Многоцветные множества ограниченного остатка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 16 Выпуск 2 (2015)

УДК 511.95

МНОГОЦВЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА1

В. Г. Журавлев (г. Владимир)

Аннотация

Пусть г(г,Х1) — количество точек орбиты длины г относительно вращения Ба : Т1 —^ Т1 окружности единичной длины Т1 = М/Ъ на угол а, попавших в X1, и пусть 5(1, X1) = г(г,Х1) — г|Х 1| — отклонение функции распределения г(г,Х1) от ее среднего значения г|Х 1|, где |Х 1| означает длину Х1. В 1921 г. Э. Гекке доказал теорему: если Х1 имеет длину |Х 1| = На + Ь, где Н € М, Ь € Ъ, то для отклонения 5(г,Х1) выполняется неравенство |5(г,Х1 )| ^ Н для всех г = 0,1,2,...

В 1981 г. И. Орен перенес результат Гекке на конечные объединения интервалов Х1 и для таких множеств получил оценку 5(г,Х1) = 0(1) при г -то.

В общем случае, если Хл принадлежит ^-мерному тору Т^ = М^/Ъ^ и для него выполняется условие 5(г,Хл) = 0(1) при г — то, то Хл называется множеством ограниченного остатка.

Глобальный подход к поиску множеств ограниченного остатка предложен В. Г. Журавлевым, при котором вместо отдельных множеств Х^ на торе Т рассматриваются полные разбиения торов Т^Л = Х^иХ^и.. .иХ^ с некоторыми параметрами с, Л. Основная идея состояла в том, чтобы определить подъем тора Т^ в накрывающее пространство М^ так, чтобы повороту тора Ба отвечало перекладывание некоторых множеств Х0, Х1,..., Х^ из М^. Если число таких множеств Х^ окажется 8+1 ^ ^+1, то каждый из образов Х^ = п(Хк) на торе Т будет БЕ-множеством, а соответствующее объединение = Х00 и Х1 и ... и Х^ из М^ — тори-ческой разверткой для Т^. Такие развертки Тл были сконструированы с помощью перекладывающихся параллелоэдров — многогранников, транс-ляционно разбивающих пространство М^. Указанные параллелоэдры получаются сложением по Минковскому ^-мерного единичного куба Сл и отрезков.

В 2012 г. В. Г. Журавлевым по указанной схеме были построены простейшие многомерные множества ограниченного остатка Xл = Рявляющиеся ^-мерными многогранниками: параллелепипедами или выпуклыми параллелоэдрами с числом вершин ЦУ(Г^) = 2^+1 — 2. Для размерностей ^ = 1 и 2 это будут соответственно множества, содержащие отрезки Гекке

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 14-01-00360.

и шестиугольники с попарно параллельными равными сторонами, а для d = 3, 4 — параллелоэдры Вороного, среди которых содержится, например, ромбический додекаэдр Федорова.

В настоящей работе с помощью разбиений многомерных торов строятся множества ограниченного остатка, представляющие собою конечные объединения выпуклых многогранников. Для отклонений распределения точек орбит относительно сдвигов тора по указанным множествам доказывается многомерный вариант теоремы Гекке о распределении дробных долей на окружности.

Ключевые слова: многомерная теорема Гекке, множества ограниченного остатка, многогранники.

Библиография: 9 названий.

MULTI-COLOUR BOUNDED REMAINDER

SETS

V. G. Zuravlev (Vladimir)

Abstract

Let r(i,Xbe the number of points in the Sa-orbit of the length i with respect to a rotation Sa : T1 —> T1 of the unit circle T1 = R/Z by an angle a hit the X1. Denote by ¿(i,X1) = r(i,X1) — i|X11 the deviation of the function r(i,X1) from its average value i|X 1|, where |X 1| is the length of X1.

In 1921 E. Hecke had proved the theorem: if X1 has the length |X 1| = ha + b, where h € N, b € Z, then the inequality |^(i,X1 )| ^ h для всех i = 0,1,2,... holds for all i = 0,1,2,...

In 1981 г. I. Oren was able to generalize the Hecke theorem to the case of a finite union of intervals X1. He proved the estimation ¿(i,X1) = O(1) as i —у ж.

In the general case, if Xd belongs to the d-dimensional torus Td = Rd/Zd and there is ¿(i, Xd) = O(1) as i — ж, then Xd is called a bounded remainder set.

Global approach to search of bounded remainder sets was proposed by V.G. Zhuravlev in 2011 when, instead of separate sets X' on the torus Td, the complete toric decompositions T'A = Xd U Xd U ... U X' with parameters c, A began to be considered. The main idea was to determine a lifting n-1 : Td — Rd of the torus Td into the covering space Rd so the rotation Sa maps to a rearrangement Sv of the corresponding sets X0, X1,..., X's in Rd. In the case s + 1 ^ d + 1, each set X' = n(Xk) is a bounded remainder set and the union TcdA = X0 U X1 U ... U X's in Rd is a toric development for Td. These developments Td were built with the help of rearrangement parallelohedra, and the parallelohedra obtained as the Minkowskii sums of the unit cube Cd and intervals. If d = 3,4 we have the Voronoi parallelohedra and the Fedorov rhombic dodecahedron.

In the present paper, by using tilings of multidimensional tori, bounded remainder sets are constructed. The tilings consist of a finite combination of

convex polyhedra. A multi-dimension version of Hecke theorem with respect to the uniform distribution of fractional parts on the unit circle is proved for these sets.

Keywords: multi-dimension Hecke theorem, bounded remainder sets, poly-hedra.

Bibliography: 9 titles.

Введение

Пусть r(i,X1) — количество точек орбиты длины i относительно вращения

Sa (x) = x + a mod 1

окружности единичной длины T1 = R/Z на угол а, попавших в X1. Обозначим через

5(i,X1) =r(i,X1) - i|X 1|

отклонение функции распределения r(i,X1) от ее среднего значения i|X11, где |X 1| означает длину X1. В 1921 г. Э. Гекке доказал теорему [1]: если X1 имеет длину |X 1| = ha + b, где h € N, b € Z, то для отклонения 5(i,X1) выполняется неравенство

|i(i,X1 )| ^h (1)

для всех i = 0,1, 2,...

