; П^), г е [0,1], к е (0,1], т е (0, +ю).
Доказательство. Пусть П(г) = ^ = (1 - 1)го + | го е По$), г1 е П^} — сумма Минковского областей (1—¿)Пог) и Ш^. Заметим, что П(г) е Н^). Принимая во внимание лемму 3, из (10) будем иметь:
П(к; ъ) > (1 - 1)Б(к; го) + 1Б(к; 21). (11)
Применим к правой части (11) неравенство о среднем, после чего обе части возведем в степень т. Получим
Ят(к; гг) > 0(1-)т(к; го) • 0Ьт(к; гг), г е [0,1]. (12)
Введем в рассмотрение функции:
/(г) = Бт(к; г)Хтт ), /о(*) = От(к; г^о (*),
ш = Ит(к; ^0(г),
где хП(%) — характеристическая функция области П. Тогда, используя (12) и известное неравенство для характеристических функций хп(¿)(^) (см. например, [9])
Хп ((1 - + *ш) > [ХПо(г)]1-* • [х^МГ,
получаем
г 1 1—
/(ъ) = Бт(к; о (*) > От(к; о Ы
о
• От(к; гЩ) Ы] = (го) • ЦЫ, то есть условие теоремы Прекопа — Лайндлера (теорема 1) выполняется. Поэтому
I (к; т;П(]) > 1(к; т;П^)) • Р (к; т;^), VI е [0,1],
откуда следует, что функционал 11/(кт+п) (к; т;П(г)) квазивогнут. Кроме того, имеем
I(к; т; Ж(г)) = \кт+п1 (к; т; П(г)),
то есть I(к; т;П(г)) — однородный функционал степени кт + п, откуда следует, что 11/(кт+п)(к; т;П(г)) — однородный функционал первой степени. Таким образом, для функционала 11/(кт+п)(^; т; П^) все условия леммы 1 выполнены. Поэтому функционал 11/(кт+п)(к; т;П(г)) вогнут. Лемма 4 доказана.
Пусть теперь П — ограниченная область в Мга, представимая в виде объединения конечного числа выпуклых областей. Обозначим
= П П Н{{), Ц) = (¿1 ■ ■ ■ 1п), = 0,1; 2 =
п
Тогда область П есть объединение областей П(г) : П = у П(г), |г| = г1 +... + гп, причем
1*1=0
число слагаемых в этом объединении равно 2п. В соответствии с этим разбиением области П для функционала I (к; т; П) = I (к; т;П; Ео), определенного формулой (8), имеем представление
п
I (к; т; П; Ер) = ^ I (к; т;П(г); Ер), (13)
1®1=о
где П« С Н(г).
Перейдем к доказательству теоремы 4.
3. Доказательство основного результата
Для большей наглядности теорему 4 сначала докажем при п = 2. В этом случае имеем:
Н(оо) = П Н0, Н(01) = Н1 П Н1 Н^ю) = Н1 П Н20, Н(П) = н1П н^ где Н1 — правая, Н\ — левая, Н0 — верхняя, Н2 — нижняя полуплоскости. Обозначим:
Тогда
Заметим, что
П(чг2) = П П Н{чг2), ц,12 = 0,1; 3 = 0,1,*.
П = П00) и П!0) и Пп) и П01), 2 = 0,1,*.
J 7 7 7 7 7 J 11
(1 - 1)пЦ1г2) + т{;1г2) С Пг1г2), ц,г2 = 0,1. (14)
Определим новые области П0т, П1т так, что точки Е П0т, г1 Е П1т будут получаться из точек г0 Е П0, г1 Е П1 следующим образом:
¿Т = г0 + Ьтщ, ¿Г = г1 — (1 — ¿)тм1. (15)
Легко заметить, что (1 — + ¿^Т = Хг, то есть П = (1 — ¿)П0т + Ш1т. Введем функции
I(к; т;П0ТО); Ер,) I(к; т;^0; Ер,)
^1(т) = ^-(10-Г, П1(Т) = —---. (16)
I (к; т;П0Т0); Еп,) I (к; т;П{1Т0); Еп,)
Функции 41(т), П1(т) будем рассматривать на конечном интервале (а0, а1), где а0 — достаточно малое отрицательное, а1 — достаточно большое положительное числа. Легко видеть, что на (а0, а1) функция £,1(т) монотонно возрастает от 0 до а
функция п1(т) монотонно убывает от до 0. При достаточно малых отрицательных т (а0 < т < |30) получаем, что (т) = 0, п1(т) = а при достаточно больших
положительных т (в < т < а1) имеем ^1(т) = ^(т) = 0. Тогда, принимая
во внимание свойства монотонных и непрерывных функций, получаем, что существует точка т1 такая, что
ЫтО = П1 (Т1) = Съ 0 < С1 = ж.