Орен [2] перенес результат Гекке на конечные объединения интервалов X1 и для таких множеств получил оценку

S(i,X 1) = O(1) при i ^то (2)

Отметим, что интервалы из множества X1 сами в отдельности могут и не обладать свойством (2).

В общем случае, если Xd принадлежит d-мерному тору Td = Rd/Zd и для него выполняется условие (2), то Xd называется множеством ограниченного остатка.

Глобальный подход к поиску множеств ограниченного остатка предложен в [3], где вместо отдельных множеств Xd на торе Td стали рассматриваться полные разбиения торов

Т',л = X' U X'd и... и X'

с некоторыми параметрами с, Л. Основная идея состояла в том, чтобы определить подъем тора Td в накрывающее пространство Rd:

п I I п , (3)

при котором повороту тора Ба отвечает перекладывание некоторых множеств Х0, X,..., X из Rd. Если число таких множеств Х'к окажется в + 1 ^ d + 1, то

каждый из образов Х^ = п(Х'к) на торе Т4 будет ВЛ-множеством, а соответствующее объединение

Т*л =Х0и х1 и... и Х^

из М4 — торической разверткой для Т4, т.е. фундаментальной областью в пространстве М4 относительно трансляций кубической решеткой Zd. Такие развертки Т4 были сконструированы в [4] с помощью перекладывающихся параллелоэдров — многогранников, трансляционно разбивающих пространство М4. Указанные параллелоэдры получаются сложением по Минковскому й-мерного единичного куба С4 и отрезков.

В [5] по схеме (3) были построены простейшие многомерные множества ограниченного остатка X4 = Р4, являющиеся ^-мерными многогранниками: параллелепипедами или выпуклыми параллелоэдрами с числом вершин

ЦУ(Р4) = 2Л+1 - 2.

Для размерностей й = 1 и 2 это будут соответственно множества, содержащие отрезки Гекке и шестиугольники с попарно параллельными равными сторонами, а для й = 3, 4

— параллелоэдры Вороного [6], среди которых содержится, например, ромбический додекаэдр Федорова [7]. Для указанных многогранников ограниченного остатка X4 = Р4 в [5] доказано неравенство

15(г,Х4)| (4)

являющееся многомерным аналогом теоремы Гекке (1). Здесь в неравенстве (4) отклонения ¿(г, Xй) рассматриваются для сдвига тора Бр на вектор /3 = ^(а + I), где к

— любое натуральное число и I — произвольный вектор из кубической решетки Zd.

Следующим шагом исследования общих многомерных множеств ограниченного остатка может служить задача о построении более сложные множества Х4, отличных от вытянутых кубов Х4 = Р4 и их малых деформаций. Основная идея состоит в том, чтобы использовать многоцветные разбиения

тА,с,л = Х4 иХ4 и... иХ?

тора Т4 с числом областей О +1 > й +1, получающиеся как сечения соответствующих перекладывающихся разбиений

Т^л = Х0Д иХ? и... иХ?

тора Т? большей размерности О > й. При таком подходе возникают множества ограниченного остатка Х4, представляющие собою конечные объединения й-мерных многогранников, каждый из которых является сечением некоторого О-мерного многогранника из разбиения Т?с л, т.е. некоторого отмеченного выше параллелепипеда или выпуклого параллелоэдра Р?. В теореме 5.1 доказывается, что отклонения )

для таких многоцветных множеств ограниченного остатка Х4 снова удовлетворяют неравенству (4).

1. Торические развертки

1.1. Перекладывающиеся торические развертки. Пусть дан О-мерный тор

Т? ~ М?/£, (1)

где L — невырожденная решетка из векторного пространства RD, т.е. решетка L имеет размерность D над R. Пусть задан сдвиг тора

TD TD : x ^ Sa(x) = x + a mod L. (2)

Разверткой TD тора TD назовем такое подмножество TD из RD, для которого ограничение фактор-отображения

Rd Td : x ^x mod L

на указанное подмножество TD с RD задает биекцию

mod L

TD TD. (3)

Пусть дана торическая развертка TD, удовлетворяются следующему условию. Существует такое разбиение

TD = T0 U Ti U ... U TD (4)

развертки TD, что если с помощью биекции (3) отождествить тор TD с его разверткой TD, то индуцированное отображение

T D t D

для сдвига тора (2) будет эквивалентно перекладыванию областей T0,T1,..., td развертки T D:

Sv (x) = x + v(x), (5)

где вектор сдвига v(x) зависит от x € TD и определяется условием

v(x) = vk, если x € Tk, (6)

при этом Vo,Vi,..., vd — некоторая фиксированная система векторов. Развертка TD, удовлетворяющая условиям (3)-(6), называется перекладывающейся.

Заметим, что в силу биекции (3) разбиению (4) развертки TD отвечает разбиение

TD = T0 U T1 U ... U TD (7)

тора TD на соответствующие области Tk = Tk mod L.

Далее мы будем использовать понятие разбиения множеств в обычном (строгом) смысле, когда рассматриваются покрытия множеств

X = X1 U X2 U ...

с условием Xk П Xk' = 0 для к = к', а также в расширенном смысле

X = X1 и х2 и...,

предполагая в данном случае, что различные множества Xk, Xk' не имеют общих внутренних точек Xknt П X^ = 0.

1.2. Трансляционная решетка и ранг вектора сдвига. Из определений (2), (5) и (6) вытекают сравнения

vk = а mod L для k = 0,1,...,D, (8)

при этом векторы

lk = Vk - vo для k = 1,..., D (9)

принадлежат основной решетке периодов L тора (1). В дальнейшем на протяжении всей статьи будем предполагать, что L является невырожденной решеткой, порождаемой

L = Z[h,...,lD ] (10)

векторами (9) над кольцом целых чисел Z, т.е.