Тогда из (16) получим
I(к; т; П^; Е^) = 1x1 (к; т; По^; Е^),
I(к; т; ПЕпг) = (к; т; П^; Е^). (17)
Кроме того, учитывая соотношения (14) и используя лемму 4, будем иметь:
I (к; т;П^г2); ) > (1 - 1)11/(кт+2) (к; т;П^2); ) +
(г 112).
+ а 1/(кт+2) (к; т; ПЦ2; Еп, ) Теперь, если учесть (18), (17), то получим
кт+2
11,12 = 0, 1.
(18)
I(к; т; П(ооЕ^) + I(к; т; П™Е^) > > (1 + и) [(1 - 1)11/(кт+2)(к; т; П™; Е^) + И 1/(кт+2)(к; т; П^; Е^)
кт+2
откуда, возводя обе части неравенства в степень 1/(кт + 2) и снова используя соотношения (17), будем иметь:
I (к; т; П^ ); ) + I (к; т;^; Е*)] 1/(кт+2) >
> (1 + С1)1/(кт+2) (1 - 1)11/(кт+2)(к; т; П™; Еп,) + II 1/(кт+2)(к; т; П™; Еп,)
>(ю).
Следовательно,
(1 - ^ 1/(кт+2)(к; т; П^ ; Еп,) + а 1/(кт+2)(к; т; П^; Еп,). I(к; т; П(ооЕпг) + I(к; т; П(1(>Епг) >
>
(1 - ^ 1/(кт+2)(к; т; ПС) ; ^ ) + ^ 1/(^+2)№ ^ ^^ ; ^ ^
кт+2
(19)
где П(Т1 = П^ и П^, ] = 0,1. С учетом (9) легко видеть, что П%\ = ПЗХ1 П Н°.
Теперь, если принять во внимание соотношение (13) и неравенство (19), то будем
иметь:
I (к; т;П; Е^) > [(1 - 1)11/(кт+2)(к; т;П(Т\; Е^) +
+ И 1/(кт+2)(к; т; П^; Е^ ^^ + I(к; т; П(11); Еп,) +
+1(к; т; П(о1); Е^), где Пот1 = По + 1х1и1, П1т 1 = П1 - (1 - {)т1и1, П<^1 = П¿Т1 П Н°, ] = 0,1
(20)
Неравенство (20) справедливо для любых областей П0, П1, удовлетворяющих условиям теоремы 4. Пользуясь этим фактом, области П0, П1 снова подвергнем переносу (15) в направлении оси ОХ1. Получаем новые области
Пот1т = По + Ь(Т1и1 + Ти{), П1т1т = П1 — (1 — ¿)(Т1«1 + ти{).