векторы ii,...,id имеют ранг D над R. (11)

При этом условии вектор сдвига а можно разложить по данному базису

а = aili + ... + aDlD. (12)

Пусть a — произвольный вектор из RD с координатами (ai,...,aD) в базисе (12). Определим его ранг относительно решетки L равенством

rankL(a) = rankZ M (а) — 1, (13)

где

M(а) =Z[1,ai,...,aD] СК обозначает модуль над кольцом Z, порождаемый числами 1, а1,..., aD;

rankZ Z[1, а1,..., аD]

— размерность этого модуля над Z. Если а' С RD — другой вектор, удовлетворяющий условию а' = а mod L, то из определения (13) вытекает равенство

гапк^(а') = гапк^(а).

Это означает, что ранг гапк^(а) корректно определен для векторов а на торе TD ~ Rd/L. Из определения (13) также следуют неравенства

0 < гапк^(а) < D.

Назовем вектор а иррациональным, если гапк^(а) > 0. Если при этом ранг принимает наибольшее значение гапк^(а) = D, то будем говорить, что вектор максимально иррациональный. В оставшемся случае гапк^(а) = 0 скажем, что вектор рациональный. Это равносильно тому, что вектор а имеет рациональные координаты al,...,aD в базисе (12).

Для вектора а отвечающие ему сдвиг Sa тора (2) и перекладывание Sv из (6) будем называть соответствующим образом.

2. Торические развертки и множества ограниченного остатка

2.1. Цветные k-отклонения. Пусть TD = T0 U T1 U ... U Td — разбиение тора (7), отвечающее разбиениею (4) развертки тора TD. Зададим сдвиг тора

TD —4 td : x 4 Se(x) = x + в modL (1)

на вектор

в = 1(а + b о l), (2)

при этом h — произвольное натуральное число,

b о l = bill +-----+ bDid

и b = (bi, ••• , bd) € ZD — целый вектор. Из определения следует, что вектор b о l принадлежит решетке L. Любому сдвигу тора (1) можно сопоставить считающую функцию

rk(i, xo) = tt(j; Se (xo) € Tk; 0 < j < i}. (3)

По условию L — невырожденная решетка (10). Поэтому для ее базиса li,......, id

существует двойственный базис l|,...,lD, связанный с исходным базисом соотношениями

lfc ' lm — ¿kmo (4)

где x ■ y = xiyi + ... + xd yD — скалярное произведение для x = (xi, ...xd ), y = (yi,... yD) из Rd и ¿km — символ Кронекера. Для k = 0,1,... , D обозначим

¿k (i, xo) = rk (i, xo) — iak. (5)

Здесь коэффициенты ak (k = 1,..., D) задаются равенствами

ak = — lfc ■ а = —ak, (6)

где ak — координаты (12) вектора а относительно базиса li,..., id, а коэффициент ao определяется из равенства

ao + ai +-----+ aD = 1. (7)

Назовем ¿k(i,xo) отклонением распределения точек орбиты

OrbSe (xo) = {Se (xo) =xo + ie modL; i = 0,1, 2,...} (8)

относительно области Tk С TD, или кратко — k-отклонением или цветным отклонением.

Для произвольного множества X С RD определим его крайние значения

mk(X) = mfx€x lfc ■ x, mk(X) = sup^x lfc ' x, (9)

где векторы l^,..., l*D определены в (4) и

lS = —li —... — lD. (10)

Относительно отклонений ¿k(i,xo) в [5] доказана следующая теорема.

Теорема 1. При любом к = 0,1,..., D выполняются неравенства

№(i,xo)|< ck(T) h (11)

для всех i = 0,1, 2,..., где константы

Ck(T) = mk(T) - mk(T), (12)

не зависят от h, i и определяются исключительно размерами развертки тора T = TD, определенной в (4).

2.2. Вырождение орбит. Пусть вектор сдвига a будет произвольным, т.е. не обязательно иррациональным, и пусть Orbs^ (xo) — орбита (8) произвольной начальной точки x0 € T относительно сдвига S^, где вектор сдвига в определен равенством (2). Обозначим OrbSe(x0)c замыкание орбиты OrbSe(x0).

Если вектор сдвига a будет максимально иррациональным, то есть иметь ранг rankz(a) = D, то вектор в также будет максимально иррациональным. Известно [8], что для указанных в будет выполняться равенство

dim OrbSe (x0)c = D

и, таким образом, в этом случае выполняется формула

Orbse (x0)c = Tc. (13)

В общем случае будет выполняться лишь включение

Orbse(x0)c CTc, (14)

поэтому для констант (12) из (14) будет следовать неравенство

Ck(X) < Ck(T). (15)

Здесь множество X определяется с помощью биекции (3):

mod L

TD DX Т? Orbse Ыс CTD. (16)

Если неравенство (15) будет строгим, то, как следствие, в случае произвольного вектора сдвига a мы получим для отклонений ¿k(i,x0) усиление оценки (11). В этом случае теорема 1 принимает вид [5].

Теорема 2. При любом к = 0,1,..., D выполняются неравенства

(i,x0)|< Ck(X)h (17)

для всех i = 0,1, 2,..., где константы Ck(X) вычисляются по формуле

Ck(X) = mk(X) -mk(X), (18)

не зависят от h, i и определяются исключительно размерами множества X из (16). Величины mk (X) и m^(X) определены в (9).

2.3. Единичный базис. Константы с^(X) из теоремы 2 можно конкретизировать, если перейти

¿1 = —eb ... Id = -eD (19)

от базиса (11) к единичному базису

е1 = (1, 0,..., 0), ..., eD = (0, 0,..., 1). (20)

При таком выборе базиса решетка L, определенная в (10), будет иметь вид

L = ZD = Z[e1,..., eD], (21)

т.е. будет кубической 'решеткой ZD в пространстве RD.

Если решетка L имеет вид (21), то выполняется следующая теорема [5].

Теорема 3. Пусть векторы l1,..., Id выбраны в виде (19) и xo — произвольная начальная точки из тора TD.

1. Тогда k-отклонения (55) принимают вид

(i,xo) = rk(i,x0) — iak для k = 0,1,...,D, (22)

где вектор сдвига a = (a1,...,aD) записан в единичном базисе e1,..., eD и a0 = 1 — a1 — ... — aD.