Заметим, что П = (1 — ¿)П0Т1Т + ¿П1Т1Т. Введем функции
^2(т) = I(к; ш;П00т11)т; ЕПг) I(к; щ; П&Ц; ЕПг)
2Т I(к; т^ОЦТ; Ер,), П2 Т I(к; т; П^; Ер,),
которые обладают теми же свойствами, что и функции £,1(т), П1(т) вида (16). Поэтому существует точка т2 такая, что ^2(т2) = п2(т2) = С2, 0 < С2 = то, следовательно, имеют место формулы
I(к; т; П^; Ер,) = ^(к; т; п0!iТ2; Еп,), I(к; т; П^; Ер,) = Ы(к; т; П^; Е^). Далее, рассуждая как и выше, приходим к неравенству
I(к; т; П711); Еа,) + I(к:т; П701); Е„,) > [(1 — 1)11/7кт+2')(к,т; П7^; Е„,) + + ат; П£„; Ер.)]1/№т+2), П<11т2 = П™ и П™, =0,1. (21)
Заметим, что П^!^ = ПТ1Т2 П Щ. Тогда из (20) с учетом (21) будем иметь: 1(к; т;П; Еа,) > [(1 — 1)11/(кт+2) (к; т; П^; Ерг) +
+ а 1/7к™+2)(к; т; П^; ЕПг )] + [(1 — 1)11/(кт+2) (к; ш; П^ ; ЕПг) +
, , т кт+2
+ а 1/7кт+2)(к; т;П11г2; ¿Л )] , (22)
где П0Т1Т2 = По + *(Т1 + Т2)щ, П1Т1Т2 = П1 — (1 — г)(Т1 + Т2)«1, П^т21)т2 = П^-Т1Т2 П Н2>2, ^2 = 0, 1.
Области П0, П1 третий раз подвергаем переносу, но на этот раз в направлении оси
ОХ2:
¿Т = + 1хи2, = г~1 — (1 — ^)ти2, Е Пj, ] = 0,1. При этом области ПТ1Т2 перейдут в области
Пот1т2 т = По + Ь(ти2 + (Т1 + Т2)и1),
П1Т1Т2 т = П1 — (1 — г)(тщ + (Т1 + Т2)щ). Заметим, что П = (1 — ¿)П0Т1Т2Т + Ш1Т1Т2Т, где т — любое число.
Введем функции
I(к; т; ^^т; ЕП) { , _ I(к; т; ^^т; ЕП)
ьэ(т) = -т^-, "Лэ(т) = -т^-■
I(к; т; П^т; Епг) I(к; т; П^т; ^)
где П2т2т = П^1т2тП Щ2, з,12 = 0,1. При помощи аналогичных рассуждений приходим к тому, что существует точка тз такая, что
Ытз) = Пз(тз) = Сз, 0 < Сэ = ж
и, следовательно, имеем
I(к; т; П^; Еп<) = Ш(к; т; П&^тз; Епг),
I(к; т; П^; ) = Сз1 (к; т; П^; Еп<). (23)
С учетом (23) из (22) получим
I(к; т; П; Е^) > (1 + Сз) [(1 - 1)11/(кт+2)(к; т; П^; Еп<) +
+ а 1/(кт+2 (к; т^т^тз; Еп>)
кт+2
откуда, возводя обе части неравенства в степень 1/(кт + 2), после этого используя снова соотношения (23), получаем
11/(кт+2)(к; т; П; Е^) > (1 - 1)11/(кт+2)(к; т; П^г; Еп>) +
+ и1/(кт+2)(к; т;П1т1т2тз ; ), (24)
где Пт1т2тз = П^тз и П^тз , 3 = 0,1.
По определению функционалов I(к; т;П; Еп) имеем неравенства
I (к; т;ПМт2тз; Еп) > I (к; т;П ^тз; Еп^ Т2Тз), 3 = 0 1.
Но функционал I(к; т;П ^1т2тз; Е^ ) (] = 0,1) инвариантен относительно переноса областей. Поэтому
I(к; т; Ц-т^тз; Еп^1т2тз) = I(к; т; Пj; Eпj), з = 0,1. (25)
С учетом этого из (24) получим
11/(кт+2)(к; т;Пь; Еп,) > (1 - 1)11/(кт+2)(к; т;По; Еп0) +
+ 1/(кт+2)(к; т;П1; Еп1),
то есть теорема 4 при п = 2 доказана.
Заметим, что в силу (25) при каждом переносе областей, не ограничивая общности рассуждений, мы последовательно можем считать, что т1 = т2 = тз = 0. Этим фактом воспользуемся при доказательстве теоремы 4 в общем случае.
Общий случай. В соответствии с формулой (13) имеем
га
I(к; т; П; Е^) = £ I(к; т; П(г); Е^) = 1®1=о
га—1
= £ [/(к; т; П(0у2); Е^) + I (к; т;П(^2); Е^)], (26)
Ы=0
где (у2) = (г2 ... ьп) — мультииндекс, ij = 0,1; ] = 2, п.