2. Пусть выбран вектор сдвига /3 = ^(а + I) с произвольным натуральным h и вектором l из кубической решетки ZD. Тогда при любом k = 0,1,... , D выполняются неравенства

(i,xo)|< cfc(X)h (23)

для всех i = 0,1, 2,... с константами

Cfc (X) = mfc (X) — mfc (X),

где множество X определено в (16),

mfc(X) = — supx€x efc ■ x, mfc(X) = — infxgx efc ■ x

для k = 1 , . . . , D и

mo(X) = infxSx eo ■ x, mo(X) = supxgx eo ■ x

для k = 0, где eo = e1 + ... + eD.

3. В случае h = 1 выполняются точные неравенства:

xofc — sup efc ■ x < ¿fc(i, xo) < xofc — inf efc ■ x (24)

xgX xgX

для k = 1,... , D, где начальная точка xo = (xo1,..., xod) — записана в базисе e1,... ...,eD; и

mo(X) — a(xo) < ¿o(i,xo) < mo(X) — a(xo), (25)

где a(xo) = xo1 + ... + xod .

3. Разбиения вытянутых параллелоэдров

3.1. Вытянутые кубы С8. Приведем из [4] основные понятия и результаты, необходимые нам для дальнейшего. Пусть С = Сд — замкнутый Б-мерный куб, натянутый на единичные векторы в1,..., вд. Обозначим Мд положительный конус, состоящий из х = (ж1,..., хд) € Мд с координатами х1 > 0,..., хд > 0. Для любого векто-

ра s из конуса R:^ определим операцию вытягивания Strs произвольного множества X С Rd как сумму по Минковскому

Strs(X) = X + Js = Це/ (X + ts) (1)

самого множества X и вложенного в пространство RD отрезка Is = {ts; t € I}, где I = [0,1]. Условимся s из (1) называть вытягивющим вектором.

Применяя данную операцию к единичному кубу C, построим из него многогранник

Cs = Strs(C), (2)

представляющий собою вытянутый куб, имеющий объем

vol Cs = a(s) + 1.

Здесь обозначили

a(s) = S1 +----+ sd

для вектора s = (s1, ..., sd). Вытянутые кубы Cs обладают следующим важным для наших целей свойством ( [4], теорема 1.1):

для любого вектора s € R1? имеет место разбиение пространства

I>D

Rd = U Cs[i], (3)

геи

где С8[1] = С8 + 1 — множество, полученное сдвигом куба С3 на вектор I, и

= ..., вПу3]

— полная решетка, порождаемая векторами = вк + 8 для к = 1,..., Б. 3.2. Вытянутые параллелоэдры Сс. Линейное отображение

Мд : вк>8 ^вк к = 1,...,Б (4)

задает изоморфизм решеток

М8 : ZD

и переводит Б-мерный единичный куб С в параллелоэдр

С = М8(С), (5)

натянутый соответственно на векторы

в1,с = в1 - С, . . . , вд,с = вд - С,

где вектор с вычисляется по формуле

с = ту(в). (6)

Здесь

ту(ж) =

а(ж) + 1

представляет собою линейно-инверсное преобразование пространства Мд. Согласно (5), вытянутый куб С8 отображается

М8 : С —- Сс

в многогранник

Сс = Я1Гс(С), (7)

получающийся вытягиванием параллелоэдра С вдоль вектора с, связанного с вектором 8 формулой (6). Вытянутый параллелоэдр Сс имеет объем

уо1Сс = 1 (8)

и число вершин ЦУ(Сс) = 2Д+1 — 2.

3.3. Вытягивающие векторы для параллелоэдров. Согласно [5], имеет место биекция

ту : Б<1 С<1 (9)

между Б<1 = МД и множеством

С<1 = {с еМД; ст(с) < 1}, (10)

где ст(с) = С1 + ... + сд. Множество С<1 является ^-мерным симплексом, замыкание которого содержит (^ — 1)-мерный симплекс

С1 = {с €(МД)с; а(с) = 1}.

В [9] доказана следующая теорема.

Теорема 4. 1. Множество

С<1 = С<1 и С1, (11)

где

С1 = {с € мД; ст(с) = 1}

— внутренность симплекса СЦ, представляет собою множество вытягивающих векторов для параллелоэдров (7): любому вектору с € С<1 соответствует с — Сс

— выпуклый параллелоэдр Сс.

2. Вытянутые параллелоэдры Сс разбивают пространство

Мд = У Сс [1] (12)

на многогранники Сс[1] = Сс +1 без общих внутренних точек.

3.4. Разбиения и перекладывания вытянутых параллелоэдров. Используя (12), определим разбиение пространства RD :

Tc = (J Cc[i]. (13)

iezD

Обозначим

dTc = (J dCc [l]

iezD

множество всех границ разбиения 7С, состоящее из границ всех многогранников Сс[1]. Для любого а = Ac, 0 < А < 1, определим множество границ

dCc,A = dCc U [Cc П (dTc - а)] с Cc.

Границы дСС)л разбивают вытянутый параллелоэдр Cc на D + 1 область без общих внутренних точек [5]:

Cc,A = PocU... UPD, (14)

где Pk для к = 1,..., D — параллелоэдры, содедержащие точки

(k)

efc = (0,..., 1 ,..., 0),

Р0 = [Сс \ (Р? и... иРЬ )]с

— вытянутый параллелоэдр вида Р§ = 81гс-а(С).

Зададим перекладывание

$,(Сс,л) = ^(Ро) и $,(Р?) и ... и ^(РЬ) (15)

вытянутого параллелоэдра с разбиением (14), где

^ (Рк ) = Р£[% ] = р? + %

— параллельный сдвиг многогранника Р? на вектор

Г 0, если к = 0, = а — < , (16)

к \ ек, если к > 0. у 7

Перекладывание индуцирует многозначное отображение

:Я1Гс(С) —(17)

определяемое условиями

х ^ (ж) = х + V?, если ж € Р?.

Из ([4], предложение 1.1) вытекает следующее свойство перекладывания 5.

Предложение 1. Вытянутый параллелоэдр Сс,л = Я1гс(С) с разбиением (14) замкнут (Сс,л) С Сс,л относительно операции перекладывания (15).