Так как (1 — ¿)П0*1Т2) + Ш?1 Т2) С П^т), г1 = 0,1, то в силу леммы 4 имеем
I(к; т;П^2); Ер,) > [(1 — 1)11/(кт+га)(к; ш; П,1 Т2); Ер) +
+ а 1/(кт+га)(к; т;П(1г1Т2); Ер,) , «1 = 0,1, Ы = 0,га — 1. (27)
Образуем новые области П0т, П1т, подвергая П0, П1 последовательно 2га—1 переносам в направлении вектора и1:
П0т = П0 + ¿та1, П1т = П1 — (1 — Ь)ти1.
Ясно, что П = (1 — ¿)П0т + Ш1т. При каждом таком переносе рассмотрим функции
лу2)(т) = I(к;ш;П0°У2);Ер) ^Ь) = 1 (к;т;^2;Ер) 1 () 1(к; та; П01'Г2); ЕЛ,), 1 1(к; та^; Ер,),
(У2) = (г2,...,гп), |У2| =0,гс — 1. (28)
Функции ^1Т2), 'л1Т2) при каждом наборе (у2) обладают теми же свойствами, что и соответствующие функции при п =2. Поэтому существует точка т1т2) такая, что
^2)(т1т2)) = п1т2)(т1т2)) = с1Т2), 0 < с1Т2) = То, |У2| = м—Г.
В силу вышесказанного, не ограничивая общности рассуждений, положим т1т2) = 0 для каждого (у2) = (г2,...,гп), Ь = 0,1, ] = 2, п. Тогда П. (У2) = П, ] = 0,1. Следовательно, из (28) получим
I(к; та; П,^2); Е^) = С^/(к; та; П01у2); Е^),
I(к; т;П^2); Е^) = С^/(к; та;П^2); Ер,). (29)
Теперь, если учесть неравенства (27) и соотношения (29), то будем иметь:
I(к; та; П(0^2); Е^) + I(к; та; П(^2); Ер,) >
>
(1 — I)! 1/(кш+п)(к; т; п0^2); ) + II 1/(к™+га)(к; т; П1Т2); Е^)
V(У2) = (¿2, ...,гп), г3 = 0,= 2, п. (30)
Таким образом, при каждом переносе областей По, Ц в направлении вектора щ справедливо неравенство (30). После 2п-1 переносов из (26) получим
п— 1
I (к; т;Ц; Е^) > £ [(1 - 1)11/(кт+п) (к; т; Ц» Е^) +
И) —
|Т2|=о
кт+п
+ и 1/(кт+п)(к; т;П^2); Еп,) , (31)
где П^ = Ц П Н(У2), Н(У2) = (Л Я?, г3 = 0,1, 3 = 2^.
=2
На втором шаге доказательства теоремы 4 неравенство (31) представим в виде
п— 2
I (к; т;Ц; Епг) > £ {[(1 - 1)11/(кт+п) (к; т;П^з); Е^) + |тз| =о
+ и 1/(кт+п)(к; т; п!уз); Еп,)]кт+п + [(1 - 1)11/(кт+п)(к; т; пЦУз); Е^) +
+ и 1/(кт+П) (к; т; П1Уз) ; ЕП1 )]кт + П^ , (32)
где уз = ^з ... гп), ц = 0,1, у = 3,п.
Области По, П1 подвергаем последовательным переносам в направлении вектора
щ:
Пот = По + 1хи2, П1т = П1 - (1 - Ь)ти2,
при этом Ц = (1 - Ь)Пот + Ш1т Vт. Введем функции
,Тз) = I(к; т;П^з); Е*) Ы) = I(к; ш;П^з); ) . )
= Т (к- -т-П(Пз). р ) , П = Г (к- -т-П(Пз). р ) , ^ ^ .. п).
1 (к; Ш;Пот ; Епг) 1 (к; Щ;П1т ; Ьп1)
При помощи аналогичных рассуждений приходим к тому, что существует точка т2Тз) такая, что
4Тз)(т2Тз)) = л2Тз)(т2Тз)) = С(2з\ 0 < #з) = ж VYз.