а

Из определения (16) векторов сдвигов Vf вытекает сравнение Vf = a mod ZD для любого к = 0,1,..., D. Отсюда и (17) получаем сравнение

Sv (x) = x + a mod ZD, (18)

означающее, что многозначное отображение Sv становится однозначным на вытянутом параллелоэдре Sv : Cc —^ Cc, если отображение Sv рассмотреть по mod ZD. Определим на торе TD ~ RD/ZD сдвиг

TD : x ^Sa(x) = x + a mod ZD.

Тогда из (15)-(18) вытекает, что следующая диаграмма коммутативна

Cc ^ Cc

mod ZD i i mod ZD. (19)

T-D tD

3.5. Построение перекладывающихся торических разверток. Чтобы построить для вытянутого параллелоэдра Cc,a с разбиением (14) соответствующую ему перекладывающуюся торическую развертку Тс д с RD (см. определение в п. 1.1), нам потребуется следующий ¿-алгоритм [4], определяющий индекс ¿(x) точек x € Cc,a.

Согласно ¿-алгоритму, любая точка x из вытянутого параллелоэдра Cc Л имеет однозначно определенный индекс

¿(x) = -1, 0,1,...,D.

Если точка x принадлежит внутренности некоторого параллелоэдра Pf, то она имеет индекс ¿(x) = к. Так что смысл индекса ¿(x) состоит в том, что он распределяет общие граничные точки между параллелоэдрами P0, Pf,..., PD.

Используя индекс ¿(x), определим следующие незамкнутые многогранники

Pk = {x €Cc,a; ¿(x) = к} (20)

для к = 0,1,... , D. Они состоят из всех внутренних точек параллелоэдров Pf и части их граничных точек. Из однозначности индекса ¿(x) следует Pf1 nPf2 = 0 с номерами ki = k2. Так определенные многогранники Pf обладают следующим свойством [4].

Теорема 5. Пусть параметр c € определен равенством a = Ac, где 0 < Л ^ 1 в случае c € C<1 и 0 < Л < 1, если c € C1. Кроме того, пусть Pf — многогранники (20). Тогда их объединение

ТД =Р0иР1и ... иРд (21)

является перекладывающейся торической 'разверткой из Мд.

Итак, любому вытянутому параллелоэдру Сс с разбиением Сс л из (14) г-алгоритм ставит в соответствие

Сс ^ Сс,Л ^ т (Сс,л)=тДл (22)

перекладывающуюся торическую развертку TcDA C Cc с разбиением (21). Ее роль состоит в том, посредством биекции (3) она задает каноническое разбиение тора

tDA = TD U TD U ... U TD (23)

на множества TD = Pk mod ZD, являющиеся по теореме 1 множествами ограниченного остатка.

Из последовательности шагов (14), (22) и (23) получается следующий алгоритм построения разбиений тора tDa.

Общая схема для канонического разбиения тора TDa :

C ^ Cc ^ C„A ^ TDA ^ TCDA. (24)

4. Теорема Гекке для BR-многогранников

4.1. Многомерная теорема Гекке. Пусть

TcDA = P0 U P1 U ... u pd

— перекладывающаяся торическая развертка (21) с заданным на ней перекладыванием Sv (см. определение (5)). Указанной развертке TcDa по схеме (24) соответствует разбиение тора

tc,a = t0 U Tf U ... U TD, на котором определен сдвиг Sa(x) = x + a mod ZD. Введем обозначение (ср. (2))

в = h(a + 1), (1)

при этом h — произвольное натуральное число и 1 € ZD. Определим считающую функцию

rk(i; в, x0, tCCa) = ttlj; Se (x0) € TD;0 < j < i},

где Se — сдвиг тора на вектор (1) и x0 — произвольная начальная точка на торе TD. Пусть вектор a = (a1,...,ac) записан в единичном базисе e1,..., ec и a0 = 1 — a1 — ... — ac. Относительно отклонений

¿k(i; в, x0, TCCA) = rk(i; в, x0, tCCa) — i vol(TD) для к = 0,1,..., D (2)

доказана следующая теорема [4].

Теорема 6. (многомерное обобщение теоремы Гекке).

1. Пусть а = Ас, где 0 < Л ^ 1 в случае с € C<i и 0 < Л < 1, если с € C1. Тогда в формуле (2) объемы равны

vol(TD) = afc (3)

для к = 0,1,... , D и для отклонений (2) выполняются неравенства

(i; в,Хо, ТДЛ)|< cfc(Cc)h (4)

для всех i = 0,1, 2,... Константы Cfc(Cc) вычисляются по формуле

ck(Cc) = max ek ■ v — min ek ■ v, (5)

vev(ec) vev (Cc)

где ek — единичные векторы для к = 1,..., D и e0 = —e1 — ••• — ед. Здесь в (5) через V(Cc) обозначено множество вершин вытянутого параллелоэдра Cc. Таким образом, константы ck(Cc) в неравенстве (4) не зависят от выбора множителя h в определении (1) вектора сдвига ß.

2. Если вектор с = (с1,...,сд) записан в единичном базисе e1,..., e^, то константы ck(Cc) вычисляются по формулам:

ck (Cc) = 1 + (D — 1)cfc (6)

для к = 1,..., D; и соответственно

Cfc (Cc) = 1 + (D — 1)(1 — а(с)) (7)

для к = 0.

3. Для констант ck(Cc) из (6), (7) выполняется общее неравенство

Cfc(Cc) < D для любого с € C<1. (8)

4.2. BR-многогранники. Замкнутые многогранники Pk с номерами к = 1,..., D, определенные в (14), допускают простое описание

PC = PC + ш. (9)

Здесь PC С Rd обозначает замкнутый параллелепипед, натянутый на векторы

а, с — ek' для всех к' = 1,..., D, к' = к, (10)

где с = Аа и ek' — единичные векторы. Точка

ш = eo — (D — 1)с — а, (11)

где eo = (1,..., 1), является общей для всех могогранников PC для к = 0,1,......,D.