Далее считаем, что т2Тз) = 0. Тогда
I (к; т;П^ \ ) = ^ I (к; ш;ПЦУз); ),
I (к; т;П1Уз Е^) = (к; т;П1Уз); Епг),
и с учетом этих соотношений после 2П-2 переносов в направлении вектора и2 из (32) будем иметь:
п—2
н; ) >
I (к; т;Ц; Е^) > ^ [(1 - 1)11/(кт+п) (к; т;П{уз]; Еп,) +
|тз|=о
, .. -| кт+п _
+ г11/(кт+п)(к; т;П^; Еп,) , Уз = (гз ...гп), г, = 0,1, 3 = 3,п.
Продолжая этот процесс, после 1-го (I < п) шага получим
п—1
1(к; т;П4; Е^) > ^ [(1 — 1)11/(кт+п) (к; т;П^1+1]; Е^) +
|Уг+1|=0
( \ 1кт+п
+ а 1/(кт+га)(к; т;П1Тг+1); Е^ )] , Уш = (гг+1 ...гп). (33)
На I + 1-м шаге неравенство (33) представим в виде
п—1— 1
1(к; ш;П; Е*) > £ { [(1 — ^)11/(кт+п) (к; ^П,0^; Е^) +
|тг+2|=0
+ а 1/(кт+га)(к; т; п10тг+2); Е^)}кт+П + [(1 — 1)11/(кт+п)(к; т; п01тг+2); Е^) +
+ И 1/(к™+га)(к; т; п11тг+2); Е^)]кт+П} (34)
и области П0, П1 подвергаем последовательным переносам в направлении вектора иг+1:
Пот = По + ЬтЬ,1+1, Пт = П1 — (1 — Ь)ТЬ,1+1,
при этом П = (1 — ¿)П0т + ¿П1т. Введем функции
(Тг+2) = I(к; ш;П0^'+2); Ер,) (Тг+2) = I(к; т;П1^'+2); Е^) '+1 I (к; ш;П0ТТг+2); ), ^ I (к; ш;П^1+2); Е* )
Уг+2 = (гг+2 ...4),
У1+2
для которых существует точка тг ++ такая, что
Г(У1+2)(Т(Т^2) ) = п(Тг+2 ) (Т(тг+2 ) ) = ЛУ1+2) 0 < ЛУ1+2 ) = Ч+1 (Т+1 ) = пг+1 (Т+1 ) = Ч+1 , 0 < Ч+1 =
Далее считаем, что т(+1+2) = 0. Тогда
I(к; ш; п0Отг+2); Е^) = С((+1+2)/(к; ш; п01уг+2); Е^),
I(к; ш; П^; Др) = С((+1+2)/(к; ш; П^; Ер,)
и с учетом этих соотношений после 2п—1—1 переносов в направлении вектора иг+1 из (34) будем иметь:
га—1—1
1(к; т;П,; Е^) > ^ [(1 — 1)11/(кт+п) (к; т;^^; Е^) +
|тг+2|=0
, ч -| кт+п _
+ а1/(кт+п)(к; т;П1Тг+2); Е^) , уг+2 = (гг+2 ...гп), г, = 0,1, 3 = I + 2,п,
где П(тг+2) = П П Я(Тг+2), Я(Тг+2) = П Я?.
= +2
Таким образом, после п-го шага получаем
I(к; т; П; Eüt) > [(1 - t)I1/(к™+™)(к; m; По; Eüt) +
+ tl1/(hm+n)(k; m;Q1; EQt)J ,
откуда, с учетом неравенств
I (к; Eüt) > I (к; т;П Еп.), j = 0,1, получим утверждение теоремы 4. Теорема 4 полностью доказана.
Выражаю благодарность своему научному руководителю Ф.Г. Авхадиеву за постановку задачи и ценные указания.
ПРИМЕЧАНИЕ
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 14-01-00351.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Авхадиев, Ф. Г. Неравенства типа Брунна — Минковского для конформных и евклидовых моментов областей / Ф. Г. Авхадиев, Б. С. Тимергалиев // Изв. вузов. Математика. — 2014. — № 5. — C. 64-67.