При этом в случае к = 0 многогранник PC также задается равенством (9), в котором полагаем ш = 0 и P0 — вытянутый параллелоэдр вида (см. (7))

PC = Strc-a(C). (12)

Если a = (a1,..., aD) и a € C<1, то из определения (10) следует

vol PC = afc. (13)

В (20) были определены незамкнутые многогранники Рд, содержащие все внутренние и некоторые граничные точки многогранника PC. Используя Рд, определим соответсвующие незамкнутые многогранники pk равенством (ср. (9))

Pfc = Pfc для k = 0,1,... , D. (14)

Множество X с RD назовем ZD -различимым, если оно удовлетворяет свойству

Vx, y € X : x — y € ZD ^ x = y. (15)

Из определения (14) следует, что все многогранники Рд. являются ZD-различимыми, так как, согласно теореме 4.1, все их сдвиги в совокупности образуют торическую развертку Т^Д Пусть дан произвольный вектор сдвига в € RD и число h = 1, 2, 3,... — такое, что существует вектор a, удовлетворяющий условиям

a € C<1, a = he mod ZD. (16)

Обозначим

Pfc = P/^Afc (17)

многогранники, определенные равенствами (14) для векторов a из (16) и c = Лa, где a(a) < Л < 1.

Для сдвига Se тора TD и многогранника Рд зададим считающую функцию

r(i; в, xo, Pfc) = ttlj; Se (xo) € Pfc mod ZD, 0 < j < i},

где xo — произвольная начальная точка на торе TD; и, принимая во внимание равенство (13), определим отвечающее функции r(i;e,xo,Pfc) отклонение

5(i; e,xo ,Pfc) = r(i; e,xo,Pfc) — ivolPD (18)

распределения точек орбиты Orb(Se, xo) относительно области PD = Pk mod ZD на торе TD, имеющие, согласно (3) и (13), объемы vol PD = vol P£ = ak для k = 0,1,..., D. Из теоремы 6 вытекает следствие [5].

Теорема 7. Пусть даны вектор сдвига в € RD и h = 1, 2, 3,..., удовлетворяющие условиям (16), c = Лa7 где a(a) < Л ^ 1, и пусть P^ = Pg,hAfc — отвечающие этим параметрам многогранники (17). При этих условиях имеют место следующие утверждения.

1. Для отклонений (18) выполняются неравенства

|5(i;e,xo,Pfc)| ^h7fc (19)

с константами

7fc = 1 + (D — 1)cfc

(20)

для к = 1,..., D и

7fc = 1 + (D — 1)(1 — а(е)) (21)

для к = 0, где c = (c1,..., cd).

2. Также для отклонений выполняется общее неравенство

|5(i;в,х0,Pk)| <hD. (22)

Как уже отмечалось, многогранники pk, определенные в (14), являются ZD-различимыми, а из теоремы 7 следует, что относительно сдвига S^ многогранники pk, если их рассматривать как области PD = pk mod ZD на торе TD, являются множествами ограниченного остатка. По аналогии с определением (2) многогранники, обладающие указанными свойствами, естественно назвать многогранниками ограниченного остатка или, кратко, BR-многогранниками.

Для произвольной размерности D многогранники pk с номерами к = 1,......,D

по своей конструкции — параллелепипеды (10) — представляют собою простейший вид BR-многогранников. Многогранник Po также может быть параллелепипедом в исключительном случае вектора c = Aa, когда A = 1. Если же A < 1, то Po — парал-лелоэдр с числом вершин flV(Pk) = 2D+1 — 2.

Заметим, что приведенное во введении неравенство (4) вытекает из неравенства (22).

Далее мы предполагаем построить более сложные BR-множества, состоящие из объединения нескольких многогранников, каждый их которых уже не обязан быть BR-многогранником.

5. Многоцветные разбиения торов

5.1. Вложения торов и торические обмотки. Определим вложение

Rd — Rd С Rd , (1)

полагая ж = (ж, 0) для ж € Rd. Здесь считает, что RD = Rd х Rd , где D = d + d'.

Поскольку кубическая решетка ZD также разлагается в прямое произведение ZD = Zd х Zd , то вложение (1) можно факторизовать

ж mod Zd — ж mod ZD (2)

в виде вложения

Td — Td С TD (3)

тора Td = Rd/Zd в тор TD = RD/ZD. Так определенное вложение (3) согласовано

Td с^ tD

Sa Sg (4)

Td tD

с действием соответствующих сдвигов торов

Sa(x) =x + a mod Zd, Sg(S) =ж + Ж mod ZD. (5)

Укажем, что в (5) при определении сдвига Sa — в отличие от п. 1.1 — мы теперь выбираем d-мерный вектор сдвига а = (ai,..., ad) € Rd.

Тор меньшей размерности Td С TD будем называть торической обмоткой в TD. Из (3) и (4) следует, что торическая обмотка Td — инвариантное множество

SaTd = Td (6)

относительно сдвига Sg.

Начиная с этого места, если не оговорено противное, будем предполать, что вектор сдвига а тора Td максимально иррациональный, т.е. ranked (Zd) = d.

5.2. Автоморфизмы тора TD. С помощью автоморфизмов тора TD исходя из некторой фиксированной обмотки Td можно получить богатое семейство других то-рических обмоток на торе TD. Обозначим Aut TD группу автоморфизмов тора TD. Ее можно разложить в прямое произведение

Aut TD — Auth х Auts

ее некоммутативной подгруппы гиперболических автоморфизмов Auth — — GLd (Z) и коммутативной подгруппы сдвигов тора Auts — TD. Здесь GLd (Z) обозначает группу унимодулярных матриц или, иначе, матриц с целыми коэффициентами определителя ±1.

1. Гиперболические автоморфизмы тора TD. Любая матрица A € GLd (Z) задает автоморфизм тора TD следующим образом

A :TD ^ TD : xD mod ZD ^ AxD mod ZD. (7)

Это непосредственно вытекает из свойства GLd (Z) быть группой автоморфизмов кубической решетки ZD: для любого A из группы GLd (Z) отображение xD ^ AxD задает изоморфизм решетки ZD.

2. Сдвиги тора TD. Если элемент tD € TD, то отвечающий ему автоморфизм тора TD из подгруппы Auts будет обычным сдвигом тора

StD : TD TD : xD ^ xD + tD mod ZD. (8)

5.3. Согласованность сдвига Sa с автоморфизмами тора TD. Для произвольного преобразования A € GLd (Z) и вектора а € Rd обозначим

AAa = AS (9)

и определим вектор сдвига a a тора TD:

a a = AAa mod ZD,

полагая при этом, что вектор a a имеет вид

Sa = ( Sa,i, ..., Sa,d), где 0 ^ aA,fc < 1. (10)

При автоморфизме тора (7) преобразование сдвига Sg переходит в преобразование SgA, что означает коммутативность диаграммы

A

TD TD

Sa SaA. (11)

A

TD Т? TD

Из диаграммы (11) и коммутируемости сдвигов

о 5ЙЛ = 5ЙЛ о получаем еще одну коммутативную диаграмму

V

Тд ~ Тд

5а 5«Л' (12)

>

Тд ~ Тд

где автоморфизм А4в тора Тд определяется как композиция

А^ ) = + шоё ZD. (13)

5.4. Стационарные разбиения тора Т^. Пусть £ = и

Т= АЛ Т = Т^ С Тд (14)

— торическая обмотка, где полагаем

АЛ(х) = А*(ж).

Из диаграммы (12) и инвариантности (6) торической обмотки Т С Тд вытекает инвариантность

= ТА (15)

обмотки (14), при этом, как нетрудно убедиться, имеют место следующие коммутативные диаграммы

лЛ л Т ~ Т^

5а 5ал (16)

Лл

лг ^

Т ~ Т^

и

ТА тд

5ал ^ 5«Л • (17)

та ^ ТД

Здесь обозначает тождественное вложение обмотки Т^ в содержащий ее тор Тд.

Пусть вектор сдвига а будет иррациональным. Для таких а в [9] доказано, что существуют преобразования А из группы СЬд с условием

*(ал) < 1, (18)

где

а(ал) = ад1 + • • • + адд для вектора (10). Неравенство (18) означает, что а а принадлежит

аА е С<1 (19)

— множеству параметров (10). Определим вектор с равенством

аА = Лс, где а(аА) < Л <1. (20)

Отсюда следует, что вектор с также, как и вектор а а, удовлетворяет условию

с €С<1. (21)

Для таких векторов с по схеме (24) мы можем построить

ТДЛ = ТД и ТД и ... и ТД (22)

— каноническое разбиение тора ТД. Используя разбиение (22) и вложение (17), можем естественным образом задать разбиение торической обмотки Т^ С ТД, полагая

Т1,С,Л = Т1,0 и ТА4>1 и... и ТА4>д, (23)

где

ТА^ = ТА п Тд

и множества ТД взяты из разбиения (22).

Теперь с помощью изоморфизма (2) мы можем перенести разбиение (23) обмотки на изоморфный ей тор Т^:

Т1,с,л = Та4,о и Т^и ... и ТА(>Д. (24)

Разбиение с л назовем стационарным разбиением тора Т^. Такое название обусловлено тем, что в п. 7.1 мы определим еще другой вид, так называемых, динамических разбиений.

5.5. Распределение точек орбит на торе ТД: общий случай. Определим считающую функцию

Гк(г; /а, ТДл) = й^; ^(жД) € ТД ;0 < ; < г} (25)

для сдвига тора Б-^ на вектор /а = АЛ/. Здесь — произвольная начальная точка на торе ТД и

в = Н( а + 1"), (26)

где Н — произвольное натуральное число и из решетки . Обозначим

5к (г;/а , ТДл) = Гк (г; вл,хД , ТДл) — г «а.й для к = 0,1,...,Я (27)

— отклонение распределения точек орбиты Orb(£gA, х0) относительно области ТД на торе ТД, где согласно (19) координаты вектора ал = (5а,1,..., ) удовлетворяют условиям:

ал, 1 + ... + аА,Д < 1 и > 0. (28)

Аналогично, как это было сделано в теореме 3, дополнительно определяем нулевую координату

ал,о = 1 — ал,1 — ... — 2а,_о = 1 — а( ал). (29)

Из (28) следует, что 2а,о > 0. Тогда, согласно теореме 6, для отклонений (27) выполняются неравенства

0 ' Х0 , т е,л)

|йк(г; Да, т^л)1< Ск(Се)Ь (30)

для всех г = 0,1, 2,.... Здесь константы Ск(Се) в силу (6) и (7) вычисляются по следующим формулам:

Ск (Се) = 1 + (Я - 1)Ск (31)

для к = 1,..., Я и

Ск(Се) = 1 + (Я - 1)(1 - а(с)) (32)

для к = 0, где вектор с = (с1,..., Сд) определен в (20). Для констант Ск(Се) из формул (31) и (32) вытекает грубое неравенство

Ск (Се) < Я (33)

для всех к = 0,1,..., Я.

5.6. Отклонения на Т0: стационарный случай. Выберем произвольную начальную точку ж0 на торе Т0 и для стационарного разбиения Т^ е л из (15) определим считающую функцию

гк(г; , Т^сл) = Ш; ^(ж0) € Т^; 0 < ; < г}, (34)

а также отклонение

¿к (г; ТА4;е;л) = Гк (г; в,х0, Т^л) - г^А.к для к = 0,1,...,Я (35)

распределения точек орбиты Orb.se (ж0) относительно области ТД к из разбиения тора Та е л, определенного в (24).

Теорема 8. 1. Пусть параметр с определен равенством (20), где а а € для некоторого преобразования А € СЬд(Ж). Тогда для отклонений (35) имеют место неравенства

|йк(г;в,ж0,ТА4>е,л)1 < Ск(Се)Ь для к = 0,1,...,Я, (36)

где константы Ск (Се) определены в (31) и (32).

2. При тех же условиях, независимо от выбора параметра с € С<17 выполняются неравенства

|йк(г;в,ж0,ТА4>е>л)| для к = 0,1,...,Я. (37)

Доказательство. Пусть вектор сдвига /За определен согласно (10). Так как по условию (3 = ^(а + 1а), где € , то обмотка Т0 С инвариантна ¿>д(Т0) = Т0 относительно сдвига Отсюда следует инвариантность

ТА4 = Т А( (38)

обмотки (14).