2. Авхадиев, Ф. Г. Решение обобщенной задачи Сен-Венана / Ф. Г. Авхадиев // Математический сборник. — 1998. — № 12. — C. 3-12.
3. Тимергалиев, Б. С. Неравенства типа Брунна — Минковского в форме Хадвигера для степенных моментов / Б. С. Тимергалиев // Учен. зап. Казан. ун-та. — 2016. — № 1. —
C. 90-106.
4. Barthe, F. The Brunn — Minkowski theorem and related geometric and functional inequalities / F. Barthe // International Congress of Mathematicians. — 2006. — № 2. — P. 1529-1546.
5. Borell, C. Diffusion equations and geometric inequalities / C. Borell // Potential Anal. — 2000. — № 12. — P. 49-71.
6. Brascamp, H. J. On Extensions of the Brunn — Minkowski and Prekopa — Leindler Theorems, Including Inequalities for Log concave Functions, and with an Application to the Diffusion Equation / H. J. Brascamp, E. H. Lieb // Journal of Functional Analysis. — 1976. — № 22. — P. 366-389.
7. Figalli, A. A refined Brunn — Minkowski inequality for convex sets / A. Figalli, F. Maggi, A. Pratelli // Annales de l'Institut Henri Poincare (C) Non Linear Analysis. — 2009. — № 26. — P. 2511-2519.
8. Gardner, R. J. Gaussian Brunn — Minkowski inequalities / R. J. Gardner, A. Zvavitch // Trans. Amer. Math. Soc. — 2010. — № 362 (10). — P. 5333-5353.
9. Gardner, R. J. The Brunn — Minkowski inequality / R. J. Gardner // Bulletin of the American Mathematical Society. — 2002. — № 39. — P. 355-405.
10. Hadwiger, H. Brunn — Minkowskischer Satz und Isoperimetrie / H. Hadwiger,
D. Ohmann // Mathematische Zeitschrift. — 1956. — № 66. — P. 1-8.
11. Hadwiger, H. Konkave eikerperfunktionale und hoher tragheitsmomente / H. Hadwiger // Comment Math. Helv. — 1956. — № 30. — P. 285-296.
12. Keady, G. On a Brunn — Minkowski theorem for a geometric domain functional considered by Avhadiev / G. Keady // Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. — 2007. — № 8. — P. 1-10.
13. Liendler, L. On a certain converse of Holder's inequality II / L. Liendler // Acta Sci. Math. — 1972. — № 33. — P. 217-223.
14. Lusternik, L. A. Die Brunn — Minkowskische Ungleichung fur beliebige messbare Mengen / L. A. Lusternik // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. Series I, Mathematics. — 1935. — № 8. — P. 55-58.
15. Lv, S. Dual Brunn — Minkowski inequality for volume differences / S. Lv // Geom. Dedicata. — 2010. — № 145. — P. 169-180.
16. Prekopa, A. Logariphmic concave measures with application to stochastic programming / A. Prekopa // Acta Sci. Math. — 1971. — № 32. — P. 301-315.
REFERENCES
1. Avkhadiev F.G., Timergaliev B.S. Neravenstva tipa Brunna — Minkovskogo dlya konformnykh i evklidovykh momentov oblastey [Brunn — Minkowski Type Inequality for Conformai and Euclidean Moments of Domains]. Izv. vuzov. Matematika [Russian Mathematics], 2014, no. 5, pp. 64-67.
2. Avkhadiev F.G. Reshenie obobshchennoy zadachi Sen-Venana [Solution of the Generalized Saint-Venant Problem]. Matematicheskiy sbornik [Sbornik: Mathematics], 1998, no. 12, pp. 3-12.
3. Timergaliev B.S. Neravenstva tipa Brunna — Minkovskogo v forme Khadvigera dlya stepennykh momentov [Brunn — Minkowski Type Inequality in Hadwiger's Form for Power Moments]. Uchen. zap. Kazan. un-ta, 2016, no. 1, pp. 90-106.
4. Barthe F. The Brunn — Minkowski Theorem and Related Geometric and Functional Inequalities. International Congress of Mathematicians, 2006, no. 2, pp. 1529-1546.
5. Borell C. Diffusion Equations and Geometric Inequalities. Potential Anal., 2000, no. 12, pp. 49-71.
6. Brascamp H.J., Lieb E.H. On Extensions of the Brunn — Minkowski and Prekopa — Leindler Theorems, Including Inequalities for Log Concave Functions, and with an Application to the Diffusion Equation. Journal of Functional Analysis, 1976, no. 22, pp. 366-389.
7. Figalli A., Maggi F., Pratelli A. A Refined Brunn — Minkowski Inequality for Convex Sets. Annales de l'Institut Henri Poincare (C) Non Linear Analysis, 2009, no. 26, pp. 25112519.
8. Gardner R.J., Zvavitch A. Gaussian Brunn — Minkowski Inequalities. Trans. Amer. Math. Soc., 2010, no. 362 (10), pp. 5333-5353.
9. Gardner R.J. The Brunn — Minkowski Inequality. Bulletin of the American Mathematical Society, 2002, no. 39, pp. 355-405.
10. Hadwiger H., Ohmann D. Brunn — Minkowskischer Satz Und Isoperimetrie. Mathematische Zeitschrift, 1956, no. 66, pp. 1-8.
11. Hadwiger H. Konkave Eikerperfunktionale Und Hoher Tragheitsmomente. Comment Math. Helv., 1956, no. 30, pp. 285-296.
12. Keady G. On a Brunn — Minkowski Theorem for a Geometric Domain Functional Considered By Avhadiev. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 2007, no. 8, pp. 1-10.
13. Liendler L. On a Certain Converse of Holder's Inequality II. Acta Sci. Math., 1972, no. 33, pp. 217-223.
14. Lusternik L.A. Die Brunn — Minkowskische Ungleichung Fur Beliebige Messbare Mengen. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Series I, Mathematics, 1935, no. 8, pp. 55-58.
15. Lv S. Dual Brunn — Minkowski Inequality for Volume Differences. Geom. Dedicata, 2010, no. 145, pp. 169-180.
16. Prekopa A. Logariphmic Concave Measures with Application to Stochastic Programming. Acta Sci. Math., 1971, no. 32, pp. 301-315.
BRUNN - MINKOWSKI TYPE INEQUALITY FOR GENERALIZED POWER MOMENTS IN THE FORM OF HADWIGER
Bulat Samatovich Timergaliev
Assistant, Department of Mathematical Analysis and Function Theory,
Kazan Federal University
timergalievbs@mail.ru
Kremlevskaya St., 18, 420048 Kazan, Russian Federation
Abstract. In this paper we built a class of domain functionals in Euclidian space and proved Brunn — Minkowski type inequality applied to the mentioned class. The resulting inequality generalizes corresponding inequality for moments of inertia in relation to the center of mass and hyperplanes proven by H. Hadwiger.
Let Q be a bounded domain in Rn. Define the functional
I(k; m; Q) = J (ai|xi - si|k +-----+ Unlxn - s„\k)m dx,
n
where k e (0,1] at m e (0,1) U (1, and k e (0, at m =1; Uj(j = = 1, n) e (0, — arbitrary real numbers, si, s2,..., sn — coordinates of the minimum point of the function
I(y) = J (ai|zi - yilk + *2lx2 - y2lk + ■ ■ ■ n
+ ■ ■ ■ + an\xn - ynlk)m dx, dx = dxidx2 ■ ■ ■ dxn
of the variables y = (yi,y2,... ,yn) e Rn, where xi,x2,... ,xn — Cartesian coordinates of the point x e Q. The main result of this paper is the following
Theorem. Let Q0, Qi be a bounded domains in Rn, that can be represented as the the union of a finite number of convex domains. Then the functional I (k; m;Q)i/(km+n) concave:
I(k; m;Qt)i/(km+n) > (1 - t)I(k; m;Qo)i/(km+n) + tl(k; m;Qi)i/(km+n),
where Qt = {(1 - t)z0 + tzi | z0 e Q0,zi e Qi}) 0 < t < 1, k e (0,1] at m e (0,1) U (1, and k e (0, at m =1.
Key words: Brunn — Minkowski inequality, Prekopa — Leindler inequality, concave function, convex body, power moments.