Пусть xD = A^ xd. Согласно коммутативной диаграмме (17), имеем согласование

S£(*0D) eTL* ^ S£(x0D) gtD ,

а в силу диаграммы (16) и (38) — еще одно согласование

Se(xd) €Td ^ sÍa(®D) eTAtifc.

Отсюда для любого k выводим равносильность

^(xd) GTAí;fc ^ j^D) GT0. (39)

Из определений (34), (35) и согласования (39) для любого i вытекает равенство отклонений

4 (i; e,xd, TAt>c>A) = 4 (i; вА ,xD Т00л), (40)

для k = 0,1,..., D. Теперь из равенства (40) и теоремы 6 следуют неравенства (36) и (37). □

6. Заключение

Чтобы продвигаться дальше, было бы интересно на первом шаге более подробно рассмотреть случай d =1, когда описанным выше методом получаются конечные разбиения

X1 = TAt,c,A С Т1

единичной окружности или, что равносильно — единичного полуинтервала Т1. По теореме 8 разбиения X1 состоят

X1=X¿U ... U XD (41)

из множеств ограниченного остатка Xj1 для k = 0,1,..., D.

Каждое такое X¿k есть конечное объединение полуинтервалов и при этом для отклонений áfc(i;e,x¿,X1) выполняются неравенства

(i;в,х0,X1)|< cfc(Cc)h (42)

для всех i = 0,1, 2,...

С другой стороны, ранее [2] Орен также рассматривал конечные объединения полуинтервалов X1 и для них получил оценку

5(i,X1 ) = O(1) при i ^ж. (43)

Более того, А. В. Шутов [10] получил явные оценки в (43).

Из сопоставления двух оценок (42) и (43) сразу возникает несколько задач.

1. Образуют ли совокупности всех множеств X¿k из (41) и X1 из (43) один и тот же класс множеств ограниченного остатка на Т1 .

2. Как ведут себя отклонения из (42) с ростом размерности D ^ ж объемлющего пространства RD.

3. Описать развертки TD тора TD, минимизирующие границы отклонений в неравенствах (42).

4. Чему соответствуют размерность D и развертки тора TD в терминах работ [2] и [10].

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hecke E. "Über analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod. eins // Math. Sem. Hamburg. Üniv. 1921. Bd. 1. S. 54-76.

2. Orenl. Admissible functionswithmultiple discontinuities // Üniv. Nac. Autónoma Mexico, Mexico City. 1981. Vol. V. I. P. 217—230.

3. Журавлев В. Г. Многомерная теорема Гекке о распределении дробных долей // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 1. C. 95-130.

4. Журавлев В. Г. Перекладывающиеся торические развертки и множества ограниченного остатка // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2011. Т. 392. C. 95—145.

5. Журавлев В. Г. Многогранники ограниченного остатка. Математика и информатика, 1 — К 75-летию со дня рождения Анатолия Алексеевича Карацубы. — Совр. пробл. матем. Москва: МИАН, 2012. 128 c.

6. Вороной Г. Ф. Собрание сочинений. т. 2. Киев: Из-во АН Украинской ССР, 1952. 420 c.

7. Федоров Е. С. Начала учения о фигурах. Москва: Из-во АН СССР, 1953. 418 c.

8. Weyl H. "Über die Gleichverteilung von Zahlen mod Eins // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313-352.

9. Журавлев В. Г. Модули торических разбиений на множества ограниченного остатка и сбалансированные слова // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 4. C. 97-136.

10. Шутов А. В. Проблема Гекке - Кестена для нескольких интервалов // Чебышев-ский сб. 2011. Т. 12, вып. 1. С. 172—177.

REFERENCES

1. Hecke, E. 1922, "Über analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod. eins" , Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 1, no. 1, pp. 54-76. (German)

2. Oren, I. 1981, "Admissible functionswithmultiple discontinuities" , Univ. Nac. Autónoma México, Mexico City, vol. V. I., pp. 217—230.

3. Zhuravlev, V. G. 2012, "A multidimensional Hecke theorem on the distribution of fractional parts" , Algebra i Analiz, vol. 24, no. 1, pp. 95-130. (Russian); translation in St. Petersburg Math. J. 2013. vol. 24, no. 1, pp. 71-97.

4. Zhuravlev, V. G. 2011, "Exchanged toric developments and bounded remainder sets" , Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 392, Analiticheskaya Teoriya Chisel i Teoriya Funktsii. 26, pp. 95-145, 219-220. (Russian); translation in J. Math. Sci. (N. Y.) 184 (2012), no. 6, pp. 716-745.

5. Zhuravlev, V. G. 2012, "Polyhedra bounded remainder" , Mathematics and informatics, 1 — the 75th anniversary of Anatolia Alekseevicha Karatsuba. — Sovrem. probl. Mat. Moscow, Steklov Mathematical Institute, 2012. 128 p. (Russian)

6. Voronoi, G. F. 1952, 1953, "Sobranie socinenii v treh tomah", [Collected works in three volumes.] Izdatel'stvo Akademii Nauk Ukrainskoi SSR, Kiev, vol. I, 1952, 399 p.; vol. II, 1952, 391 p.; vol. III, 1953, 306 p. (Russian)

7. Fedorov, E. S. 1953, "Nacala uceniya o figurah", [Elements of the study of figures.] Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow, 410 p. (Russian)

8. Weyl, H. 1916, "Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod Eins", Math. Ann. Bd. 77. S. 313-352.

9. Zhuravlev, V. G. 2012, "Moduli of toric tilings into bounded remainder sets and balanced words" , Algebra i Analiz, vol. 24, no. 4, pp. 97-136. (Russian); translation in St. Petersburg Math. J. 2013, vol. 24, no. 4, pp. 601-629.

10. Shutov, A. V. 2011, "The Hecke-Kesten problem for some integrals", Chebyshevskii Sb, vol. 12, no. 1(37), pp. 172-177. (Russian)

Владимирский государственного университета им. братьев Столетовых.

Поступило 15.04.2015